第一讲第一讲勾股定理预习知识GPS本讲内容了解勾股定理历史，定义掌握勾股定理和弦图的证明利用平方差公式和勾股定理解决实际问题前铺知识长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）三角形进阶——四年级暑假第2讲（第7级上）后续知识弦图——六年级暑假第8讲（第11级上）复合图形分拆——六年级秋季第3讲（第11级下）课前测试难度1三角形按角度分类有几种？按边长分类有几种？难度2若三角形的两边为3和4，那么第三条边的范围是多少？试着画一画。难度3若三角形的三边分别为3,4和5.想一想它们之间有什么数量关系。属于哪一种三角形？第10级下超常体系教师版1\n学习模块1：勾股定理的证明和简单运用知识剖析勾股定理在直角三角形当中有，abc,,分别为三条边。cab222则abc，在我国被称为勾股定理，而西方则称其为毕达哥拉斯定理。勾股定理的证明方法至今为止，勾股定理已经有了500多种证明方法，大家一起来看看下面这种证明方法。比较左右两个大正方形的面积，想想阴影部分之间有什么关系？babacabbbaaba这种证明方法来自于赵爽的“弦图”，在暑期的课程中，我们还会学到。例1如图，求出下列直角三角形中边长a的长度．aa134185a1240845【分析】12,9,52第10级下超常体系教师版\n第一讲例2有一个直角边为1、1的直角三角形，以它的斜边和1为直角边，向外作另一个直角三角形。重复以上操作，如下图。则第1023个直角三角形的斜边长度是_______．第________个直角三角形的斜边长度是17．【分析】按从小到大设斜边长度分别为aaaa,,,,......；则有：123422222222222a112；aa1213；aa1314；......121322易得通项式：an1；n2（1）a1024a32；1023102322（2）a17289x288.x练一练以下几个图形均由直角三角形构成，线段旁边的数代表对应的长度，则问号处的数分别应该是多少？【分析】（1）13（2）3（3）3例3如图四边形ABCD中，AB13，BC3，CD4，DA12，并且BD与AD垂直，则四边形ABCD的面积等于____.222【分析】在直角ABD中运用勾股定理可知BD131225，BD5．1因此ABD的面积为12530（单位面积）．2第10级下超常体系教师版3\n222再根据勾股定理的逆定理可以判定BCD也是直角三角形，因为BDBCCD，从而1BCD的面积为436（单位面积）．2所以四边形ABCD的面积是36（单位面积）．模块2：勾股定理解决面积问题例4如图，在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和为980平方厘米，问最大的正方形的边长是多少厘米？d3d4d2cd25d6dc1c13ad71ac24d8b1b2【分析】设数如右上图所示，首先aabbS；1212则ccccaaS；123412且ddddddddccccS1234567812342可见5S980S19614，即最大的正方形边长为14厘米.例5已知，如图长方形ABCD中，AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积是多少？ab9a52【分析】如右上图所示，必有；则BEF的面积为：5327.5cm222ab3b44第10级下超常体系教师版\n第一讲练一练已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图所示。求重叠部分(灰色三角形)的面积。a448-a88222【分析】如图所示，由勾股定理得a48a解得，a3。那么阴影部分面积为54210。综合综合最值模块一只小蚂蚁，想从圆柱体无盖纸筒的左下角的A点(在外面)爬到右上角的B点，已知圆柱体底面半径是4分米，高是5分米，求小蚂蚁最少要走多少距离？（取3）B5A12【分析】如图把AB,之间的纸筒展开成长方形，那么这个长方形的长是r3412分米，宽是5222分米，12513，因此对角线长是13分米．小蚂蚁要走的最短距离是13分米（两点之间，直线段最短）如果在内部，蚂蚁可以走直径，再直接上去．走的距离也是8+5=13分米．例6以圆上的两点A、B为直径作半圆，恰好经过圆心O。已知AB=10，且下半部分是一个相同的半圆，则阴影部分的面积是多少？22222【分析】如图，Rr525；则阴影面积为(Rr)2578.5.第10级下超常体系教师版5\n笔记整理2221．勾股定理：abc222变式：cab使用条件：直角三角形中，已知两边求第三边.利用平方差公式求勾股数2.常用模型123SSS123模块3：勾股定理解决实际问题例7莲花诗湖平浪静出新莲，五寸婷婷露笑颜。恣意狂风玉枝倒，忍看花色没波莲。渔翁秋后寻根源，根距残花二尺边。借问群英贤学子，水深多少在当年？翻译：莲花露出水面5寸，被风吹倒后，刚好被水面没过，此时莲花在二尺以外的岸边。那么湖水有多深？ABx【分析】如下图所示，2尺=20寸；若设水深x寸，则在直角ABC中：，且根据勾股定ACx5222理有：x5x2052x5400x37.5，即水深37.5寸6第10级下超常体系教师版\n第一讲例8在一个圆圈中，排列了大小两个正方形方阵，每两人之间间隔1米，如图所示。已知方阵ABCD有25名学生，操场圆心O到队尾AB的距离为5米，求方阵EFGH有多少人？.【分析】设大正方形的边长为2a，小正方形的边长为2b(其中b=2)，圆的半径为R；222Ra(2a5)如右上图，在直角三角形OHM和ODN有：；222Rb(2b5)22222222则a(2a5)b(2b5)ab(2b5)(2a5)ab42132169人a426，大正方形的面积为12144.方阵共有复习本讲巩固1.如图，求以第9个直角三角形斜边为边长的正方形的面积。546312……………………22221【分析】1231010112138562.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为27cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm．BACEDF2【分析】根据勾股定理有SSS,SSS,SS7,所以正方形A,B,C,D的面积之和ABECDFEF第10级下超常体系教师版7\n2为49cm3.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处(在外面)，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处(在外面)的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？BA【分析】AB,之间的纸筒展开成长方形，那么这个长方形的长是40220厘米，宽是30215厘222米，201525，小蚂蚁要走的最短距离是25厘米（两点之间，直线段最短）4.已知，如图长方形ABCD中，AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？EADBFCM【分析】求三角形ABE的面积关键是求AE的长度，设AEx，则EDEB9x,在△ABE中有222223x(9x)，即9x8118xx，解得x4，因此△ABE的面积为24326(cm)5.两个同心圆及两个直角三角形构成如下图形，阴影部分的面积为50平方厘米，则圆环的面积为____平方厘米(取3.14).2222RrRr22222【分析】S50cm，所以Rr100，S(Rr)3.14100314阴影圆环2222cm6.有一扇长方形的门，不知道长和宽。用一根和门的对角线长度相同的直竹竿去量，竹竿比门宽多4尺，比门高多2尺，求门的宽和高，以及竹竿的长度。8第10级下超常体系教师版\n第一讲2尺x4尺【分析】设竹竿长为x尺，根据勾股定理，22222222x2x4xx2xx4x242x4x28x2两边消掉x2，得，x28x10。所以竹竿长10尺（1丈），门宽6尺，门高8尺。7.求阴影部分的面积．(20为半径，取3.14)420【分析】如下图，设半圆的圆心为O，连接OC．DCAOB从图中可以看出，OC20，OB20416，根据勾股定理可得BC12．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，21为：π20(162)12200π384244．2复习巩固1.有一座时钟现在显示8时整,那么,经过多少分钟,分针与时针第一次重合?再经过多少分钟,分针与时针第二次重合?75【分析】第一次要追240度,第二次要追一圈,即360度:2405.543分;3605.565分.11112.已知:如图长方形的长为30厘米,以宽为直径做圆,则阴影部分面积是________(取3.14).【分析】圆的半径30310厘米，长方形的宽:10220厘米。22空白面积1.5r1.53.1410471平方厘米，阴影:3020471129平方厘米.3.两个数的最小公倍数是441，最大公因数是7，并且两个数中的大数不是小数的倍数，则这两个数是_________.【分析】因为这两个数的最大公因数是7,最小公倍数是441,441763,6316332179.又因为大数不是小数的倍数,这两个数只能是7×7和7×9,即49和63.第10级下超常体系教师版9\n开放试题问一问父母家中电视机的尺寸，再测量一下它实际的长宽，想想有什么关系？（1米=39.37英寸）10第10级下超常体系教师版\n第二讲第二讲分数四则混合运算预习知识GPS本讲内容分数小数的四则混合运算分数的巧算，提取公因数，连锁约分和繁分数的运算前铺知识分数乘除——五年级暑假第1讲（第9级上）分数加减——五年级暑假第2讲（第9级上）后续知识分数裂项——六年级暑假第1讲（第11级上）计算模块综合选讲2——六年级春季第1讲（第12级下）课前测试难度10.10.20.30.40.50.60.70.80.91111123456难度20.30.320.330.340.35111112481632难度30.10.20.30.40.50.60.70.80.9111111603020151210第10级下超常体系教师版1\n学习模块1：分数的运算和凑整知识剖析1加法交换律：abbaabcabc2加（减）法结合律：abcabc3乘法交换律：abbaabcabc4乘（除）法结合律：abcabc这些运算律不仅适用于整数，也适用与小数和分数。例121(1)2.59.632.153.2411(2)11(282.5)3593【分析】(1)加减法一般都用小数，当然，必要条件是分数比较容易化成小数.本题主要做加减法运算，适合化成小数.52原式9.632.1319.636.34.332535411281925228912(2)原式282.5359339353497例233(1)152.2571443412(2)3.9136.09621.12511.56.047783333【分析】(1)原式152.257.7515105141414343(2)原式3.916.09362.1251.12511.56.0477220106.04202第10级下超常体系教师版\n第二讲模块2：分数的巧算与综合知识剖析5乘法分配律：mabcmambmc6除法性质：abcmambmcm乘法分配律还有一种反用技巧，叫做提取公因数.例33119(1)882727212(2)3151253119【分析】(1)原式888272781933142727212(2)原式331512521215454例41(1)5.350.252.65411113(2)8128129494794(3)(201.652020)47.50.82.595952095【分析】(1)原式5.352.650.2580.25211131113(2)原式88828161212121294(3)原式20(1.6510.35)47.5(0.82.5)9594942047.52(20)9519949595练一练37(1)3.273.27.74第10级下超常体系教师版3\n15(2)4.20.76.252615(3)1.2517.4125%.48【分析】乘法分配律逆应用3434(1)原式3.273.273.273.27777715152656(2)原式666162526252625265(3)原式1.251.257.41.251.61.2517.41.61.251012.5综合综合统筹优化模块从A地到E地的路线图如图所示，每段路的长度均已标出.求从A地到E地的最短路线.