2014年1月寒假班教师版讲义（六年级超常班）\n第1讲第一讲计算模块综合选讲（一）知识站牌六年级春季六年级寒假分数型计算整数型计算六年级暑期整数裂项与通项六年级暑期归纳分数裂项五年级春季比较与估算本讲主要是用四则运算律，常用公式等方法解决整数型计算的问题。漫画释义第12级上超常体系教师版1\n教学目标本讲主要是用四则运算律，常用公式等方法解决整数型计算的问题经典精讲一、等差数列求和公式：和=(首项末项)项数÷2二、整数裂项基本公式1(1)122334...(nn1)(n1)n(n1)31(2)123234345...(n2)(n1)n(n2)(n1)(nn1)4三、其他常用公式：2222nn(1)(2n1)1、平方和：123n6推导过程：踢三角（仅教师版有）把上面三个三角叠加，每个位置都是21n。2222nn(1)(2n1)得到123nnn1123n362233332nn(1)2、立方和：123nn(123)4223、平方差：ab(abab)()2第12级上超常体系教师版\n第1讲2224、（选讲）完全平方：(ab)a2abbabcdacadbcbd5、（选讲）多项式分解：例题思路模块一：相关计算公式和方法的应用例1：提取公因数的应用例2：平方差公式的应用例3：连续自然数的平方和公式的应用例4：连续自然数的立方和公式的应用模块二：相关代数公式推导例5：整数裂项公式的应用例6：综合应用模块三：其它方法的应用例7：位值原理法在计算中的应用例8：错位相减法的应用例1计算：19811983198319831982198119811981【分析】原式=1981198310001000119821981100010001=1981198310001000119821981100010001=1981100010001=198119811981例2计算：1992983974951【分析】方法一：观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式．原式5049504950485048501501222222504950485012222504912492222504912492150494950996第12级上超常体系教师版3\n2504949253349251003349256782075方法二：也可以用踢三角，1992983974951(995151)(12349)32011225382075踢三角可以解决的问题：求自然数列与等差数列中对应项乘积的和例3667×668×669-666×668×670=。【分析】方法一：原式=668×（667×669-666×670）222266866816682=668×（4-1）=2004方法二：原式=667×668×(670-1)-666×668×670=667×668×670-666×668×670-667×668=668×670×(667-666)-667×668=668×(670-667)=668×3=2004例422222如果337□123337，则□。2221【分析】12nnn12n162221因为123373373386756221所以□3386751956故□195。4第12级上超常体系教师版\n第1讲自我数是在给定进制中，不能由任何一个整数加上这个整数的各位数字再生成的数，就叫自我数。例如：21不是自我数，因为21可以由整数15和15的各位数字1,5生成，即21＝15＋1＋5。20不能满足上述条件，所以它是自我数。开始的几个十进制自我数是：1,3,5,7,9,20,31,42,53,64,75,86,97,108,110,121,132,143,154,165,176,187,198,209,211,222,233,244,255,266,277,288,299,310,312,323,334,345,356,367,378,389,400,411,413,424,435,446,457,468,479,490,501,512,514,525。例53333计算：13599___________．223332nn13333【分析】与公式12nn12相比，13599缺少偶数项，4所以可以先补上偶数项．3333333原式123100241001223333100101212504112232210010125051442225010125112497500例6计算：1123354799197。2221【分析】12nnn12n16第12级上超常体系教师版5\n1122334nn1nn1n2。32222原式1239912233498991199100199989910063328350323400651750连续自然数的平方和公式与裂项法的综合应用。本题也可以用踢三角的方法解决例7用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后把它们从小到大排成一个数列，那么这个数列的所有项之和是______．【分析】用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，共有654120个这样的三位数，所以每个数字在每个数位上都出现了120620次，所以，所有这些三位数之和为：1234561112046620．