第一讲第一讲勾股定理预习知识GPS本讲内容了解勾股定理历史，定义掌握勾股定理和弦图的证明利用平方差公式和勾股定理解决实际问题前铺知识长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）三角形进阶——四年级暑假第2讲（第7级上）后续知识弦图——六年级暑假第8讲（第11级上）复合图形分拆——六年级秋季第3讲（第11级下）课前测试难度1三角形按角度分类有几种？按边长分类有几种？难度2若三角形的两边为3和4，那么第三条边的范围是多少？试着画一画。难度3若三角形的三边分别为3,4和5.想一想它们之间有什么数量关系。属于哪一种三角形？第10级下优秀A版教师版1\n学习模块1：勾股定理的证明和简单运用知识剖析勾股定理在直角三角形当中有，abc,,分别为三条边。cab222则abc，在我国被称为勾股定理，而西方则称其为毕达哥拉斯定理。勾股定理的证明方法至今为止，勾股定理已经有了500多种证明方法，大家一起来看看下面这种证明方法。比较左右两个大正方形的面积，想想阴影部分之间有什么关系？babacabbbaaba这种证明方法来自于赵爽的“弦图”，在暑期的课程中，我们还会学到。例1如图，求出下列直角三角形中边长a的长度．a10364a【分析】5,8,2第10级下优秀A版教师版\n第一讲例2一个直角三角形，三条边的长度都是整数．其中一条直角边的长度是5，求斜边长度．【分析】设斜边长度是a，另一直角边长度是b．那么ab25a13222ab5abab25，解得．ab1b12因此斜边长是13.练一练一个直角三角形，三条边的长度都是整数．其中一条边长度是5，求三角形的面积．【分析】分两种情况考虑：1如果斜边是5，那么只能是3,4,5，面积为3426．2如果直角边是5，设斜边长度是a，另一直角边长度是b．那么ab25a13222ab5abab25，解得，此时面积为512230ab1b12综合综合计算模块观察下列规律：2223991(54)(54)54222525251(1312)(1312)1312222749491(2524)(2524)252422811(4140)(4140)4140298122273(1512)(1512)1512222请写出：15(__)(__)。想一想，三条边都为整数，且其中一条直角边为15的不同的三角形有多少个？【分析】113和112，39和36，25和20，17和8。共有四种不同的三角形。模块2：勾股定理解决面积问题例3下面的组合图形由直角三角形构成，线段旁边的数代表对应的长度，则组合图形的面积是多少？第10级下优秀A版教师版3\n【分析】根据勾股定理可求出斜边长为5，组合图形的面积为342512236。例4(1)三个正方形的面积如左下图，正方形A的面积为(2)如右下图，以直角三角形的三边分别做三个半圆，三个半圆的面积为S128.26,S250.24,求S3的面积.64AS1S2AB100CS3【分析】(1)A的面积为1006436.(2)直角三角形的三边有勾股定理的关系．而圆的面积与平方有关，最终有SSS,所以123S28.2650.2478.5.3练一练如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,2则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm．BACEDF2【分析】根据勾股定理有SSS,SSS,SS7,所以正方形A,B,C,D的面积之和ABECDFEF2为49cm.4第10级下优秀A版教师版\n第一讲笔记整理2221．勾股定理：abc222变式：cab使用条件：直角三角形中，已知两边求第三边.利用平方差公式求勾股数.2.常用模型123SSS123模块3：勾股定理解决实际问题例5如图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为多少立方厘米？(圆柱的体积可以用“底面积×高”计算．π取3.14)【分析】依题意，在直角三角形ABC中，AC12210，BC1248222根据勾股定理AB108AB6;23可见，玻璃杯的容积为3872226.08（cm）第10级下优秀A版教师版5\n复习本讲巩固2222222221.计算：(1)34(__)68(__)912(__)222222222(2)512(__)1024(__)1536(__)【分析】(1)5，10，15(2)13，26，392.一个直角三角形，三条边的长度都是整数．其中一条直角边的长度是13，求斜边长度。【分析】设斜边长度是a，另一直角边长度是b．那么ab169a85222ab13abab169，解得，ab1b84因此斜边长是853.如图所示：直角梯形ABCD被AE分成一个面积为25的正方形与一个斜边长为13的直角三角形，则ABCD的面积为_____．ABDEC【分析】正方形的面积为25，因此AB=AE=5,AD=13,由勾股定理得DE=12，因此ABCD的面积为512255524.如图所示：以直角三角形ABC的三边为边长向外做三个正方形，其中两个正方形的面积在图上已经标出．那么BC=_____．A169144CB【分析】169-144=25,25是5的平方，因此BC=55.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处(在外面)，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处(在外面)的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？6第10级下优秀A版教师版\n第一讲BA【分析】AB,之间的纸筒展开成长方形，那么这个长方形的长是40220厘米，宽是30215厘222米，201525，小蚂蚁要走的最短距离是25厘米（两点之间，直线段最短）复习巩固1.从6点开始的12小时内,时针与分针重合_________次.【分析】6小时内,分针转6圈,时针转半圈,每小时重合一次，所以重合6次.2.一只蚂蚁沿实线从A走到B，速度为3厘米/秒；再沿着圆弧虚线从B到A返回，速度为2厘米/秒，来回哪个用时少？BA【分析】设三个小圆的半径分别为r、r、r,则大圆的半径为rrr,大圆周长为2π(rrr),小123123123圆周长的和为2πr2πr2πr,二者距离相等,所以速度快的用时少，所以去时用时少。.1233.100以内有12个因数的最小的自然数是,它的所有因数的和是.【分析】使质因数尽可能小,取2和3,即223560.0120101因数和是:(222)(33)(55)168.开放试题问一问父母家中电视机的尺寸，再测量一下它实际的长宽，想想有什么关系？（1米=39.37英寸）第10级下优秀A版教师版7\n第二讲第二讲分数四则混合运算预习知识GPS本讲内容分数小数的四则混合运算分数的巧算，提取公因数，连锁约分前铺知识分数乘除——五年级暑假第1讲（第9级上）分数加减——五年级暑假第2讲（第9级上）后续知识分数裂项——六年级暑假第1讲（第11级上）计算模块综合选讲2——六年级春季第1讲（第12级下）课前测试难度10.10.20.30.40.50.60.70.80.91111123456难度20.30.320.330.340.35111112481632难度30.10.20.30.40.50.60.70.80.9111111603020151210第10级下优秀A版教师版1\n学习模块1：分数的运算和凑整知识剖析1加法交换律：abbaabcabc2加（减）法结合律：abcabc3乘法交换律：abbaabcabc4乘（除）法结合律：abcabc这些运算律不仅适用于整数，也适用与小数和分数例1仿照第二列的填法，将下表补充完整．