【分析】沿ABCDE的路线长度97952.4kmkm为：2.48.2km75353km5km33沿AHGFE的路线长度2313171为：1.38km231777107km13km所以AHGFE的路线更71.3kmkm107短例511111111248163264_____.128643216842【分析】原式1111111(1248163264)()128643216842111111111(11248163264)()-1-128128643216842128112811128127127128练一练111111+2+4++256+512=_____.102451225642【分析】原式4第10级下超常体系教师版\n第二讲1111025()24102411025(1)1024102310231024例6计算：111146100102(1)2222_____23410019919719510199123246369…200400600(2)___13526103915…20060010003571992410210234【分析】(1)原式=2341001991979999333333123（123…200）2(2)原式=3333135（123…200）5笔记整理1加法交换律：abbaabcabc2加（减）法结合律：abcabc3乘法交换律：abbaabcabc4乘（除）法结合律：abcabc5乘法分配律：mabcmambmc6除法性质：abcmambmcm模块3：繁分数运算例7计算：111222s1(1)___(2)___(3)___(4)___(5)1___.1211ss11122336ab13145第10级下超常体系教师版5\n181471(6)若成立，x=____.(7)设，11134011a112b11xc4d其中a、b、c、d都是非零自然数，则a＋b＋c＋d=___.292ab【分析】(1)(2)(3)4(4)310ab1111168225(5)原式111111.111211571571572222156868683321212151811113(6)(两边取倒数)1(两边取倒数)11118181221112xx144x418121352xx1313424xx44147111(7)∴a＋b＋c＋d=2＋3＋5＋9=193404611222147913346159例81098765432119181716151413121110____18171615141312111091918171615141312111099999（1）（1）（1）（1）（1）1918171110【分析】原式11111（1）（1）（1）（1）（1）191817111099999999991918171615141312111091111111111191817161514131211106第10级下超常体系教师版\n第二讲复习本讲巩固11111.6121933722=____.23343243【分析】原式=61219337229.661212123172.36182___.43432013213333【分析】原式316851533.44332020653.1.26.4120%____.513【分析】原式=1.21.26.41.22.6=1.2(16.42.6)=1.2101243614.5416273____.75754333433【分析】原式5454165416154945.775577511115.1236_____.2486463【分析】216416.1=______.11111987119861987【分析】原式11.198739733973119862349899123...9798345991007.．1239798357...19519734599100【分析】观察发现分子和分母的项数相同，各有98项，且分子分母中对应项的分数的分母相同，进一步观察分子分母中相对应的数，可以发现分母中的数恰好都是分子中的数的2倍．于是，第10级下超常体系教师版7\n2349899123...9798345991001原式234989922123...979834599100复习巩固1.右图中两个半径为1的扇形AOB'与AOB叠放在一起,POQO是正方形,则整个阴影图形的面A'积是____(取3.14).POA【分析】阴影部分的面积=两个扇形的面积-两个正方形的面积2212(11)10.57422O'QB'2.已知：两个数的和为200,它们的最大公因数为5,则共有_______种可能.B【分析】两个数的最大公因数为5，不妨设两个数字为5,5ab.则5a5b200,ab40.其中较小的数可以为1,3,7,9,11,13,17,19.共有8种可能.3.求阴影部分的面积．(20为半径，取3.14)DC420AOB【分析】如右上图，设半圆的圆心为O，连接OC．从图中可以看出，OC20，OB20416，根据勾股定理可得BC12．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，21阴影面积为：π20(162)12200π384244．2开放试题艾迪在超市中看到下列三种商品，最少花多少钱可以使得总价为整数？酸奶6.99巧克力18.42可乐2.35下次和父母去超市的时候，留意一下购物小票，看看少买哪件商品可以让总价为整数.8第10级下超常体系教师版\n第三讲第三讲带余除法进阶预习知识GPS本讲内容带余除法进阶余数的定义和性质，利用整除特征的余数判断，周期性问题前铺知识带余除法初步——三年级春季第4讲（第6级下）整除特征进阶——四年级秋季第13讲（第7级下）后续知识同余——五年级春季第4讲（第10级下）韩信点兵——六年级暑假第2讲（第11级上）课前测试难度1博士准备了20个苹果，平均分给艾迪，薇儿和大宽三个人，每人分到几个，剩余几个？难度2博士带走了剩余的苹果后，又来了一位新同学，三人把苹果与新同学平分，每个人分到几个，剩余多少个？难度3今天还可能有两位同学来，也可能都不来。艾迪他们需要拿出几个苹果，可以保证4个或6个小伙伴都可以均分？第10级下超常体系教师版1\n学习模块1：余数的定义与判断知识剖析一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．在带余除法的算式中，已知三个量，就可以求出第四个量.特别注意：0rb.例1(1)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_____．(2)1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【分析】(1)因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为(415488)(41)79，所以，被除数为7948324．(2)1013121001，100171113，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91．知识剖析1.末位法——被4,25,8,125,16,625除的余数特征2.数位和法——被3,9除的余数特征3.数位差法——被11除的余数特征4.三位截断法——被7,11,13除的余数特征例2计算34567除以3、4、5、7、9、11、99的余数。【分析】利用性质很快可得出分别为1、3、2、1、7、5、16例32第10级下超常体系教师版\n第三讲200720072007......2007求除以9、11、99、999、13和91的余数分别是多少?2007个2007200720072007......2007【分析】9：除以9的余数是0，2007个200711：一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5.2007个2007奇数位上数200720072007......2007字和与偶数位上数字的和的差为5×2007，除以11余3,所以除以112007个2007的余数是399：两位一截求和，(720)200754189，再次两位一截求和得89+41+5＝135，1+35200720072007......2007＝36，因此除以99余362007个2007200720072007能被7，13，27，37整除。999＝27×37;1001＝7×11×13;91＝7×13200720072007......200713：除以13余02007个2007200720072007......200791：除以91余02007个2007200720072007......2007所以除以13，91，999的余数都是0.2007个2007模块2：余数的性质与运用知识剖析1.被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数.；2.余数小于除数．3.a与b的差除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之差(或a的余数加一个除数减b的余数).4.a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．5.a与b的乘积除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)．例4(1)378379+378380+378381的结果除以7的余数是多少？(2)1234567-456123的结果除以9的余数是多少？(3)345645675678的结果除以5的余数是多少？5(4)1234的结果除以11的余数是多少？(5)6666667的余数是多少？1995个6【分析】(1)6(2)7(3)1(4)10(5)因为7|666666，所以连续6个6为一个周期，又因199563323，而6667951，故符合题意的余数是1．第10级下超常体系教师版3\n练一练(1)71427×19÷7的余数是多少?(2)求4373091993被7除的余数．(3)220除以7的余数是多少？【分析】(1)71427被7除，余数是6，19被7除，余数是5，所以71427×19被7除，余数就是6×5，被7除所得的余数2．(2)法1：先将4373091993算出以后，即4373091993269120769．再求得此数被7除的余数为1．法2：因为473除以7的余数为3，309除以7的余数为1，由“同余的可乘性”知：（437309）除以7的余数为（31）．又因为1993除以7的余数为5，所以（4373091993）除以7的余数等于（315）即15除以7的余数，算出4373091993被7除的余数为1．由方法二可得同余的可乘性也同样适用于三个数相乘的情况．23456(3)找规律．用7除2，2，2，2，2，2，的余数分别是2，4，1，2，4，1，……20÷3……2,因此余数为周期中的第2个,即为4.综合综合周期问题1000今天是星期四，10天之后将是星期几？n232【分析】先求较小的n，使10除以7的余数为1．10除以7余3，10除以7余2，101010除422633以7余326，101010除以7余224，101010除以7的余数等于6636100046166除以7的余数等于1．所以，10除以7的余数等于1010除以7的余数等于414，1000故10天之后，应是星期一．例52011201120112011(1)算式1232013计算结果的个位数字是多少？2013201420152016(2)算式2345计算结果除以7的余数是多少？(3)多位数1234567891011121320132014除以9的余数是是多少？【分析】(1)由于任意自然数除以10的余数均可以是4个一周期。2011201120112011333则1232013122013(mod10)3333由于1与11的个位相同，2与12的个位相同，其他类似，333而12105mod10（可只计算个位），这样333333122013123520118751(mod10)(2)2n除以7的余数：2，4，1，2，4，1，……n3除以7的余数：3，2，6，4，5，1，……4n除以7的余数：4，2，1，4，2，1，……n5除以7的余数：5，4，6，2，3，1，……201320142015201634262345234514211(mod7)4第10级下超常体系教师版\n第三讲(3)由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除．（理由是设9个连续自然数中最小的为a，则9个数的和为9a36是9的倍数，而这9个数的数字之和可能会进位，但进一次位会少9，因此这九个数不论进位与否，数字之和肯定是9的倍数，因此把任意连续的9个自然数连起来写，所得到的数也能被9整除）由于2014除以9的余数是7，所以1234567891011121314…20132014这个数除以9的余数与20152016除以9的余数和为9.所以多位数1234567891011121314…20132014除以9的余数是1练一练22222(1)12320092010除以4的余数是____，除以3的余数是____．20172016201520142013(2)65432计算结果的个位数字是多少？【分析】(1)偶数的平方除以4余0，奇数的平方除以4余1.