位值原理法，根据不同数字的数位与数值含义对其进行拆分及重新组合。例8计算：1+22+34+48+516++111024+122048【分析】1+22+34+48+516++111024+1220482341011a=1+22+32+42+52++112+12223451011122a222+32+42+52++102+112122122310112aa122(122222)1212a122(21)1212a1222112a112+1a45057小结：一个算式由两个数列组成，前一个是等差数列，后一个是等比数列。这样的算式，可以用错位相减法。错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。6第12级上超常体系教师版\n第1讲乘法和加法一年级的教师正在给他的班级讲解这个值得注意的事实：2乘以2得到的答案与2加2相同。虽然2是具有这种特征的唯一的数，但还存在着许多由不同的数组成的数字对能代入等式abab中的a和b。你能找到这样的一对数字吗？当然它们可能是分数，但是它们的乘积必须同它们的和刚好相等。答案：存在着无数成对的数具有相同的和与积。如果一个数是a，另一个数总33能容易地找到，就用a减去1再去除a。例如：33。22知识点总结一、踢三角可以解决的问题：求自然数列与等差数列中对应项乘积的和二、错位相减法：应用于等比数列与等差数列相乘的形式。三、位值原理法：根据不同数字的数位与数值含义对其进行拆分及重新组合。家庭作业1、计算：5555566666744445666666155555【分析】原式55555（6666661）44445666666155555（5555544445）666666（15555555555）6666660000010000066666500000第12级上超常体系教师版7\n222222222222、计算：4084074064054044034024321【分析】考点分析：速算与巧算，平方差公式。2222222222240840740640540440340243212222222240840640740542314084064084064074054074053131240840721166872222222222223、计算：124578101113141622222222【分析】原式(1216)(3691215)222222222(1216)3(12345)161733561196614964951001nn124、对自然数a和n，规定anaa，例如323312，那么：⑴122232992______________；⑵212223299______________．2222【分析】⑴原式1122339999222212399123991991001994950632835049503333001021329998⑵原式22222222012981239922222222012982222399213993235、计算：11!22!33!20082008!________【分析】观察发现11!(21)1!2!122!221(31)213!2!，33!3321(41)3214!3!，……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!可见，原式(2!1)(3!2!)(2009!2008!)2009!16、计算：141515161617100101【分析】整数裂项8第12级上超常体系教师版\n第1讲1415151616171001011[1415(1613)1516(1714)100101(10299)]31(100101102131415)310010134131453434009103424907、由0、0、1、2、3五个数码可以组成许多不同的五位数，所有这些五位数的平均数为______．【分析】以1为开头的5位数，后4位数一共有4312种方法，其中在每一位上，2和3各出现3次，所以1为开头的5位数的和为1000012（23）3333136665，同样的，以2为开头的5位数的和为2000012（13）3333253332，以3为开头的5位数的和为3000012（213333369999），它们的和为136665253332369999759996，共有12336个，所以它们的平均数为7599963621111．298、计算：113252192【分析】式子中每一项乘积，被乘数呈等差数列，乘数呈等比数列，也可采用错位相消法．29令s1132521922310则2s123252192，10982两式相减得：s192222222221110109321922222110111922310111922310172317411第12级上超常体系教师版9\n第2讲第二讲几何模块综合选讲一知识站牌六年级春季六年级春季几何模块综合选讲（三）几何模块综合选讲（二）六年级寒假同余几何模块综合选讲（一）六年级秋季六年级秋季旋转与轨迹复合图形分拆本讲复习直线型面积中，图形旋转、对称、平移、割补法的应用，容斥原理和差不变原理的综合应用。