小数0.20.253.6分数1312585百分数20%12.5%115%【分析】答案如下：小数0.20.250.3750.1253.62.41.15分数1131318123233或1或54885552020百分数20%25%37.5%12.5%360%240%115%例2计算：411(1)432433(2)152.257144515542【分析】(1)原式646159333(2)原式152.257.75151051414142第10级下优秀A版教师版\n第二讲练一练计算：11124(1)(221)33153931(2)2.50.427314159629【分析】(1)原式223153319315237(2)原式12573模块2：分数的巧算与综合知识剖析5乘法分配律：mabcmambmc6除法性质：abcmambmcm乘法分配律还有一种反用技巧，叫做提取公因数.例33119(1)882727212(2)3151253119【分析】(1)原式8882727819331427272122121(2)原式33151255454例41(1)5.350.252.65431(2)0.1258.2512.5%148【分析】(1)原式5.352.650.2580.2521(2)分数、小数、百分数互化类问题.这里可以注意到0.125，，12.5%是一个数.8原式0.1250.750.1258.250.1251第10级下优秀A版教师版3\n0.1250.758.2510.125101.25练一练4331计算：541654375754333433【分析】原式54541654161549457755775综合综合统筹优化模块从A地到E地的路线图如图所示，每段路的长度均已标出.求从A地到E地的最短路线.【分析】沿ABCDE的路线长度97952.4kmkm为：2.48.2km75353km5km33沿AHGFE的路线长度2313171为：1.38km177710723km13km所以AHGFE的路线更71.3kmkm107短例5计算：1111111111111111____(1)23456789123246369…102030(2)___13526103915…10305034510【分析】(1)原式=523493333123（123…10）2(2)原式=3333135（123…10）5笔记整理1加法交换律：abbaabcabc2加（减）法结合律：abcabc3乘法交换律：abba4第10级下优秀A版教师版\n第二讲abcabc4乘（除）法结合律：abcabc5乘法分配律：mabcmambmc6除法性质：abcmambmcm复习本讲巩固31.0.2515%__8【分析】全化为小数可得：0.775522.计算：3.816.237752【分析】原式3.86.2131577373.计算：3.273.27743434【分析】原式3.273.273.273.277777123174.计算：3618243432013213333【分析】原式31685153344332020.14283124165205.计算：23466981210152222214(12345)2【分析】原式=2222223(12345)3复习巩固1.在一个半径是10厘米的圆中挖去两个半径都是3厘米的圆.剩下的图形的面积是_______平方厘米(取3.14).22【分析】103282257.48平方厘米.2.已知两个数的最大公因数为15,最小公倍数为345,则这两个数分别是____________．15AB【分析】,假设这两个数是15a和15b,且(,)1ab,易得15ab345,所以ab23,由a和ab第10级下优秀A版教师版5\nb互质,那么就有23123.所以这两个数为:15115,1523345.3.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是22【分析】当第三边为斜边时，第三边长的平方是3425，当第三边长是直角边时，第22三边长的平方是437，因此第三边的平方是25或7.开放试题艾迪在超市中看到下列三种商品，最少花多少钱可以使得总价为整数？酸奶6.99巧克力18.42可乐2.35下次和父母去超市的时候，留意一下购物小票，看看少买哪件商品可以让总价为整数.6第10级下优秀A版教师版\n第三讲第三讲带余除法进阶预习知识GPS本讲内容带余除法进阶余数的定义和性质，利用整除特征的余数判断，周期性问题.前铺知识带余除法初步——三年级春季第4讲（第6级下）整除特征进阶——四年级秋季第13讲（第7级下）后续知识同余——五年级春季第4讲（第10级下）韩信点兵——六年级暑假第2讲（第11级上）课前测试难度1博士准备了20个苹果，平均分给艾迪，薇儿和大宽三个人，每人分到几个，剩余几个？难度2博士带走了剩余的苹果后，又来了一位新同学，三人把苹果与新同学平分，每个人分到几个，剩余多少个？难度3今天还可能有两位同学来，也可能都不来。艾迪他们需要拿出几个苹果，可以保证4个或6个小伙伴都可以均分？第10级下优秀A版教师版1\n学习模块1：余数的定义与判断知识剖析一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．在带余除法的算式中，已知三个量，就可以求出第四个量.特别注意：0rb.例1某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。【分析】被除数为13×9+8=125例2两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于115，则被除数是_____．【分析】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为(115488)(41)19，所以，被除数为194884．练一练有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【分析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．综合综合整除模块2011除以一个数，余数是19．求出符合条件的所有数共有多少个．3【分析】2011191992，19922383，因此1992有16个因数，但因数1,2,3,4,6,8,12小于19，所以符合条件的所有数共有1679个2第10级下优秀A版教师版\n第三讲知识剖析1.末位法——被4,25,8,125,16,625除的余数特征2.数位和法——被3,9除的余数特征3.数位差法——被11除的余数特征4.三位截断法——被7,11,13除的余数特征例3计算34567除以3、4、5、7、9、11、99的余数。【分析】利用余数特征很快可得出分别为1、3、2、1、7、5、16模块2：余数的性质与运用知识剖析1.被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数.2.余数小于除数．3.a与b的差除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之差(或a的余数加一个除数减b的余数).4.a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．5.a与b的乘积除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)．例4(1)1002+1003+1004的结果除以7的余数是多少？(2)12345-4321的结果除以9的余数是多少？(3)566778的结果除以5的余数是多少？【分析】(1)6(2)5(3)1练一练求4373091993被7除的余数．