第1讲第一讲计算模块综合选讲（二）知识站牌六年级春季六年级冬季计算模块综合选讲计算模块综合选讲（二）六年级秋季（一）数形结合六年级暑假分数裂项六年级暑假整数裂项与通项归纳复习五六年级学过的三讲分数计算。漫画释义第12级下超常体系教师版1\n经典精讲1、分数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧.2、分数裂项:基本形式:母积子和差.和差:第一取决于分子拆成和或差,第二取决于算式整体的运算符号.目的:裂成两项.如果裂差,与前后相同相消；如果裂和,考虑凑整.1(1)对于分母可以写作两个因数相乘的形式,即形式的,这里我们把较小的数写在前面,即ab1111ab,那么有()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:11,形式的,我们有:n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)1111[]n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)1111[]n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)3、常用公式:1)abcabcabc1001；2)abababab10101；n(n1)3)123n；22222n(n1)(2n1)4)123n；62233332n(n1)5)123n123n；426)13572n1123n1nn1321n；n01n1aq1(1)7)等比数列求和公式:Snaq1aq1aq1(q1)；q1228)平方差公式:ababab；9)11111111123n321,其中n9．n个1n个12第12级下超常体系教师版\n第1讲例题思路例1:提取、凑整、分组例2:提取、换元例3:约分技巧例4:分数裂项例5:换元法例6:繁分数例7:公式法与通项归纳例8:估算、放缩例12007(1)200720072008111111(2)762353235353762376171615141112(3)81×+71×+61×+51×+41×+31×786756453423200720082008【分析】(1)200720072007.20082007200820072009111111(2)原式767623235353235353762376111(7653)(7623)(2353)1.235376877665544332(3)原式=80×＋70×＋60×＋50×＋40×＋30×786756453423=70＋1＋60＋1＋50＋1＋40＋1＋30＋1+20＋1=276.例2111111111111(1)111234534342345153219(2)4.853.66.1535.51.7514185321111111111111【分析】(1)111234534342345第12级下超常体系教师版3\n111111111171113423452345125(2)本题观察发现除以相当于乘以3.6则公因数就出来了.18175719原式4.853.613.66.153.65.5443421135194.8516.153.65.541212154365.595.54.510.412例38个9012023030390909(1)19191919191919199个1911(2)有一根1米长的木条,第一次去掉它的,第二次去掉余下木条的；第三次又去掉第二次余下木5611条的,等等；这样一直下去,最后一次去掉上次余下木条的．问:这根木条最后还剩下多长?7100.10.30.90.20.61.80.30.92.7(3)0.10.20.40.20.40.80.30.61.2【分析】(1)重复数的分数计算,先提取,再约分.例如:abcabcabc1001abc71113,abababab10101ab3713378个1012101310101910101123945原式.19191011910101191010119191919198个10456922(2)转化单位“1”和连锁约分.最后剩下1,所以最后还剩下米.56710550.10.30.90.120.320.9230.130.330.9(3)提取和整体约分.原式0.10.20.120.120.220.430.130.230.40.10.30.980.10.30.9270.10.30.9360.10.30.927.0.10.20.480.10.20.4270.10.20.4360.10.20.48例44812162024(1)1335577991111134第12级下超常体系教师版\n第1讲11224(2)26153577365791113(3)576122030424812162024【分析】(1)133557799111113111111111111()()()()()()133557799111113111111111111()()()()()335577991111131113121311224(2)原式2233557711111111111110122335577111111362334455667(3)原式=572334455667361111111111=4.572334455667夏琨塔拉·戴维（ShakuntalaDevi，1929年11月4日－2013年4月21日），印度女性，曾是神童和著名心算家，有“人脑计算机”的美称.