2014年1月寒假班教师版讲义（六年级尖子班）\n第1讲第一讲计算模块综合选讲一知识站牌六年级春季六年级寒假分数型计算整数型计算六年级暑期整数裂项与通项六年级暑期归纳分数裂项五年级春季比较与估算本讲主要是用四则运算律，常用公式等方法解决整数型计算的问题。漫画释义第12级上优秀A版教师版1\n教学目标本讲主要是用四则运算律，常用公式等方法解决整数型计算的问题经典精讲一、等差数列求和公式：和=(首项末项)项数÷2二、整数裂项基本公式1(1)122334...(nn1)(n1)n(n1)31(2)123234345...(n2)(n1)n(n2)(n1)(nn1)4三、其他常用公式：2222nn(1)(2n1)1、平方和：123n6推导过程：踢三角（踢三角形两脚）（仅教师版有）把上面三个三角叠加，每个位置都是21n。2222nn(1)(2n1)得到123nnn1123n362233332nn(1)2、立方和：123nn(123)4223、平方差：ab(abab)()2224、（选讲）完全平方：(ab)a2abbabcdacadbcbd5、（选讲）多项式分解：2第12级上优秀A版教师版\n第1讲例题思路模块一：基本计算公式和方法的应用例1：提取公因数的应用例2：平方差公式的应用例3：连续自然数的平方和公式的应用例4：连续自然数的立方和公式的应用模块二：相关计算公式推导例5：整数裂项公式的应用例1计算：20201919181817172211【分析】做这道题的时候，可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看，利用平方差公式：20201919(2019)(2019)2019，181817171817，，221121．于是，原式2019181721（201）202210例220092009×2009-20092008×2008-20092008【分析】原式=20092009×2009-20092008×（2008+1）=20092009×2009-20092008×2009=2009×（20092009-20092008）=2009×1=2009例322222计算：1+3+5+7+…＋37【分析】22221353722222222(123437)(2436)第12级上优秀A版教师版3\n12223738754(1218)6117575418193761757584369139总结：一补二减三提四算2222【想想练练】：123241[分析]：利用公式可得原式24254949006自我数，是在给定进制中，不能由任何一个整数加上这个整数的各位数字再生成的数，就叫自我数。例如：21不是自我数，因为21可以由整数15和15的各位数字1,5生成，即21＝15＋1＋5。20不能满足上述条件，所以它是自我数。开始的几个十进制自我数是：1,3,5,7,9,20,31,42,53,64,75,86,97,108,110,121,132,143,154,165,176,187,198,209,211,222,233,244,255,266,277,288,299,310,312,323,334,345,356,367,378,389,400,411,413,424,435,446,457,468,479,490,501,512,514,525。例4计算：133353993___________．223332nn13333【分析】与公式12nn12相比，13599缺少偶数项，4所以可以先补上偶数项．3333333原式12310024100122333310010121250411223221001012505144222501012514第12级上优秀A版教师版\n第1讲12497500【想想练练】333333计算：13572325333333333【分析】原式(12342425)24242225251333812124221213105625841056254867256953例5计算：233445100101135357579192123【分析】233445100101nn1n2n1nn111根据nn1nn1n2n1nn1，可得333(234123)(345234)(10010110299100101)原式3110010110212333433981本题也可直接采用结论：1223nn1nn1n2，则3原式12233445100101121100101102233433981353575791921231【分析】原式15192123251357828680【想想练练】计算：357579313335【分析】第12级上优秀A版教师版5\n1原式3133353713578165585乘法和加法一年级的教师正在给他的班级讲解这个值得注意的事实：2乘以2得到的答案与2加2相同。虽然2是具有这种特征的唯一的数，但还存在着许多由不同的数组成的数字对能代入等式abab中的a和b。你能找到这样的一对数字吗？当然它们可能是分数，但是它们的乘积必须同它们的和刚好相等。答案：存在着无数成对的数具有相同的和与积。如果一个数是a，另一个数总33能容易地找到，就用a减去1再去除a。例如：33。22杯赛提高如果22222337□123337，则□。2221【分析】12nnn12n162221因为123373373386756221所以□3386751956故□195。知识点总结6第12级上优秀A版教师版\n第1讲一、踢三角可以解决的问题求自然数列与等差数列中对应项乘积的和二、相关公式2222nn(1)(2n1)1.平方和：123n62233332nn(1)2.立方和：123nn(123)4223.平方差：ab(abab)()家庭作业1、计算：200920092008200822【分析】原式=20092008=2009+200820092008=40171=40172、计算19811983198319831982198119811981【分析】原式=1981198310001000119821981100010001=1981198310001000119821981100010001=1981100010001=19811981198122223、计算：135192222【分析】135192222222(12319)(2418)12221920394（129）6124704910196247011401330333333334、计算：13579111315333333333【分析】原式1234141524142333(12315)8(127)第12级上优秀A版教师版7\n2215151(17)227844576002227848128。5、1474710710132225281【分析】原式2822252831147101239788333312320066、计算12320062(1+2+3++2006)【分析】原式=1232006=12320061=20062006122013021。8第12级上优秀A版教师版\n第2讲第二讲几何模块综合选讲（一）知识站牌六年级春季六年级春季几何模块综合选讲（三）几何模块综合选讲（二）六年级寒假同余几何模块综合选讲（一）六年级秋季六年级秋季旋转与轨迹复合图形分拆本讲复习直线型面积中，图形旋转、对称、平移、割补法的应用，容斥原理和差不变原理的综合应用。漫画释义第12级上优秀A版教师版1\n教学目标本讲复习直线型面积中，图形旋转、对称、平移、割补法的应用，差不变原理以及几何模型的综合应用。经典精讲梯形中比例关系(“梯形蝴蝶模型”)：aADS1S2S4OS3BCb①SS2422②SSS:::Sab::abab:；13242③S的对应份数为ab．梯形蝴蝶模型给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．例题思路模块一：例1、差不变原理例2、割补法例3、平移2第12级上优秀A版教师版\n第2讲例4、旋转模块二：例5、对角线垂直与蝴蝶模型例6、相似模型综合应用例1右图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9平方厘米，求ED的长．