【分析】方法一：先将4373091993算出以后，即4373091993269120769．再求得此数被7除的余数为1．方法二：因为473除以7的余数为3，309除以7的余数为1，由“余数的可乘性”知：（437309）除以7的余数为（31）．又因为1993除以7的余数为5，所以（4373091993）除以7的余数等于（315）即15除以7的余数，算出4373091993被7除的余数为1．由方法二可得余数的可乘性也同样适用于三个数相乘的情况．第10级下优秀A版教师版3\n笔记整理一、余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．二、余数的性质1.被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数.2.余数小于除数．3.a与b的差除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之差(或a的余数加一个除数减b的余数).4.a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．5.a与b的乘积除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)．三、余数特征1.末位法——被4,25,8,125,16,625除的余数特征2.数位和法——被3,9除的余数特征3.数位差法——被11除的余数特征4.三位截断法——被7,11,13除的余数特征模块3：余数的综合应用例5(1)著名的斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,……中，从第三项开始，每一项都是它前面两项的和。现在我们考虑这个数列的第2013项：①它是奇数还是偶数？②它除以3的余数是几？③它除以5的余数是几？④它除以6的余数是几？⑤它除以9的余数是几？(2)现在我们来看看另一个有趣的数列：1,1,3,7,17,41,99,……，它有什么规律？它的第2013项除以3的余数是几？除以5的余数是几？【分析】(1)①除以2的余数：1,1,0,1,1,0,1,1,0,……,201330，是偶数.②除以3的余数：1,1,2,0,2,2,1,0,1,……,201385，余2.③除以5的余数：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,……,20132013，余3。④除以6的余数：1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,……,20132421，余2。(实际上由于已得出除以2余0，除以3余2，用同余很快可得到除以6余2，教师可用枚举除以6余0~5逐个实验除以2、3是否满足来讲)⑤除以9的余数：1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,0,1,1,2,3,……,20132421，余2.(2)除以3的余数：1,1,0,1,2,2,0,2,1,1,0,1,2,2,0,2,……,201385，余2.1除以5的余数：1,1,3,2,2,1,4,4,2,3,3,4,1,1,3,2,2,1,2013129，余2.4第10级下优秀A版教师版\n第三讲复习本讲巩固1.用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16。被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【分析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到x40y16x856,解方程组得，即这两个自然数分别是856，21.xy4016933y212.写出所有的除109后余数为4的两位数．【分析】这是把带有余数的问题转化成整除性的问题，也就是要找出能整除(1094)的所有的两位数．进一步，要找出能整除105的两位数，很简单的方法就是把105分解质因数，从所得到的质因子中去凑两位数．1094105357．因此这样的两位数是：15，35，21．3.求24611356047除以11的余数．【分析】因为2461112238，13511123，6047115498，根据余数性质⑤，2461135604711的余数等于83811的余数，而838192，19211175，所以2461135604711的余数为5．4.多位数1234561819除以9的余数是________．【分析】这个数的数字和为(1289)2110，所以余数为1.5.有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，则这串数的第2013个数除以7余数是多少？【分析】由于两个数的和除以7的余数等于这两个数除以7的余数之和再除以7的余数．所以这串数除以的余数分别为：1，1，2，3，5，1，6，0，6，6，5，4，2，6，1，0，1，1，2，3，5，……，余数的周期是16，20131612513，因此第2013个数除以7余数是2.复习巩固1.已知两个自然数的最大公因数为5,最小公倍数为100,那么这两个数分别是_________．5AB【分析】,假设这两个数是5a和5b,且(,)1ab,易得5ab100,所以ab20,由a和b互ab质,那么就有2012045两种情况.所以这两个数为:515,205100或5420,5525.2.一个直角三角形，三条边的长度都是整数．其中一条直角边的长度是7，求斜边长度（写出所有情况）．【分析】设斜边长度是a，另一直角边长度是b．那么ab49a25222ab7abab49，解得．ab1b24因此斜边长是25第10级下优秀A版教师版5\n553.计算：55.66135【分析】原式=666开放试题查尔斯博士每天要吃三次药，每次吃三粒。药店有以下五种规格的药，每种最多买一瓶.博士去买哪几瓶最好.（规格：10粒装，20粒装，30粒装，40粒装，50粒装）6第10级下优秀A版教师版\n第四讲第四讲同余预习知识GPS本讲内容同余同余的定义和符号，同余的性质及其运用.前铺知识神奇的9——五年级秋季第6讲（第9级下）带余除法进阶——五年级春季第3讲（第10级下）后续知识不定方程——五年级春季第5讲（第10级下）韩信点兵——六年级暑假第2讲（第11级上）课前测试难度1今天是4月5日，星期六，艾迪想在周二半价的时候去看电影，那么他需要等几天？难度2如果艾迪下周二没空，那么他至少需要等几天？如果艾迪这个月都没空，那么他至少需要等几天？难度3想一想这些日子之间分别差几天，这些数字有什么关系？第10级下优秀A版教师版1\n学习模块1同余的性质知识剖析按照上面的写法，我们可以发现：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．同余和我们之前学过的整除有着相似的性质：性质1.a≡a(modm),(反身性)性质2.若a≡b(modm)，那么b≡a(modm)，(对称性)性质3.若a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)，(传递性)性质4.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)，(可加减性)性质5.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)，(可乘性)nn性质6.若a≡b(modm)，那么a≡b(modm)，(其中n为自然数)(可乘方性)性质7.