因其不可思议的计算能力而列入1982年版的《吉尼斯世界纪录》.夏琨塔拉·戴维曾在全球各大学接受测试，现场示范其最著名的特殊能力：在28秒内计算出两个任意13位数的乘积.这项成就让戴维女士名列吉尼斯世界纪录，虽然这个记录后来被移除，原因是基于她的成绩远优于其它受测天才的计算能力.2013年4月21日上午08时15分左右，在印度班加罗尔一家医院去世，享年83岁.例5200820072009200920082010(1)20082009120092010111111111111111(2)(1)()(1)()23423452345234200820072009200920082010【分析】(1)原式200820091200920101第12级下超常体系教师版5\n20082007200920092008201020072009200912008201020101200820072009200920082010112.200720092008200820102009(2)有头无尾×无头有尾-有头有尾×无头无尾,可等于头×尾.111111设a,则原式化简为:(+)(+)-1aaa(1a+)=.234555例62232(1)32323320131(2)将表示成:a(abcde,,,,为自然数),试求abcde之值.19901b1c1de222278【分析】(1)由短到长:227849533322213933639311201323(2)辗转相除:由于1,于是a1.19901990199012由于86,于是b86.23232311由于1,于是c1.1212121由于1,于是d1,e11.1111于是,abcde1861111100.例72222222222222112123123412263333333333333112123123412266第12级下超常体系教师版\n第1讲n(n1)(2n1)22212n622n1211【分析】a()n3332212nn(n1)3n(n1)3nn142111111112152原式=[()()()()]=(1)31223342627327813331232006【铺垫】1232006212320061【分析】原式12320062006200612013021.12320062例85(1)如果用符号“a”表示数字a的整数部分,例如5.75,1,那么31的值是___________________.111112000200120022003203913(2)的整数部分是______________.111222101129404011【分析】(1)首尾放缩:设分母为x,x5050.9752039200050,x∴原式最大为50.1111111120(2)......22210112991010112829929261113326121因此4111206060222101129261111111111......2221011291011111229301030151133因此5111122210112915综上,整数部分为4.第12级下超常体系教师版7\n一位疯狂的艺术家为了寻找灵感，把一张厚为0.1毫米的很大的纸对半撕开，然后再撕成两半叠起来。假设他如此重复这一过程25次，这叠纸会有多厚？A、像山一样高B、像一栋房子一样高C、像一个人一样高D、像一本书那么厚答案：这叠纸的厚度将达到3355.4432米，有一座山那么高.知识点总结1、分数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧.2、分数裂项:基本形式:母积子和差.和差:第一取决于分子拆成和或差,第二取决于算式整体的运算符号.目的:裂成两项.如果裂差,与前后相同相消；如果裂和,考虑凑整.1(1)对于分母可以写作两个因数相乘的形式,即形式的,这里我们把较小的数写在前面,即ab1111ab,那么有()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:11,形式的,我们有:n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)1111[]n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)1111[]n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)3、常用公式:1)abcabcabc1001；2)abababab10101；n(n1)3)123n；22222n(n1)(2n1)4)123n；62233332n(n1)5)123n123n；48第12级下超常体系教师版\n第1讲26)13572n1123n1nn1321n；n01n1aq1(1)7)等比数列求和公式:Snaq1aq1aq1(q1)；q1228)平方差公式:ababab；9)11111111123n321,其中n9．n个1n个1家庭作业11131.0.531.2551.251.4845112551585【分析】原式248444511254152248541133441.4121142.2316=.713771341214【分析】原式2342816.713137333333…2345673.(1)____________.1010101010102345671111(2)100(1)(1)(1)(1)_________.2341001111113()2345673【分析】(1)原式=.1111111010()2345671111(2)原式=100(1)(1)(1)(1)23410012399=100=1.234100第12级下超常体系教师版9\n3333334.