EFADBC【分析】EC(469)625(厘米)，EDECDC1(厘米)．【想想练练】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.【分析】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积.直角梯形OEFC的上底为1037(厘米)，面积为2()7102217(厘米).所以，阴影部分的面积是17平方厘米。例2图中四边形ABCD为平行四边形，三角形MAB的面积为11平方厘米，三角形MCD的面积为5平方厘米。请问平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？第12级上优秀A版教师版3\nMFMEDCDCABAB【分析】过M点做CD的平行线与ADBC,的延长线分别交于FE,，由图可知SS22510,同理S21122,因此平行四边形ABCD的平行四边形CEFD△MCD平行四边形ABEF面积是221012例3如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠。已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10。那么，正方体盒子的底面积是多少？黄黄红绿红绿【分析】将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为24212.根据公式可知，空白处面积黄绿红1212207.2，则正方形盒底面积是7.212122051.2.4第12级上优秀A版教师版\n第2讲动物中的数学“天才”蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角棱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？例4如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，ABBC，AD2，BC3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED，连接AE、CE，则ADE的面积是．FEEADADBCBHC【分析】如图所示，将ADE以D为中心顺时针旋转90，到FDC的位置．延长FD与BC交于H．由于ABCD是直角梯形，AD与FD垂直，则四边形ADHB是长方形，则BHAD．由于ADE与FDC面积相等，而FDC的底边FDAD2，高CHBCBH321，所以FDC的面积为2121，那么ADE的面积也为1．【想想练练】如图，正方形ABCD和DEFG有一个公共点D，试比较三角形ADG和三角形CDE的面积．AAA'GGBBDDFFCECE【分析】因为ADC和GDE是直角，所以ADG和CDE是互补角，将三角形ADG顺时针旋转90到达ADE'的位置，则A'、D、C在同一条直线上，且AD'ADCD，即D是AC'第12级上优秀A版教师版5\n的中点，所以三角形CDE和三角形ADE'面积相等，则三角形CDE和三角形ADG面积相等．例5如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD平行于BC，EF=13厘米，MN=4厘米，又已知EF垂直MN于O，那么阴影部分的总面积为平方厘米。【分析】易知夹在平行线之间的△ABM和△EFM面积相等，△CDN和△EFN面积相等。而△EFM和△EFN的面积之和等于EF×(MO+ON)÷2=26，所以空白部分的面积总和为52，所求答案为65。【想想练练】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．123123【分析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形451和三角形3，所以1的面积就是3616，3的面积就是3620．45456第12级上优秀A版教师版\n第2讲如何用一张长方型的纸折出30度的角答案：1、先折出一个正方形2、将正方形对折，折成的一半的正方形（即长方形），各点为ABCD，AB为长边。3、以A点为中心，将AB边向CD边折，使B点落在CD边上B’点，此时∠AB’D即为30度杯赛提高正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米．ADEGHADFBCEGHFBCM【分析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积．1由题意可得到：EGGCEBCD::1:2，所以可得：SSEBGBCE3将AB、DF延长交于M点，可得：BMDCMFFDBFFC:::1:1，12而EHHC:EMCD:(ABABCD):3:2，得CHCE，251121而CFBC，所以SSSCHFBCEBCE2255第12级上优秀A版教师版7\n111SABBC12030BCE2241177SSSSS3014．四边形BGHFEBCEBCEBCEBC351515本题也可以用蝴蝶模型来做，连接EF，确定H的位置(也就是FHHD:)，同样也能解出．知识点总结1.一半模型ABABS1S4S2S3C1DCDSS1阴影2长方形SSSSS1324长方形22.等高模型1）等底等高的两个三角形面积相等；2）两个三角形高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比；3）两个平行四边形高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比．3.蝴蝶模型：aADS1S2S4OS3BCb1）SS24222）SSS:::Sab::abab:；132423）梯形S的对应份数为ab．5.相似模型8第12级上优秀A版教师版\n第2讲EFDAADFEBGCBGCADAEDEAF221）；2）S△ADE：S△ABCAF:AG．ABACBCAG家庭作业1.如图所示，CAAB4厘米，△ABE比△CDE的面积小2平方厘米，求CD的长为多少厘米？CDEAB【分析】连接BC两点，由△ABE比△CDE的面积小2平方厘米，根据差不变原则可得2SSSSSS△CDE△ABE△CDE△CBE△ABE△CBESS由于S4428(平方厘米)，所以△CDB△ABC△ABCS8210，所以CD10245(厘米)△CDB2.下图由一个边长为2厘米的正方形和一个长为5厘米的长方形拼成的，线段MN把它们各分成两部分。已知A、B两块的面积和是C、D两块面积和的1.5倍。请问：长方形的宽是多少厘米？MCCE?ADADBB52N1.511【分析】给CD,补全上E后与AB,的面积和相同，所以E的面积是AB,的面积和的，设1.53第12级上优秀A版教师版9\n11长方形的宽为x，有xx(52)(2)2，解得x4.8，长方形的宽是4.8厘米233.如图所示，在正方形ABCD内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是．AD红12黄3绿BC【分析】由于黄色正方形的两个顶点分别在红色正方形和绿色正方形的中心，所以红色正方形与黄1色正方形重合部分的面积为4812，绿色正方形与黄色正方形重合部分的面积为41123．4黄色正方形可分为4部分，如右上图所示，除了与其它两个正方形重合的两个部分，另外两个部分的面积相等，设为a．在其中可类似运用四边形中的蝴蝶模型，可得22a123366，所以a6．所以黄色正方形的面积为1236227．4.如图所示的四边形的面积等于多少？CO1313131312D12B12A12【分析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144.5.如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．