若ac≡bc(modm)，(c,m)=1，那么a≡b(modm)，(可除性)例1已知:3757134(mod9),仿照此种形式,利用同余记号书写过程，计算下面各题最终的余数:(1)1234528_____________________________(mod11)(2)43211234__________________________(mod9)(3)43285______________________________(mod7)【分析】(1)1234528202(mod11)(2)43211234110(mod9)(3)43285515(mod7)例2有一个整数，除100，195所得的余数都是5，求这个数的可能值．【分析】100-5=95，195-5=190，(95，190)=95，95的因数是1，95，5，19，因为余数为5，要小于除数，这个数是19或95.2第10级下优秀A版教师版\n第四讲练一练有一个整数，除80，170所得的余数都是5，求这个数的可能值．【分析】80-5=75，170-5=165，(75，165)=15，15的因数是1，15，3，5，因为余数为5，要小于除数，这个数是15.综合综合因数倍数模块有一个整数，除577，793所得的余数都是1，求满足条件的整数有多少个．32【分析】577-1=576，793-1=792，(576，792)=72，7223，因数个数有3412个.由于除数大于余数，所以满足条件的整数有11个。模块2同余的应用例3有一个大于1的整数，除39,51,147所得的余数都相同，求这个数可能是多少？【分析】由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公因数．513912，14739108，(12,108)12，所以这个数可能是2，3，4，6，12.练一练有一个整数，除39,57,129所得的余数都相同，求这个数最大可能是多少？【分析】(1)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公因数．573918，1293990，(18,90)18，所以这个数最大是18.例4(1)一个自然数除71、97、257所得的余数分别是a、a3、2a，求这个自然数和a的值.(2)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？【分析】(1)将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：142、188、257，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.将这三个数相减，得到25718869、18814246，所求的自然数一定是69和46的公因数，而(69,46)23，所以这个自然数是23的因数，显然1是不符合条件的，那么只能是23.经过验证，当这个自然数是23时，除71、97、257所得的余数分别为2、5、4，a2时成立,所以这个自然数是23，a2.(2)(70110160)50290，503162，除数应当是290的大于17小于70的因数，只可能是29和58，11058152，5250，所以除数不是58．第10级下优秀A版教师版3\n7029212,11029323,16029515,12231550,所以除数是29.笔记整理1.同余式若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．2.同余的性质性质1.a≡a(modm),(反身性)性质2.若a≡b(modm)，那么b≡a(modm)，(对称性)性质3.若a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)，(传递性)性质4.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)，(可加减性)性质5.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)，(可乘性)nn性质6.若a≡b(modm)，那么a≡b(modm)，(其中n为自然数)(可乘方性)性质7.若ac≡bc(modm)，(c,m)=1，那么a≡b(modm)，(可除性)模块3同余与弃9法的综合应用例5学生版只有(1)、(4)、(5)、(6)、(7)1.(1)一个三位数是它的数字和的33倍，求此数.1.(2)一个五位数是它的数字和的2007倍，求此数.1.(3)一个五位数是它的数字和的2012倍，求此数.1.(4)一个五位数是它的数字和的2013倍，求此数.做完这几道题，想一想，任何一道这样的题都可以这么做吗？需要什么样的条件呢？2.不用做，判断一下下面这三道题能不能用刚才的方法来做呢？为什么？1.(5)一个五位数是它的数字和的2008倍，求此数.1.(6)一个五位数是它的数字和的2009倍，求此数.1.(7)一个五位数是它的数字和的2011倍，求此数.【教学建议】(1)5、7两问满足条件的五位数较多，枚举起来较复杂，教师想练这类题的话可用下面的拓展题，可依课堂孩子的程度决定。(2)下面的总结建议老师给学生讲一讲，或者让学生自己总结一下。(3)“任何一个自然数都和它的数字和模9同余”这个知识点可以通过铺垫题讲。【分析】一、本题前四问都是完全相同的方法，先得出数字和是9的倍数，再逐一枚举实验，在此不再赘述，只给出第四题过程做范例，123问只给出答案。注意有些题会有多解，枚举要完全。(1)594(2)36126、54189(3)36216(4)36234(4)设这个五位数为abcde，根据题意有abcde2013(abcde)，因为abcde(abcde)0(mod9)，4第10级下优秀A版教师版\n第四讲所以abcde(abcde)2012(abcde)abcde0(mod9)，所以abcde是9的倍数，abcde2013918117，abcde20131836234，abcde20132754351，abcde20133672468，abcde20134590585，只有36234符合要求.二、第(6)问仍可以按前四问的方法来做，但是(5)(7)两题不能用前四问的方法，因为2008-1、2011-1得到的数2007和2010不与9互质。【总结】“一个N位数是它的数字和的m倍，求此数.”这类问题什么时候可以用前四问那样的方法呢？我们发现其实只要m-1与9互质就可以，也就是说，只要m-1不是3的倍数，就可以得出这个N位数一定是9的倍数了。而当m-1是3的倍数的时候就要复杂一些了。(1)如果m-1是3的倍数不是9的倍数，那么我们可以推出，这个数的数字和是3的倍数，那么我们的方法实际上和刚才的方法类似，只不过枚举的数会比上边的多了，这类题经常和最值混在一起考，要按照题目要求找准枚举的方向。(2)如果m-1是9的倍数，那么非常不幸，我们按这种方法得不出任何有用的信息，此时的方法就只有枚举了，通过枚举m的倍数来检验是否符合条件，或者通过位值原理得出其各位数字的一个关系来枚举，这类题要想找出全部答案工作量很大，一般都只会让找出特定方向的解，找准即可。复习本讲巩固1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数．【分析】法1:39336，1473144，(36,144)12，12的因数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；法2:由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公因数．513912，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12．