第12讲第十二讲分组与配对知识站牌五年级春季五年级秋季从反面情况考虑几何计数进阶五年级暑假分组与配对四年级春季统筹与最优化四年级秋季等差数列进阶高斯求和；分组配对思想；计算，数论，计数等问题中的分组与配对漫画释义第9级上优秀A版教师版1\n课堂引入我国历史上有许多以弱胜强的著名战例,齐魏马陵之战就是其中之一．公元前344年,魏国大举进攻韩国,齐王派田忌和孙膑率兵救援韩国．孙膑并不直接出兵韩国,却采取了“围魏救赵”的策略,驱军直逼魏国的都城．魏将庞涓不得不回师迎战齐军．魏军一路追击齐军,庞涓看见齐军宿营地的灶一天天在减少,根据灶的数目可以推算出齐军的数目,断定齐军已经严重减员．便轻骑冒进,猛打穷追．殊不知这原来是孙膑的“增兵减灶”之计,结果庞涓中了齐军的埋伏,全军覆灭．如果不是孙膑制造假象设下陷阱,庞涓的思想是正确的．例如若一口灶供10人造饭,齐军有3万灶,便可推知齐军有30万人．生活中,我们习惯将牙刷与牙膏放在一起、将菜刀和砧板放在一起、将茶具和茶叶放在一起,当我们要使用这些东西的时候就会非常方便；而在数学中,我们习惯把1和9加到一起,把3和7加到一起,把2和5先相乘,那么计算起来也会非常便捷．其实上面这些例子体现了我们数学中一个非常重要的思想——分组与配对．之前学习等差数列的时候,我们曾经介绍过高斯将1至100按照（1,100）,（2,99）,…,（50,51）分成50组,每组相加都为101,再通过50×101=5050来得出1＋2＋…＋100的和,高斯其实就是利用了分组配对的思想快速解决了复杂的计算．教学目标1.掌握分组与配对的思想2.灵活运用分组与配对,解决计算,计数,应用题等问题．经典精讲1.计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千……的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算的速度以及准确度．2.在一些数论或者组合问题中,将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清晰．例题思路模块1：例1-3：计算中的分组配对．模块2：例4：计数中的分组配对．模块3：例5：应用题中的分组配对．例12第9级上优秀A版教师版\n第12讲(1)计算：(1+3+5+7+…+21)-(2+4+6+…+20)(2)计算：20+19-18-17+16+15-14-13+…+4+3-2-1(学案对应：学案1)(121)11(220)102【分析】(1)法1：原式=11111011(1110)1122法2：原式=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+…+(21-20)=11×1=11(2)法1：原式=(20+19-18-17)+(16+15-14-13)+…+(4+3-2-1)=5×4=20法2：原式=20+(19-18-17+16)+(15-14-13+12)+…+4）+(3-2-1+0)=20+0+0+…+0=20想想练练：13467910121366676970【分析】可以把这个数列拆分为两个数列14710136770和369126669,对它们分别求和：原式（170）242（369）2321680.【铺垫】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？(1)3456767778(2)13579799(3)471013404346【分析】⑴算式中的等差数列一共有76项,所以：3456767778（378）7623078⑵算式中的等差数列一共有50项,所以：13579799(199)5022500⑶算式中的等差数列一共有15项,所以：471013404346（446）152375【巩固】计算：100+99+98+…+51-50-…-3-2-1【分析】原式=(100-50)+(99-49)+(98-48)+…+(51-1)=50×50=2500例2下列数阵中有100个数,它们的和是多少？1112131920121314202113141521222021222829(学案对应：学案2)【分析】法1：用基本公式算所给数列的和,可以一行行算,或者一列列算,然后把所得的和相加．（比较慢,这里不再写具体过程）法2：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列,利用等差数列求和计算．首项111220（1120）102155,末项202129（2029）102245或者155（101）10245．这100个数之和（155245）1022000．按列算同上．法3：从右上到左下的对角线上的数都是20,沿此对角线对折,上下重叠的两数之和都是40,所以这100个数的平均数是20,这100个数之和201002000．【拓展】如下图所示的表中有55个数,那么它们的和等于多少？第9级上优秀A版教师版3\n171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965【分析】法1：用基本公式算所给数列的和,可以一行行算,或者一列列算,然后把所得的和相加．