第11讲第十一讲比例模型知识站牌五年级秋季五年级秋季蝴蝶模型鸟头模型五年级暑假比例模型四年级春季一半模型四年级春季等积变形三角形中面积与线段之间的关系.漫画释义第9级上优秀A版教师版1\n课堂引入数学中有一种思维方式叫“化归策略”。著名数学家波利亚在《怎么解题》这部名著中是这样来论述化归的:“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决了的问题，你能不能利用它？”“如果你不能解决你所提出的问题，可以先解决一个与之相关的问题。”所谓“化归”就是将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。本讲中的比例模型就是几何计算中提炼出来的一个行之有效的化归，让我们一起来学习它吧！教学目标1.掌握最基本的比例模型；2.会用两次或多次比例模型解决较复杂的几何问题；3.能够构造适当的辅助线将复杂的问题转化为简单的问题．经典精讲比例模型:(1)AEFBDCSABCAD同底，面积比等于高之比．SBCEEF(2)2第9级上优秀A版教师版\n第11讲ABDCSBDABD同高，面积比等于底之比．．SDCACD这个结论看起来很简单，但在许多和三角形面积比有关的题目中都能发挥巨大的作用，因为它把三角形的面积比转化为了线段的比．例题思路模块1:例1-2，简单比例模型模块2:例3-5，比例模型的两次应用例1如图,已知三角形ABC的面积为70，AF:ED=7:3,则三角形BCD的面积是多少？AEFBCD(学案对应:学案1)3【分析】同底，面积比等于高之比，因此SBCD70307想想练练:如图所示，已知AD=8，S40，EF=2，则S___.ABCECBAEFBDC【分析】同底，面积比等于高之比．高之比为8:2=4:1.所以S404110ECB第9级上优秀A版教师版3\n【巩固】如图，在直角三角形ABC中，AD:AC=2:3,S60,则S____ABCBCDADBC【分析】同底，面积比等于高之比．高之比AC:CD=AC:(AC-AD)=3:1=60:20,所以S20BCD【拓展】如图，三角形ABC中BC的高AD长7厘米，三角形BCE中BC的高EF长3厘米．并且已知S70，则S____ABCBCEAEBDFC【分析】同底，面积比等于高之比．高之比AD:EF=7:3=70:30,所以S30BCE例2如图，BD长12厘米，DC长4厘米，D在线段BC上．⑴求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？⑵求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ABCD(学案对应:学案2)【分析】同高，面积比等于底之比，所以，(1)三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍．4(2)三角形ABC的面积是三角形ABD面积的倍.3想想练练:如图，三角形ABC中，BD:CD=4:3,已知S140，则S__ABCABD4第9级上优秀A版教师版\n第11讲ABCD4【分析】S14080ABD7例3(学生版中仅有1，2小题)(1)如图，S1，其中AB=3AD,AC=2AE，则S__.ADEABCABABDDEECC(2)如图，三角形ABC中，AB=5AD,AC=3AE，S1，则S__.ADEABCAADDEEBBCCADAE2(3)如图，，S1，则S__.ADEABCABAC5ADEBC(4)如图，AE=AC,AD=2AB,S1，则S__.ADEABC第9级上优秀A版教师版5\nDDEEAABBCCADAE3(5)如图，，SADE1，则SABC__.ABAC2EDABC(学案对应:学案3)【分析】(1)连接BE．∵AB=3AD，∴SABE3SADE313．又∵AC=2AE，∴S2S236．ABCABE11(2)连接BE.∵AEAC∴SS.ABEABC33111又∵ADAB∴SSS，∴S15S15.ADEABEABCABCADE55155525(3)上题的特殊情况．SABC224(4)连接CD，∵AE=AC,∴SADESACD1;111SS1∵AD=2AB,∴ABC2ACD22224S(5)上题的特殊情况．ABC339想想练练:如图,B,C,D在一条直线上，BC=3CD;AC=3CE，且SABC18，则SCDE__.AAEEBCDBCD1S186【分析】如右图，连接BE，三角形ABE与三角形BCE同高．AC:CE=3:1,所以BCE3；6第9级上优秀A版教师版\n第11讲1S62三角形BCE与三角形CDE同高，BC:CD=3:1，所以CDE3.【拓展】如图，AC=2CE,CD=3BC,已知SABC12，则SCDE___ABABCCEEDD【分析】连接AD，因为三角形ABC与三角形ACD同高，底之比CD:BC=3:1，所以S3S31236；三角形CDE与三角形ACD同高，底之比CE:AC=1:2,所以ACDABC11SS3618CDEACD22围棋“定式”围棋中有定式的说法，在围棋中定式的定义为：在局部战斗中，用最稳妥的顺序，而且能经得住以后的检验，从而被固定下来的就是定式。围棋定式是百年来高手在下棋过程中总结出来具有优势的下法，在象棋残局和五子棋中也有很多定式，如单兵难破士象全等等，一旦走出这种定式则胜负已判（因为只要应对不出错，则胜负已定）。但在对弈过程中不能机械、简单地应用定式，要根据场合选择合适的定式，还要按棋理来变通下法。在解决数学问题中也是这样，当碰到难题、不熟悉的题目时，我们可以通过转化变为简单题、熟悉的题，从而使问题得以解决。但不能机械套用，要注意变化，即不要出现我们所说的“思维定式”。例4如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，则:⑴AGGC:___⑵SSABGABD__(3)S___(4)____BGCSSBCGBCDAD123GBC(学案对应:学案4)【分析】(1)AGGC:S:S1:3．