2、有一个大于1的整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?【分析】这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300－262=38，同理，这个数整除262－205=57，因此，它是38、57的公因数19。3、一个大于1的数去除69，136，216时，得余数分别为a，a2，a4，则这个自然数是多少？【分析】根据题意可知，这个自然数去除69，134，212时，得到相同的余数（都为a）．既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是134-69=65的因数，又是212-134=78的因数，因此就是65和78的公因数,因为65和78的公因数只有13和1，而这个数大于1，所以这个自然数是13．4、用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=_______．【分析】n能整除639112925258．因为25381，所以n是258因数．2582343，显然，8n63．符合条件的只有43．5、一个大于6的自然数除36、87、148所得的余数分别是a、2a、2a1，求这个自然数和a的值.【分析】36×2=72，148-1=147，根据题意可知：这个自然数除72，87与147都余2a，因此这个数一定是87-72=15的因数；同样这个数也一定是147-87=60的因数。（15，60）=15，因为这第10级下优秀A版教师版5\n个数大于6，因此这个数为15.36156，因此a=6复习巩固1.将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子上端到墙的底端距离为6米，则梯足到墙的底端距离为__________米．【分析】根据勾股定理得梯足到墙的底端距离为8米332.计算：(1299999)56.783【分析】原式11105611103370563.有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的5倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有多少支？【分析】圆珠笔数是钢笔数的5倍，因此这两种笔支数的和是钢笔数的3216倍．1723333638424951289除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支．开放试题在日历中找一找你出生那年的生日是星期几，看看还有哪些年和它一样.想一想这些年份有什么规律。6第10级下优秀A版教师版\n第五讲第五讲不定方程预习知识GPS本讲内容不定方程掌握同余法解不定方程，灵活运用不定方程解决实际问题前铺知识列方程组解应用题——五年级暑假第5讲（第9级上）同余——五年级春季第4讲（第10级下）后续知识韩信点兵——六年级暑假第2讲（第11级上）数论模块综合选讲3——六年级春季第8讲（第12级下）课前测试难度1艾迪和薇儿手中共有20块钱，艾迪手中每张都是2块钱，薇儿手中每张都是5块钱，那么他们各有多少钱？难度2艾迪和薇儿手中共有30块钱，艾迪手中每张都是2块钱，薇儿手中每张都是5块钱，那么可能各有多少钱？难度3艾迪手中比薇儿多4元，艾迪手中每张都是5块钱，薇儿手中每张都是7块钱，那么艾迪最少有多少钱？第10级下优秀A版教师版1\n学习模块1解不定方程知识剖析不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）．2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一．3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解例1求下列方程的正整数解(2小题仅需写出2组)，并观察各组答案之间未知数系数的关系，你能发现什么？(1)2x+3y=7(2)3x-7y=4x2x6x13【分析】(1)；(2);;规律为：当解出(二元)不定方程的第一组(整数)解后，加y1y2y5减(化简后的)对方系数即可得到其余的(整数)解.练一练求下列方程的正整数解(2小题仅需写出2组)(1)3x+5y=60(2)9x-12y=6x5x10x15x2x6【分析】(1);;；(2)化简为3x-4y=2,解得;;y9y6y3y1y4例29a6b4c80解方程组（其中a、b、c均为自然数）abc15【分析】根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：(9a6b4)4(cabc)80415，整理后得5a2b20，根据等式性质，2b为偶数，20为偶数，所以5a为偶数，所以a为偶数，当a0时，b10；当a2时，522b20，b5;当a4时，542b20，2第10级下优秀A版教师版\n第五讲a0a2a4b0．所以方程组的解为b10b5b0c5c8c11模块2不定方程解应用题知识剖析解不定方程的技巧1、余数分析法将不定方程的解按某个正整数m的余数分类，或者，考察方程中的项对某个正整数的余数，再进行分析．2、因数分析法任何非零整数的因数个数是有限的，因此，可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法确定．3、奇偶分析法利用等式两边的奇偶性质相同确定未知数的取值范围．4、不等分析法利用量的整数性或不等关系，确定出方程解的范围．例3一个同学把他的生日的月份乘以30，日期乘以11，然后加起来的和是350，他的生日是几月几日？【分析】设这个同学的生日是x月y日，根据题意列方程得30x11y350，由于350301120，x8所以11y30a20，所以y10，对应的方程的解为，所以这个同学生日是8月y1010日例4大客车有48个座位，小客车有30个座位．现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位．需要大、小客车各多少辆？【分析】设需要大，小客车各xy,辆，根据题意列方程得48x30y306，化简得8x5y51，因为8x是偶数，51是奇数，因此5y是奇数，因此5y的个位数字是5，8x的个位数字是6，因此x2，（x7舍去），所以y7，大客车有2辆，小客车有7辆．练一练小明将玻璃弹子装入两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗．若弹子共有98颗，所用大、小盒子的和多于10个．大小盒各有多少个？第10级下优秀A版教师版3\n【分析】设大盒有x颗，小盒有y颗，根据题意列方程得12x5y98，当出现系数5时考虑个位数字较好（因为5y的个位数字只能是0或5）因为12x，98均为偶数，所以5y的个位数字只能是0，这样12x个位数字只能是8，因此x4，对应的y10综合综合计数模块现有1角、2角、5角的硬币共15枚,共计4元.请问三种硬币的组合有多少种?【分析】设1角硬币取x枚，2角硬币取y枚，5角硬币取z枚，依题意列方程得xyz15，两个方程相减得y4z25.x2y5z40x8x5x2满足条件的解为：y1y5y9，则硬币的组合共有3种.z6z5z4笔记整理一、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）．2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一．3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解二、解不定方程的技巧1、余数分析法将不定方程的解按某个正整数m的余数分类，或者，考察方程中的项对某个正整数的余数，再进行分析．