（比较慢,这里不写具体过程）法2：先算出1到65的自然数和,再减去数列6,12,18,,60的和：（165）652（660）10221453301815法3：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列,利用等差数列和中间项项数．⑴第6列作为中间项,求和再乘以项数：（3132333435）111815⑵第3行为中间数列,求和再乘以项数：（39152127333945515763）51815法4：分组与配对．(1,65),(2,64),…,(32,34),(33),每组的平均数均为33,因此和33551815．高斯的恩人在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要。当舅舅去世后，高斯不无伤感地说:“舅舅去世使我们失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。例3将自然数1,2,3,…,100依次无间隔地写成一个多位数：12345…99100,求这个多位数的所有数字之和．(学案对应：学案3)【分析】求数字和时,凑“9”是个关键的想法．分组如下：(1,98),(2,97),(3,96),…,(49,50),(99),(100)．这样前50组每组的数字和均为18,最后一组和为1,数字之和为50×18+1=901【拓展】将自然数1,2,3,…,2013依次无间隔地写成一个多位数：12345…20122013,求这个多位数的所有数字之和.【分析】求数字和时,凑“9”是个关键的想法．此题中可将数分成两部分,1-1999和2000-2013.1-1999分组如下：(1,1998),(2,1997),(3,1996),…,(999,1000),(1999)．数字和为28×1000=280002000-2013可枚举或分组计算：数字和为14×2+1+2+3+…+9+1+2+3+4=83.综上,所有数字和为28000+83=280834第9级上优秀A版教师版\n第12讲例4从1,2,3,4,5,6这6个不同的数中选出1个或若干个数,使选出的所有数的和为3的倍数．共有多少种不同的选法．【分析】1+2+3+4+5+6=21,21是3的倍数．因此选出和为3的方法与选出和为18的方法相同；和为6的方法与和为15的方法相同；和为9的选法与和为12的方法相同．(1)和为3的选法有1+2,3共2种；(2)和为6的选法有1+2+3,1+5,2+4,6共4种；(3)和为9的选法有1+2+6,1+3+5,2+3+4,3+6,4+5共5种；(4)和为21的选法有1种．共2×(2+4+5)+1=23种不同的选法．【铺垫】用30枚2分的硬币和8枚5分硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？【分析】30×2+8×5=100分．最多能构成100分的．在1到100中,若不能构成a分,则同样不能构成(100-a)分．因此只需要考虑50以内不能构成的币值即可．显然1,3两种币值不能构成．50以内的偶数均可构成．而这些数加5后可构成5,7,9,…,49中间的所有奇数．因此50以内不能构成的币值为1,3分．50以上不能构成的币值为100-1=99和100-3=97分．共有4种不能构成的币值．想想练练：从1,2,3,4,5,6中选取若干个数（可以只选取一个）,使得它们的和是3的倍数,但不是5的倍数．那么共有种不同的选取方法．【分析】1+2+3+4+5+6=21,21是3的倍数．因此选出和为3的方法与选出和为18的方法相同；和为6的方法与和为15的方法相同；和为9的选法与和为12的方法相同．(1)和为3的选法有1+2,3共2种；(2)和为6的选法有1+2+3,1+5,2+4,6共4种；(3)和为9的选法有1+2+6,1+3+5,2+3+4,3+6,4+5共5种；(4)和为21的选法有1种．但要求不是5的倍数．因此共2×(2+5)+4+1=19种不同的选法．例5鸡,兔共有脚44只,若将鸡,兔互换,则共有脚52只,问鸡,兔各有多少只？(学案对应：学案4)【分析】由题意得：……44只……52只．上下两行中鸡的只数等于兔的只数,因此若将上下对应的鸡和兔当成一组,这样就成了每组中有6只脚,而总数为44+52=96只脚．因此共有96÷6=16组,即原来鸡兔共16只．之后可以用鸡兔同笼算出鸡有10只,兔有6只．第9级上优秀A版教师版5\n想想练练：100个人刚好种300棵树,1个大人种10棵树,4个小孩种5棵树,那么大人有多少个,小孩有多少个？【分析】100人种300棵树,平均每人种3棵．将1个大人和4个小孩当成一组,这样5人种15棵树,100÷5=20组,因此大人有20×1=20人,小孩有100-20=80人．高斯智断瓶中线卡尔•弗利德里希•高斯（1777－1855年）是德国19世纪著名的数学家、物理学家。高斯不到20岁时，在许多学科上就已取得了不小的成就。对于高斯接二连三的成功，邻居的几个小伙子很不服气，决心要为难他一下。一个阳光明媚的中午，小伙子们聚到一起冥思苦想，终于想出了一道难题。