第13讲第十三讲容斥原理知识站牌五年级秋季五年级秋季几何计数进阶排列组合进阶五年级暑假容斥原理五年级暑假枚举法进阶四年级春季排列组合初步两量容斥原理，三量容斥原理，容斥原理中的最值问题漫画释义第9级上超常体系教师版1课堂引入容斥，从字面上理解就是“包容”与“排斥”。为了计算几种物体的总个数，首先计算所有包容了的物体个数，但包含多了（出现重叠对象），又要排斥某些物体，当排斥多了，又要包容若干物体……，如此继续下去，最终就可以得到我们所要求的物体个数。容斥原理所体现的这种数学思想就是一种“多退少补，逐步淘汰”的取舍思想。也许这样说比较枯燥，如果用图形和符号来研究这些问题就比较直观了，那么我们就用图形和符号这两个“拐杖”来学习容斥原理，借用教育家苏荷姆林斯基的一句名言来说：“用直观来照亮我们认识的路途！”教学目标1.熟练掌握两量容斥原理并处理两量最值问题；2.会利用容斥原理处理三量重叠及最值问题；3.会利用方程解决较复杂的容斥问题．经典精讲容斥原理容斥原理I：两量重叠问题ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且"的意思．)图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．1.先包含——AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2.再排除——ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去．容斥原理II：三量重叠问题ABCABCABBCACABC图示如下：2第9级上超常体系教师版第13讲AB图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．BCCA1．先包含——ABCABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次．2．再排除——ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了．3．再包含——ABCABBCACABC例题思路模块1：两量的容斥例1-3例1：两量容斥例2：容斥最值(利用线段图)例3：容斥最值(需要判断)模块2：三量容斥例4：截长度例5：开关灯例6：容斥最值(浇花，答题)模块3：容斥综合例7：普通方程解容斥例8：不定方程解容斥例1在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?100100【分析】1～100，2的倍数有=50，3的倍数有=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍23100数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有=16个．于是，既不是2的倍数，6第9级上超常体系教师版3又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支.例2(1)有100种食品.其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是____、_____.(2)某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班三项运动都会的人数的最大值和最小值分别是____、_____.(3)某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，那么，这个班四项运动都会的人数的最大值和最小值分别是____、_____.(4)在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，那么，恰好被3个人浇过的花最少有____盆.234(5)60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有34522人，那么，这三项运动都不会的最多有___人.(6)甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么，甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有____个.【分析】最大值不能超过几类中的最小值；而求最小值，则应该让次数平均分配．(1)最大值就是含铁的有43种.根据容斥原理最小值68+43-100=11，最小值可以用下图表示：10068钙1132铁(2)最大值为27.三项都会的最少，那么两项都会的应该最多．因此可以先让所有人都会两项．剩下的就是三项都会的最小值．27+33+40-48×2=4(3)同上分析：最大值为27，最小值为40+38+35+27-46×3=140-138=2人(4)为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有1003070盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45506070215盆．234(5)6040;6045;6048.此题中有22人三项全会，要让都不会的最多，那么会345两项的就应该最多．(40+45+48-22×3)÷2=33…1．因此除了22人外，至少还有34人会2项或1项运动．都不会的最多有60-22-34=4人．(6)考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．4第9级上超常体系教师版第13讲例3(1)参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有11人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛．(2)某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．(3)参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有21人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛．【分析】此类问题算出最值后，一定要检验是否能办到．原因可见(3)小题．(1)由于每人最多参加2科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加2科，所以理论上至少有(8911)214人参加竞赛，1495，14113，参加语文和英语竞赛的有5人，参加语文和数学竞赛的有3人，参加数学和英语竞赛的有6人，符合题意，因此至少有14人参加竞赛(2)根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071人次．由于每人最多参加2科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加2科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351，所以至多有35人参加2科，此时还有1人参加1科．那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215人，参加语文、英语两科的共有281513人，参加数学、英语两科的共有20137人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语2科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加2科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）(3)由于每人最多参加2科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加2科，所以理论上至少有(8921)219人参加竞赛，但参加英语竞赛的有21人，因此至少应该有21人参加竞赛.