2、因数分析法任何非零整数的因数个数是有限的，因此，可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法确定．3、奇偶分析法利用等式两边的奇偶性质相同确定未知数的取值范围.4、不等分析法利用量的整数性或不等关系，确定出方程解的范围．模块3不定方程的综合应用例5中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的“百钱买百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？”你会做吗？（这道题的意思就是：公鸡1只值5钱，母鸡1只值3钱，小鸡3只值1钱，今有100钱，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？）4第10级下优秀A版教师版\n第五讲【分析】设买公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只，根据题意，可得方程组xyz100①15x3yz100②3由②3①，得14x8y200，即：7x4y100因为x、y为正整数，所以不难得出x应为4的倍数，故x只能为0、4、8、12，从而相应y的值分别为25、18、11、4，相应z的值分别为75、78、81、84．x0x4x8x12所以，方程组的特殊解为y25y18，y11，y4z75z78z81z84所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买0只、25只、75只或4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只．复习本讲巩固1.求3x+5y=50的正整数解。【分析】5y,50均为5的倍数，因此x也为5的倍数。因此x=5或x=10或x=15，对应的正整数解为x5x10x15，，y7y4y12.求6x22y90的正整数解．【分析】因为6,90x都是3的倍数，因此22y也是3的倍数，因此y3（y6舍去），对应的正整x4数解为．y33.把146分成两个整数的和，一个数是11的倍数，另一个数是17的倍数，这两个整数各是多少？【分析】设这两个整数各是11x，17y，根据题意列方程得11x17y146，利用除以11同余关系得x4，因此这两个数各是11444，176102y64.装热水瓶的盒子有大小两种，小盒能装5个，大盒能装8个．要把68个热水瓶恰好装入盒里，需这两种盒子各多少个？【分析】设小盒有x个，大盒子有y个，根据题意列方程得5x8y68，因为8,68y都是偶数，所x12x4以5x的个位数字只能是0，因此y1,6，所以，，因此大盒子有1个，小盒y1y6子有12个，或大盒子有6个，小盒子有4个第10级下优秀A版教师版5\n5x7y9z525.求方程组的正整数解．3x5y7z36【分析】将方程组中两式相减并化简可得，xyz8，与3x5y7z36联立并消去x有x3x4y2z6，故z1或2，故原方程组的正整数解为：y4，y2．z1z2复习巩固341011、计算：1(22)1.1052191329【分析】原式103101331051.92、用某自然数a去除2014，得到商是49，余数是r，求a和r．【分析】因为2014是a的49倍还多r,得到20144941......5，得201449415，所以a41，r5．3、在下面的等式中，相同的字母表示相同的数字，若abcddcba997，那么□中应填．【分析】abcddcba是9的倍数，所以997也是9的倍数，所以□中应填2.开放试题为鼓励节约用电，如今很多城市开始采用阶梯式电价，根据用电量不同，电价也不同。询问一下父母电价标准以及上个月的用电量，算一算需要交多少电费。6第10级下优秀A版教师版\n第六讲第六讲浓度问题预习知识GPS本讲内容浓度问题理解浓度三个量之间的基本关系学习解决浓度混合问题的十字交叉方法前铺知识分数应用题——五年级秋季第4讲（第9级下）比例应用题——五年级寒假第3讲（第10级上）后续知识经济问题——六年级秋季第7讲（第11级下）应用题综合（二）——六年级秋季第12讲（第11级下）课前测试难度1想一想，我们喝的糖水中主要有哪些东西？是糖多还是水多？难度2想一想可以用什么办法表示糖水中的含糖量？用什么办法可以提高含糖量？难度3能否用含糖量10%的糖水和含糖量30%的糖水配出含糖量20%的糖水？第10级下优秀A版教师版1\n学习模块1浓度公式运用知识剖析一、基本概念溶质：被溶解的物质．例如糖、盐、酒精．溶剂：溶解溶质的液体．例如水．溶液：溶质、溶剂的混合物．二、基本公式溶质+溶剂=溶液溶质浓度=100%溶液例1⑴判断题：将10克糖放入100克水中，糖水的浓度为10%.()⑵20克糖放入100克水中，得到的糖水溶液是克，溶质克，溶剂克．【分析】⑴×；⑵120,20,100；例2⑴把10克糖放入水中，搅拌均匀，称得糖水的总重量为40克，则这杯糖水的浓度为．⑵现有浓度为30%的糖水150克，则其中有克的糖．⑶有一杯浓度为11%的糖水，其中有糖22克，则这杯糖水有克．【分析】⑴25%；⑵45；⑶200;练一练有一杯浓度为60%的糖水，其中有糖15克，则这杯糖水有克，其中有纯水克．【分析】25,10例3⑴现有浓度为45%的糖水20克，则其中有克的糖，再加入5克糖，则现在总共有克2第10级下优秀A版教师版\n第六讲的糖，那么现在的浓度变为．⑵现有浓度为20%的糖水400克，加入100克糖，浓度变为多少？【分析】⑴9，14，56%;⑵36%；练一练现有浓度30%的酒精溶液500克，加入500克水，浓度变为多少？【分析】15%模块2浓度相关技巧知识剖析三、相关技巧1.寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量用比例解题或建立等量关系列方程2.十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)甲浓度混合后浓度与乙浓度差甲溶液重量形象表达：混合后浓度甲浓度与混合后浓度差乙溶液重量乙浓度例4A版⑴~⑶⑴一杯浓度为20%的盐水，加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%，所加的水与原来的水的重量比是多少？⑵一杯浓度为10%的盐水，蒸发掉一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%，所蒸发的水与原来的水的重量比是多少？⑶一杯浓度为10%的盐水，加入一定量的盐后，盐水的含盐百分比变为15%，所加的盐与原来的盐的重量比是多少？⑷一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为百分之几？⑸一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次加入同样多的盐，盐水的含盐百分比将变为百分之几？20601560【分析】⑴加水，盐不变，20%，15%，因此所加的水与原来的水的比100300100400是(400300):(30060)100:2405:1210301530⑵蒸发水，还是盐不变，10%，15%，因此所蒸发的水与原来的100300100200水的比(300200):(30030)100:27010:27⑶加盐，水不变，加盐前，盐与水的比是10%:(110%)1:917:153，加盐后盐与水的比是15%:(115%)3:1727:153，因此所加的盐与原来的盐的比是(2717):1710:17第10级下优秀A版教师版3\n1560⑷由于每次加水，因此应该是盐的重量不变，因此可以统一不变量，，1004001260，可知每次都是加了100份水，所以第三次再加同样多的水后，浓度为10050060100%10%50010015601260⑸由于每次加水，因此应该是盐的重量不变，因此可以统一不变量，，，100400100500可知每次都是加了100份水，所以第三次再加同样多的盐后，浓度为60100100%26.67%．