10第12级上优秀A版教师版\n第2讲AFAFBBGGHHDCDCEE【分析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是112334．6.如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．AB2535ODC2【分析】根据梯形蝴蝶模型，S:Sa:ab25:35，可得ab:5:7，再根据梯形蝴蝶模型，AOBBOC2222S:Sab:5:725:49，所以S49(平方厘米)．那么梯形ABCD的面积AOBDOCDOC为25353549144(平方厘米)．第12级上优秀A版教师版11\n第3讲第三讲数论模块综合选讲一知识站牌六年级春季六年级春季数论模块综合选讲（三）数论模块综合选讲（二）六年级寒假同余数论模块综合选讲（一）六年级秋季六年级秋季进位制进阶数论中的规律本讲是对数论中整除的复习。漫画释义第12级上优秀A版教师版1\n教学目标会用数论中整除特征解决相关整除问题经典精讲整除规律：(1)看末位判断整除：一个数能否被2，5整除，只需看这个数的末尾是不是2，5的倍数；判断一个数能否被4，25整除，只需要看其末两位是不是4，25的倍数；判断一个数能否被8，125整除，只需要看末三位是不是8，125的倍数。可以不断的延续下去。2，5家族中有很多的成员。判断余数：看一个数被2，5除的余数只需看末位被2，5除的余数；看一个数被4，25除的余数只需看末两位被4，25除的余数即可；以此类推。(2)看数字和①3，9家族判断整除：一个数能否被3，9整除，只需看这个数的各个数位上的数字和是否是3，9的倍数即可。判断余数：一个数被3除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被3除的余数。同样的，一个数被9除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被9除的余数。②长9家族（99，999，9999……）判断整除：一个数能否被99，999，9999……整除，把这个多位数从个位开始两位，三位，四位……一截，然后把这些两位数，三位数，四位数……相加，相加的和能被99，999，9999……整除，那么这个多位数就能被99，999，9999……整除。⑶一位一截，看差11一个数能否被11整除，从个位开始算第一位，把所有处于奇数位上的数字加起来，所有处于偶数位上的数字加起来，然后奇数位和与偶数位和相减（以大减小）所得的差如能被11整除，则这个数就能被11整除。7，11，13家族判断整除：一个多位数能否被7整除，只需看把这个数从个位开始三位一截，然后标上奇偶数位，把奇数位上的三位数加起来，偶数位上的三位数加起来，然后两个和相减（以大减小），最后看差能否被7整除即可。11和13的判断方法也是如此。2第12级上优秀A版教师版\n第3讲例题思路模块一：例1、2、5系列例2、3、9、99系列例3、11系列例4、7、11、13系列模块二：例5、综合系列例11）把若干个连续自然数1，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末十位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?【分析】要求乘积的末十位均是0，那么这个乘积至少含有10个质因数2，且10个质因数5．连续的自然数中2的倍数的个数远大于5的倍数的个数．所以只用考虑质因数5的个数只能为10，有：10550，而1～50中，25、50均含有2个质因数5．所以只需连乘到(101)545即可．也就是说123的积的末十位均是0，那么最后出现的自然数最小应是45．2）计算122123124198199200的积的末尾有个连续的零。【分析】一个偶数与5相乘必产生一个0，本题求原式结果末尾有多少个连续的0。最关键在于有多少个5。200200200=40，=8，=1；408149++=525125121121=24，=4；244+=28；5254928-=21【想想练练】计算1234138139140的乘积的末尾有（）个连续的零。【分析】一个偶数与5相乘必产生一个0，本题求原式结果末尾有多少个连续的0。最关键在于有多少个5。140140140=28，=5，=1；28+5+1=34;525125第12级上优秀A版教师版3\n例21）若9位数2016□2016能够被3整除，则□里的数是__________2）如果形如34AB的四位数能被9整除，那么这样的四位数有（）个。3）六位数20□□15能被99整除，□□是多少？4）已知九位数2014102□□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？1）若9位数2016□2016能够被3整除，则□里的数是__________【分析】根据题目知:18+□是3的倍数,所以□里填0或3或6或9.2）如果形如34AB的四位数能被9整除，那么这样的四位数有（）个。【分析】9|3AB4，则3+A+B+4=7+A+B满足是9的倍数即可。⑴A+B=2⑵A+B=111+1=0+2=2+02+9=3+8=4+7=5+6一共3+4×2=11（个）。3）六位数20□□15能被99整除，□□是多少？【分析】根据一个数能被99整除的特点知道：2015=35是99倍数，所以=9935=644）已知九位数201410□□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？【分析】根据一个数能被99整除的特点知道若想201410□□2能被99整除，则214102必能被99整除，99-55=44.列竖式分析得21441042才满足，所以答案为201441042【想想练练】如果六位数42是99的倍数，那么这个数除以99，得到的商是。【分析】设原数为4228BA，它是99的倍数，方法一：因为99911，所以4228BA也是9的倍数，则有9|4228AB,所以A+B=2或A+B=11。又因为11|(84BA)(22),所以(84BA)(22)0或(84BA)(22)11,解得A=4，B=7，即427284994316。4第12级上优秀A版教师版\n第3讲方法二：4228BA，8AB242992,BA124198，BA74。解得A=4，B=7，即427284994316。例3多位数201420141024能被11整除，n的最小值是（）。n个2014【分析】一个数能被11整除，那么这个数的奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是11的倍数。多位数201420141024的奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是n个201444n213n1n，那么n的最小值是10。【想想练练】多位数201520151026能被11整除，n的最小值是（）。n个2015【分析】一个数能被11整除，那么这个数的奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是11的倍数。多位数201520151026的奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是n个201565n213n32n，那么n的最小值是4。完全数完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身。例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1＋2＋4+7+14＝28。后面的数是496、8128。例41）已知六位数20279□是13的倍数，求□中的数字是几？【分析】根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27920=7□□，7□是13的倍数，□是8的时候是13倍数，所以知道方格中填1。2）已知四十一位数55599□9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？