=____________.25588111114141717201111111111111119【分析】原式31.32558811111414171720220203625483615.=____________.362548186362548361362548361【分析】原式1.361154818636154854818622222212231001016.______.1223100101【分析】法1:通过代数式进行通项归纳或者找规律,可知:22nn1n2n22n112,n(n1)nn(1)nn1111100100原式=22220020012231001011011012222222132101100法2:原式=()()()1212232310010110010121321011001223100101上式为若干组同分母分数的和,而且这些和都是2,100100原式2100200.101101123897.(1)(2)(3)(8)(9)=__________.2349102nnn(1)nn【分析】通项为:an,nn1n1n122222123489原式34678936288.2345910101118198.在横线上分别填入两个相邻的整数,使不等式成立:__________.11121920101191【分析】一共有10项,这个值大于×10=9,小于109,所以应该分别填入9和10.111120210第12级下超常体系教师版\n第2讲第二讲几何模块综合选讲(二)知识站牌六年级春季六年级寒假几何模块综合选讲几何模块综合选讲(三)六年级寒假(二)几何模块综合选讲六年级秋季(一)复合图形拆分六年级秋季圆柱圆锥复习曲线形面积周长、图形变换、旋转轨迹问题.漫画释义第12级下超常体系教师版1\n经典精讲一、相关公式22n圆的面积r；扇形的面积=r；360n圆的周长=2r；扇形的弧长=2r.360二、基本图形1、“弓形”:弓形一般不要求求周长,主要求面积.一般来说,“弓形”面积=扇形面积－三角形面积.(除了半圆)2、“弯角”:如图,“弯角”的面积=正方形－扇形3、“谷子”:如图,“谷子”的面积=“弓形”面积×2224、“圆环”:如图,“圆环”面积=(Rr),R、r分别是大小圆半径三、常用的思想方法:1、转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的)2、等积变形(割补、平移、旋转等)3、借来还去(加减法)4、外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的“关系”)5、容斥(实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的.我们把两部分面积加起来,去掉总面积,剩下的就是重叠部分面积.)6、差不变．例题思路例1:用方程解决问题例2:整体代入例3:切割拼接例4:旋转拼接例5:图形变换的综合应用例6:方中圆与圆中方例7:综合应用2第12级下超常体系教师版\n第2讲例8:轨迹问题例1已知:如图,圆O内切于直角三角形ABC,三角形ABC的两条直角边长分别为12和5,求阴影部分面积是多少(取3)?AAOOBCBC【分析】如图,连接AO,并过点O做三边的垂线.由勾股定理可得斜边AC=132解:设圆半径为r.12r5r13r125解得r=2.阴影部分面积:1253248.例2已知:如图,在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的切线与小圆相切,其长度为10厘米.求阴影部分的面积.(π取3.14).10厘米22102【分析】设大圆半径为R,小圆半径为r,根据勾股定理知Rr(),所以22222SRr(Rr)3.142578.5(平方厘米).阴影例3已知:如图,分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心,以2厘米为半径画弧,求阴影图形的周长是多少厘米(取3.14)?第12级下超常体系教师版3\n11每段弧长为C,所以C6CC12.56圆阴影圆圆66【拓展】已知;如图,4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?【分析】如图所示;可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形,每个正方形的面积为（112）40.542（平方厘米）,所以阴影部分的总面积为248（平方厘米）．例4已知:如图,由一个圆与一个直角扇形重叠组成的图形中,圆的直径与扇形的半径都是4.图中阴影部分的面积是多少(π取3.14)?121【分析】将下图阴影部分对折,则有:阴影部分面积为:444484.56.424第12级下超常体系教师版\n第2讲欧几里得（约公元前330年—前275年）古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，此外还有不少著作，如《已知数》，《纠错集》，《圆锥曲线论》，《曲面轨迹》，《观测天文学》等，遗憾的是除《几何原本》外这些都没有留存下来消失在时空的黑暗之中了。