第11讲第十一讲比例模型知识站牌五年级秋季五年级秋季蝴蝶模型鸟头模型五年级暑假比例模型五年级暑假一半模型四年级春季等积变形三角形中面积与线段之间的关系.漫画释义第9级上超常体系教师版1\n课堂引入数学中有一种思维方式叫“化归策略”。著名数学家波利亚在《怎么解题》这部名著中是这样来论述化归的:“这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决了的问题,你能不能利用它？”“如果你不能解决你所提出的问题,可以先解决一个与之相关的问题。”所谓“化归”就是将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。本讲中的比例模型就是几何计算中提炼出来的一个行之有效的化归,让我们一起来学习它吧！教学目标1.掌握最基本的比例模型;2.会用两次或多次比例模型解决较复杂的几何问题;3.能够构造适当的辅助线将复杂的问题转化为简单的问题．经典精讲比例模型:(1)AEFBDCSADABC同底,面积比等于高之比．SEFBCE(2)2第9级上超常体系教师版\n第11讲ABDCSBDABD同高,面积比等于底之比．．SDCACD这个结论看起来很简单,但在许多和三角形面积比有关的题目中都能发挥巨大的作用,因为它把三角形的面积比转化为了线段的比．例题思路模块1:例1-2,简单比例模型模块2:例3-6,比例模型的两次或多次应用模块3:例7-8,隐含的比例模型例1如图,已知三角形ABC的面积为70,AF:ED=7:3,则三角形BCD的面积是多少？AEFBCD(学案对应:超常1)3【分析】同底,面积比等于高之比,因此S7030BCD7例2如图，BD长12厘米，DC长4厘米，D在线段BC上．⑴求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？⑵求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？第9级上超常体系教师版3\nABCD【分析】同高，面积比等于底之比，所以，(1)三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍．4(2)三角形ABC的面积是三角形ABD面积的倍.3例3(1)如图,S1,其中AB=3AD,AC=2AE,则S__.ADEABCABABDDEECC(2)如图,三角形ABC中,AB=5AD,AC=3AE,S1,则S__.ADEABCAADDEEBBCCADAE2(3)如图,,S1,则S__.ADEABCABAC5ADEBC(4)如图,AE=AC,AD=2AB,SADE1,则SABC__.4第9级上超常体系教师版\n第11讲DDEEAABBCCADAE3(5)如图,,SADE1,则SABC__.ABAC2EDABC(学案对应:超常2)【分析】(1)连接BE．∵AB=3AD,∴SABE3SADE313．又∵AC=2AE,∴S2S236．ABCABE11(2)连接BE.∵AEAC∴SS.ABEABC33111又∵ADAB∴SSS,∴S15S15.ADEABEABCABCADE55155525(3)上题的特殊情况．SABC224(4)连接CD,∵AE=AC,∴SADESACD1;111SS1∵AD=2AB,∴ABC2ACD22224(5)上题的特殊情况．SABC339围棋“定式”围棋中有定式的说法，在围棋中定式的定义为：在局部战斗中，用最稳妥的顺序，而且能经得住以后的检验，从而被固定下来的就是定式。围棋定式是百年来高手在下棋过程中总结出来具有优势的下法，在象棋残局和五子棋中也有很多定式，如单兵难破士象全等等，一旦走出这种定式则胜负已判（因为只要应对不出错，则胜负已定）。但在对弈过程中不能机械、简单地应用定式，要根据场合选择合适的定式，还要按棋理来变通下法。在解决数学问题中也是这样，当碰到难题、不熟悉的题目时，我们可以通过转化变为简单题、熟悉的题，从而使问题得以解决。但不能机械套用，要注意变化，即不要出现我们所说的“思维定式”。第9级上超常体系教师版5\n例4如图,D是BC上任意一点,请你说明:S:SS:SBDDC:1423AS2ES3S1S4BCD【分析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S1:S4BDDC:三角形ABE与三角形EBD同高，S:SEDEA:；三角形ACE与三角形CED同高，12S:SEDEA:，所以S:SS:S；再利用内项积等于外项积可得S:SS:S4312431423综上可得S:SS:SBDDC:.1423例5(1)如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，则:①AGGC:___SABGSABD②__③S___④____BGCSBCGSBCDAD123GBCbkbbkbbkb(2)已知:(k0,k1),求___,___.akaakaakaS1S3bS1S3(3),则___SSaSS2424SABDAOSACDOD(4)如下图：则，S()S()BCDABCDAOCB(学案对应:带号1)【分析】(1)①AGGC:SAGD:SDCG1:3．6第9级上超常体系教师版\n第11讲SAG1ABG②SGC3BCGS121ABG③，即，那么S6.BGCS3S3BCGBCGS121ABD④S363BCDbkbb(1k)bbkbb(1k)b(2),akaa(1k)aakaa(1k)ab(3)a(4)OC,OB例6如图,在三角形ABC中,H,I,J是AB的四等分点;D,E,F,G是BC的五等分点．已知SBDH1,那么每一个小三角形的面积为多少？AJIHBCDEFG(学案对应:超常3,带号2)【分析】若干个比例模型．