第12级上优秀A版教师版5\n【分析】我们知道abcabc这样的六位数一定能被7、11、13整除。原41位数中从高位数起共有20个5，从低位数起共有20个9，那么我们可以分别从低位和高位选出555555，和999999，从算式的结构上就是进行加法的分拆，即：555555×10…00(35个0)+555555×10…00(29个0)+…+55□99+999999×10…00(12个0)+…+999999.这个算式的和就是原来的41位数，我们可以发现每一组含有555555或999999因数的部分都已经是7的倍数，唯独剩余55□99待定，那么只要令55□99是7的倍数即可，即只要□44是7的倍数即可，□应为6。例5有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是________。【分析】为了5个数的和最小，那么121122634。（1）若为1、12、□、□、□，那么后面的三个数必须是12的倍数，最小为24、36、48，和为121；（2）若为2、6、□、□、□，那么后面的三个数必须是6的倍数，最小为12、18、24，和为62；（3）若为3、4、□、□、□，那么后面的三个数必须是12的倍数，最小为12、24、36，和为79；综上所述，得到的最小值为62。1111四兄弟分金币，共有30个。老大分到，老二分到，老三分到，老四分到26918刚好分完，请问他们各拿到多少金币？答案：借6个金币，老大分18个，老二分6个，老三分4个，老四分2个，还6个。杯赛提高已知：23!2582067388849766DCAB000．则DCBA？【分析】由于1～23中有4个5的倍数，所以23!的末尾有4个0，所以B0．由于23!251015820MM1000083(M为正整数)，所以2582067388849766DCAB000去掉末尾的4个0后得到的数是8的倍数，那么66A是8的6第12级上优秀A版教师版\n第3讲倍数，所以A4．易知25820673888497664DC是9和11的倍数，所以258D20C67388849766493CD是9的倍数；282C7889645D063847615CD是11的倍数，那么CD6或15，CD7或DC4．若CD15，由于CD与CD(或DC)奇偶性相同，所以此时CD7，得C11，不合题意．所以CD6，DC4，得C1，D5，所以DCBA51042040．知识点总结①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。家庭作业1.把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十八位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【分析】要求乘积的末十八位均是0，那么这个乘积至少含有18个质因数2，18个质因数5．连续的自然数中2的倍数的个数远大于5的倍数的个数．所以只用考虑质因数5的个数，有：18590，而1～90中，25、50、75均含有2个质因数5．所以只需连乘到(183)575即可．也就是说123的积的末十八位均是0，那么最后出现的自然数最小应是75．2.若十位数19112010恰好是99的倍数，则这个十位数是。【分析】被99整除的特征：从末位开始两位一截，分成两位数，把这些两位数求和，这个和能被99整除，根据这个特征，10+20+11+19=60，方框里填入39。3.形如199019901990129…且能被11整除的最小自然数n是多少？n个1990【分析】一个数能被11整除，那么这个数的奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是11的倍数。奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是1010n29nn8，那么n的最小值是第12级上优秀A版教师版7\n3。4.应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数666?555可被7整50个650个5除？【分析】由于1111111111001可被7整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下“6655？”．从中减去63035，并除以10，即得“32？”可被7整除.此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？处应填2或9.5.有一个正整数它的数码为0或1，它可同时被45与4整除。请问满足上述条件的最小正整数是什么？【分析】4559，也就是该数能被5和9整除；因为该数能被4与5整除，而且数码只能为0或者1，所以这个正整数的末两位为00，因为能被9整除，所以各位数字之和是9的倍数，最小为9，所以这个正整数最小为11111111100。6.有一个五位数可同时被9和11整除。若将这个五位数的第一位、第三位与第五位数码移除，则可得到一个两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除，则剩下的两位数可被9整除；若将这个五位数的末三位数码移除，则剩下的两位数也可以被9整除，请问这个五位数是什么？【分析】设这个五位数为abcde，那么bd35，所以b3，d5，由de能被9整除，d5，可以得到e4，由ab能被9整除，b3可以得到a6。因为6354c能同时被9和11整除，所以这个五位数为63954。8第12级上优秀A版教师版\n第4讲第四讲组合模块综合选讲一知识站牌六年级春季六年级寒假组合模块综合选讲组合模块综合选讲（二）六年级秋季（一）抽屉原理进阶六年级秋季数字谜中的计数六年级暑假最值问题综合主要是对加乘原理的计数方法技巧进行归纳总结，学习排列组合问题在解决应用题的一些解题技巧。漫画释义第12级上优秀A版教师版1\n经典精讲容斥原理二量重叠：总量=满足一个条件的减去满足两个条件的，再加上满足零个条件的；三量重叠：总量=满足一个条件的减去满足两个条件的，加上满足三个条件的，加上满足零个条件的。抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式：抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件；抽屉原理2：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于m1排列组合公式：m1.排列数公式：Annn(1)(n2)(nm1)n2.全排列公式：Ann!n(n1)(n2)21mnn(1)(n2)(nm1)3.组合数公式：Cnm!4.关于组合数的几个重要结论：0nmnm012nnCC1CCCCCC2nnnnnnnn例题思路模块一：例1、容斥原理例2、抽屉原理模块二：例3、加法原理例4、乘法原理例5、排列组合例1实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ACB2第12级上优秀A版教师版\n第4讲【分析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人，即：28291245(人)．【想想练练】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？只参加两项只参加象棋比比赛围棋比赛的都参赛的A加的B【分析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有281810(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042(人)．或者根据包含排除法直接得：32281842(人)．