500100练一练将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________．366【分析】根据题意应该是农药重量不变30%，24%，因此每次加入5份水，所以10202561再加入同样多的水，药液含药的百分比是20%．2555例5现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？【分析】根据十字交叉，因此两种溶液重量比为2:3，所以需要再加入202330（千克）浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水．10%30%22%8:12=2:3笔记整理一、浓度问题相关公式溶质溶质溶液溶质溶剂；浓度100%100%．溶液溶质溶剂二、十字交叉法甲溶液的浓度为x，乙溶液的浓度为y，（xy），两种溶液混合后浓度为z，则甲、乙两种溶液重量比为(zy):(xz)4第10级下优秀A版教师版\n第六讲xyzz-y:x-z复习本讲巩固1.把30克糖放入50克水中搅拌均匀，所得的糖水溶液重量是多少克？浓度为多少？【分析】80克，37.5%．2.10克糖加入一定量的水得到糖水溶液，浓度为12.5%，则糖水溶液共有多少克？共加入了多少克的水？【分析】糖水溶液1012.5%80（克）；水：801070（克）.3.（1）现有浓度为30％的糖水100克，要得到浓度为10%的糖水，需要加水多少克？（2）现有浓度为16%的盐水40千克，要得到含盐20%的盐水，可采用什么办法？【分析】200克；本题答案不唯一，可以加盐2千克．4.现有250克浓度为20%的糖水，我们加入70克糖，这时，糖水的浓度变为多少？然后再加入160克水，浓度变为多少？【分析】（1）250克浓度为20%的糖水一共有糖25020%50克，加入70克糖后，共有5070120克糖，糖水的浓度变为12025070100%37.5%．（2）加入160克水，浓度为120320160100%25%．5.把含盐5%的食盐水与含盐8%的食盐水混合制成含盐6%的食盐水600克，分别应取两种食盐水各多少克?5%8%【分析】6%2%:1%2:1因此5%的盐水为600(21)2400（克），8%的盐水600400200（克）.复习巩固1.2014除以一个数，余数是22．求出符合条件的所有数共有多少个．3【分析】2014221992，19922383，因此1992有16个因数，但因数1,2,3,4,6,8,12小于22，所以符合条件的所有数共有1679个第10级下优秀A版教师版5\n2.有一个整数，除100，232所得的余数都是1，求这个数的可能值．【分析】100-1=99，232-1=231，(99，231)=33，33的因数是1，3，11，33，因为余数为1，要小于除数，这个数是3或11或33.3.每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？【分析】设需要大、小汽车分别为x辆、y辆，则有：54x36y378，可化为3x2y21．可以看出y是3的倍数，又不超过10，所以y可以为0、3、6或9，将y0、3、6、9分别代入可知有四组解：x1x3x5x7；或；或；或y9y6y3y0即需大汽车1辆，小汽车9辆；或大汽车3辆，小汽车6辆；或大汽车5辆，小汽车3辆；或大汽车7辆．开放试题倒一小杯水，试一试水中究竟可以溶解多少盐？有什么方法可以让盐溶得更多么？6第10级下优秀A版教师版\n第八讲第七讲圆与扇形进阶预习知识GPS本讲内容圆与扇形进阶学习弓形、弯角形和谷子形等圆中基本图形面积求法灵活掌握容斥原理、差不变和割补法在复杂图形中的应用前铺知识长方形与正方形——三年级秋季第1讲（第5级下）圆与扇形初步——五年级寒假第5讲（第10级上）后续知识圆柱与圆锥——六年级秋季第2讲（第11级下）旋转与轨迹——六年级秋季第6讲（第11级下）课前测试难度1在正方形纸片中剪下一个最大的圆，剩下的碎纸片有几部分？难度2在圆形纸片中再剪下一个最大的正方形，剩下的碎纸片又有几部分？难度3想一想如何求这些碎纸片的面积？每个小碎纸片的面积分别是多少？第10级下优秀A版教师版1\n学习模块1基本图形面积求法知识剖析一、相关公式22n圆的面积r；扇形的面积=r；360n圆的周长=2r；扇形的弧长=2r.360二、基本图形1、“弓形”：弓形一般不要求求周长，主要求面积.一般来说，“弓形”面积=扇形面积－三角形面积（除了半圆）2、“弯角”：如图，“弯角”的面积=正方形－扇形3、“谷子”：如图，“谷子”的面积=“弓形”面积×2例1求下列图形中阴影的面积.（取3）120°5O10120225【分析】S=5325=扇形360322S=10351007525==阴影12S=103101050=阴影2例2求下列图形中阴影的面积.（取3.14）2第10级下优秀A版教师版\n第八讲108OO810212【分析】S=83.1486450.2413.76=-=弯角4121S=101010=28.5弓形42练一练求下列图形中阴影的面积（取3.14）10484OO10844121【分析】S=4444.56弓形42212S43.1441612.563.44弯角4例3如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积.（取3）ADADBCBC第10级下优秀A版教师版3\n【分析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积.法1：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分.12则阴影部分的面积为4448；2法2：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，12所以阴影部分面积2（4442）8.4综合综合应用题模块手工课上，小红用一张直径是20cm的圆形纸片剪出如图所示的风车图案（空白部分），则被剪掉的纸片（阴影部分）的面积是________cm².（π取3.14）【分析】观察发现被剪掉的部分刚好可以拼成两个直径为10cm的圆，2其面积为2×(3.14×5²)=157（cm²），所以阴影部分面积为：3.14×10²－157=157（cm）.模块2复杂图形转化思想知识剖析三、转化思想1.容斥原理：将两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的就是重叠部分面积.2.差不变：将两部分各加上同一部分，面积的差不变.3.割补法：将复杂图形分割后重新组合，变为基本图形，面积不变.例4如图，阴影部分的面积是多少？4第10级下优秀A版教师版\n第八讲4222【分析】首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积。则阴影部分面积(222)4(22)48练一练如图，在一个边长为6的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆,求阴影部分的面积.【分析】阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为66218.