《几何原本》的目录：第一卷几何基础，第二卷几何与代数，第三卷圆与角，第四卷圆与正多边形，第五卷比例，第六卷相似，第七卷数论（一），第八卷数论（二），第九卷数论（三），第十卷无理量，第十一卷立体几何，第十二卷立体的测量，第十三卷建正多面体.两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。很多人认为除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。例5已知:如图,若圆和半圆都两两相切,两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积(π取3)．【分析】由于直接求阴影部分面积太麻烦,所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．1由右图可见,阴影部分面积等于大圆面积减去一个小圆面积,再加上120的小扇形面积(即6112小圆面积),所以相当于大圆面积减去小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍,所以其36321225面积为小圆的39倍,那么阴影部分面积为9π1π2.5．636例6已知:如图,某仿古钱币直径为4厘米,钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧．求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少(π取3.14)?第12级下超常体系教师版5\n4cm【分析】将古钱币分成8个部分,外部的4个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形,中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积,所以总面积等于:2224442π224π6π810.84(cm)．222例7已知:如图,在33方格表中,分别以A、E、F为圆心,半径为3、2、1,圆心角都是90°的三段圆弧与正方形ABCD的边界围成了两个带形,那么这两个带形的面积之比S:S是多少?12AADDEED1FFDS2SS112BCBB1B2C【分析】如图,仔细观察图形不难发现带形S的面积等于曲边三角形BCD的面积减去曲边三角形1BCD的面积,而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出．11221221π所以,S1的面积3π32π251；444同理可求得带形S2的面积：π带形S的面积曲边三角形BCD的面积曲边三角形BCD的面积31；211224所以,SS:5:3．12例8(1)正方形的边长是4厘米,圆形的半径是1厘米.当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(π取3.14)?6第12级下超常体系教师版\n第2讲(2)图中等边三角形的边长是3厘米,圆形的半径是1厘米.当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(π取3.14)?22【分析】(1)如图,面积为:S244244.56cm.22(2)如图,面积为:232341830.56cm.24【拓展】已知;如图,△ABC是一个等腰直角三角形,直角边的长度是1米.现在以C点为圆点,顺时针旋转90度,那么,AB边在旋转时所扫过的面积是平方米(π取3.14).【分析】边扫过的面积为下图阴影部分,可分为图示的两部分.rrr111122221因为rr1,所以r.221212211所求面积为111r0.6775(平方米).424428第12级下超常体系教师版7\n把下列图形分成四小块，使它们形状大小完全相同，并且是已知图形的缩小版.答案：知识点总结1、“弓形”面积=扇形面积－三角形面积(除了半圆)2、“弯角”的面积=正方形－扇形13、“谷子”的面积=弓形面积×2=两个圆－正方形4224、圆环面积=(Rr),R、r分别是大小圆半径5、常用方法技巧:旋转、平移、对称、割补、容斥原理、差不变家庭作业1.已知：如图,直角三角形的三条边长度为3,4,5,它的内部放了一个半圆,图中阴影部分的面积为多少(结果保留)?8第12级下超常体系教师版\n第2讲3r5r13【分析】设半圆半径为r,直角三角形面积:34,所以4r6,r2222199所以S6π=6π.阴影24822.已知：图中阴影部分的面积是25cm,求圆环的面积(圆周率取3.14)．22Rr22【分析】设大圆半径为R,小圆半径为r,依题有25,即Rr50．2222222则圆环面积为:πRπrπ(Rr)50π157(cm)．3.三个半径为100厘米且圆心角为60º的扇形如图摆放；那么,这个封闭图形的周长是________厘米(π取3.14)．0180【分析】三个扇形的弧长相当于半径100厘米,圆心角为180的扇形的弧长,23.14100314360厘米.4.已知：如图.所示,四个全等的圆每个半径均为2m,阴影部分的面积是．2m2m2m或【分析】我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式,但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知第12级下超常体系教师版9\n道这些公式也可以求出阴影部分面积．如图,割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等,22等于（22）16m（）．