他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉线的另一头也系在瓶塞上。准备好以后，他们小心翼翼地捧着瓶子，在大街上拦住高斯，用挑衅的口吻说道，“你一天到晚捧着书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把瓶中的棉线弄断吗？”你知道高斯是怎么弄到瓶中线吗？答案：高斯无意地看到明媚的阳光，又望了望那个瓶子，从口袋里拿出一面放大镜，对着瓶子里的棉线照着，一分钟、两分钟.人们好奇地睁大了眼，随着钱币“铛”的一声掉落瓶底，大家发现棉线被烧断了。杯赛提高分母为1996的所有最简真分数之和是多少？a1996a【分析】当为最简分数时,也是最简分数．而这两个数之和为1.因此此题变为先求出19961996分子与1996互质的数有多少个,再除以2即可．1996含有的质因数有2和499.与1996互质的数为奇数,且不能是499和499×3,因此共有1996÷2-2=996个．所以此题结果为996÷2=498.附加题1.计算：(1)1000999-998-997996995-994-993108107-106-105104103-102-101(2)（1351989-2）（461988）222222222222(3)1009998979695949343216第9级上优秀A版教师版\n第12讲22222222(4)1005099-49984851-1【分析】(1)原式=（1000999-998-997）（996995-994-993）（104103-102-101）900(2（)1351989-2）（461988）1（3-2）（5-4）（1989-1988）11（1989-1）21994995222222222222(3)原式=100999897969594934321=100999897969594934321=4×25=100(4)法1：直接配公式2222222222原式=100999851504912504911001012015051101=2=338350-85850=25250066法2：配对思想22222222原式=1005099-49984851-1=100505099+495098485051150=(10099981)50505050252500法3：配对思想2222222222原式=10099198-297351-4950=100298100961009410021002500=(1009896942)1002500=255000-2500=2525002222222.计算：10099989721222222【分析】原式=(10099)(9897)(21)=(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)=100+99+98+97+…+2+1=5050baba3.定义如下运算：ab,ab=,那么baba(12)(34)(56)(20112012)(12)(34)(56)(20112012)=___baba【分析】由题中定义的运算我们可以得到(ab)(ab)1,那么根据乘法可以交换顺baba序,我们将所要求的算式中形如(ab),(ab)的配成一对,先相乘,可以得到原式=(12)(12)(34)(34)(56)(56)(20112012)(20112012)每个中括号中的结果都是1,那么原式的结果也为1．4.由数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成一切可能的没有重复数字的四位数,这些四位数的和是多少？【分析】9个数字共可构成9×8×7×6=3024个不同的四位数．当存在符合条件的四位数abcd时,也一定存在另一符合条件的四位数(10a)(10b)(10c)(10d),而这两个数之和为11110,因此所有符合条件的数之和为3024÷2×11110=16798320第9级上优秀A版教师版7\n5.有四人的体重都是整千克数,他们两两合称体重,共称了五次,称得的千克数分别99、113、125、130、144.其中有两人没有一起称过,那么这两人中较重的那个人的体重是多少千克？【分析】本题考查配对思想.设四个人的体重为abcd,,,不妨设abcd,则(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc)注意到99144113130243,由于四人两两称重最多称出6个体重（前提是4人体重两两不同）,于是第六次称重的结果为243125118ab144ac130,还剩ad与bc的取值,由前面的方程组得,ad31为奇数,所以bd113cd99ad125,解得a78,d47,从而b66,c52,两人没一起称过,显然是和为118的两人,这只能是bc,,所以,这两人中较重的那人的体重是66千克.6.将自然数1,2,3,…,369依次无间隔地写成一个多位数：12345…368369,求这个多位数的所有数字之和.【分析】求数字和时,凑“9”是个关键的想法．