第9级上超常体系教师版5棣莫弗的传奇容斥原理有一个有趣的历史，该原理最早的数学表述是有法国数学家棣莫弗在他关于概率论的教材——《机会的学说》中提出的。棣莫弗1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱．棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响．随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义．那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是惠更斯关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》一书，启发了他的灵感写出了代表作《机会的学说》。然而尽管棣莫弗在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自从到了英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．棣莫弗在87岁时患上了嗜眠症，每天睡觉长达20小时。当达到24小时长睡不起时，他便在贫寒中离开了人世．关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了.例4一根1001厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔7厘米画一个刻度，第二次每隔11厘米画一个刻度，第三次每隔13厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多少段?(学案对应：超常1，带号1)【分析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、1000、1001这1001个自然数中7或11或13的倍数的个数，为：1001100110011001100110011001281，故木棒上共有71113711713111371113281个刻度，可以截出281段．(注：此题中1001恰好是7，11，13的倍数，因此最后一个刻度不需要截．若是1002，那么刻度还是281个，但截成的是282段．)例5有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？6第9级上超常体系教师版第13讲ADB23GEFC5(学案对应：超常2，带号2)【分析】三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30的倍数的数．1～2000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有666个，5的倍数有400个，6的倍数有333个，10的倍数有200个，15的倍数有133个，30的倍数有66个，亮着的灯一共有2000－1000－666－400+2×（333+200+133）－4×66=1002盏．【铺垫】写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？【分析】如图，拉0次的亮，拉1次的灭，拉2次的亮，可见亮灯分两部分，拉0次部分为：100100100100100()53盏，拉2次的灯为6盏．从而亮灯数53+6=59盏3515153的倍数5的倍数灭亮灭亮例6在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？(学案对应：超常3，带号3)【分析】法1：首先，应该让尽量多的花被浇了4次.那么有30盆花被浇了4次.这时还剩下70盆花，乙还要浇45盆、丙还要浇50盆，丁还要浇60盆.然后，要让尽量多的花被浇3次，那么，有45盆花被浇了3次.这时还剩下25盆花没浇，丙还要浇5盆，丁还要浇15盆.如果丙、丁浇的都不是一盆花，那么有20盆花被浇了1次，还有5盆花没有浇.拿出3盆被浇了3次的花，和这5盆没被浇过的花放在一起，那么，可以让其中7盆花浇一次，1盆浇两次.那么最多有27盆花恰好被浇了1次.法2：100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇1次的花多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇2.21次，说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次，所以本题答案为27盆．法3：设被浇过1次，2次，3次，4次的花盆数量分别为啊，a，b，c，d.那么：abcd100,a2b3c4d30758090275b2c3d175.bcd100a，所以要让a尽可能大，那么bcd尽量小.b2c3d175，于是d第9级上超常体系教师版7尽可能大.d30,d30b2c85.那么要让bc尽量小，c要尽量大.于是c42,b1.bcd1423073，a27.即恰好被1人浇过的花最多有27盆.例7五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，每人至少参加一项．其中24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10人。请问：参加文艺小组的学生有多少人？数24语2010-xxxx文7x(学案对应：超常4)【分析】这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。因而必须先求出这个三项活动都参加人数。再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。设三项活动都参加人数为x，根据题意得参加文艺小组的人数为7x，既参加数学小组又参加文艺小组的人数为7x÷3.5=2x，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为2x。如图可得464x242010，x3，所以：参加文艺小组的学生有7x=21人。【拓展】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，⑴数学成绩优秀的有几个学生？⑵有几个人既会游泳，又会滑冰？【分析】⑴有6个数学不及格，那么及格的有：25619(人)，即最多不会超过19人会这三项运动之一．而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：（17138）219(人)至少会这三项运动之一．于是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的．⑵上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，全班有19172(人)既会游泳又会滑冰．【拓展】六年级(2)班参加一次智力竞赛，共a、b、c三题.每题或者得满分或者得0分，其中题a满分20分，题b、c满分各是25分.竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两题的有15人.答对题a与答对题b的人数之和为29；答对题a与答对题c的人数之和为25；答对题b与答对题c的人数之和为20，那么这个班的平均成绩是____分.