5.已知：如图,三角形ABC是直角三角形,AC4cm,BC2cm,求阴影部分的面积(π取3.14)．BAC【分析】从图中可以看出,阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差,所22141212以阴影部分的面积为:ππ422.5π43.85(cm)．222226.已知：如图,大正方形边长为6,将其每条边进行三等分,连出四条虚线,再将虚线的中点连出一个正方形,在这个正方形中画出一个最大的圆,则圆的面积是多少(π取3.14)?4【分析】圆的直径也就是外切正方形的边长,它的长为:64624∴圆的面积为:π12.56.27.已知：如图,图中是一个钟表的圆面,图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是________.1211110甲2乙93O84756【分析】阴影部分甲120°的扇形三角形小弓形；阴影部分乙三角形小弓形；由于120°扇形的面积容易求得,所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积:10第12级下超常体系教师版\n第2讲AB12121211111111110甲210甲210甲2乙乙乙9O39393OO848484757575666阴影部分乙的面积120°阴影部分的面积阴影部分乙的面积11=斜纹三角形B的面积=圆的面积的=圆的面积的63+斜纹弓形A的面积111综上所述:阴影部分甲的面积圆的面积的圆的面积的．所以甲、乙面积之比为3661:1．8.已知：如图,一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处,四周都是空地.绳长刚好够小狗走到建筑物外的墙边的任一位置.小狗的活动范围是多少平方米?(建筑外墙不可逾越,小狗身长忽略不计,π取3.14)A【分析】根据题意,如下图所示,小狗最远活动点是A点,所以其活动的范围是:1272272227222S10106286270.04(平方米).2360360360第12级下超常体系教师版11\n第4讲第四讲数论模块综合选讲（二）知识站牌六年级春季六年级春季数论模块综合选讲（三）数论模块综合选讲（二）六年级寒假数论模块综合选讲（一）六年级秋季数的进制六年级秋季神奇的九主要是对质数,合数,因数,倍数,平方数的复习和巩固.漫画释义第12级下超常体系教师版1\n经典精讲一、质数、合数、分解质因数1．判断一个数是否为质数的方法根据定义,如果能够找到一个小于P的质数p(均为整数),使得p能够整除P,那么P就不是质数,所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样的计算量很大,对于不太大的P,我们可以先找一个大于且接近P的平方数K2,再列出所有不大于K的质数,用这些质数去除P,如没有能够除尽的那么P就为质数.2例如：149很接近16913,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11、13整除,所以149是质数.2．分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数．2例如：30235其中2、3、5叫做30的质因数．又如1222323,2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式．分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征．3．因数个数定理aaaa设自然数n的质因数分解式如pp12p3pn.123n那么n的因数个数为dn()(a1)(a1)(a1)(a1)123n自然数n的因数和为aa121aa121Snp1p1pp1p2p2pp111112222aa121pnpnpp1nnnn二、因数、倍数1．最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系①ABmambmmab(,)[,]ABAB,即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公因数是A、B、AB、AB及最小公倍数的因数．2．求一组最简分数的最大公因数与最小公倍数⑴求一组最简分数的最大公因数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的b最大公因数b；即为所求．a82(8,2)2例如：(,)915[9,15]452第12级下超常体系教师版\n第4讲⑵求一组最简分数的最小公倍数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大a公因数b；即为所求．b35[3,5]15例如：[,]412(4,12)4三、平方数1．定义我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数．22222如.11,24,39,…,11121,12144,…其中1,4,9,…,121,144,…都叫做完全平方数．平方数分解质因数后,它的质因数必定会成对出现．2．完全平方数的有关性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9．