笔记整理一、相关公式n22圆的面积r；扇形的面积=r；360n圆的周长=2r；扇形的弧长=2r.360二、基本图形1、“弓形”：弓形一般不要求求周长，主要求面积.一般来说，“弓形”面积=扇形面积－三角形面积（除了半圆）2、“弯角”：如图，“弯角”的面积=正方形－扇形3、“谷子”：如图，“谷子”的面积=“弓形”面积×2三、转化思想第10级下优秀A版教师版5\n1.容斥原理：将两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的就是重叠部分面积.2.差不变：将两部分各加上同一部分，面积的差不变.3.割补法：将复杂图形分割后重新组合，变为基本图形，面积不变.模块3转化思想综合应用例5（学生版1~4）以下几题答案可保留π(1)如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是______平方厘米.DCAB(2)下图中阴影部分的面积为____．44(3)如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S，空白部分面积为S，那么这两个12部分的面积之比是_____.(4)如图，ABCD是正方形，且FAADDE1，则阴影部分的面积为_____．BCFADE(5)图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．则阴影部分的面积和为_____．6第10级下优秀A版教师版\n第八讲(6)图中每一个圆的面积都是1平方厘米，则六瓣花形阴影部分的面积是_____平方厘米.(7)下图的4个圆，半径都是10厘米，则阴影部分的面积总和是平方厘米．(8)如图正方形边长为1，则阴影部分面积为______【分析】(1)如右图将阴影的面积⑴通过割补法放到⑵处，所以阴影面积为1010425（平方厘米）.DC(1)(2)AB(2)可将左下谷子的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针旋转90，则阴影部分转化为四分之一圆减121去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为44448．42第10级下优秀A版教师版7\n(3)如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方222形．设大圆半径为r，则S2r，Sr2r，所以SS:2:2．移动图形是解这种题目2112的最好方法，一定要找出图形之间的关系．(4)法1：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现.由于对称性，我们可以发现，弓形BMF的面积和弓形BND的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形BDWC的面积.因为ABCD是正方形，且FAADDE1，则有CDDE.那么四边形BDEC为平行四边形，且∠E45°.我们再在平行四边形BDEC中来讨论，可以发现不规则图形BDWC和扇形WDE共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积平行四边形BDEC的面积－扇452形DEW的面积1111.36081法2：总面积为的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，阴影面积为总面积扣除一个41等腰直角三角形，一个圆，一个45的扇形．那么最终效果等于一个正方形扣除一个45的扇形．面412积为1111．88BCMNWFADE252(5)将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为552(cm)28第10级下优秀A版教师版\n第八讲(6)阴影部分中心为一个圆，面积为1.剩余6个花瓣刚好可以拼成一个圆.因此阴影面积是2平方厘米12(7)将图中左边一半的阴影部分割补成下图，下图的阴影为一个圆减去圆，余下圆，所以原题中332442400整个阴影的面积为2×=圆，10=（平方厘米）．3333(8)将图⑴中正方形里面4个小阴影部分向外平移得到图⑵，所以阴影面积（见图⑵）4个小正方1形的面积圆的面积44个小正方形的面积1个圆的面积4π.4复习本讲巩固1．求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm，π取3).62345⑴⑵⑶【分析】⑴左右弓形对称，所以可以将右边的阴影对称到左边，阴影部分的面积变成直角三角形的面积，3×3÷2=4.5（平方厘米）111212⑵阴影部分的面积是大圆的面积减去小圆的面积.S=2－10.53==1.5阴影4242（平方厘米）1(3)将图3对称到下方，则变成圆减去直角边为6的等腰直角三角形，而阴影部分占一半.4第10级下优秀A版教师版9\n112121S=（6-6）=（39-18）=4.5（平方厘米）阴影24222．用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？22【分析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积r:R1:9，1小圆面积364，7个小圆总面积4728，9边角料面积36288(平方厘米)．3．下图中两个半径为1的扇形AOB'与AOB叠放在一起，POQO是正方形，则整个阴影图形的面积是.（π取3.14）（提示：正方形面积=对角线×对角线2）A'POAO'QB'B【分析】阴影面积为两个扇形面积减去中间正方形的面积，而正方形面积可以用对角线乘积除以21来算，所以S113.1421121.07阴影44．计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．1055AA10第10级下优秀A版教师版\n第八讲【分析】将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形．5105275237.5(平方分米)．5．如图，已知AB=40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的2面积是________cm.(π取3.14)4024022【分析】S=()2()200628(cm)阴影24复习巩固1.有大于1的一个整数，除49,61,154所得的余数都相同，求这个数是多少？【分析】由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公因数．614912，15449105，(12,105)3，所以这个数可能是3.2.一个同学把他的生日的月份乘以25，日期乘以11，然后加起来的和是300，他的生日是几月几日？【分析】设这个同学的生日是x月y日，根据题意列方程得25x13y300，由于3002512，所x1以11y25a，所以y25，对应的方程的解为，所以这个同学生日是1月25日y253.一个容器内有若干克盐水，往容器内加入一些水，溶液的浓度变为3%，再加入同样多的水，溶液的浓度变为2%，问第三次再加入同样多的水后溶液的浓度变为多少？3%xy【分析】方法一：设最初的盐水有x克，每次加入的水为y克，可列方程2%，解得xy，xyy2%xyy2%3y第三次再加同样多的水后，浓度为1.5%．xyyy4y3626方法二：=，，因此第三次再加入同样多的水后溶液的浓度变为1002001003006100%1.5%300100开放试题生活中有很多球类并不是圆形，例如橄榄球，羽毛球，悠悠球。想一想还有那些？第10级下优秀A版教师版11