【分析】设答对a题的有x人，答对b题的有y人，答对c题的有z人，根据已知条件可列出方程xy29x17组xz25．解得y12．根据容斥原理，这个班的总人数为：（17＋12＋8）－15－2=20.yz20z8所以，这个班的平均分为：（17×20＋12×25＋8×25）÷20=42.8第9级上超常体系教师版第13讲例8在某次大赛的决赛中只有三道题.已知：（1）某校25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；（2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人；（4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是_____．(学案对应：带号4)【分析】如下设未知数．其中阴影部分的总面积为a+b-1根据题意可列出如下式子：ax2(bx)(ab)(ab1)abx25化简后得：2bax0(1)3b3ax26(2)因为x0,且所有数均为整数，由(2)式可知ab8a6两式相减得：b4a26，整数解只有b2因此只解出第二题的学生人数是6人.第9级上超常体系教师版9消失的一块钱有3个人去投宿,一晚30元.三个人每人掏了10元凑够30元交给了老板.后来老板说今天优惠只要25元就够了,拿出5元让服务生退还给他们，服务生偷偷藏起了2元,然后,把剩下的3元钱分给了那三个人,每人分到1元.这样，一开始每人掏了10元,现在又退回1元,也就是10-1=9,每人只花了9元钱，3个人每人9元，3×9=27元，再加服务生藏起的2元共29元，还有1元钱去了那里？答案：这道题用了人的一种思维盲点，这种逻辑算法是本身错误的。你可以这样想的，开始的时候那30块钱都被老板拿走了，这样每个人都花了10块钱。当老板发现打折后，他给了服务员5块钱，这样现在老板就有25，服务员有5块。当服务员拿出2块钱，给那三个人每人1块后，这30块钱就变成3部分，老板25，服务员2块，那三个人一共3块。现在这三个人的确是每人花了9块，一共27块，可是这27块不正是老板和服务员手中钱的总数吗，所以应该是他们花的那27块钱和他们手中有的那3块构成了那30块钱。知识点总结容斥原理I：两量重叠问题ABABAB容斥原理II：三量重叠问题ABCABCABBCACABC附加题1.以105为分母的最简真分数共有多少个？【分析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个.2.分母是385的最简真分数有多少个？【分析】385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.3.在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子10第9级上超常体系教师版第13讲的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？①有____人摘了山莓；②有____人同时摘了三种水果；③有___人只摘了山莓；④有____人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有____人只摘了草莓.山莓AEDGBFC草莓李子【分析】如图，根据题意有A2CGC3BE4ADC50D11CDFG60ABE40代入求解：A26，B9，C13，D11，E5，F20，G16所以①有ADEG261151658(人)摘了山莓；②有16人同时摘了三种水果；③有26人只摘了山莓；④有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有9人只摘了草莓.4.五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？【分析】参加3个小组的人数是一个不为0的偶数，如果该数大于或等于4，那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意矛盾，所以参加3个小组的人数为2．仅参加语文与自然小组的人数为10，于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数一共是18人，剩下的10人是仅参加数学与语文以及仅参加数学的．由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人．家庭作业1.在1至100这100个自然数中，既不能被5整除也不能被9整除的数共有___个．100100100【分析】能被5或9整除的数共有2011229个．不能被5或9整除的5945数共100-29=71个．2.甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?第9级上超常体系教师版11【分析】78+68+58-100×2=4盆．3.参加语文竞赛的有5人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有21人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛．【分析】由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有(5921)217.5人参加竞赛，但参加英语竞赛的有21人，因此至少应该有21人参加竞赛。4.一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出____段．【分析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：10110110110110110110174，故木棒上共有74个刻235232535235度，可以截出75段．5.体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人．ADEGBCF【分析】面向老师的学生就是向后转2次或转0次的学生，如图A圆圈表示4的倍数的个数，B圆圈表示5的倍数的个数，C圆圈表示6的倍数的个数，D、E、F部分表示向后转两次的学生个数，G部分表示向后转3次学生的个数，[4,5]20，[4,6]12，[5,6]30，[4,5,6]60，60415，60512，60610，60203，60125，60302，60601，所以向后转两次学生的个数为352137（人），根据容斥原理求得向后转1次，2次，3次学生共有151210352128（人），所以向后转0次的学生有602832（人），所以最后面向老师的学生有32739(人)6.学而思的一场竞赛选拔考试，试卷一共有5道题，规定答对3道及3道以上的人能通过考试。发卷子时，张老师说：“这次考试一共有5个班的100位同学参加，答对第1题到第5题的依次有80、92、86、78、74人。在公布每位同学的成绩之前，我想问大家一个问题：这次考试最少有多少位同学能通过呢？最多有多少位同学通过呢？”【分析】因为要算至少有多少人能通过考试，所以应该让答对2题的尽量多，且答对5题的尽量多，然后是答对4题的也尽量多。因为80+92+86+78+74=410（道），去掉每人2道，还有410-1002=210（道），而2105-2=70<74，所以至少有70人能通过考试。因为要算至多有多少人能通过考试，所以应该让答对3题的尽量多，因为80+92+86+78+74=410（道），显然可以做到每人对3道题，因此最多有100人能通过考试。7.新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合12第9级上超常体系教师版第13讲唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有___人．