此题中可将数分成两部分,1—29单独计算,分组如下(1,28),(2,27),(3,26),…,(14,15),(29)；30--369分组如下：(30,369),(31,368),(32,367),…,(199,200).这样所有数字之和为15×11+21×170=3735知识点总结1.计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千……的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算的速度以及准确度．2.在一些数论或者组合问题中,将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清晰．家庭作业1.计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+16+17-18【分析】原式=(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+…+(16+17-18)=0+3+6+9+12+15=452.下列数阵中有25个数,它们的和是多少？2468104681012681012148101214161012141618【分析】从右上到左下的对角线上的数都是10,沿此对角线对折,上下重叠的两数之和都是20,所以这25个数的平均数是10,这100个数之和1025250．8第9级上优秀A版教师版\n第12讲3.将自然数1,2,3,…,1000依次无间隔地写成一个多位数：12345…9991000,求这个多位数的所有数字之和．【分析】求数字和时,凑“9”是个关键的想法．分组如下：(1,998),(2,997),(3,996),…,(499,500),(999),(1000)．这样前500组每组的数字和均为27,最后一组和为1,数字之和为500×27+1=13501.4.从1,2,3,4,5,6,7这7个不同的数中选出1个或若干个数,使选出的所有数的和为7的倍数．共有多少种不同的选法．【分析】1+2+3+4+5+6+7=28,28是7的倍数．因此若选出a个数是7的倍数,则剩下的7-a个数也必为7的倍数．可以从选出的数的个数考虑：1(或6)个数：7,共1种；2(或5)个数：1+6,2+5,3+4,共3种；3(或4)个数：1+2+4,1+6+7,2+5+7,3+4+7,3+5+6,共5种；7个数：1+2+3+4+5+6+7,共1种．因此共2(1+3+5)+1=19种．注：也可从和为7(21)当一组．和为14当一组．和为28当一组．5.一个中学生一顿可以吃3个馒头,三个幼儿一顿吃1个馒头,现有中学生和幼儿共100人,一顿正好吃了100个馒头.问幼儿有几人?【分析】由一个中学生一顿可以吃3个馒头,三个幼儿一顿吃1个馒头可以得出：4人(一个中学生和三个幼儿)共吃4个馒头.把4个人看作一组,100÷4=25(组),每组里有一个中学生、三个幼儿,所以中学生有25人,幼儿有25×3=75人.6.100个连续自然数的和是8450,取其中第1个,第3个,第5个,…,第99个(按从小到大的顺序取),再把这50个数相加,和是多少？【分析】连续自然数中相邻两数差为1,100个数可以分成50组,第2,4,6,…,100个数之和比第1,3,5,…,99个数之和大50,由和差问题可知,第奇数个数之和为(8450-50)÷2=4200A版学案【学案1】(1)计算：(1+3+5+7+…+101)-(2+4+6+…+100)(2)计算：100+99-98-97+96+95-94-93+…+4+3-2-1(1101)51(2100)502【分析】(1)法1：原式=51515051(5150)5122法2：原式=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+…+(101-100)=51×1=51(2)法1：原式=(100+99-98-97)+(96+95-94-93)+…+(4+3-2-1)=25×4=100法2：原式=100+(99-98-97+96)+(95-94-93+92)+…+4）+(3-2-1+0)=100+0+0+…+0=100【学案2】下列数阵中有100个数,它们的和是多少？123910234101134511121011121819【分析】从右上到左下的对角线上的数都是10,沿此对角线对折,上下重叠的两数之和都是20,所以这第9级上优秀A版教师版9\n100个数的平均数是10,这100个数之和101001000．【学案3】将自然数1,2,3,…,80依次无间隔地写成一个多位数：12345…7980,求这个多位数的所有数字之和．【分析】此题可凑79.分组如下：(1,78),(2,77),(3,76),…,(39,40),(79),(80).所有数字之和为16×40+8=648【学案4】一百个和尚刚好喝一百碗粥,一个大和尚喝4碗粥,四个小和尚喝1碗粥,那么大和尚有多少个,小和尚有多少个？【分析】100人喝100碗粥,平均每人喝1碗．将1个大和尚和4个小和尚当成一组,这样5人喝5碗粥,100÷5=20组,因此大和尚有20×1=20人,小和尚有100-20=80人．10第9级上优秀A版教师版