漫画释义第12级上超常体系教师版1\n教学目标本讲复习直线型面积中，图形旋转、对称、平移、割补法的应用，差不变原理以及几何模型的综合应用。经典精讲1.梯形蝴蝶模型aADS1S2S4OS3BCb1）SS24222）SSS:::Sab::abab:；132423）S的对应份数为ab．2.相似模型EFDAADFEBGCBGCADAEDEAF221）；2）S△ADE：S△ABCAF:AG．ABACBCAG3.燕尾模型在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S::SBDDC．ABOACO2第12级上超常体系教师版\n第2讲AEFOBDC例题思路模块一：例1差不变原理例2对角线垂直与蝴蝶模型模块二：例3平移例4旋转例5割补法模块三：例6综合应用例7旋转与鸟头模型的综合应用例8燕尾模型的综合应用例1O是长方形ABCD内一点，已知OBC的面积是225cm，OAB的面积是2cm，求OBD的面积是多少？ADOPBC11【分析】由于ABCD是长方形，所以SSS，而SS，AODBOCABCDABDABCD22所以SSS，则SSS，AODBOCABDBOCOABOBD2所以SSS523cm．OBDBOCOAB例2如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD∥BC，EF=13厘米，MN=4厘米，又已知EF⊥MN于O，那么阴影部分的总面积为平方厘米。第12级上超常体系教师版3\n【分析】易知夹在平行线之间的△ABM和△EFM面积相等，△CDN和△EFN面积相等。而△EFM和△EFN的面积之和等于EF×(MO+ON)÷2=26，所以空白部分的面积总和为52，所求答案为65。例3如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠。已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10。那么，正方体盒子的底面积是多少？黄黄红绿红绿【分析】将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为24212.根据公式可知，空白处面积黄绿红1212207.2，则正方形盒底面积是7.212122051.2.例4如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，ABBC，AD2，BC3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED，连接AE、CE，则ADE的面积是．FEEADADBCBHC【分析】如图所示，将ADE以D为中心顺时针旋转90，到FDC的位置．延长FD与BC交于H．4第12级上超常体系教师版\n第2讲由于ABCD是直角梯形，AD与FD垂直，则四边形ADHB是长方形，则BHAD．由于ADE与FDC面积相等，而FDC的底边FDAD2，高CHBCBH321，所以FDC的面积为2121，那么ADE的面积也为1．动物中的数学“天才”蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角棱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？例5图中四边形ABCD为平行四边形，三角形MAB的面积为11平方厘米，三角形MCD的面积为5平方厘米。请问平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？MFMEDCDCABAB【分析】过M点做CD的平行线与ADBC,的延长线分别交于FE,，由图可知SS平行四边形CEFD2△MCD2510,同理S平行四边形ABEF21122,因此平行四边形ABCD的面积是221012例6第12级上超常体系教师版5\n下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，m如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，m＋n的值等于n__________。HHADADEGEGBCBCFF【分析】先求原题左图中的阴影部分的面积，连接EGHI,，（见下图）.HADIEGBCF1I是矩形AEGD对角线的交点，所以HIAE，21111111SADHIADAEADABS。AIDABCD222248811原题左图中有4块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于14，再求右82图中阴影部分的面积。过F作BG的平行线交CD于I，连接BL（见下图）。HADJEKGLIMBCF1∵AEEBED,∥BG，∴AJJM。∵BFFCBG,∥FI,∴GIICDG。211∵GIDGFI,∥BG∥ED,∴MFJM。至此，求出了AJJM2MF。2211111∵S,,MFAF∴S。由对称性知，MLLKKJ,ABFBMF45452011222211∴MLJMAFAF,SS。