从1到2010共有1005个奇数，所以22222101010100512320092010除以4的余数，等于除以4的余100511005个和个0数，100542511，可见所求结果为1．3的倍数的平方除以3余0；而一个数如果不是3的倍数，它的平方除以3余1.那么22222110110110134012320092010除以3的余数，等于除13401个和670个0以3的余数，134034462，可见所求结果为2．201720162015201420135432(2)654326543265492108(mod10)例6(1)13520072009的末三位数是多少?105(2)253168的末两位数．【分析】(1)设a13520072009，a可以写成1000mn，这样a的末三位数就是n，而10008125，a本身就是125奇数倍，n只能是125,375,625,875中的一个，只需求a除以8的余数，由于19(mod8)，311(mod8)，513(mod8)，715(mod8)，所以13579111315(mod8)，同理911131517192123(mod8)，本题共有1005个乘数，100542511，而13571(mod8)，所以a1(mod8)，即a除以8的余数为1，因此n除以8的余数只能是1，经试验n625，即所求积的末三位数是625.(2)分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．10首先考虑4，253除以4余数是1，所以253除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0．101010再考虑25，253除以25余3，则只需看3除以25的余数，又32727273，则3除5以25的余数为222324；168除以25余18，则只需看1832432418除以25的余数，可知余数为18；又2418432除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．两位数中，除以25余7的数有07、32、57、82，其中能被4整除只有32，则原式的末两位即为32．第10级下超常体系教师版5\n笔记整理一、余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．二、余数的性质1.被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数.2.余数小于除数．3.a与b的差除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之差(或a的余数加一个除数减b的余数).4.a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．5.a与b的乘积除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)．三、余数特征1.末位法——被4,25,8,125,16,625除的余数特征2.数位和法——被3,9除的余数特征3.数位差法——被11除的余数特征4.三位截断法——被7,11,13除的余数特征模块3：余数的综合应用例7六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数，甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是________．【分析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是9的倍数．分别计算这六个数除以9的余数分别为8，0，3，6，1，5，所以这六个数的和除以9的余数是5，因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是9的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以9余5．六个数中只有8465除以9余5，故丙手中卡片上的数为8465．例8桌上放有多于4堆的糖块，每堆数量均不相同，而且都是不大于100的质数，其中任意三堆都可以平均分给三个小朋友，其中任意四堆都可以平均分为四个小朋友，已知其中一堆糖块是17块，则这桌上放的糖块最多是块．如果糖块数只有4堆,则放的糖块最多是____块.【分析】17被3除余2，被4除余1．要满足题目的条件，根据余数的性质，每堆块数都必须是被3除余2，被4除余1的质数．100以内这样的质数有：5、17、29、41、53、89这六个，它们的和是234．桌子上方的糖最多234块．如果是4堆，那么有17718389260块。6第10级下超常体系教师版\n第三讲复习本讲巩固1.甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【分析】因为甲乙1132，所以甲乙乙1132乙乙12321088；则乙(108832)1288，甲1088乙1000．2.当2011被正整数N除时，其余数是16，请问N的所有可能值有多少个。【分析】2011161995是N的倍数(N16),因为199535719，所以1995有222216个因数，但在1995的因数中，1,3,5,7,15这5个数都小于16，因此N的可能值有16511个.a23.求1~2008的所有自然数中，有多少个整数a使2与a被7除余数相同？a2【分析】让我们用列表的方法来寻找2与a被7除余数的规律：a1234567891011121314151617181920212a被7除的余数241241241241241241241a2被7除的余数142241014224101422410从上表可以看出：2a被7除的余数是2，4，1，2，4，1，2，4，1，，每3个一循环；2a被7除的余数是1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0，，每7个一循环．所以能同时满足这两个条件的规律，必须是3和7的公倍数，即为21的倍数，也就是使2a2与a被7除的余数相同的数，在自然数列中，是每21一个循环，其中有6个余数相同，分别是每个循环中的第2，4，5，6，10，15个数．又因为2008219513，所以，在1~2008的所有自然数中，能使2a与a2被7除余数相同的数共有：6955575（个）．4.多位数1234567891011121320122013除以9的余数是________．【分析】由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除．（理由是设9个连续自然数中最小的为a，则9个数的和为9a36是9的倍数，而这9个数的数字之和可能会进位，但进一次位会少9，因此这九个数不论进位与否，数字之和肯定是9的倍数，因此把任意连续的9个自然数连起来写，所得到的数也能被9整除）由于2013除以9的余数是6，所以1234567891011121314…20122013这个数除以9的余数等于123456除以9的余数，为3.所以多位数1234567891011121314…20122013除以9的余数是319975.求3的最后两位数．199739【分析】即考虑3除以100的余数．由于100425，由于327除以25余2，所以3除以251020220余8，3除以25余24，那么3除以25余1；又因为3除以4余1，则3除以4余1；即20202031能被4和25整除，而4与25互质，所以31能被100整除，即3除以100余1，1997176由于1997209917，所以3除以100的余数即等于3除以100的余数，而3729除51762517以100余29，3243除以100余43，3(3)3，所以3除以100的余数等于292943第10级下超常体系教师版7\n19971997除以100的余数，而29294336163除以100余63，所以3除以100余63，即3的最后两位数为63．6.有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有多少支？【分析】铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的3216倍．1723333638424951289除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支．7.在图表的第二行中，恰好填上8998～这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．因数89909192939495969798因数【分析】因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的8998～可以改换为110～，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：因数89909192939495969798因数37195621048进而得到本题的答案是：因数89909192939495969798因数91958997939490989296复习巩固1.一个数有4个因数,那么这个数的立方有_______个因数.33【分析】42214,对于第一种情况,这个数是p1p2形式的数,它的立方是p1p2形式的数,那么它有313116个因数.39对于第二种情况,这个数是p形式的数,它的立方是p形式的数,那么它有9110个因数.因此这个数的平方有16或10个因数.2.如图，将一张24厘米宽的长方形纸巾按图示折叠。折线长度刚好是30厘米。求纸巾的长。24a+1824303024a18a2222【分析】如图，根据勾股定理，a18a24182a18242a1832，所以纸巾的长是32厘米。12243.计算：[2(5.42)1]3.333914159【分析】原式23153318第10级下超常体系教师版\n第三讲629931开放试题查尔斯博士每天要吃三次药，每次吃三粒。药店有以下五种规格的药，每种最多买一瓶。博士去买哪几瓶最好。（规格：10粒装，20粒装，30粒装，40粒装，50粒装）第10级下超常体系教师版9\n第四讲第四讲同余预习知识GPS本讲内容同余同余的定义和符号，同余的性质及其运用前铺知识神奇的9——五年级秋季第6讲（第9级下）带余除法进阶——五年级春季第3讲（第10级下）后续知识不定方程——五年级春季第5讲（第10级下）韩信点兵——六年级暑假第2讲（第11级上）课前测试难度1今天是4月5日，星期六，艾迪想在周二半价的时候去看电影，那么他需要等几天？难度2如果艾迪下周二没空，那么他至少需要等几天？如果艾迪这个月都没空，那么他至少需要等几天？难度3想一想这些日子之间分别差几天，这些数字有什么关系？第10级下超常体系教师版1\n学习模块1同余的性质知识剖析按照上面的写法，我们可以发现：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．同余和我们之前学过的整除有着相似的性质：性质1.a≡a(modm),(反身性)性质2.若a≡b(modm)，那么b≡a(modm)，(对称性)性质3.若a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)，(传递性)性质4.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)，(可加减性)性质5.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)，(可乘性)nn性质6.若a≡b(modm)，那么a≡b(modm)，(其中n为自然数)(可乘方性)性质7.若ac≡bc(modm)，(c,m)=1，那么a≡b(modm)，(可除性)例112334141已知:3757134(mod9),2(2)11(mod7)，仿照此种形式,利用同余记号书写过程，计算下面各题最终的余数:(1)1234528_____________________________(mod11)(2)98766789__________________________(mod9)(3)5412852______________________________(mod7)2013(4)2____________________________(mod9)2013(5)48_____________________________(mod5)109(6)15____________________________________(mod13)20134(7)42013_______________________(mod13)101100(8)34_______________________________(mod11)【分析】(1)1234528202(mod11)(2)98766789330(mod9)(3)5412852155(mod7)201363353335(4)2(2)2188(mod9)201320135034(5)483(3)3133(mod5)109109912(6)152(2)2122(mod13)201341671294182122(7)42013(4)4112121264412162(mod13)2第10级下超常体系教师版\n第四讲101100100100(8)343(34)3123(mod11)例2用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？