例21）向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【分析】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为7303661364，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天2）把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？【分析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把10只小兔放进1019个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．3）将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的本数相同？【分析】每人不许超过11本，最“坏”的情况是每人得到的本数尽量不相同，为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这11种各不相同的本数，共有：1+2+3++11=66本，4006664，最不利的分法是：得1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11本数+的各6人，还剩4本书，要使每个人不超过11本，无论发给谁，都会使至少有7人得到书的本数相同．【想想练练】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【分析】每个盒子不超过5个球，最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为1、2、3、4、5这5种各不相同的个数，共有：1234515，611541，最不利的分法是：装1、2、3、4、5个球的各4个，还剩1个球，要使每个盒子不超过5个球，无论放入哪个第12级上优秀A版教师版3\n盒子，都会使至少有5个盒子的球数相同．例31995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?【分析】小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23．因为十位、个位数字和最多为9918，因此，百位数字至少是5．于是百位为5时，只有1599一个；百位为6时，只有1689，1698两个；百位为7时，只有1779，1788，1797三个；百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个；百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个；根据加法原理，总计共1234515个．【想想练练】在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？【分析】适合要求的两位数中，个位数字小于十位数字可将它们列出来：十位数字个位数字1020，130，1，2………90，1，2，…，8（19）9因此，适合要求的两位数共有：1＋2十3＋…＋9＝＝45(个)2例41）邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？北1号路中ABC南2号路【分析】把可能出现的情况全部考虑进去．第一步第二步南1号路A村B村C村2号路北1号路A村B村C村2号路中1号路A村B村C村2号路由分析知邮递员由A村去B村是第一步，再由B村去C村为第二步，完成第一步有3种方法，而每种方法的第二步又有2种方法．根据乘法原理，从A村经B村去C村，共有3×2=64第12级上优秀A版教师版\n第4讲种方法．2）“数学”这个词的英文单词是“MATH”．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？【分析】为了完成对单词“MATH”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成：第1步——对字母“M”染色，此时有5种颜色可以选择；第2步——对字母“A”染色，由于字母“M”已经用过一种颜色，所以对字母“A”染色只有4种颜色可以选择；第3步——对字母“T”染色，由于字母“M”和“A”已经用去了2种颜色，所以对字母“T”染色只剩3种颜色可以选择；第4步——对字母“H”，染色，由于字母“M”、“A”和“T”已经用去了3种颜色，所以对字母“H”染色只有2种颜色可以选择．由乘法原理，共可以得到5432120种不同的染色方式．【小结】下面的这棵枚举树清晰地揭示了利用乘法原理分步计数的过程：M有5种选择，这是其中的一种染法M红每种选择有4种搭配A黄蓝绿紫每种搭配又可搭配3种T蓝绿紫每种搭配又可搭配2种H绿紫思考一下，如果不要求“每个字母染的颜色都不一样”，会有多少种不同的染色方式？每个字母都有５种颜色可选，那么染色方式一共有5×5×5×5=625种染色方式．第12级上优秀A版教师版5\n四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理(Fourcolortheorem)最先是由一位叫古德里（FrancisGuthrie）的英国大学生提出来的。德·摩尔根（AugustusDeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了方向。例51）小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间．（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间．（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边．（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上．（6）七个人站成两排，前排三人，后排四人．7【分析】（1）A75040（种）．6（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．A6720（种）．6（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2A61440(种)．5（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．2A5240(种)．25（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，AA25480（种）．（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，77个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．A75040（种）．2）如果一个三位数从左到右的数码按严格递增的次序出现，则称为上升数．例如128、245、389都是上升数，而255、558、798则不是．请问在三位数中共有多少个上升数？3987【分析】从9个数字中选取3个，按从小到大排列，因此共有C84个．93216第12级上优秀A版教师版\n第4讲打数学家名字1．虎丘游春；2．博览群书．答案：1苏步青；2．张广厚．杯赛提高把1600颗花生分给100只猴子，问：（1）证明：不管怎么分，至少有4只猴子得到的花生一样多.（2）设计一种方法，使得没有5只猴子得到的花生一样多.【分析】⑴123…33561，56131683，即99只猴子如果要没有4只一样多，最少需要1683颗花生，分给100只猴子必然有4只猴子得到的花生一样多。⑵1600÷4400，100÷425，40045…+28，即分得4颗5颗6颗……28颗花生的猴子各4只即可家庭作业1.一个数学测验只有两道题，结果全班有15人全对，第一题有27人做对，第二题有33人做对（没有人全错），那么全班共有人．【分析】27331545（人）．2.