BLMABF335151515430111S四边形BFLE22SBLFSBLMSBMF2。302066第12级上超常体系教师版\n第2讲11原题右图中有4块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于14。631m23,mn325。n123例7下图三角形ABC是等腰三角形，ABAC，BAC120．三角形ADE是正三角形，点D在BC边2上，BDDC:2:3．当三角形ABC的面积是50cm时，三角形ADE的面积是多少？PAFREAQBDCGEBDC【分析】以点A为中心，由三个三角形ABC可拼成右图：连结QE、RF、GD，则DEQFRG是一个正六边形．连结RD、DQ、RQ，显然RDQ是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE的面积的3倍．2232由于SSPBCABC3150cm，根据“鸟头模型”，SSDQCPBC36cm，322322所以SSS342cm，则SS342314cm．RDQPBCDQCADERDQ例8如图，ABCD是面积为2010的正方形，EFGH,,,分别是线段ABBCCDDA,,,的中点。那么图中深黑色八边形的面积是多少？HADEGBCF【分析】第12级上超常体系教师版7\nAHDNPEQMGJONKPBFCQM图1图2将原四边形ABCD各边四等分，如图1，因此设原正方形面积为16份，阴影面积为四边形MNPQ面112积的4倍，如图2则小正方形MNOQ的面积为1份,根据燕尾模型，四边形MNPQ为份，6232881则阴影面积为4份，所以阴影面积为正方形ABCD面积的16，因此阴影面积为3336120103356如何用一张长方型的纸折出30度的角答案：1、先折出一个正方形2、将正方形对折，折成的一半的正方形（即长方形），各点为ABCD，AB为长边。3、以A点为中心，将AB边向CD边折，使B点落在CD边上B’点，此时∠AB’D即为30度知识点总结1.蝴蝶模型：8第12级上超常体系教师版\n第2讲aADS1S2S4OS3BCb1）SS24222）SSS:::Sab::abab:；13242梯形S的对应份数为ab．2.相似模型EFDAADFEBGCBGCADAEDEAF221）；2）S△ADE：S△ABCAF:AG．ABACBCAG3.燕尾模型在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S::SBDDC．ABOACOAEFOBDC家庭作业1.如图，P为长方形ABCD内的一点。三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13.请问：PBD的面积是多少？第12级上超常体系教师版9\nADPBC11【分析】由于ABCD是长方形，所以SSS，而SS，所以△APD△BPCABCD△ABDABCD22SSS，则SSS，所以SSS1358．△APD△BPC△ABD△BPC△PAB△PBD△PBD△BPC△PAB2.正方形ABCD的面积为9平方厘米,正方形EFGH的面积为64平方厘米.如图所示,边BC落在EH上.已知三角形ACG的面积为6.75平方厘米,则三角形ABE的面积为平方厘米.ADADBCHEBCHEFGFG【分析】连接EG，EG是正方形EFGH的对角线，可以知道AC∥EG。所以△ACG与△AEC面积相等，都是6.75平方厘米，那么△ABE的面积是：6.75－9÷2=2.25（平方厘米）。3.如图所示，在正方形ABCD内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是．AD红12黄3绿BC【分析】由于黄色正方形的两个顶点分别在红色正方形和绿色正方形的中心，所以红色正方形与黄1色正方形重合部分的面积为4812，绿色正方形与黄色正方形重合部分的面积为41123．4黄色正方形可分为4部分，如右上图所示，除了与其它两个正方形重合的两个部分，另外10第12级上超常体系教师版\n第2讲两个部分的面积相等，设为a．在其中可类似运用四边形中的蝴蝶定理，可得22a123366，所以a6．所以黄色正方形的面积为1236227．4.如图，在ABD中，ABCD，求“？”的度数．AA110°40°70°?30°BC40°30°D110°40°?BCDE【分析】如图，由于ABCD，可以将ABC移动到DCE，由于ACB180(3040)110，ACD18011070，所以ACE7040110，又CED110，而ACDE，所以四边形ACED是等腰梯形，有ADE180CED180，110ADC70703040．点评：通过构造全等三角形来转化．5.下图由一个边长为2厘米的正方形和一个长为5厘米的长方形拼成的，线段MN把它们各分成两部分。已知A、B两块的面积和是C、D两块面积和的1.5倍。请问：长方形的宽是多少厘米？MCCE?ADADBB52N1.511【分析】给CD,补全上E后与AB,的面积和相同，所以E的面积是AB,的面积和的，设1.5311长方形的宽为x，有xx(52)(2)2，解得x4.8，长方形的宽是4.8厘米236.