11SDHE1;SHEI112;SEIF(112)2;SIFJ(1122)3;2211S(11223)3;S(112233)4;FJGJGA331S(1122334)4．GAC4例7如图,BC45,AC21,ABC被分成9个面积相等的小三角形,那么DIFK．BDEIHGJAFCK第9级上超常体系教师版7\n(学案对应:带号3)72【分析】由题意可知,CDBC:S:S7:9,所以CD4535BDBC10;又ACDABC992DIDC:SDIF:SDFC2:5,所以DIDC14,同样分析可得FK10,所以5DIFK141024．例8如图,四边形ABCD中,DEEFFC::3:2:1,BGGHAH::3:2:1,ADBC:1:2,已知四边形ABCD的面积等于4,则四边形EFHG的面积．FCFCEEDDAHGBAHGB(学案对应:超常4,带号4)【分析】运用三角形面积与底和高的关系解题．连接AC、AE、GC、GE,因为DEEFFC::3:2:1,BGGHAH::3:2:1,所以,1在ABC中,SBCGSABC,21在ACD中,SS,AEDACD21在AEG中,SS,AEHHEG21在CEG中,SS．CFGEFG21111因为SBCGSAEDSABCSACDSABCSACDSABCD2,2222所以SAGCESABCDSBCGSAED422．11又因为SAGCESAEHSHEGSCFGSEFGSHEGSHEGSEFGSEFG2233SHEGSEFGSEFGH,2234所以S2．EFGH23【铺垫】如图,E,F分别为四边形ABCD中AB的三等分点．G,H为CD的三等分点．则四边形EFHG的面积占总面积的几分之几？8第9级上超常体系教师版\n第11讲BBFFEEAACCDGHDGHSBE2SDH2S2BDEBDHBEDH【分析】连接BD,ED,BH．由比例模型可知:;．因此．在SAB3SCD3S3ABDBCDABCD1121四边形BEDH中,F,G为两边的中点,由一半模型可知,SSSSEFHGBEDHABCDABCD2233蚂蚁爬框一个长方形框架ABCD(从左上开始顺时针编ABCD),甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，甲蚂蚁沿边顺时针爬，乙蚂蚁沿边逆时针爬，结果在BC边距C点2厘米处的E点相遇。已知乙蚂蚁的速度和甲蚂蚁的速度之比为6:5，求此长方形框架的周长。答案：44厘米。知识点总结比例模型:(1)AEFBDCSABCAD同底,面积比等于高之比．SBCEEF(2)第9级上超常体系教师版9\nABDCSBDABD同高,面积比等于底之比．．SDCACD附加题111.如图,BEBC,CDAC,那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的．34ADBCE3321【分析】如上图,S=S=S=SADEAECABCABC44322.图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD=3AE,EF=3BF．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？AEFBCDSBD1【分析】ABD,ABC同高,所以面积的比为底的比,有ABD,SBC2ABC11所以SABD=SABC18090(平方厘米)．同理有22AE1FE3SABESABD9030(平方厘米),SAFESABE3022.5(平方厘AD3BE4米)．即三角形AEF的面积是22.5平方厘米．3.在右图中,已知CF2DF,DEEA,△BCF的面积为2,四边形BFDE的面积为4,求△ABE的面10第9级上超常体系教师版\n第11讲积.DFECAB11【分析】连接BD,根据CF2DF,SS21,因此SS413△BDF△BCF△ABE△BDE224.如图,S△ABC1,BC5BD,AC4EC,DGGSSE,AFFG．求SFGS．AFEGSBCD432111【分析】比例模型(同高)的反复应用．最后求得S的面积为S．△FGS△FGS5432210家庭作业1.如图,E在AD上,AD垂直BC,AD12厘米,DE3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？AEBCD【分析】因为AD垂直于BC,所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时,AD是三角形ABC的高,ED是三角形EBC的高,于是:三角形ABC的面积BC122BC6三角形EBC的面积BC32BC1.5所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍．2.如图,三角形ABC中,DC2BD,CE3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米,三角形ABC的面积是多少？第9级上超常体系教师版11\nAEBCD【分析】∵CE3AE,∴AC4AE,S4S;ADCADE33又∵DC2BD,∴BCDC,SS6S120（平方厘米）．ABCADCADE223.如图在△ABC中,DE,分别是ABAC,上的点,且ADAB:2:5,AEAC:4:7,S16平方厘△ADE米,求△ABC的面积．AADDEEBCBC【分析】连接BE,S:SADAB:2:5(24):(54),△ADE△ABES:SAEAC:4:7(45):(75),所以S:S(24):(75),设△ABE△ABC△ADE△ABCS8份,则S35份,S16平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方△ADE△ABC△ADE厘米,△ABC的面积是70平方厘米4.