【分析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a|(412257),a|(257133)，说明a是这两个差的公因数。(155,124)31,所以a最大是31。练一练(1)有一个大于1的整数，除39,51,147所得的余数都相同，求这个数可能是多少？(2)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【分析】(1)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公因数．513912，14739108，(12,108)12，所以这个数可能是2，3，4，6，12.(2)因为1390313511392,1458913903686，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．(392,686)98，所以所求的最大整数是98.模块2同余的应用例3(1)有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是多少？(2)一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a5、2a、a，求这个自然数和a的值.【分析】(1)处理成余数相同的，则888、518-7、666-10的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是888-656=232的因数，也是656-511=145的因数，因此就是232、145的公因数,所以这个自然数是29。(2)将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：42952848，791、50021000，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.将这三个数相减，得到84879157、1000848152，所求的自然数一定是57和152的公因数，而57,15219，所以这个自然数是19的因数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a6时成立,所以这个自然数是19，a6.例4有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？【分析】(70110160)50290，503162，除数应当是290的大于17小于70的因数，第10级下超常体系教师版3\n只可能是29和58，11058152，5250，所以除数不是58．7029212,11029323,16029515,12231550,所以除数是29.练一练有一个大于1的整数，用它去除63，91，130所得到的3个余数之和是26，那么这个整数是______．【分析】(6391130)26258，26382，除数应当是258的大于8小于63的因数，只可能是43,经验证符合要求。例5学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友．余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1:2:3，问学前班有多少位小朋友？【分析】设学前班有a位小朋友，设余下的苹果的数量为x个，那么余下的饼干和糖的数量分别为2x块和3x粒．根据题意有176amx216an2x324ap3x那么a应为17621632468和1762216136的公因数所以学前班小朋友的人数是68的因数．由于学前班有几十位小朋友，所以其人数为两位数．而68的两位数因数有17、34和68．经试验，只有34符合题意，所以学前班有34位小朋友．综合综合计数模块一根红色的长线，将它对折，再对折，……，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线。已知红色短线比白色短线多，而且它们的数量之和是100的倍数。请问：红色短线至少有多少条？mnmn【分析】根据题意红色短线有21条，白色短线有21条（mn)，因此222100p（p为m1n1m1n1n10整数），即221应是50的倍数，所以22是奇数，由于m>n，那么212，m1n=1，而且2的个位数字是8，因此m1只能等于除以4余3的数，此时m1最小取11，m1n112所以m12，此时2212050，满足条件，因此红色短线至少有214097条笔记整理1.同余式若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．4第10级下超常体系教师版\n第四讲2.同余的性质性质1.a≡a(modm),(反身性)性质2.若a≡b(modm)，那么b≡a(modm)，(对称性)性质3.若a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)，(传递性)性质4.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)，(可加减性)性质5.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)，(可乘性)nn性质6.若a≡b(modm)，那么a≡b(modm)，(其中n为自然数)(可乘方性)性质7.若ac≡bc(modm)，(c,m)=1，那么a≡b(modm)，(可除性)模块3同余与弃9法的综合应用例6判断以下计算是否正确:42784×3968267=1697598942348【分析】若直接将右边算出，就可判断.42784×3968267=169778335328，可知以上结果是错的；但是计算量太大。如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数，便是原数除以9的余数。考虑上式除以9的余数，如果余数不相同，则上式一定不成立。右式和左式的个位数字相同，因而无法由个位断定上式是否成立，但是4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9）3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9）42784≡7（mod9）；3968267≡5（mod9）42784×3968267≡35≡8（mod9）（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）因此上式不成立以上是用“除9取余数”来验证结果是否正确，常被称为“弃九验算法”。不过应该注意，用弃九验算法可发现错误，但没找出错误时不能保证原题一定正确。例73个三位数乘积的算式abcbcacab234235286(其中abc)，在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少？【分析】由于2342352862342352868(mod9)，33abcbcacab(abc)(mod9)，于是(abc)8(mod9)，从而(用abc0,1,2,,8(mod9)代入上式检验)abc2,5,8(mod9)…(1)，对a进行讨论：如果a9，那么bc2,5,8(mod9)…(2)，又cab的个位数字是6，所以bc的个位数字为4，bc可能为41、72、83、64，其中只有(,)bc(4,1),(8,3)符合(2)，经检第10级下超常体系教师版5\n验只有983839398328245326符合题意．如果a8，那么bc3,6,0(mod9)…(3)，又bc的个位数字为2或7，则bc可能为21、43、62、76、71，其中只有(,)bc(2,1)符合(3)，经检验，abc821不合题意．如果a7，那么bc4,7,1(mod9)…(4)，则bc可能为42、63，其中没有符合(4)的(,)bc．如果a6，那么b5，c4，abcbcacab700600500210000000222334586，因此这时abc不可能符合题意．综上所述，abc983是本题唯一的解．例82009设2009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D，那么D．2009【分析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以2009与A、B、C、D除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与22009除以9622009263345(2)633425除以9的余数为的余数相同，而264除以9的余数为1，所以52除以9的余数，即为5．2009200980362009另一方面，由于20091000010，所以2009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324，即A72324；那么A的各位数字之和B9545，B的各位数字之和C9218，C小于18且除以9的余数为5，那么C为5或14，C的各位数字之和为5，即D5．复习本讲巩固30311.利用同余记号计算:3130被13除所得的余数是多少？30313031212621273212【分析】313054(5)5(4)4(5)246443(mod13)2.如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？【分析】482-74=408;992-74=918;1094-74=1020;(408,918,1020)102这个数只要是102的因数即可，但知道余数是74（余数要比除数小），所以这个数一定是102。3.一个自然数除70、125、361所得的余数分别是a19、a、2a，求这个自然数和a的值.【分析】70-19=51，125×2=250，根据题意可知：这个自然数除51与125都余a，因此这个数一定是125-51=74的因数；同样这个数也一定是361-250=111的因数。（74，111）=37，因此这个数为37.a=144.乘法算式:3145×92653=291__93685的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？【分析】利用两边除以9的余数相同发现左边除以9的余数为1,而右边除以9的余数为7,因此至少要加3才能使两边相等.所以要填的数字为35.一个三位数是它各位数字之和的19倍，那么这个三位数最大可以是多少？6第10级下超常体系教师版\n第四讲【分析】abc19(abc)，81a9b18c，9ab2c(想想为什么能约个9，是不是巧合呢)想让三位数大，需要a大，那么由这个式子，b和c都要大，这个三位数的最大值是399mm6.在1~2011的整数中，有多少个m使20102009能被11整除？mmmmmm【分析】20108mod11，20097mod11.我们将8和7除以11的余数列在下表：m123456789101112m8模11的余数8964103257189m7模11的余数7523104698175mm可见，当m5,10,15,时，2010和2009被11除的余数相同.mm20115402，共有402个m，使得20102009能被11整除.7.2个两位数乘积的算式abba9424，在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，则乘积的正确结果应该是多少？2【分析】abba(ab)94241(mod9），得到ab1(mod9)或ab8(mod9)若ab1(mod9)，则ab10，由abba的尾数只能是2，4，9之一，因此只需要试91×19和64×46两个算式．可得到答案64×46＝2944.若ab8(mod9)，则ab8(abba88,abba444419362449),无解．或ab17(98898722)，也无解．因此正确的结果应该是2944.复习巩固1.如图，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为10厘米．求阴影部分的面积．