如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD10厘米，DC7厘米，求阴影部分的面积．AAC'FFEEBDCBDC【分析】绕D点逆时针旋转CED，使E与F重合，则C点落在AB边上的C'点处，且CDCD'．则阴影部分面积转化为直角三角形BCD'的面积，所以阴影部分的面积为107235平方厘米．7.用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？第12级上超常体系教师版11\n图１图2【分析】我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的处理，移到两条边上(如图2)．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边长上能放(1011)251(块)，白色瓷砖组成的正方形的边长上能放：51150(块)，所以白色瓷砖共用了：50502500(块)．8、如图所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。AEFIJGHBDC22【分析】SAIF:SBCIAF:BC1:9AEF面积是1，那么SSBDFBDC9,所以AEF与ACE的高之比是1：7，所以SACE=7,因为AD与BC平行所以SSABCBCD9,所以SABC:SAECBIIE:9:7假设BE为16份，那么BI=9,IE=7,又知道BF:FE=3:1,:所以BF=12,FE=4,所以IF=3,SAEF:SAIFFEFI:4:3,所以SAIF=0.7522又有SAIF:SBCIAF:BC1:9,所以SBCI=6.75于是可求阴影部分面积是0.756.25215.12第12级上超常体系教师版\n第3讲第三讲数论模块综合选讲一知识站牌六年级春季六年级春季数论模块综合选讲（三）数论模块综合选讲（二）六年级寒假同余数论模块综合选讲（一）六年级秋季六年级秋季进位制进阶数论中的规律本讲是对数论中整除的复习。漫画释义第12级上超常体系教师版1\n教学目标会用数论中整除特征解决相关整除问题经典精讲整除规律：(1)看末位判断整除：一个数能否被2，5整除，只需看这个数的末尾是不是2，5的倍数；判断一个数能否被4，25整除，只需要看其末两位是不是4，25的倍数；判断一个数能否被8，125整除，只需要看末三位是不是8，125的倍数。可以不断的延续下去。2，5家族中有很多的成员。判断余数：看一个数被2，5除的余数只需看末位被2，5除的余数；看一个数被4，25除的余数只需看末两位被4，25除的余数即可；以此类推。(2)看数字和①3，9家族判断整除：一个数能否被3，9整除，只需看这个数的各个数位上的数字和是否是3，9的倍数即可。判断余数：一个数被3除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被3除的余数。同样的，一个数被9除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被9除的余数。②长9家族（99，999，9999……）判断整除：一个数能否被99，999，9999……整除，把这个多位数从个位开始两位，三位，四位……一截，然后把这些两位数，三位数，四位数……相加，相加的和能被99，999，9999……整除，那么这个多位数就能被99，999，9999……整除。⑶一位一截，看差11一个数能否被11整除，从个位开始算第一位，把所有处于奇数位上的数字加起来，所有处于偶数位上的数字加起来，然后奇数位和与偶数位和相减（以大减小）所得的差如能被11整除，则这个数就能被11整除。7，11，13家族判断整除：一个多位数能否被7整除，只需看把这个数从个位开始三位一截，然后标上奇偶数位，把奇数位上的三位数加起来，偶数位上的三位数加起来，然后两个和相减（以大减小），最后看差能否被7整除即可。11和13的判断方法也是如此。例题思路模块一：2第12级上超常体系教师版\n第3讲例1、2、5系列例2、3、9、99系列例3、2、9综合与计数例4、11系列模块二：例5、7、11、13系列例6、综合系列模块三：例7、综合系列例8、特殊的数字系列例1201202203300的结果除以10，所得到的商再除以10……重复这样的操作，在第____次除以10时，首次出现不为0的余数.【分析】本题其实为求原式结果末尾有多少个连续的0，0由5和2相乘得到，最关键在于有多少个5.方法一：能整除1次5的数有205，210，215，220，230，235，240，245，255，260，265，270，280，285，290，295共16个，会乘出16个连续的0；能整除2次5的数有225，275，300共三个，会乘出6个连续的0；能整除3次5的数有250，会乘出3个连续的0。所以共有166325个连续的0，则能整除25次10，第26次首次出现不为0的余数。方法二：一个偶数与5相乘必产生一个0，本题求原式结果末尾有多少个连续的0。最关键在于有多少个5。300300300=60，=12，=1；60+12+=731525125201201=40，=8；40+8=48；52573-4=258所以共有25个连续的0，则能整除25次10，第26次首次出现余数。