性质2：完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质3：如果一个完全平方数的个位是6,则十位是奇数,反之亦然．性质4：如果一个完全平方数的个位是0,则它末尾连续的0的个数一定是偶数个．如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个．性质5：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数．22性质6：平方差公式:ab(abab)()性质7：偶数的完全平方是4的倍数,奇数的完全平方被4除一定余1,任何自然数的平方数不可能被4除余2例题思路模块一：例1～例3：质数与合数模块二：例4～例6：因数与倍数模块三：例7～例8：平方数例1（1）若abc,,均为质数,求下列各数的因数个数：5724334①Xa②Yab③Mabc④Nabc23（2）若abc,,均为质数,若Aabc,则A有多少个因数?若B8A,则B有多少个因数?（3）若一个数有3个因数,则这个数平方后有多少个因数?（4）若一个数有6个因数,则这个数平方后可能有多少个因数?第12级下超常体系教师版3\n（5）若一个数的平方有9个因数,则这个数可能有多少个因数?【分析】（1）因数个数定理的应用,分别有6,16,30,80个因数.（2）A有24个因数.对于B可以分类讨论：情况1：abc,,中无2,则B有96个因数；情况2：a2,则B有48个因数；b2,则B有42个因数；c2,则B有60个因数.24（3）有3个因数的数的形式是a,平方后的形式为a,因数个数为5.也可拿具体数据尝试.521024（4）有6个因数的数的形式可能是a或bc,平方后的形式为a或bc,因数个数为11或158224（5）有9个因数的数的形式可能是a或bc,因此原数可能是a或bc,因数个数为5个或4个.例2（1）四个连续自然数的乘积是3024,这四个自然数中最大的一个是多少?（2）已知5个人都属牛,它们年龄的乘积是589225,那么他们年龄的和为多少?2（3）若三个不同的质数abca2006．求abc的值．43【分析】（1）3024237=6789，最大为9（2）分解质因数得到58922552721337589225113253749，五个人的年龄和为125岁．2（3）200621759，当a2时，bc100223167．不符；当a17时，b3,c13.2当a59时，bc33311，不存在这样的b和c．所以abc1731333．例32006个弹珠,平均分给若干个人,正好分完．若有1人退出,不参加分球,并且弹珠增加10个,则每人可以多分8个．原来有人．【分析】对2006进行分解质因数,得到2006=2×17×59；对2016进行分解质因数得到,2016=25327,发现只有16到17相差1人．经验证符合条件,所以原来有17人．例4（1）在下面的横线处填上适当的数.241510(18,45)___,(24,40,88)___,[36,60]___,[38,106,1007]___,(,)___,[,]___.3522336510（2）能被分数,,除得的结果都是整数的最小分数是.71421（3）有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行,甲每分钟走80米,乙每分钟走120米,丙每分钟走70米．已4第12级下超常体系教师版\n第4讲知操场跑道周长为400米,如果三个人同时同向从同一地点出发,问几分钟后,三个人可以首次相聚?230【分析】（1）9,8,180,2014,,151130（2）7（3）由题意,甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数,甲和乙每分钟差1208040(米),则需要4004010分钟乙才能第一次追上甲；同理,乙每分钟比丙多走1207050(米),则需要400508分钟乙才能追上丙；同理,甲每分钟比丙多走807010(米),则需要4001040分钟甲才能追上丙；而想要三人再次相遇,所需的时间则为10,8,40的公倍数．因为10,8,4040,所以三人相聚需要过40分钟,即40分钟后,三个人可以首次相聚．雷劈数有位印度数学家叫卡普利加,在一次旅行中,遇到猛烈的暴风雨,电闪雷鸣过后,他看到路边一块里程碑被雷电劈成两半,一半上刻着30,另一半刻着25.这时,卡普利加的脑际中忽然发现2了一个绝妙的数学关系:30+25=55,553025把劈成两半的数加起来,和再平方,正好是原来的数.按照第一个发现者的名字,这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”,也叫“分和累乘再现数”.例5（1）已知A、B两数的最小公倍数是180,最大公因数是30,若A=90,则B=.（2）已知两个自然数的最大公因数为4,最小公倍数为120,求这两个数.（3）已知两数的最大公因数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是_____.（4）有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公因数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析】（1）根据最小公倍数最大公因数AB,知道,B180309060（2）这两个数分别除以最大公因数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公因数的商,120430,将30分解成两个互质的数之积：1和30,2和15,3和10,5和6,所以这两个数为4与120,或8与60,或12与40,或20与24．