（π取3.14）1010rR222222【分析】如右上图，Rr525；则阴影面积为(Rr)2578.5cm.133.875380.0915.540542..415418.25111715459313.8750.23.8750.93.875108155【分析】原式5959.18.2517.25594725553.有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，则这串数的第2011个数除以7余数是____.【分析】由于两个数的和除以7的余数等于这两个数除以7的余数之和再除以7的余数．所以这串数除以7的余数分别为：1，1，2，3，5，1，6，0，6，6，5，4，2，6，1，0，1，第10级下超常体系教师版7\n1，2，3，5，……，余数是的周期是16，20111612511，因此第2011个数除以7余数是5开放试题在日历中找一找你出生那年的生日是星期几，看看还有哪些年和它一样.想一想这些年份有什么规律。8第10级下超常体系教师版\n第五讲第五讲不定方程预习知识GPS本讲内容不定方程掌握同余法解不定方程，灵活运用不定方程解决实际问题前铺知识列方程组解应用题——五年级暑假第5讲（第9级上）同余——五年级春季第4讲（第10级下）后续知识韩信点兵——六年级暑假第2讲（第11级上）数论模块综合选讲3——六年级春季第8讲（第12级下）课前测试难度1艾迪和薇儿手中共有20块钱，艾迪手中每张都是2块钱，薇儿手中每张都是5块钱，那么他们各有多少钱？难度2艾迪和薇儿手中共有30块钱，艾迪手中每张都是2块钱，薇儿手中每张都是5块钱，那么可能各有多少钱？难度3艾迪手中比薇儿多4元，艾迪手中每张都是5块钱，薇儿手中每张都是7块钱，那么艾迪最少有多少钱？第10级下超常体系教师版1\n学习模块1解不定方程知识剖析不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）．2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一．3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解例1求下列方程的正整数解(4小题仅需写出2组)，并观察各组答案之间未知数系数的关系，你能发现什么？(1)2x+3y=7(2)8x+12y=64xy(3)323(4)3x-7y=4x2x5x2x4x2【分析】(1)；(2)化简为2x+3y=16,解得;；(3)化简为3x+2y=18,解得;；y1y2y4y3y6x6x13(4);;规律为：当解出(二元)不定方程的第一组(整数)解后，加减(化简后的)y2y5对方系数即可得到其余的(整数)解.练一练求下列方程的正整数解(2,3小题仅需写出2组)(1)3x+5y=60(2)9x-12y=6xy(3)123x5x10x15x2x6【分析】(1);;；(2)化简为3x-4y=2,解得;;y9y6y3y1y4x4x6(3)化简为3x-2y=6,解得;;y3y62第10级下超常体系教师版\n第五讲例29a6b4c80解方程组（其中a、b、c均为自然数）abc15【分析】根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：(9a6b4)4(cabc)80415，整理后得5a2b20，根据等式性质，2b为偶数，20为偶数，所以5a为偶数，所以a为偶数，当a0时，b10；当a2时，522b20，b5;当a4时，542b20，a0a2a4b0．所以方程组的解为b10b5b0c5c8c11模块2不定方程解应用题知识剖析解不定方程的技巧1、余数分析法将不定方程的解按某个正整数m的余数分类，或者，考察方程中的项对某个正整数的余数，再进行分析．2、因数分析法任何非零整数的因数个数是有限的，因此，可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法确定．3、奇偶分析法利用等式两边的奇偶性质相同确定未知数的取值范围．4、不等分析法利用量的整数性或不等关系，确定出方程解的范围．例3一个同学把他的生日的月份乘以30，日期乘以11，然后加起来的和是350，他的生日是几月几日？【分析】设这个同学的生日是x月y日，根据题意列方程得30x11y350，由于350301120，x8所以11y30a20，所以y10，对应的方程的解为，所以这个同学生日是8月y1010日例4大客车有48个座位，小客车有30个座位．现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位．需要大、小客车各多少辆？【分析】设需要大，小客车各xy,辆，根据题意列方程得48x30y306，化简得8x5y51，因为8x是偶数，51是奇数，因此5y是奇数，因此5y第10级下超常体系教师版3\n的个位数字是5，8x的个位数字是6，因此x2，（x7舍去），所以y7，大客车有2辆，小客车有7辆．练一练实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【分析】设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人，那么有：5x3y306．由于知道中巴车的载客人数，也就是知道了y的取值范围，所以应该从y入手．显然3y被5除所得的余数与306被5除所得的余数相等，从个位数上来考虑，3y的个位数字只能为1或6，那么当y的个位数是2或7时成立．由于y的值在20与25之间，所以满足条件的y22，继而求得x48，所以大巴车的载客人数为48人．例5甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在30天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【分析】假设甲、乙分别有x天和y天在生产A配件，则他们生产B配件所用的时间分别为(30x)天和(30y)天，那么30天内共生产了A配件(300x120)y个，共生产了B配件150(30x)48(30y)5940150x48y个．要将它们配成套，A配件与B配件的数99028y量应相等，即300x120y5940150x48y，得到75x28y990，则x．7599028y此时生产的产品的套数为300x120y300120y39608y，要使生产的产品75最多，就要使得y最大，而y最大为30，所以最多能生产出39608304200套产品．综合综合最值模块小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声.问：波斯猫至少叫了多少声?【分析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声.设早晨见面x次，晚上见面y次.根据题意有3x5y61（x15，y15）.可以凑出，当x2时，y11；当x7时，y8；当x12时，y5.因为小花狗共叫2xy声，xy越大，小花狗叫得越多，波斯猫叫得越少，所以x12，y5时波斯猫叫得最少，共叫1123527(声).4第10级下超常体系教师版\n第五讲笔记整理一、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）．2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一．3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解二、解不定方程的技巧1、余数分析法将不定方程的解按某个正整数m的余数分类，或者，考察方程中的项对某个正整数的余数，再进行分析．2、因数分析法任何非零整数的因数个数是有限的，因此，可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法确定．3、奇偶分析法利用等式两边的奇偶性质相同确定未知数的取值范围.4、不等分析法利用量的整数性或不等关系，确定出方程解的范围．模块3不定方程的综合应用例6中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的“百钱买百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？”你会做吗？（这道题的意思就是：公鸡1只值5钱，母鸡一只值3钱，小鸡三只值1钱，今有100钱，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？）【分析】设买公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只，根据题意，可得方程组xyz100①15x3yz100②3由②3①，得14x8y200，即：7x4y100因为x、y为正整数，所以不难得出x应为4的倍数，故x只能为0、4、8、12，从而相应y的值分别为25、18、11、4，相应z的值分别为75、78、81、84．x0x4x8x12所以，方程组的特殊解为y25y18，y11，y4z75z78z81z84所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买0只、25只、75只或4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只．第10级下超常体系教师版5\n例7王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬币，二分硬币的枚数333是一分的，五分硬币的枚数是二分的，一角硬币的枚数是五分的少7枚．王大妈兑换到的纸555币恰好是大于50小于100的整元数.问这四种硬币各有多少枚？x3323【分析】设1分的硬币有x个，共计元；则2分的硬币有x个，共计xx元；5分10055100250995927的硬币有x个，共计xx元；1角的银币有x7个，共计25251005001252710277x3927777(x7)x元．总计共xxxx0.7元，125100125010100250500125010125027且有1角的银币有x7个说明x必为125的倍数，不妨设x125k。1257777则x0.7125k0.77.7k0.7，为了使其为整数，k=1，11,21，…12501250经检验，只有k=11时，7.7k0.784元，在50至100之间．当k=11时，x111251375，33分别可以得到1分的硬币有1375枚，2分的硬币有1375825枚，5分的有825495553枚，1角的有4957290枚．5例8在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．【分析】假设投中17分、11分、4分的次数分别为x次、y次和z次，那么投中飞镖的总次数为xyz次，而总得分为17x11y4z分，要想获奖，必须17x11y4z120．由于17x120，得到x6．当x的值一定后，要使xyz最小，必须使y尽可能大．若x6，得到11y4z18，此时无整数解；若x5，得到11y4z35，此时y1，z6，xyz51612；若x4，得到11y4z52，此时y最大为4，当y4时z2，这种情况下xyz10；若x3，得到11y4z69，此时y3，z9，xyz33915；若x2，得到11y4z86，此时y最大为6，当y6时z5，这种情况下xyz13；若x1，得到11y4z103，此时y最大为9，当y9时z1，这种情况下xyz11；若x0，得到11y4z120，此时y最大为8，当y8时z8，这种情况下xyz16．经过比较可知xyz的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖．6第10级下超常体系教师版\n第五讲复习本讲巩固1.求6x22y90的自然数解．【分析】因为6,90x都是3的倍数，因此22y也是3的倍数，因此y0或y3（y6舍去），对应x4x15的自然数解为，．y3y02.小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？【分析】这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解．设小峰养了x只兔子和y只鸡，由题意得：4x2y24即：2xy12，y122x这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：x0123456y121086420由题意xy，且x，y均不为0，所以x5，y2，也就是兔有5只，鸡有2只．3.某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【分析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天，则他们用于生产裤子的天数分别为(21x)天和(21y)天，那么总共生产了上衣(16x18)y件，生产了裤子20(21x)24(21y)92420x24y件．