例21）207，2007，20007，等首位是2，个位是7，中间数字全部是0的数中，能被27整除而不能被81整除的最小数是。【分析】20007922223，也就是要求出22223能被3整除但不能被9整除的最小数是n个0n个2n个2多少，该数的各位数字之和为23n，当n6时，满足条件，也就是最小数是20000007。2）甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________。【分析】根据弃九法可得知，乘积是310313171113，适当组合可得两数为317217和第12级上超常体系教师版3\n1113143，和为360。例3有一个四位数是18的倍数，任意交换它两个数字的位置得到还是四位数且仍然是18的倍数，（例如4068就不满足题意，因为交换4和0之后就不再是四位数了.）则这样的四位数一共有多少个？【分析】18的倍数，必为9的倍数，这个四位数一定是2的倍数，那它的个位数字一定是偶数，再考虑到任意交换两个数字的位置得到的四位数仍然是18的倍数，不难发现它的任意一位数字应该都是偶数，而且是不等于0的偶数.如果一个四位数是9的倍数，那无论它的数字怎么交换，得到的四位数依然是9的倍数.由题意知道这个四位数一定由数字2，4，6，8组成，且各位数字之和是9的倍数.再由于数字和一定不小于248，不大于8432，并且是偶数，所以数字和一定是18.这样的组合只有：①2，2，6，8；②2，4，4，8；③2，4，6，6；④4，4，4，6四种，根据乘法原理，前3种都有4312个，后一种有4个，共计433440个例41）0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，最大的一个是（）。【分析】如果组成的7位数是55的倍数，55115说明这个数既是5的倍数也是11的倍数。能被5整除个位为5或者0，能被11整除说明这7位数的奇数位与偶数位的差是11的倍数，为0、11、22……，012345621，拆成的两组数的差分别为：5和16，5014023，1665326541，又因为组成的数要最大为：6431205或者6342105，所以答案为64312052）一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？【分析】这个十全数能被10整除，个位数字必为0；能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被11整除，即86bd0(47ac2)bd1(ac)被11整除，可能是bd1ac11、bd1ac、bd111ac．由于a、b、c、d四个数分别为1、3、5、9中的一个，只能是bd1ac11，即bdac10．所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一个．由于它能被7、13、17整除，经检验，只有4876391520符合条件．4第12级上超常体系教师版\n第3讲完全数完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的因数）的和，恰好等于它本身。例如:第一个完全数是6，它有因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。第二个完全数是28，它有因数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1＋2＋4+7+14＝28。后面的数是496、8128。例51）差为2的两个正整数，如果每个数的各位数字之和都能被7整除，我们就称它们为一对幸运数．在200到300的范围内，有对幸运数．【分析】差为2的两个正整数，相当于一个数等于另一个数加2，如果在加的过程中不发生进位，那么两个数的数字和相差2，不可能都是7的倍数，所以必有进位．由于进一次位数字和减少9，那么本题中加2的过程中恰好进了一次位，数字和减少了927，所以进位必定发生在个位，即其中较小的数的个位为8或9．由于首位为2，如果个位为8，要使得数字和是7的倍数，十位只能是4，即此时两个三位数分别为248和250；如果个位为9，则十位只能是3，此时两个三位数分别为239和241．所以在200至300的范围内，有2对幸运数．2）一个五位回文数，它是7的倍数；如果将它的十位和个位互换，新得的五位数是11的倍数；如果将它的十位和百位互换，新得的五位数是13的倍数．那么，原五位数为．___________________________【分析】本题考查7、11、13的整除特征。设这个五位数为abcba，则7|cbaab；11|cabab；_________13|bcaab。__________________由11|cabab可知c0；再由7|cbaab可知ab、差为7的倍数；_________由13|bcaab得13|11ba，因此ab，ab、的取值只能为（9,2）、（8,1）、（7,0）、（1,8）或（2,9），经试验（9,2）符合题意，因此这个五位数为92029.