把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？第12级上优秀A版教师版7\n【分析】本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有1个人分到4本书，而其他同学都只分到3本书，则12543401，因此这个班最多有：40141(人)(处理余数很关键，如果有42人则不能保证至少有一个人分到4本书)．3.从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【分析】根据第一个数的大小，将和大于10的取法分为9类：因此，根据加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10．4.1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?【分析】小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为26，只需其余三位数字和是25．因为十位、个位数字和最多为9＋9=18，因此，百位数字至少是7．于是百位为7时，只有1799，一个；百位为8时，只有1889，1898，二个；百位为9时，只有1979，1997，1988，三个；总计共1＋2＋3=6个．5.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？【分析】第一步写“I”有5种方法，第二步写“M”有4种方法，第三步写“O”有3种方法，共有54360种方法．6.8名同学站成两排照相，前排3人，后排5人，共有多少种站法？8【分析】如果问题是8名同学站成一排照相，则是8个元素的全排列的问题，有P8种不同站法．而问题中，8个人要站成两排，这时可以这么想，把8个人排成一排后，左边3个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是8个人站8个位置的全排列问题．8方法一：由全排列公式，共有A88765432140320(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理，先排前三个，再排后五个．35AA8765432140320858第12级上优秀A版教师版\n第5讲第五讲应用题模块综合选讲知识站牌六年级寒假应用题六年级秋季应用题模块综合选讲综合（二）六年级秋季经济问题六年级暑假应用题综合（一）六年级暑假浓度问题复习五六年级学过的分数应用题，包括分数应用题、比例应用题、经济类问题等知识点。漫画释义第12级上优秀A版教师版1\n经典精讲一、鸡兔同笼问题，假设法，或列方程解应用题。二、经济问题经济问题主要相关公式：利润售价成本售价成本利润，利润率100%100%；成本成本售价=标价×折扣三、浓度问题浓度问题相关公式：溶质溶质溶液=溶质+溶剂，浓度=100%=100%.溶液溶质溶剂常用方法：1.十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)甲溶液质量AB甲溶液与混合溶液的浓度差形象表达：乙溶液质量BA混合溶液与乙溶液的浓度差2.列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法．四、工程问题工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。⑴解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。⑵利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。例题思路模块一：例1、鸡兔同笼问题例例2、工程问题例3、比例应用题模块二：例4、经济问题例5、浓度问题2第12级上优秀A版教师版\n第5讲例1鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？【分析】这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度．我们用两种方法来解这道题．（方法一）考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加56228（只）鸡．这样一来，鸡、兔共有10728135（只），这时鸡脚、兔脚一样多．已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和倍问题有：兔有：135(21)45（只），鸡有：135452862（只）或者1074562（只）（方法二）不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：1074428（只），而鸡的脚数为零．这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：42856372（只）．现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少426（只）．鸡的只数：372662（只）兔的只数：1076245（只）【想想练练】鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只．问：鸡、兔各多少只？【分析】假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零．这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多1206060(只)．现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426(只)，而60610，因此有兔子10只，鸡601050(只)．例2一项工程，甲单独完成要90天，乙单独完成要45天，丙单独完成要30天，现由甲、乙、丙三人合作完成此工程．在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了．问这项工程前后一共用了多少天？111111【分析】设一共用了x天，甲效，乙效，丙效，可列方程(x2)(x3)x19045309045301解得x1630【想想练练】打印一本书稿，甲、乙两个打字员如果合打8天完成，甲单独打12天完成。实际上是乙先打了若干天后，再由甲继续完成，全部完成共用了15天，求甲、乙两个打字员各工作了多少天？111141【分析】181128128129624解：设乙先打x天，甲打了15x天11xx1512412第12级上优秀A版教师版3\n151xx12441251x142411x244x61569（天）例31如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长的，31另一根铁棒在水面以上的长度是总长的。已知两根铁棒的长度之和是33厘米，则两根铁棒的长度5之差是＿＿＿＿厘米。11【分析】甲11乙，甲：乙＝6：5。3365653厘米。35【想想练练】11六年级一、二两班人数相等。一班男生人数是二班女生的，二班男生人数是一班女生人数的。34一班女生人数与二班女生人数的比是＿＿＿＿。11【分析】一班女生A人，二班男生A人，二班女生B人，一班男生B人。4311ABBA3432ABAB:8:943例4小明的妈妈昨天销售电脑2台，售价都是4800元．妈妈说：“第一台比原价提高20%出售，第二台比原价降低20%出售．赚的钱和赔的钱正好抵消，白忙了一天．”请从数学角度分析小明妈妈的话的正确性．4第12级上优秀A版教师版\n第5讲【分析】第一台原价：4800120%＝4000（元），第二台原价：4800120%6000（元），这两台电脑的原价为：4000600010000（元），两台的售价为：480029600（元），赔了100009600400（元），所以妈妈说的话错误．一个城里男孩Kenny移居到了乡下，从一个农民那里花100美元买了一头驴，这个农民同意第二天把驴带来给他。