（3）假设这两个数是21a和21b,易得21ab126,所以ab6,由a和b互质,那么就有61623两种情况．所以甲、乙是：21121,216126或21242,21363两种情况．它们的和是147或105．（4）设这两数为A,B,(A,B)=m,记A=ma,B=mb．则(a,b)=1,且第12级下超常体系教师版5\nA+B=ma+mb=m(a+b)=297………①它们的最大公因数与最小公倍数的和为：[A,B]+m=mab+m=m(ab+1)=693…………………②综合①、②知m是297,693的公因数,而(297,693)=99,所以m可以是99,33,11,9,3,1．第一种情况：m=99,则(a+b)=3,(ab+1)=7,即ab=6=2×3,无满足条件的a,b；2第二种情况：m=33,则(a+b)=9,(ab+1)=21,即ab=20=2×5则a=5,b=4时满足,此时A=ma=33×5=165,B=mb=33×4=132,则A-B=165-132=33；第三种情况：m=11,则a+b=27,ab+1=63,即ab=62=2×31,无满足条件的a,b；一一验证m=9,m=3,m=1时,发现都没有满足条件的a和b．所以,这两个自然数的差为33．例6已知：a,b,c是3个整数，且a>b>c.a,b,c的最大公因数是15；a,b的最大公因数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?222【分析】由(,)ab7535,[,]ab4503257532,又a﹥b,所以a450a225或b75b1502[,]1050bc2357.a450(450,75,)c(75,)15c当时,有,因为两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等b75[,][75,]1050bcc于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；a225a225(225,150,)c(75,)15c当时,有,则c=105,c﹤b,满足,即b150为满足条件的唯b150[,][150,]1050bccc105一解．那么c是105.例72（1）23a为完全平方数,则非零自然数a的最小值为____（2）2205乘以一个非零自然数a,乘积是一个完全平方数,则a最小为______.2205除以一个自然数b,商是完全平方数,则b最小为____.（3）在Nx8x9x10x99x100里,x是一个非零自然数.问：能使N成为一个平方数的最小x值为____.11（4）有一个不等于0的自然数,它的是一个立方数,它的是一个平方数,则这个数最小23是.6第12级下超常体系教师版\n第4讲【分析】（1）平方数分解质因数后的每个质因数的指数一定是偶数,因此a最小为3.2（2）22054415215,当a5时,乘积为完全平方数.当b=5时,商也是完全平方数.2x108（3）N9393(x54)331(x54),所以x+54=93,x=39.2ab1a1b（4）设为23c（c为不含质因子2,3的整数）,则它的是23c,是立方数,所以a1是321ab1的倍数,b是3的倍数,另外它的即23c是一个平方数,所以a是偶数,b是奇数,符合以上3两个条件的a的最小值为4,b的最小值为3,这个数最小为432．例8（1）两个平方数的差能否是5?（2）两个平方数的差能否是6?（3）两个平方数的差能否是8?（4）通过上面三题,你能总结出两平方数之差有什么特征吗?（5）三个自然数,它们都是完全平方数,最大的数减去第二大的数的差为80,第二大的数减去最小的数的差为60,求这三个数.22222222222222（6）写出五个各不相同的自然数A、B、C、D、E,使得A+B、A+B+C、A+B+C+D、A+B+C+D+E这四个数都是完全平方数.【分析】（1）设这两个数分别为a,b且（a≥b）（下同）2222则ab(abab)()51(32)(32)3222（2）ab(abab)()6,因为a+b与a-b的奇偶性相同,而6不能拆成同奇偶的两数相乘,因此没有两个平方数差6.2222（3）ab(abab)()42(31)(31)31（4）平方差公式中a+b与a-b的奇偶性相同,因此两个平方数的差可以是奇数,也可以是4的倍数,但一定不能是除以4余2的数.222（5）设这三个数从大到小分别为A、B、C,那么有ABAB80,ACAC140,因为1402257,AC、AC同奇同偶,所以有AC14,AC10或AC70,AC2,分别解得A12,C2和A36,C34,对于后者没有满足条件的B,所以A只能等于12,C2,继而求得B8,所以这三个数分别为22212144、864、24．2222222222（6）由于345,所以可以令A3,B4.设ABCM,则5CM.我们知道5,12,13也是一组勾股数,可以令C12,M13.按照这样的方法,可以求出当D84,E3612时满足条件.所以A、B、C、D、E分别是3,4,12,84,3612.当然也可以是别的组合,此题答案不唯一.第12级下超常体系教师版7\n小聪明“六一”儿童节,某小队全体同学（十人）去玩电子游戏,但每次只能一个人玩.同学们都想先玩,谁也不谦让.