例6111m试说明，将和1写成一个最简分数时，m不会是5的倍数。2340n第12级上超常体系教师版5\n22【分析】分母中仅有25被5整除，因此通分后，公分母是5×a,a是不被5整除的自然数(事实上，a531a＝2×3×7×1×13×17×19×23×29×31×37)，并且除去变为外，其它分数的分子都是5的倍2525a数。因而这些分数的和成为5ba，其中b是自然数，由于a不是5的倍数,所以5×b＋a不是5的倍数，当然约分后25am得到的最简分数的分子m不会是5的倍数。n例7nnnnn设A20012002200320042005，在1~2005中，有______个n使得A不能被5整除.【分析】n为4的倍数的时候，A不能被5整除，我们可以求出一共有501个n能被5整除的数末位是0或5，所以只需考察A的末位。n从1到2005取值时：2001的末位为1,1,1,1,1,1,1…2002的末位为2,4,8,6,2,4,8,6…2003的末位为3,9,7,1,3,9,7,1…2004的末位为4,6,4,6,4,6,4,6…2005的末位为5,5,5,5,5,5,5…所以A的末位为5,5,0,9,5,5,0,9…1-2005中依次4个数前3个能被5整除，第四个不能2005除以4商501余1…所以有501个数使A不能被5整除。例8有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可被2整除，三位数abc可被3整除，四位数abcd可被4整除，……依此类推，九位数abcdefghi可被9整除．请问这个九位数abcdefghi是多少？【分析】由题可知这个九位数由数字1～9组成，其中每个数字出现一次，且b、d、f、h都是偶数，a、c、e、g、i是奇数．由于abcde可被5整除，所以e5．由于abc可被3整除，所以a、b、c三个数之和可被3整除．由于abcdef可被6整除，所以d、e、f三个数之和可被3整除．由于abcd可被4整除，所以cd可被4整除，而c是奇数，所以d只能为2或6．由abcdefgh可被8整除知abcdefgh可被4整除，所以gh可被4整除，同上可知h也只能为2或6．所以有如下两种情况：⑴d2，h6．此时def25f可被3整除，f只能为8．那么b为4．由于a、b、c三个数之和可被3整除，而a、c为1、3、7、9中的某两个，所以a、c为1和7．那么g为3或9，其中满足fgh86g可被8整除的只有9，所以g为9，i为3．此时abcdefg为1472589或7412589，但这两个数都不能被7整除，不符题意；⑵d6，h2．此时def65f可被3整除，f只能为4．那么b为8．此时fgh42g可6第12级上超常体系教师版\n第3讲被8整除，所以g为3或7．又a、b、c三个数之和可被3整除，而b为8，所以a、c可以为(1，3)、(1，9)、(7，3)或(7，9)，所以此时abcdefghi有8种可能情况：189654327；981654327；789654321；987654321；183654729；381654729；189654723；981654723．经检验，其中只有381654729满足abcdefg能被7整除，所以所求的abcdefghi是381654729．四兄弟分金币，共有30个。1111老大分到，老二分到，老三分到，老四分到26918刚好分完，请问他们各拿到多少金币？答案：借6个金币，老大分18个，老二分6个，老三分4个，老四分2个，还6个。知识点总结①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。家庭作业第12级上超常体系教师版7\n1.在错误!未找到引用源。为正整数的情形下，n的最大值是．4【分析】先将810分解质因数，810=2×3×5，20102010前2010个数中能被3整除的数有=670个，能被9整除的数有=223个，39同理能被27，81，243，729整除的依次有74，24，8，2个，所以2010!共被3的670+223+74+24+8+2=1001次幂整除；再分析前809个数，按照同样的算法，809！共被3的269+89+29+9+3+1=400次幂整除；601因此，810×811×……×2010共被3的1001400=601次幂整除，所以=150，n的最4大值不超过150．又因为8108118122010里包含的2的次数和5的次数都超过150，所以n的最大值是150．2.用1～9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4的倍数。这三个三位数中最小的一个最大是。【分析】三个数都是4的倍数，个位必然都是偶数。当个位是2或6时，十位是奇数，当个位是4或8时，十位是偶数。因为1～9中只有4个偶数，所以三个数中有两个的个位分别是2和6，另一个的后两位是84或48。因为三个数的百位都是奇数，所以最小的三位数的百位最大是5，(另两个分别是9和7)。9已被百位占用，十位最大的是8，所以三个三位数中最小的一个最大是584。注：另两个三位数可以是912，736或932，716或916，732或936，712。3.