根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16x18y92420x24y，即6x7y154，即1547y1547y22x．那么共生产了16x18y1618y410y套衣服．6633要使生产的衣服最多，就要使得y最小，则x应最大，而x最大为21，此时y4．故最多22可以生产出4104408套衣服．335x7y9z524.求方程组的正整数解．3x5y7z36【分析】将方程组中两式相减并化简可得，xyz8，与3x5y7z36联立并消去x有x3x4y2z6，故z1或2，故原方程的正整数解为：y4，y2．z1z25.现有1角、5角、1元的硬币各10枚,从中取出15枚,共值7元,三种硬币各取多少枚?【分析】设1角硬币取x枚，2角硬币取y枚，5角硬币取z枚，依题意列方程得第10级下超常体系教师版7\nxyz15，两个方程，三个未知数，不会解，但要考虑到未知数是整数，可以根x5y10z70据整除性质进行解题，两个方程相减得4y9z55,则9z554y,所以554y是9的倍数，这样只能等于45，36，27，18，9，经过尝试只有554y27这一种情况，所以y7,z3,这样x5，所以三枚硬币各取5枚，7枚，3枚.16.单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男3职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？1【分析】因为有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数．设男职工有x人，女职工3有y人．xy则职工总人数是xy人，孩子是人．得到方程：13x10yxy36216，化3简得：5x4y72．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当y3时，x12；当y8时，x8；当y13，x4．其中只有31215是3的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工．.7.有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分)【分析】设某一学生前4次的平均分为x分，第5次的得分为y分，则其5次总分为4xy905450，于是y4504x．显然90y100，故904504x100，解得87.5x90．由于x为整数，可能为88和89，而且这两个学生前4次的平均分不同，所以他们前4次的平均分分别为88分和89分，那么他们第5次的得分分别为：45088498分；45089494分．复习巩固1532191.4.853.66.1535.51.75141853215【分析】本题观察发现除以相当于乘以3.6则公因数就出来了181532194.853.66.1535.51.75141853211757194.853.613.66.153.65.5443421135194.8516.153.65.541212154365.595.54.5104122.将从1到103的连续奇数依次写成一个多位数：a13579111315171921……9799101103．则数a共有_____位，数a除以9的余数是___．8第10级下超常体系教师版\n第五讲【分析】一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a是一个524532101（位）数．因为等差数列中的连续9个数的和是9的倍数，所以等差数列中把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除．而52除以9的余数是7，如果给后7个数再补上105107，就能被9整除，105107除以9余5，所以数a除以9余43.在下边的加法算式中，若每个字母均表示0到9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同，也不与算式中已有的数字相同，则A与B乘积的最大值是多少？ECF9DG10AB【分析】因为ECF9DG10AB，等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是9的倍数，即10AB是9的倍数，由于AB7815，所以AB8，再根据“和一定，差小积大”，所以A、B的取值为3、5时，A与B乘积的最大值是15．开放试题为鼓励节约用电，如今很多城市开始采用阶梯式电价，根据用电量不同，电价也不同。询问一下父母电价标准以及上个月的用电量，算一算需要交多少电费。第10级下超常体系教师版9\n第六讲第六讲浓度问题预习知识GPS本讲内容浓度问题理解浓度三个量之间的基本关系学习解决浓度混合问题的十字交叉方法前铺知识分数应用题——五年级秋季第4讲（第9级下）比例应用题——五年级寒假第3讲（第10级上）后续知识经济问题——六年级秋季第7讲（第11级下）应用题综合（二）——六年级秋季第12讲（第11级下）课前测试难度1想一想，我们喝的糖水中主要有哪些东西？是糖多还是水多？难度2想一想可以用什么办法表示糖水中的含糖量？用什么办法可以提高含糖量？难度3能否用含糖量10%的糖水和含糖量30%的糖水配出含糖量20%的糖水？第10级下超常体系教师版1\n学习模块1浓度公式运用知识剖析一、基本概念溶质：被溶解的物质．例如糖、盐、酒精．溶剂：溶解溶质的液体．例如水．溶液：溶质、溶剂的混合物．二、基本公式溶质+溶剂=溶液溶质浓度=100%溶液例1⑴20克糖放入100克水中，得到的糖水溶液是克，溶质克，溶剂克．⑵把10克盐放入40克的水中，搅拌均匀，则这杯盐水的浓度为．⑶现有浓度为37.5%的糖水18克，则其中有克的糖．⑷有一杯60%的糖水，其中有糖15克，则这杯糖水有克，其中有纯水克．【分析】⑴120,20,100；⑵20%⑶6.75；⑷25,10例2⑴现有浓度为20%的盐水400克，加入100克盐，浓度变为多少？⑵现有浓度30%的酒精溶液500克，加入500克水，浓度变为多少？⑶现有浓度为25%的盐水400克，加入20%的盐水600克，浓度变为多少？⑷现有浓度为20%的酒精溶液20克，加入30%的酒精溶液30克，再加入40%的酒精溶液50克，混合后浓度变为多少？【分析】⑴36%；⑵15%；⑶22%；⑷33%．模块2浓度相关技巧知识剖析三、相关技巧1.寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量用比例解题或建立等量关系列方程2.十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)2第10级下超常体系教师版\n第六讲甲浓度混合后浓度与乙浓度差甲溶液重量形象表达：混合后浓度甲浓度与混合后浓度差乙溶液重量乙浓度例3⑴一杯浓度为20%的糖水，加入一定量的水后，糖水的含糖百分比变为15%，所加的水与原来的水的重量比是多少？⑵一杯浓度为10%的盐水，蒸发掉一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%，所蒸发的水与原来的水重量的比是多少？⑶一杯浓度为10%的盐水，加入一定量的盐后，盐水的含盐百分比变为15%，所加的盐与原来的盐的重量比是多少？⑷一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为百分之几？⑸一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次加入同样多的盐，盐水的含盐百分比将变为百分之几？20601560【分析】⑴加水，盐不变，20%，15%，因此所加的水与原来的水的比100300100400是(400300):(30060)100:2405:1210301530⑵蒸发水，还是盐不变，10%，15%，因此所蒸发的水与原来的100300100200水的比(300200):(30030)100:27010:27⑶加盐，水不变，加盐前，盐与水的比是10%:(110%)1:917:153，加盐后盐与水的比是15%:(115%)3:1727:153，因此所加的盐与原来的盐的比是(2717):1710:171560⑷由于每次加水，因此应该是盐的重量不变，因此可以统一不变量，，1004001260，可知每次都是加了100份水，所以第三次再加同样多的水后，浓度为10050060100%10%50010015601260⑸由于每次加水，因此应该是盐的重量不变，因此可以统一不变量，，，100400100500可知每次都是加了100份水，所以第三次再加同样多的盐后，浓度为60100100%26.67%．500100练一练⑴一杯浓度为30%的盐水，加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%，所加的水与原来的水的重量比是多少？⑵一杯浓度为15%的盐水，蒸发掉一定量的水后，盐水的含盐百分比变为25%，所蒸发的水与原来第10级下超常体系教师版3\n的水的重量比是多少？⑶一杯浓度为15%的盐水，加入一定量的盐后，盐水的含盐百分比变为25%，所加的盐与原来的盐的重量比是多少？301530【分析】⑴加水，盐不变，30%，15%，因此所加的水与原来的水的比是100100200(200100):(10030)100:7010:715752575⑵蒸发水，还是盐不变，15%，25%，因此所蒸发的水与原来100500100300的水的比(500300):(50075)200:4258:17⑶加盐，水不变，加盐前，盐与水的比是15%:(115%)3:179:51，加盐后盐与水的比是25%:(125%)1:317:51，因此所加的盐与原来的盐的比是(179):518:51例4A、B两杯食盐水各有40克，浓度比是3:2．在B中加入60克水，然后倒入A中________克．再在A、B中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为7:3．【分析】两杯中的食盐水总量相同，浓度比为3:2，则含盐量也是3:2，向B杯中加水不会改变两杯中的含盐量．倒入后A和B的含盐量改变，比例变为7:3，但是倒入前后两杯盐水的含盐的总和是不变的，3+2=5,7+3=10，统一份数．3:2=6:4，这时总含盐量看成10份，原来A、B各含6份和4份，倒入后各含7份和3份，说明B向A倒入了刚好1份的盐，从100克中倒出25克刚好含1份的盐．例5现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？【分析】根据十字交叉，因此两种溶液重量比为2:3，所以需要再加入202330（千克）浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水10%30%22%8:12=2:3练一练要配制浓度为20％的盐水1000克，需浓度为10％和浓度为30％的盐水各多少克？4第10级下超常体系教师版\n第六讲10%30%20%110:10=1:1【分析】根据十字交叉，所以两种溶液各1000500（克）11例6甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为62％．如果每种酒精取的数量比原来都多取15千克，混合后纯酒精含量为63.25％．第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少千克？【分析】利用两个十字交叉技巧，可知混合前溶液重量比为4:10，混合后重量比是9:15，重量差是9415105份，恰是15千克，所以第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了155412（千克），1551030（千克）甲乙甲乙725872586263.254105.258.75915综合综合应用题模块在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是多少只？【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，有80%的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫．那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：80%32%:32%20%4:1．而狗比猫多180只，所以狗的数目为180414240只．笔记整理一、浓度问题相关公式溶质溶质溶液溶质溶剂；浓度100%100%．