AGDDCG第9级上优秀A版教师版7\nSAG1ABG(2)SGC3BCGS121ABG(3)，即，那么S6.BGCS3S3BCGBCGS121ABD(4)S363BCDbkbbkbbkb【铺垫】已知:(k0,k1),求___,___.akaakaakabkbb(1k)bbkbb(1k)b【分析】，akaa(1k)aakaa(1k)aS1S3bS1S3【铺垫】，则___SSaSS2424b【分析】a【拓展】如图，在四边形ABCD中，E为BD,AC的交点，已知EC=3AE，S5，则S__ABDBCDBAEDC【分析】S3S3515BCDABD例5如图，D是BC上任意一点，请你说明:S1:S4S2:S3BDDC:AS2ES3S1S4BCD【分析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S:SBDDC:14三角形ABE与三角形EBD同高，S:SEDEA:；三角形ACE与三角形CED同高，12S4:S3EDEA:，所以S1:S2S4:S3；再利用内项积等于外项积可得S1:S4S2:S3综上可得S1:S4S2:S3BDDC:.8第9级上优秀A版教师版\n第11讲蚂蚁爬框一个长方形框架ABCD(从左上开始顺时针编ABCD),甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，甲蚂蚁沿边顺时针爬，乙蚂蚁沿边逆时针爬，结果在BC边距C点2厘米处的E点相遇。已知乙蚂蚁的速度和甲蚂蚁的速度之比为6:5，求此长方形框架的周长。答案：44厘米。杯赛提高如图，在三角形ABC中，H,I,J是AB的四等分点；D,E,F,G是BC的五等分点．已知S1，BDH那么每一个小三角形的面积为多少？AJIHBCDEFG1【分析】若干个比例模型．SDHE1；SHEI112；SEIF(112)2；2111SIFJ(1122)3；SFJG(11223)3；SJGA(112233)4；2331S(1122334)4．GAC4附加题1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD=3AE,EF=3BF．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？第9级上优秀A版教师版9\nAEFBCDSBD1【分析】ABD，ABC同高，所以面积的比为底的比，有ABD,SBC2ABC11AE1所以SABD=SABC18090(平方厘米)．同理有SABESABD903022AD3FE3(平方厘米)，SS3022.5(平方厘米)．即三角形AEF的面积是22.5AFEABEBE4平方厘米．2.如图，S1，BC5BD，AC4EC，DGGSSE，AFFG．求S．△ABCFGSAFEGSBCD432111【分析】比例模型(同高)的反复应用．最后求得S△FGS的面积为S△FGS．54322103.等腰ABC中,ABAC12cm,BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长.CDFAGEBCD12.4【分析】设S5，则每个小三角形面积都是1.，因此CD=2.4cm.ABCAC512BESBDE13，因此BE=3cm．同理，可得DF=3.2cm;GE=AG=4.5cm;AF=6.4cm.ABS5112ABD知识点总结10第9级上优秀A版教师版\n第11讲比例模型:(1)AEFBDCSADABC同底，面积比等于高之比．SEFBCE(2)ABDCSBDABD同高，面积比等于底之比．．SDCACD家庭作业1.如图，E在AD上，AD垂直BC，AD12厘米，DE3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？AEBCD【分析】因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是:三角形ABC的面积BC122BC6三角形EBC的面积BC32BC1.5所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍．2.如图，在三角形ABC中，D是AB上的一点，已知AD:BD=5:4,且知道S90，则S___ABCBCD第9级上优秀A版教师版11\nCABD【分析】三角形BCD与三角形ABC在高相同的情况下，底之比为BD:AB=4:9=40:90,所以S40BCD3.如图,在△ABC中，DE,分别是ABAC,上的点，且ADAB:2:5，AEAC:4:7，S△ADE16平方厘米，求△ABC的面积．AADDEEBCBC【分析】连接BE，S:SADAB:2:5(24):(54)，△ADE△ABES:SAEAC:4:7(45):(75)，所以S:S(24):(75)，设△ABE△ABC△ADE△ABCS△ADE8份，则S△ABC35份，S△ADE16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米4.图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？D6CE7AB7【分析】由比例可知，三角形ABE的面积最大．SABE(5267)21765.如图，三角形ABC被分成四个小三角形，其中三个小三角形的面积在图中已经标出，那么三角形ABC的总面积为多少？A123BC12第9级上优秀A版教师版\n第11讲12【分析】，因此图形的总面积为1+2+3+6=12.36116.如图，BEBC，CDAC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的．34ADBCE3321【分析】如上图，S=S=S=SADEAECABCABC4432A版学案【学案1】如图，三角形ABC中BC的高AD长7厘米，三角形BCE中BC的高EF长3厘米．并且已知SABC70，则SBCE____AEBCDF2【分析】同底，面积比等于高之比．高之比AD:EF=7:3=70:30,所以S30cmBCE【学案2】如图，已知AB∥CD,E,F,H,I在CD上，G,J在AB上，并且EF:HI=3:5，S30，EFG则S___HIJAGJBCDEFHI第9级上优秀A版教师版13\n5【分析】平行线间距离相等，因此这两个三角形的高相等．则面积比等于底之比．S3050HIJ3【学案3】如图:AD=4AB,AE=3AC，已知SABC2，则SADE___AABBCCDEDE【分析】连接CD，三角形ABC与三角形ACD同高，底之比AD:AB=4:1，所以SACD4SABC428；三角形ACD与三角形ADE同高，底之比AE:AC=3:1，所以SADE3SACD3824.【学案4】如下图，四边形ABCD被AC,BD分成四个小三角形，其中三部分的面积在图中已标出．则?处的面积应该是____．D?4EC1A2B【分析】SCDE412214第9级上优秀A版教师版