【分析】设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为501040人，即x3x40，得x10，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317人．8.某校五年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有6人参加，英语有20人参加，语文小组有34人.老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，请问：你能求出既参加英语又参加数学小组的人数吗？【分析】既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数之和为(3420631)499人，而由于均为质数，所以一个为2一个为7，数学只有6人，那么参加英语又参加数学小组的人为2个。超常班学案【超常班学案1】一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？【分析】1.8米长的木棍，按2厘米一段画出刻度，那么也就是说所有的偶数点都已经划过了，即2、4、6、8、10、……、180共90个点，那么再画3的时候所有的偶数点都已经划过，那么会多出30个点，即3、9、15、……、59，再画5的时候会多出来的点是5、25、35、55、65、85、95、115、125、145、155、175，共12个，最后画间隔7厘米的时候，会多出7、49、77、91、119、133、161共7个点，那么所有的刻度总和应该是9030127139个(包含了180厘米的点)，那么截断之后应该会有139段小木棍．【超常班学案2】50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1,2,3…，49,50依次报数；先让报数是5的倍数的同学向后转，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转，这时面向老师的同学还有______名.505050【分析】12；8；10；465505050504；2；1；0；12203060最后还面向老师的有两种：转且只转过两次的以及没有转过的．转且只转过两次的有：4217个；转过的有：1281042123个；则没有转过的有：27个；所以最后还面向老师的有：27734个；【超常班学案3】有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题.答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87人，第5题57人.这次测验规定，5道题只要做对3道题就及格.那么最少有多少人及格？第9级上超常体系教师版13【分析】答对题数的合计是：9286618757383道.为使及格人数最少，设全员答对的题不少于2道，余下的答对题的数量不多于3832100183道.把这183道题尽可能少分给一些人.从5道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对人数最少的第5题的57人都是满分的话，余下的答对题数的合计是183525712道.再从答对4道题尽可能多的人数来考虑，答对人数第二少的第3题的61人中，有57人得满分，那么答对4道题的最多有61-57=4人.余下的答对题数是：12(42)44道.答对3道题的人数是4324人.根据以上分析，可知及格者的最少人数是：57+4+4=65人.所以至少有65人及格.【超常班学案4】图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?AB甲乙C丙【分析】设这批图书中最少有x本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．设有y本书同时有甲、乙、丙的签名.由三量重叠的公式可得：33+44+55-29-25-36+y=100-x要想使x最小，则y应该最大．而y一定不能超过25.因此当y=25时，可得到x的最小值33.123班学案【超常123班学案1】长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8,12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【分析】[8,12,18]=72，假设L=72m，那么相当于把木棍按照每9m，6m和4m三种方式分开，7272727272727227，所以共有27个刻度(包含最右端的96418123672L点)，分成27段，而最短的长度显然为1m，其中8m和9m间就是1m，即。72【超常123班学案2】2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，……，2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮着的灯数为_____盏。【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．这道题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中2个数整除的数的总个数．我们可以求得被2整除的数有200621003(盏)，14第9级上超常体系教师版第13讲被3整除的数有200636682，共668(盏)，被5整除的数有200654011，共401(盏)．其中，同时被2、3整除的数有2006(23)3342，共334(盏)；同时被3、5整除的有2006(35)13311，共133(盏)；同时被2、5整除的数有2006(25)2006，共200(盏)；同时被2、3、5整除的数有2006(235)6626，共66(盏)，所以，只能同时被2、3、5中2个数整除的数的个数为334133200366469(盏)，不能被2、3、5整除的数的个数为2006100366840133413320066535(盏)．所以，最后亮着的灯一共为4695351004(盏)．【超常123班学案3】一次测验，共有5道试题，测试后统计如下：有81%的同学做对第1题，有85%的同学做对第2题，有91%的同学做对第3题，有74%的同学做对第4题，有79%的学生做对第5题．如果做对3道或3道以上试题的同学为考试合格．问：这次考试的合格率最多可达百分之几？最少可达百分之几？【分析】假设有100人参加考试，那么做错1~5题的人数分别有19，15，9，26，21人，共错了19159262190道．显然可以做到每人最多只错1道题．例如，1~19号只错第一题，20~34号只错第2题，35~43号只错第3题，44~69号只错第4题，70~90号只错第5题，这样所有同学都及格，及格率为100%．如果有错误的人都恰好错了3道题，那么不及格的有90330（人），这种情况下不及格的人数最多，及格的人数最少，有70人，例如1~19号错第1题，20~30及1~4号错第2题，5~30号错第4题，1~9号错第3题，10~30号错第5题．这样，1~30号每人错3题，不及格，31~100号都是满分，所以及格率最少为70%．【超常班123学案4】某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？4【分析】10，15，20的分别为8，12，16，设未知数如图所示：5那么有以下方程组：xyn2xzn3zyn4将3个等式相加则有2（x+y+z+n）+n=9，由这个等式可以得到，n必须是奇数，且n≤x+y+n=2．所以n=1，这样可以求得x+y+z+n=4.由此可得到这个学校一共派出了8+12+16+4=40人.跳高15长跑1012x8nzy16标枪20第9级上超常体系教师版15