第二天，Kenny却发现他得到的是一头死驴。Kenny很不高兴，但是农民拒绝把钱还给他，还说：“我并没告诉你这是一头活的驴子呀。”一个月以后，农民遇到了Kenny，农民问他：“那头死驴后来怎么样了？”Kenny说：“我靠它赚了499美元。”农民觉得很惊讶。Kenny说：“我举办了一次幸运抽奖，并把那头驴作为奖品，我卖出了600张票，每张1块钱，就这样我收了600块钱。”农民好奇地问：“难道没有人对此表示不满？”Kenny回答：“只有那个中奖的人表示不满，所以我把他买票的钱还给了他，最后扣除成本100元，我赚了499美元。”许多年后，长大了的Kenny成为了安然公司的总裁。例51）实验室里有盐和水:（1）请你配置含盐率5%的盐水500克，你需要取盐和水各多少克进行配置？（2）如果要求你把（1）所配置的500克盐水变成15%的盐水，需加盐几克？（3）如果要求你配置含盐率12%的盐水5000克，你应该从含盐率5%和15%的两种盐水各取多少克才能配成？【分析】⑴5005%25克，500-25475=克。盐25克，水475克；⑵设应加盐x克．5005%xx50015%x58.82⑶设应加含盐5%x克，含盐15%（5000-x）克．5%x15%（5000-x）500012%xx1500,50003500.5%的1500克，15%的3500克．2）仓库运来含水量为90%的一种水果4000千克，一星期后再测发现含水量降低了，变为80%，现在这些水果的总重量是多少千克？【分析】含水量变化，苹果总重量也变化，找不变量解答。第12级上优秀A版教师版5\n4000190%÷180%2000kg去哪挣钱更多？有甲、乙两个公司招聘经理。甲公司年薪10万元，每年提薪一次，每次加薪2万元；乙公司半年薪金5万元，每半年提薪一次，每次加薪5千元。问去哪个公司挣得的薪水更多？答案：去乙公司挣得的薪水更多。杯赛提高甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%．如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%．第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？【分析】如果甲、乙两种酒精各取15升混合，那么混合后的溶液共30升，浓度为72%58%265%，由于第二次混合后的浓度为63.25%，则可知第一次混合后的体积与30升的比值为：(65%63.25%):(63.25%62%)7:5．则第一次混合后的体积为305742升．又知，第一次混合时甲、乙两种酒精的体积之比为：2(62%58%):(72%62%)2:5．则第一次甲酒精取了4212升，乙酒精取了5254230升．52家庭作业1.鸡与兔共有60只，鸡的脚数比兔的脚数多30只，则鸡有______只，兔有______只【分析】假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零．这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多30只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多1203090(只)．现6第12级上优秀A版教师版\n第5讲在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426(只)，而90615（只），因此有兔子15只，鸡601545(只)．2.一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独要12天完成。已知这项工程甲队做了几天后离开，乙队紧接着做，从开始到完成共用了14天，那么甲队做了多少天？【分析】可列方程解答：设甲队工作了x天，则乙队工作了14x天。11xx1412012xx1412012125xx316060621x606x13061x306x5113.有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮球？32113【分析】根据题意可知一班与二班分到的球数比:3:2，所以一班分到皮球12072个，2332二班分到皮球1207248个．4.有一个集邮爱好者卖了两本集邮册，每本各卖600元，第一本多卖了原价的20%，另一体少卖了原价的20%，试问他是(填赔或赚)了元．【分析】原价分别为600(120%)500（元）和600(120%)750（元）．50075012501200元，因此赔钱，赔了1250-1200=50元。115.味多美西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的，第二天卖出了剩下的，第二天比第52一天多卖出40个，那么味多美西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？1【分析】将味多美西饼屋推出新蛋糕个数看作“1”，由题意，第一天卖出全部的，第二天卖出全部511的(1)，而且已知第二天比第一天多卖出40个，也就是40个占全部蛋糕的52111111(1)，所以味多美西饼屋这次共推出新蛋糕的个数为：40[(1)]200525525（个）．6.有浓度为10%的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30%的盐水，可得到浓度为22%的盐水？【分析】设应加浓度30%的盐水x克．第12级上优秀A版教师版7\n2010%30%xx2022%x308第12级上优秀A版教师版\n第6讲第六讲行程模块综合选讲知识站牌六年级寒假六年级秋季行程模块综合选讲变速问题六年级暑假多次相遇与追及五年级春季比例法解行程五年级寒假时钟问题复习小学阶段学习的所有行程模块中的知识。包括公式类行程、方程法解行程、比例法解行程。漫画释义第12级上优秀A版教师版1\n经典精讲一、行程问题基本公式：路程速度时间，平均速度总路程总时间；二、比例法设甲、乙两个人，所走的路程分别为S、S；速度分别为V、V；所用时间分别为T、T时，甲乙甲乙甲乙由于SVT，SVT，有如下关系：甲甲甲乙乙乙⑴当时间相同即TT时，有S::SVV；甲乙甲乙甲乙⑵当速度相同即VV时，S::STT；甲乙甲乙甲乙⑶当路程相同即SS时，V::VTT．甲乙甲乙乙甲三、往返相遇问题的重要结论：设一个全程中甲走的路程为M,乙走的路程为N⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题：⑵同一出发点的直线型多次相遇问题相遇甲乙共走甲共走的乙共走的相遇甲乙共走甲共走乙共走次数的路程和路程路程次数的路程和的路程的路程11MN122M2N233M3N244M4N355M5N366M6N……………………n21n(2nM1)(2nN1)n2n2nM2nN例题思路模块一：1、平均速度2、比例法3、多人相遇或追及4、多次相遇或追及模块二：5、变速变道例1小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是__________分钟。2第12级上优秀A版教师版\n第6讲【分析】上坡速度：4004100米/分下坡速度：120040084200米/分平路速度：20001200138160米/分回家时：上坡时间：12004001008（分）下坡时间：4002002（分）总时间：82515（分）点拨：①平路时间不变。②回家时与上学时比，上、下坡刚好相反。【想想练练】一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地。到达乙地卸货后返回。汽车行驶的时间x与距甲地路程y之间的关系如图所示。根据图像信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由。（2）求这辆汽车从甲地出发4小时后与甲地的距离。【分析】往返速度不同，因为路程相同，所用时间不同。