溶液溶质溶剂二、十字交叉法甲溶液的浓度为x，乙溶液的浓度为y，（xy），两种溶液混合后浓度为z，则甲、乙两种溶液重量比为(zy):(xz)第10级下超常体系教师版5\nxyzz-y:x-z模块3浓度综合应用例7瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的两种酒精溶液A、B，瓶里的酒精溶液浓度变成了14%．已知A种酒精溶液是B种酒精溶液浓度的2倍，那么，A种酒精溶液的浓度是%．【分析】方法一：方程法．设B种酒精的浓度为x，则A种酒精的浓度为2x，于是可以得到：1002x400x100015%(1000100400)14%600x150210x0.1故A的浓度为2x20.10.220%．方法二：比例法．1000×15%=150（克），混合后溶液中纯酒精为（1000+400+100）×14%=210（克），210-150=60（克），A和B共含酒精60克，已知A和B的重量比为1:4，浓度比为2:1，那么含酒精的量比1:2，那么A中含酒精60÷3=20（克），则A的浓度为20%.x方法三：十字交叉法．设A种酒精溶液的浓度为x，则B种为．2根据题意，假设先把100克A种酒精和400克B种酒精混合，得到500克的酒精溶液，再与1000克15％的酒精溶液混合，两种溶液重量比1000:5002:1．15%2%14%y1%所以A、B两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为y14%2%12%．xx12%2根据十字交叉法，12%xx12%2x有x12%:12%400:100，解得x20%．2故A种酒精溶液的浓度是20％．例86第10级下超常体系教师版\n第六讲薇儿从冰箱里拿出一瓶100%的纯果汁，一口气喝了五分之一后又放回了冰箱．第二天妈妈拿出来喝了剩下的五分之一，觉得太浓，于是就加水兑满，摇匀之后打算明天再喝．第三天薇儿拿出这瓶果汁，一口气喝得只剩一半了．她担心妈妈说她喝得太多，于是就加了些水把果汁兑满．第四天薇儿拿出这瓶果汁，一口气喝的只剩下四分之一了，这时候妈妈发现了，又往瓶中倒了一些水，这时候果汁的浓度刚好为24%．请问：这瓶果汁最后是整瓶的几分之几？（认为果汁与水密度相同）11【分析】第二天加水后浓度：11100%64%55164%第三天加水后的浓度：2100%32%1132%1设整瓶为1份，妈妈倒后共有x份，则4，解得x，那么这瓶果汁最100%24%3x1后还有．3复习本讲巩固1.⑴把10克糖放入水中，搅拌均匀，称得糖水的总重量为40克，则这杯糖水的浓度为．⑵有一杯浓度为11%的糖水，其中有糖18.7克，则这杯糖水有克．【分析】⑴25%；⑵1702.从装满100克浓度为80%的盐水的杯子中倒出40克盐水后再倒入清水将杯倒满，这样反复三次之后，杯中盐水的浓度为多少？【分析】要想求出最后盐水的浓度，需要求出来最后盐水有多少克和最后有多少盐．比较好求的是最后盐水还有100克，现在的问题就是求出最后的那杯盐水中含有多少克盐．我们观察这个过程：第一次倒入清水加满后：浓度变为1004080%100100%48%；第二次倒入清水加满后：浓度变为1004048%100100%28.8%；第三次倒入清水加满后：浓度变为1004028.8%100100%17.28%．3.三瓶质量相同的酒精溶液，酒精和水的质量比分别是21∶、31∶、41∶．当把三瓶酒精溶液混合后，酒精与水的质量比是．【分析】由于213，314，415，345，，60，所以将三个容积相等的瓶子各自平均分成60份，那么三瓶中酒精与水的比分别是：4020∶，4515∶，4812∶混合后酒精与水的比是404548∶201512133:47．4.一个20千克的大西瓜，它重量的98%是水分，将西瓜放在太阳下晒，水分蒸发后，西瓜重量的95%是水分．那么晒后西瓜的重量是__________千克．【分析】抓住不变量．可以想象成“干西瓜”的质量是不变的，20（1-98%=）0.4（千克）第10级下超常体系教师版7\n0.4（195%）（8千克）5.把含盐5%的食盐水与含盐8%的食盐水混合制成含盐6%的食盐水600克，分别应取两种食盐水各多少千克?5%8%【分析】6%2%:1%2:1因此5%的盐水为600(21)2400（克），8%的盐水600400200（克）.6.A种酒精中纯酒精的含量为43%，B种酒精中纯酒精的含量为36.6%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合在一起得到了纯酒精的含量为40.6%的酒精11千克，其中B种酒精比C种酒精多3千克．那么其中的A种酒精有多少千克？【分析】方法一：首先，本题中的B种酒精比C种酒精多3千克，为了使问题化简，可以假设先从B种酒精中减掉3千克酒精，这样酒精B与C的数量就同样多．如果在11千克酒精中减掉3千克B种酒精，那么在减掉3千克B种酒精后的酒精浓度为：40.6%1136.6%3100%42.1%113此时还剩1138(千克)酒精．这样一来，问题就转化成：A种酒精中纯酒精的含量为43%，B种酒精中纯酒精的含量为36.6%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合在一起得到了纯酒精的含量为42.1%的酒精8千克，其中B种酒精与C种酒精的数量相等．那么其中的A种酒精有多少千克？我们把配制42.1%的酒精的过程分两步进行．第1步，先把同样多的B种酒精与C种酒精进行配比，因为酒精B与C的数量比是11∶，由此可求得配比后的浓度为：(36.6%35%)235.8%43%35.8%42.1%6.3:0.9=7:1根据十字交叉77由于现在共有8千克酒精，所以A种酒精占8千克中的，即A种酒精有7千克．178方法二：我们还可以根据混合前后纯酒精的含量关系来列方程求解．设C种酒精为x千克，则B种酒精为(x3)千克，A种酒精为(82x)千克．混合前的纯酒精含量为：(82x)43%(x3)36.6%x35%；混合后的纯酒精含量为：1140.6%．由于混合前后的纯酒精含量相等，所以：(82x)43%(x3)36.6%x35%1140.6%解上述方程可得：x7．7.甲桶有若干千克凉开水，乙桶有若干千克果汁．第一步从甲桶往乙桶倒水，倒入的重量是乙桶8第10级下超常体系教师版\n第六讲原有果汁的两倍；第二步从乙桶往甲桶倒混合液，倒入的重量等于甲桶中现有水的两倍．现在两桶装的混合液总量相等．求原来甲桶中的水和乙桶中的果汁的重量的比．【分析】设甲桶中有水x千克，乙桶中有果汁y千克．第一次倒完后，甲桶中有水x2y千克，乙桶中有混合液3y千克（y千克果汁，2y千克水）；第二次倒完后，甲桶中有混合液3x2y27千克（x2y千克果汁，x2y千克水），乙桶有混合液7y2x千克，由于现在两33桶装的混合液总量相等，则3x6y7y2x，那么x:y13:5，即原来甲桶中的水和乙桶中的果汁的体积比为13:5.复习巩固1.2014除以一个数，余数是22．求出符合条件的所有数共有多少个．3【分析】2014221992，19922383，因此1992有16个因数，但因数1,2,3,4,6,8,12小于22，所以符合条件的所有数共有1679个2.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数、一个四位数，使得这三个数的和等于2014，那么其中没有被选中的数字是________.【分析】根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍.由于2014的各位数字之和为7，而0+1+2+…+9=45，所以应该从中去掉2.3.袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43．问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【分析】设小明摸出标有数字2，3和5的球分别为x，y，z个，于是有xyz12(1)2x3y5z43(2)由5(1)(2)，得3x2y17(3)，由于x，y都是正整数，因此在⑶中，y取1时．x取最大值5，所以小明最多摸出5个标有数字2的球．开放试题倒一小杯水，试一试水中究竟可以溶解多少盐？有什么方法可以让盐溶得更多么？第10级下超常体系教师版9\n第七讲圆与扇形进阶预习知识GPS本讲内容圆与扇形进阶学习弓形、弯角形和谷子形等圆中基本图形面积求法灵活掌握容斥原理、差不变和割补法在复杂图形中的应用前铺知识长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）圆与扇形初步——五年级寒假第5讲（第10级上）后续知识圆柱与圆锥——六年级秋季第2讲（第11级下）旋转与轨迹——六年级秋季第6讲（第11级下）课前测试难度1在正方形纸片中剪下一个最大的圆，剩下的碎纸片有几部分?难度2在圆形纸片中再剪下一个最大的正方形，剩下的碎纸片又有几部分？难度3想一想如何求这些碎纸片的面积？每个小碎纸片的面积分别是多少？第10级下超常体系教师版1\n第八讲学习模块1基本图形面积求法知识剖析一、相关公式22n圆的面积r；扇形的面积=r；360n圆的周长=2r；扇形的弧长=2r.360二、基本图形1、“弓形”：弓形一般不要求求周长，主要求面积.一般来说，“弓形”面积=扇形面积－三角形面积（除了半圆）2、“弯角”：如图，“弯角”的面积=正方形－扇形3、“谷子”：如图，“谷子”的面积=“弓形”面积×2例1一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为1的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分的面积和是_____.(取3)【分析】法1：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍.阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：2901每个角阴影部分面积为111；36041那么圆无法运动到的部分面积为4142法2:如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为223112第10级下超常体系教师版\n例2求下列图形中阴影的面积.（取3.14）AD810128O10OB12C212【分析】S=83.1486450.2413.76=-=弯角4121S=101010=28.5弓形42212S=2S=2（123.1412)=2(144113.04)-=61.92谷子弯角4练一练求下列图形中阴影的面积（取3.14）AD10585510O8OBC555121【分析】S=5557.125弓形42212S=53.145=2519.6255.375-=弯角4121S=2S=2（555=14.25）谷子弓形42例3如图所示，分别以直角三角形的三个边为直径作半圆，这三个半圆交出两个月牙形的区域（阴影部分），求这两个月牙形面积之和.第10级下超常体系教师版3\n第八讲2221212【分析】因为ABC90，由勾股定理ACABBC,又S大半圆=AC,S中半圆=BC,8812S小半圆=AB,所以S大半圆=S中半圆+S小半圆，那么81S=S+S+S-S=S=512=30月牙中半圆小半圆ABC大半圆ABC2模块2复杂图形转化思想知识剖析三、转化思想1.容斥原理：将两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的就是重叠部分面积.2.差不变：将两部分各加上同一部分，面积的差不变.3.割补法：将复杂图形分割后重新组合，变为基本图形，面积不变.例4下图中大圆的半径是20厘米，7个小圆的半径都是10厘米．那么阴影图形的面积是平方厘米．（π取3.14）【分析】用7个小圆的面积减去大圆的面积就是阴影图形的面积.22S阴S小圆7S大圆=π107π20300π942（平方厘米）.练一练如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积.（取3）4第10级下超常体系教师版\nDAEFBC【分析】法1：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键.我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD，12所以不规则部分ABFD的面积为64412（平方厘米），4再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积，12则有阴影部分面积为61215（平方厘米）.4法2：利用容斥原理1212SSSS644615（平方厘米）阴影扇形EAB扇形BCF长方形ABCD44例5三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10cm，大半圆外的阴影面积比大半2圆内的阴影面积大cm．