为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除．试问密码是多少？【分析】密码由7位数字组成，如果有两个3的话，那么至少是2349位数，与题意不符；只有一个3的话，那么至少有两个2.如果有三个2，那么1至少有四个，总共至少有1348个数字，与题意不符，所以2只有两个，1有四个，如此，各数位数字和为44311，不是3的倍数，所以密码中没有3，只有1、2，由1、2组成的四位数中只有2112能被16整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是2112，所以前三位数字和是3的倍数，只有111和222满足条件，其中2222112的2多于1，应予排除，所以这个密码是1112112.4.用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。要求前1位数能被2整除，前2位数能被3整除，……，前9位数能被10整除．已知最高位数为8．这个十位数是【分析】由前9位数能被10整除，可知第九位数字为0，前四位能被5整除，可知第四位数字为5，前8位数能被9整除，即前八位数字和为9的倍数，而所有数字本身就是9的倍数，所以第十位数字只能是9，前两位数能被3整除，故第二位数字只能是1、4或7，如果第二位数字是4，则找不到前三位数能被4整除，故第二位数字只能是1或7，则第三位数字只能是2或6，结合前五位能被6整除知只能是前五位87654或81654，前七位数字能被8整除，知第七位数字是2．由前6位数字能被7整除，经试验唯一可能是816543，故7必在第八位上，故这个数应为8165432709．5.一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了153元，她知道实际收钱不会错，只能是记账时有一个数点错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是__________元。【分析】说明账面比现金小数点右移了，若右移1位，则增加9位，恰好153917，若右移了28第12级上超常体系教师版\n第3讲位，则增加99倍，但153不是99的倍数，所以现金17元。6.盒子里放有编号为1到10的十个球，小明先后三次从盒中共取出九个球，如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是___________。【分析】因为从第二次开始每次取出的球的编号是前一次的2倍，由此得出：1121227，三次取出的9个球的编号之和必是7的倍数。因为10个球的编号之和是55，所以取出的9个球，编号之和必在45~54之间，期间只有49是7的倍数，所以未取出的球的编号为55496。7.请写出分别满足下列条件并且是由数字2，0，9组成的（如920，2009）整数：⑴写出一个四位数，要求它是平方数；⑵写出一个五位数，要求它是256的倍数；⑶写出一个九位数，要求它是9的倍数．注意：如果存在2个以上的整数符合条件，写出一个即可；如果没有符合条件的整数，就答“没有”；数字2，0，9至少出现一次．【分析】第1问：222如果有这样的整数，四位的平方数的千位一定是2到9，所以除了45到54，以及95到299以外不用考虑别的了．其次，不存在个位为2的平方数．所以，个位是0或9中的一个．这些数由个位是0，3，7的整数自乘之后得到．22222因此，只需考虑47，50，53，97的情况．计算这些平方数，只有472209是由2，0，9组成的，且2，0，9中的每一个都用到了．第2问：从低位开始考虑．首先，因为是2的倍数，所以个位是0或2．其次，因为是4的倍数，后两位必须是00，20，92中的一种．再次，因为是8的倍数，后三位必须是000，200，920，992中的一种．最后，因为是16的倍数，后四位必须是0000，9200，9920，0992，2992中的一种．需要求的整数是包含且仅包含2，0，9的五位数．因此，后四位不能是0000或2992，否则无法包括这三个数字．另外，因为是32的倍数，后五位必须是99200，29920，20992中的一个．逐一检查这三个整数，发现只有20992是256的倍数．第3问：如果是这样的整数，因为是9的倍数，所以数字和必须是9的倍数．0和9是9的倍数，而数字和是9的倍数，所以2的个数必须是9的倍数．但是，2最多有7个，最少有1个，个数不能是9的倍数．8.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【分析】设第一户电话号是x1，第二户的电话号是x2，…．第12户的电话号是x12．根据条件可知xi是i的倍数(i1，2，…，12)，因此x是1，2，…，12的公倍数．而1,2,,1227720，所以xm27720．又27720m9是13的倍数，而27720除以13余数为4，所以49m是13的倍数，则m1，14，27，……第12级上超常体系教师版9\n第9户的电话号码是27720m9，是一个首位数字小于6的六位数，所以m取14合适；因此这一家的电话号码是27720149388089．10第12级上超常体系教师版