第13讲第十三讲容斥原理知识站牌五年级秋季五年级秋季几何计数进阶排列组合进阶五年级暑假容斥原理五年级暑假枚举法进阶四年级春季排列组合初步两量容斥原理，三量容斥原理，容斥原理中的最值问题漫画释义第9级上优秀A版教师版1课堂引入容斥，从字面上理解就是“包容”与“排斥”。为了计算几种物体的总个数，首先计算所有包容了的物体个数，但包含多了（出现重叠对象），又要排斥某些物体，当排斥多了，又要包容若干物体……，如此继续下去，最终就可以得到我们所要求的物体个数。容斥原理所体现的这种数学思想就是一种“多退少补，逐步淘汰”的取舍思想。也许这样说比较枯燥，如果用图形和符号来研究这些问题就比较直观了，那么我们就用图形和符号这两个“拐杖”来学习容斥原理，借用教育家苏荷姆林斯基的一句名言来说：“用直观来照亮我们认识的路途！”教学目标1.熟练掌握两量容斥原理并处理两量最值问题；2.会利用容斥原理处理三量重叠经典精讲容斥原理容斥原理I：两量重叠问题ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且"的意思．)图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．1.先包含——AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2.再排除——ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去．容斥原理II：三量重叠问题ABCABCABBCACABC图示如下：2第9级上优秀A版教师版第13讲AB图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．BCCA1．先包含——ABCABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次．2．再排除——ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了．3．再包含——ABCABBCACABC例题思路模块1：例1-2，两量容斥及最值模块2：例3-5，三量容斥例1对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？两会会项打游都篮泳会球的A的的B两项都不会的(学案对应：学案1)【分析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20251035(人)，全班人数为：35944(人)．想想练练：小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示________。AB【分析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐第9级上优秀A版教师版3【铺垫】四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13.那么该班有学生_______名.【分析】30名【铺垫】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有_____人参加了语文或数学兴趣小组.ACB【分析】28291245(人)．【铺垫】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ACB【分析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721(人)．【巩固】四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．⑴问语文数学都写完的有多少人？⑵只写完语文作业的有多少人？【分析】⑴由题意，有48642(人)至少完成了一科作业，根据容斥原理，两科作业都完成的学生有：3020428(人)．⑵只写完语文作业的人数写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30822(人)．例2(学生版只有前三问)(1)有100种食品.其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是____、_____.(2)某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班三项运动都会的人数的最大值和最小值分别是____、_____.(3)某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，那么，这个班四项运动都会的人数的最大值和最小值分别是____、_____.(4)在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，那么，恰好被3个人浇过的花最少有____盆.4第9级上优秀A版教师版第13讲234(5)60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有22345人，那么，这三项运动都不会的最多有___人.(6)甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么，甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有____个.【分析】最大值不能超过几类中的最小值；而求最小值，则应该让次数平均分配．(1)最大值就是含铁的有43种.根据容斥原理最小值68+43-100=11，最小值可以用下图表示：10068钙1132铁(2)最大值为27.三项都会的最少，那么两项都会的应该最多．因此可以先让所有人都会两项．剩下的就是三项都会的最小值．27+33+40-48×2=4(3)同上分析：最大值为27，最小值为40+38+35+27-46×3=140-138=2人(4)为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇了60盆，这时共有1003070盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45506014015盆．234(5)6040;6045;6048.此题中有22人三项全会，要让都不会的最多，那么345会两项的就应该最多．(40+45+48-22×3)÷2=33…1．因此除了22人外，至少还有34人会两项或1项运动．都不会的最多有60-22-34=4人．(6)考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．第9级上优秀A版教师版5棣莫弗的传奇容斥原理有一个有趣的历史，该原理最早的数学表述是有法国数学家棣莫弗在他关于概率论的教材——《机会的学说》中提出的。棣莫弗1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱．棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响．随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义．那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是惠更斯关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》一书，启发了他的灵感写出了代表作《机会的学说》。然而尽管棣莫弗在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自从到了英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．棣莫弗在87岁时患上了嗜眠症，每天睡觉长达20小时。当达到24小时长睡不起时，他便在贫寒中离开了人世．关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了.例3如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？(学案对应：学案2)【分析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠部分的面积（60310040）220(平方厘米)．【铺垫】如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．8646【分析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方6第9级上优秀A版教师版第13讲形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积长方形面积正方形面积重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468(平方厘米)．【铺垫】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？4厘米2厘米【分析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分图3)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212(平方厘米)．