（取3.14）【分析】利用差不变原理，如右图．大半圆外阴影面积－大半圆内阴影面积=（大半圆外阴影面积＋A＋B）－（大半圆内阴影面积＋A＋B）=两个小圆－（大半圆－两个小半圆）=两个小圆－（两个小圆－一个小圆）2=一个小圆=10=314例6下图中的大正方形边长为4厘米，每个圆弧皆是半径为1厘米的半圆或四分之一圆，请问阴影部分面积为多少平方厘米？(取3.14)第10级下超常体系教师版5\n第八讲【分析】将图形分割如右图，阴影部分可拼成10个小正方形，即阴影面积10平方厘米.综合综合应用题模块一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块．现甲取②③两块，乙取①④两块，如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？【分析】互相垂直的两弦如图记为AB，CD．在弦AB上取点H，使得AH=EB.在弦CD上取点F，使得DF=CE.过点H作弦CD11AB，过点F作弦AB11CD，弦CD11与AB11交于点G，中间交成长方形EFGH．易知，长方形EFGH就是甲比乙多得的面积．其面积为(5-3)×(7.5-2)=11（平方厘米）．甲应偿付给乙5.5平方厘米的价值，即：甲应偿付给乙5.5×1000=5500（元）．笔记整理一、相关公式22n圆的面积r；扇形的面积=r；360n圆的周长=2r；扇形的弧长=2r.360二、基本图形1、“弓形”：弓形一般不要求求周长，主要求面积.一般来说，“弓形”面积=扇形面积－三角形面积（除了半圆）2、“弯角”：如图，“弯角”的面积=正方形－扇形3、“谷子”：如图，“谷子”的面积=“弓形”面积×2三、转化思想1.容斥原理：将两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的就是重叠部分面积.2.差不变：将两部分各加上同一部分，面积的差不变.3.割补法：将复杂图形分割后重新组合，变为基本图形，面积不变.6第10级下超常体系教师版\n模块3转化思想综合应用例7以下几题答案可保留π(1)如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是______平方厘米.DCAB(2)下图中阴影部分的面积为____．44(3)如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S，空白部分面积为S，那么这两个12部分的面积之比是_____.(4)如图，ABCD是正方形，且FAADDE1，则阴影部分的面积为_____．BCFADE(5)图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．则阴影部分的面积和为_____．第10级下超常体系教师版7\n第八讲(6)图中每一个圆的面积都是1平方厘米，则六瓣花形阴影部分的面积是_____平方厘米.(7)下图的4个圆，半径都是10厘米，则阴影部分的面积总和是平方厘米．(8)如图正方形边长为1，则阴影部分面积为______(9)传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米.每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如下图).那么，阴影部分的面积是_____平方米.121111029384756【分析】(1)如右图将阴影的面积⑴通过割补法放到⑵处，所以阴影面积为1010425（平方厘米）.DC(1)(2)AB8第10级下超常体系教师版\n(2)可将左下谷子的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针旋转90，则阴影部分转化为四分之一圆减121去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为44448．42(3)如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方222形．设大圆半径为r，则S22r，S1r2r，所以SS1:22:2．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．(4)法1：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现.由于对称性，我们可以发现，弓形BMF的面积和弓形BND的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形BDWC的面积.因为ABCD是正方形，且FAADDE1，则有CDDE.那么四边形BDEC为平行四边形，且∠E45°.我们再在平行四边形BDEC中来讨论，可以发现不规则图形BDWC和扇形WDE共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积平行四边形BDEC的面积－扇452形DEW的面积1111.36081法2：总面积为的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，阴影面积为总面积扣除一个41等腰直角三角形，一个圆，一个45的扇形．那么最终效果等于一个正方形扣除一个45的扇形．面412积为1111．88BCMWNFADE252(5)将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为552(cm)2第10级下超常体系教师版9\n第八讲(6)阴影部分中心为一个圆，面积为1.剩余6个花瓣刚好可以拼成一个圆.因此阴影面积是2平方厘米12(7)将图中左边一半的阴影部分割补成下图，下图的阴影为一个圆减去圆，余下圆，所以原题中332442400整个阴影的面积为2×=圆，10=（平方厘米）．3333(8)将图⑴中正方形里面4个小阴影部分向外平移得到图⑵，所以阴影面积（见图⑵）4个小正方1形的面积圆的面积44个小正方形的面积1个圆的面积4π.4(9)在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系.将原题图中的等边三角形旋转30°（注意，只转三角形，圆形不动），得到右上图．因为△AOD、△BOD都是等边三角形，所以四边形OBDA是菱形，推知△AOB与△ADB面积相等．又因为弦AD所对的弓形与弦BD所对的弓形面积相等，所以扇形AOB中阴影部分面积占一半．同理，在扇形AOC、扇形BOC中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是1025(平方米).ADCOB例8求下图中阴影部分的面积．（取3）454520cm【分析】看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部10第10级下超常体系教师版\n分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手.这样，平移和旋转就成了我们首选的方法.法1：我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所1以有AC10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为101050(平2方厘米)，所以阴影部分的面积为15050100(平方厘米)．C4545AB20cm法2：欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.121所以阴影部分面积为101010100（平方厘米）.22D4545CBAABC复习本讲巩固1.求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm，π取3).62345⑴⑵⑶【分析】⑴左右弓形对称，所以可以将右边的阴影对称到左边，阴影部分的面积变成直角三角形的2面积，3×3÷2=4.5（cm）.第10级下超常体系教师版11\n第八讲111212⑵阴影部分的面积是大圆的面积减去小圆的面积.S=2－10.53==1.5阴影42422（cm）.1(3)将图3对称到下方，则变成圆减去直角边为6的等腰直角三角形，而阴影部分占一半.41121212S=（6-6）=（39-18）=4.5（cm）.阴影24222.图中阴影部分的面积为平方厘米．(结果用表示)【分析】阴影部分的面积可视为正方形减去中间空白部分的“谷子形”以及两边空白的“弯角形”．2正方形面积为：20400（平方厘米），122“谷子形”面积为：2020200400（平方厘米），222两个“弯角形”面积为：（2010）220050（平方厘米），阴影部分面积为：40020040020050600150（平方厘米）．3.如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点．以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆2弧交EF于H点．若图中S和S两块部分的面积之差为(mπn)cm(其中m，n为正整数)，请12问mn之值为何？【分析】如图所示．SS12422π48π，SS24444π4164π，所以S1S2(8π)(164π)3π8，故mn3811．4.如下图，在以AB为直径的半圆上取一点，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．已知AC的长度为4，BC的长度为3，AB的长度为5．试求阴影部分的面积．12第10级下超常体系教师版\n【分析】S阴S半圆AECS半圆BFCS△ABCS半圆ACB1121121112πACπBCACBCπAB242422412221π(ACBCAB)348265.如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”．这8个“月牙形”的总面积为32平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少平方厘米？【分析】两个月牙形面积总和等于下面的直角三角形面积，2因此大正方形EFGH面积32264(cm)．6.如图所示，阴影部分的面积为多少?(π取3)34545333AABB1.5331.51.5【分析】图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积．22927所以SS1.51.53433328498AB4167.如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．(π取3.14)AAEKFKFEBDCBDC第10级下超常体系教师版13\n第八讲22【分析】根据题意可知扇形的半径r恰是正方形的对角线，所以r3218，如右图将左边的阴11影翻转到右边阴影下部，SSS182(1833)1838.58阴影扇形谷子形34复习巩固1.有3个吉利数666，888，999，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a+8,a+13,a，则这个自然数是多少？【分析】(1)处理成余数相同的，则658、875、999的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是875-658=217的因数，也是999-883=124的因数，因此就是217、124的公因数,所以这个自然数是31。2.庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头.问：庙里至少有多少个和尚?【分析】设有7x个大和尚，29y个小和尚，则共吃41x11y个馒头.由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：7x29y41x11y，化简为17x9y.当x9，y17时和尚最少，有792917556（个）.3.纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为38%．如果每种酒精都多取35克，混合后纯酒精的含量变为45%．那么甲、乙两种酒精原有多少克？60%35%60%35%【分析】根据十字交叉38%45%由于两种溶液重量差不变，10:15=2:33%：22%=3:22在多取20克前溶液重量比为3:22，再多取35克后溶液重量比是2:338:57原来甲的质量是35(383)33克，原来乙的质量是35(383)2222克．开放试题生活中有很多球类并不是圆形，例如橄榄球，羽毛球，悠悠球。想一想还有那些？14第10级下超常体系教师版