出发后4小时汽车在乙地卸货，距甲地距离250千米。（1）不同，因为路程相同，而用的时间不同（2）250例2一架飞机所带的油最多可以用12小时，飞机顺风每小时飞行1500千米，飞回时逆风，每小时飞行1200千米，飞机最多飞出多少千米就应返回？【分析】题中暗含条件，飞出距离与飞回距离相等，时间与速度成反比，即1500:12005:44飞出时用了4份时间，飞回时用了5份时间.有150012=8000千米。9【想想练练】1一人登山，上山用15分钟，下山时速度比上山加快了，下山用的是＿＿＿＿分。411【分析】方法一：1112（分）1541方法二：t下:t上V上:V下1:14:5441512（分）5第12级上优秀A版教师版3\n例3甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离．【分析】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）．【想想练练】在公路上，汽车A、B、C分别以80km/h，70km/h，50km/h的速度匀速行驶，若汽车A从甲站开往乙站的同时，汽车B、C从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇，求甲、乙两站相距多少千米？【分析】汽车A在与汽车B相遇时，汽车A与汽车C的距离为：(8050)2260千米，此时汽车B与汽车C的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了260(7050)13小时，那么甲、乙两站的距离为：(8070)131950千米．例4上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【分析】画一张简单的示意图：4千米4千米家小明爸爸图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。4第12级上优秀A版教师版\n第6讲苏步青和他的行程题当苏步青教授在德国访问时，一位有名的德国数学家在电车上给他出了这道题：甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100里，甲每小时走6里，乙每小时走4里。如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗共跑了多少里路？本题好像是一个分段行程问题，但如果按照这个思路尝试，却会发现计算量庞大，无法得出结果。但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同。由此便能求出答案：狗一共跑了1006410（小时），所以跑的距离为1010100（里）。有时我们会遇到一些看起来无法解决的问题，这个时候我们就需要问问自己：是否应该换个角度思考？尝试这样思考，一定能让我们的头脑在锻炼中变得越来越聪明！例5邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?【分析】法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6=2+2.4+1+4.6=10(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时)回到邮局的。第12级上优秀A版教师版5\n某人上午八点从山脚出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。不过，他并不是匀速前进的，有时慢，有时快，有时甚至会停下来。第二天，他早晨八点从山顶出发，沿着原路下山，途中也是有时快有时慢，最终在晚上八点到达山脚。试着说明：此人一定在这两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。答案：把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想象有一个人从山脚走到了山顶，同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了，这个人在两天的同一时刻都经过了这里。杯赛提高B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【分析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：A10分钟10分钟BC10分钟因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信A10分钟10分钟BC5分钟10分钟5分钟当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）（2）同理先追及甲需要时间为120分钟6第12级上优秀A版教师版\n第6讲家庭作业1.如图，从A到B是6千米下坡路，从B到C是4千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问从A到D的平均速度是多少？ADBC【分析】从A到B的时间为：6÷6=1（小时），从B到C的时间为：441（小时），从C到D的时间为：422（小时），从A到D的总时间为：1124（小时），总路程为：64414（千米），那么从A到D的平均速度为：1443.5（千米/时）2.明明每天早上7：00从家出发上学，7：30到校。有一天，明明6：50就从家出发，他想：“我今天出门早，可以走慢点。”于是他每分钟比平常少走10米，结果他到校时比往常迟到了5分钟。明明家离学校________米。【分析】平时明明用30分钟，今天用了45分钟，时间比为2:3,则速度比为3:2，那么可知平时速度为30米/分钟，所以明明家离学校900米。3.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【分析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（67.5+75）=5130米。4.欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米。两人同时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米，AB之间的距离是________。8326【分析】第二次应面相遇，两人合计跑了4个全程，速度比8:5，所以欢欢跑了4213131316全程为5130米2135.自行车队出发12分后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到达后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米。自行车队和摩托车每分各行多少千米？【分析】自行车每分行0.5千米，摩托车每分行1.5千米。提示：摩托车在4个相等的时间里走了36千米，自行车在其中三个相等时间里走了9千米，故摩托车的速度是自行车的3倍。自行车出发12分后，摩托车需6分追上，所以摩托车每分行9÷6＝1.5（千米）。第12级上优秀A版教师版7\n6.老王开汽车从A到B为平地，车速是30千米／时；从B到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千米／时。已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？【分析】2.4时。设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上、下山的平均速度是（x＋2x）÷（x÷22.5＋2x÷36）＝30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关。因此共需要72÷30＝2.4（时）。8第12级上优秀A版教师版