例4五(1)班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：短跑游泳篮球短跑游泳篮球短跑游泳篮球短跑游泳篮球17人18人15人6人6人6人2人求全班人数.(学案对应：学案3)【分析】此题为容斥原理的直接应用.代入公式得可知共有17+18+15-6-6-6+2=34人得优秀.但还有4人不得优秀，因此全班共有34+4=38人【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【分析】根据容斥原理，至少要了一种饮料的人数(要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人数)(要可乐、雪碧的人数要可乐、橙汁的人数要雪碧、橙汁的人数)三种都要的人数，即至少要了一种饮料的人数为：（555）（322）19(人)．1091(人)，所以其中有1人这三种饮料都没有要．想想练练：在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了蛋糕．2个人既带了汉堡又带了蛋糕．问：⑴三种都带了的有几人？⑵只带了一种的有几个？第9级上优秀A版教师版7ABC【分析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人．⑴根据包含排除法，总人数（带汉堡的人数带鸡腿的人数带蛋糕的人数）（带汉堡、鸡腿的人数带汉堡、蛋糕的人数带鸡腿、蛋糕的人数）三种都带了的人数，即10（664）（321）三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10100(人)．⑵求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即10（321）4(人)．只带了一种的有4人．例550名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1,2,3…，49,50依次报数；先让报数是5的倍数的同学向后转，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转，这时面向老师的同学还有______名.(学案对应：学案4)505050【分析】12；8；10；465505050504；2；1；0；12203060最后还面向老师的有两种：转且只转过两次的以及没有转过的．转且只转过两次的有：4217个；转过的有：1281042123个；则没有转过的有：27个所以最后还面向老师的有：27734个；想想练练：写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？【分析】如图，拉0次的亮，拉1次的灭，拉2次的亮，可见亮灯分两部分，拉0次部分为：100100100100100()53盏，拉2次的灯为6盏．从而亮灯数53+6=59盏3515153的倍数5的倍数灭亮灭亮8第9级上优秀A版教师版第13讲消失的一块钱有3个人去投宿,一晚30元.三个人每人掏了10元凑够30元交给了老板.后来老板说今天优惠只要25元就够了,拿出5元让服务生退还给他们，服务生偷偷藏起了2元,然后,把剩下的3元钱分给了那三个人,每人分到1元.这样，一开始每人掏了10元,现在又退回1元,也就是10-1=9,每人只花了9元钱，3个人每人9元，3×9=27元，再加服务生藏起的2元共29元，还有1元钱去了那里？答案：这道题用了人的一种思维盲点，这种逻辑算法是本身错误的。你可以这样想的，开始的时候那30块钱都被老板拿走了，这样每个人都花了10块钱。当老板发现打折后，他给了服务员5块钱，这样现在老板就有25，服务员有5块。当服务员拿出2块钱，给那三个人每人1块后，这30块钱就变成3部分，老板25，服务员2块，那三个人一共3块。现在这三个人的确是每人花了9块，一共27块，可是这27块不正是老板和服务员手中钱的总数吗，所以应该是他们花的那27块钱和他们手中有的那3块构成了那30块钱。杯赛提高体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人．ADEGBCF【分析】面向老师的学生就是向后转2次或转0次的学生，如图A圆圈表示4的倍数的个数，B圆圈表示5的倍数的个数，C圆圈表示6的倍数的个数，D、E、F部分表示向后转两次的学生个数，G部分表示向后转3次学生的个数，[4,5]20，[4,6]12，[5,6]30，[4,5,6]60，60415，60512，60610，60203，60125，60302，60601，所以向后转两次学生的个数为352137（人），根据容斥原理求得向后转1次，2次，3次学生共有151210352128（人），所以向后转0次的学生有602832（人），所以最后面向老师的学生有32739(人)第9级上优秀A版教师版9知识点总结容斥原理I：两量重叠问题ABABAB容斥原理II：三量重叠问题ABCABCABBCACABC家庭作业1.某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【分析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据容斥原理知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016(人)．2.四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人。【分析】至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有46-34=12人3.一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．1284610【分析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积长方形面积之和重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140(平方厘米)．4.五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．五年级参加课外活动的一共有多少人？【分析】根据容斥原理，参加课外活动的共有：54463647102117（人）．10第9级上优秀A版教师版第13讲5.50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1,2,3…，49,50依次报数；先让报数是3的倍数的同学向后转，再让报数是4的倍数的同学向后转，这时面向老师的同学还有______名.50【分析】面向老师的同学包含没转过的，还有转过2次的．转过2次的共有4人．没转过的125050共有50(4)26人．面向老师的同学还有26+4=30人.346.养牛场有2007头黄牛和水牛，其中母牛1105头，黄牛1506头，公水牛200头，那么母黄牛有头。【分析】公牛有2007-1105=902头，公黄牛有902-200=702头，母黄牛有1506-702=804头A版学案【学案1】如图，圆A表示1到50这50个自然数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能被5整除的数，则阴影部分表示的数是。AB【分析】阴影部分是A和B共有的，即1到50这50个自然数中能被3×5=15整除的数，即15，30，45.【学案2】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？BAC【分析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：5687x3，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687x338，解得：x6．【学案3】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，第9级上优秀A版教师版11参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．A自然B美术C语文【分析】这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．【学案4】50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?【分析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是报数既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是报数既是4的倍数又是6的倍数．50501～50之间，4的倍数有=12,6的倍数有=8，即是4的倍数又是6的倍数46的数一定是5012的倍数，所以有=4．于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第12二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师．12第9级上优秀A版教师版