第五讲第五讲第一阶段综合能力反馈　知识站牌第一讲分数乘除第二讲分数加减第三讲牛吃草第四讲棋盘中的数学预习整除、方程教学目标1.巩固并熟练掌握分数基本计算；2.通过牛吃草问题熟悉差量分析解应用题；3.预习讲重点知识（整除、质合、方程）。复习巩固7第9级上优秀体系学生版\n第五讲第一部分：分数的四则运算1.分数：（例如）把单位“”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份，分子表示这样几份的数。例如把一个蛋糕平均分成份，每份就是，取其中的份，总共就是。2.分数与除法：把一块蛋糕平均分给个人，每人分得多少？，，因为除数不能为零，所以分母也不能为零。上面的，既可以当成一个计算结果，一个数值，也可以当做是一个除法运算。3.分类：真分数：分子比分母小的分数，例如假分数：分子比分母大，或者分子和分母相等的分数，例如带分数：把一个假分数化成一个整数和一个真分数加在一起，这样的分数叫做带分数，例如，其中为带分数。4.基本性质：把一块比萨平均分给个人，如果分成块，则每人块；如果分成块，则每人块；如果分成块，则每人块。但是，无论分成多少块，每人得到的比萨是一样多的，也就是说有这样的规律：分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（除外），分数的大小不变。5.约分与通分约分：分子分母互质（只有公因数）的分数叫做最简分数。根据分数的基本性质，分子分母同时除以它们的不是的公因数，得到的分数大小不变，但新分数的分子分母都比较小且互质，这就是约分。例如:通分：根据分数的基本性质，我们可以把分数的分子分母同时乘以一个非零数，分数大小不变，则由此，我们可以把这两个分数变成分母相同的数。例如，，。把异分母分数分别化为和原来分数相等的同分母分数的方法，叫做通分。7第9级上优秀体系学生版\n第五讲1.分数的四则运算：（可由分数与除法的关系来证明其四则运算）（1）加减：同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化成最简分数。例如：异分母加减法：分母不同，需要先通分，变为分母相同的分数，再分子相加减，结果仍然要化成最简分数。例如：（2）乘除：分数乘以分数：分母乘以分母，分子乘以分子，能约分先约分。例如：（3）倒数：把分数的分子和分母对调，得到的新的分数和原分数乘积是。乘积为的两个数互为倒数。没有倒数。例如：（4）分数的除法：有，所以。又知道。所以除以一个数等于乘以它的倒数。（5）分数的四则混合运算：与整数的四则运算法则相同：顺序是先乘除后加减，有括号先括号内。例1，，，，，。7第9级上优秀体系学生版\n第五讲例2，，=例31.=2.=3.=4.=7第9级上优秀体系学生版\n第五讲第二部分：牛吃草问题英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：（1）草的每天生长量不变；（2）每头牛每天的食草量不变；（3）草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值（4）新生的草量每天生长量天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：（1）设定头牛天吃草量为“”；（2）草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；（3）原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；（4）吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；（5）牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例4一牧场放牛头，天把草吃完；若放牛头，则天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛天可以把草吃完?7第9级上优秀体系学生版\n第五讲例5由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供头牛吃天，或可供头牛吃天．照此计算，可以供多少头牛吃天？例6一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供头牛吃天，或可供只羊吃天。如果头牛的吃草量等于只羊的吃草量，那么头牛与只羊一起吃可以吃几天？重点预习第一部分：整除问题1.一个数的末位能被或整除，这个数就能被或整除；一个数的末两位能被或整除，这个数就能被或整除；一个数的末三位能被或整除，这个数就能被或整除；2.一个位数数字和能被整除，这个数就能被整除；一个数各位数数字和能被整除，这个数就能被整除；7第9级上优秀体系学生版\n第五讲1.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被整除，那么这个数能被整除.2.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被、或整除，那么这个数能被、或整除.3.如果一个数能被整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是的倍数，这个数一定是的倍数。第二部分：质合问题一、质数与合数一个数除了和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的以内的质数：共计个；除了其余的质数都是奇数；除了和，其余的质数个位数字只能是.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点.⑵除了和，其余质数个位数字只能是.这也是很多题解题思路.二、质因数与分解质因数（1）质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）分解质因数的方法：短除法例如：，（┖是短除法的符号）所以；（5）部分特殊数的分解：；；；；；；；；第三部分：解方程一、名词解释1.算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2.等式：表示相等关系的式子3.方程：含有未知数的等式4.方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：元次方程就是含有7第9级上优秀体系学生版\n第五讲个未知数，且含未知数项最高次数是的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是的方程；如：，，，一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；如：是方程的解，是方程的解，1.解方程：求方程的解的过程叫解方程。所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。2.方程的解：能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解二、解方程的步骤1.解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为。2.移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号。我们常说“移项变号”。3.移项的目的：是为了把含有的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而求出方程的解。4.怎样检验方程的解的正确性？判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。例7有三张卡片，它们上面各写着数字，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.例8解下列一元一次方程：⑴；⑵；⑶；⑷7第9级上优秀体系学生版