如图,三角形ABC被分成四个小三角形,其中三个小三角形的面积在图中已经标出,那么三角形ABC的总面积为多少？A123BC12【分析】,因此图形的总面积为1+2+3+6=12.365.图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？12第9级上超常体系教师版\n第11讲D6CE7AB7【分析】由比例可知,三角形ABE的面积最大．S(5267)21ABE766.等腰ABC中,ABAC12cm,BD、DE、EF、FG把它的面积5等分,求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长.CDFAGEBCD12.4【分析】设S5,则每个小三角形面积都是1.,因此CD=2.4cm.ABCAC512BESBDE13,因此BE=3cm．同理,可得DF=3.2cm;GE=AG=4.5cm;AF=6.4cm.ABSABD51127.如图,一个边长为120cm的等边三角形被分成了面积相等的五块,那么,AB=______cm.AABBCED【分析】如右上图,△ACE是△CDE面积的3倍,所以AC=3CD,AC=120÷4×3=90cm,易知AB=BC,所以AB=90÷2=45cm8.如图,四边形ABCD中,AE:EF:FB=1:2:4,CH:GH:GD=1:2:4,已知四边形EFHG的面积等于20,则四边形ABCD的面积=．BFEACDGH62220【分析】同例题分析．阴影部分占全部图形的．因此总面积为7076770第9级上超常体系教师版13\n超常班学案【超常班学案1】如图四边形土地的总面积是48平方米,三条线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米.79【分析】在同底的情况下,右边两个三角形的高之比为7:9,因此左边两个三角形的高之比也为7:9.同9底,高之比为面积比．因此最大的三角形的面积为(4879)18(平方米)97【超常班学案2】如图,三角形ABC被分成了甲、乙两部分,BDDC4,BE3,AE6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几？AAE乙E甲BCBDCD【分析】连接AD．∵BE3,AE6,11∴BEAB,SS．BDEABD33又∵BDDC4,1∴SABDSABC,211∴SSS,BDEABDABC361∴SS．甲乙5【超常班学案3】如图,在三角形ABC中,H,I,J是AB的四等分点;D,E,F,G是BC的五等分点．已知SABC1,那么每一个小三角形的面积为多少？14第9级上超常体系教师版\n第11讲AJIHBCDEFG【分析】法1:若干个比例模型．设SBDH1,则11S1;S112;S(112)2;S(1122)3;DHEHEIEIFIFJ2211S(11223)3;S(112233)4;FJGJGA331SGAC(1122334)4．4可认为三角形ABC共被分成1+1+2+2+3+3+4+4=20份．每部分的面积如下(从左到右):11113311,,,,,,,20201010202055法2:从右往左计算．111111113SAGCSABC,SAJG(1),SJFG(1)．依次类推,其他几个的554554552031111面积分别为,,,,2010102020【超常班学案4】如图,四边形ABCD中,E,F,G为AB的四等分点．H,I,J为CD的四等分点．其中两部分的面积在图中已经标出．则四边形ABCD的总面积为多少？GBEFA0.80.9DHICJ【分析】由铺垫可知道,相邻三部分的中间的面积为平均数,即相邻三部分的面积为等差数列．因此后两个小四边形的面积分别为1和1.1．总面积为0.8+0.9+1+1.1=3.8第9级上超常体系教师版15\n123班学案SABD3【超常123班学案1】如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知AO1,并且,SCBD5那么OC的长是多少？BACODSSSAOAO35ABDABOADO【分析】,所以,又AO1,所以CO．SSSOCCO53CBDBCOCDO【超常123班学案2】如图,在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点,并且OAB、ABC、BCD、CDE、DEF的面积都等于1,则DCF的面积等于．NFDBOMACE1113【分析】根据题意可知,ODDF:SOED:SDEF4:1,所以DFOD,SDCFSOCD3．4444【超常123班学案3】如图,AB60,且AB=24,BD=16,AC=8,而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积。请问:DE的长度是多少？FDDCCEEABAB【分析】延长AC,BM交于点Ｆ,则△FAB为等边三角形,连接BC.21122FC=24-8=16=2AC;DF=24-16=8.SS,SSSS,因为BCFABFCDFBCFABFABF3333916第9级上超常体系教师版\n第11讲22197SCDF94DF8SS,所以SSS．又因为,所以CDEABECCDEABFABF218SCDE77DE1418DE=14【超常123班学案4】如图,四边形ABCD中,DEEFFC::5:3:1,BGGHAH::5:3:1,已知四边形ABCD的面积等于9,则四边形EFHG的面积=．FCFCEEDDAHGBAHGB【分析】连接AE,GC,AC．SCE134SAG314ACEACG由比例模型可知:;SCD5319SAB5319ACDABC44所以SSS(SS)94．AECGACEACGACDABC9933再连接EG,同理可得S(SS)43EFGHAEGECG44第9级上超常体系教师版17