这时有人想了个主意,叫他们站成一排,1、2、3、4……报数,报单数的离开队伍,剩下的再从队头开始报数,报单数的再离开……,最后剩下谁,谁就先玩.小聪明很快找到了第一个先玩的应站的位置.想想看,小聪明站在____号位置上.答案：8号知识点总结1.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数．2.因数个数定理:aaaa设自然数n的质因数分解式如pp12p3pn.123n那么n的因数个数为dn()(a1)(a1)(a1)(a1).123n3.短除模型：ABmambmmab(,)[,]ABAB,即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积.bd(,)bdbd[,]bd4.最简分数的最大公因数与最小公倍数的求法(子同母反)：(,),,.ac[,]acac(,)ac5.完全平方数的有关性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9．性质2：完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质3：如果一个完全平方数的个位是6,则十位是奇数,反之亦然．性质4：如果一个完全平方数的个位是0,则它末尾连续的0的个数一定是偶数个．如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个．性质5：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数．22性质6：平方差公式:ab(abab)().8第12级下超常体系教师版\n第4讲性质7：偶数的完全平方是4的倍数,奇数的完全平方被4除一定余1,任何自然数的平方数不可能被4除余2家庭作业1.已知偶数A不是4的整数倍,它的因数的个数为12,求4A的因数的个数.1【分析】由于A是偶数但不是4的倍数,所以A只含有1个因子2,可将A分解成A2B,其中B是奇数,根据因数个数公式,它的因数的个数为11N12(其中N为B的因数个数),则34A8B2B,它的因数个数为13N24个．2.三个连续自然数的乘积等于39270．这三个连续自然数的和等于多少?【分析】3927023571117=333435,和为1023.幼儿园里给小朋友分苹果,420个苹果正好均分．但今天刚好又新入园一位小朋友,这样每个小朋友就要少分2个苹果．那么原来幼儿园有多少位小朋友?2【分析】420235722103140410558467076010421235143015282021上式中只有14×30=(14+1)×(30-2)=15×28符合题意,所以原有14个小朋友.110204.一个数分别除以1、、,所得的商都是自然数,这个数最小是.14214960【分析】75.已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公因数的差为114,求这两个自然数.【分析】设这两个自然数分别是ma、mb,其中m为它们的最大公因数,a与b互质(不妨设ab),根据题意有：mbmama(b)54mabmmab(1)114所以可以得到m是54和114的公因数,所以是(54,114)6的因数．m1,2,3或6．如果m1,由m(ab)54,有ab54；又由m(ab1)114,有ab115．1151115523,但是111511654,5232854,所以m1.如果m2,由m(ab)54,有ab27；又由m(ab1)114,有ab58．58158229,但是1585927,2293127,所以m2．如果m3,由m(ab)54,有ab18；又由m(ab1)114,有ab39．39139313,但是1394018,3131618,所以m3．第12级下超常体系教师版9\n如果m6,由m(ab)54,有ab9；又由m(ab1)114,有ab20．20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：2012045,虽然120219,但是有459,所以取m6是合适的,此时a4,b5,这两个数分别为24和30．6.已知a与b,a与c的最大公因数分别为9、12,a、b、c的最小公倍数是180.则a、b、c分别是多少?【分析】由题意可知a至少为[9,12]36,180365,因此当a为36时,b,c,至少有一个有因数5；当a为180时,b,c,只能为9和12,具体情况如下：abc36912×5369×512369×512×5180912因此a,b,c的可能情况为：36,9,60；36,45,12；36,45,60；180,9,127.考虑下列32个数：1!,2!,3!,……,32!,请你去掉其中的一个数,使得其余各数的乘积为一个完全平方数,划去的那个数是.【分析】设这32个数的乘积为A．222A1!2!3!32!(1!)2(3!)4(31!)322216(1!3!31!)(2432)(1!3!31!)216!,所以,只要划去16!这个数,即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．另外,由于16!1615!,而16也是完全平方数,所以划去15!也满足题意．8.若两个自然数的平方和是637,最大公因数与最小公倍数的和为49,则这两个数是多少?【分析】由于最小公倍数是最大公因数的倍数,所以最大公因数是最大公因数与最小公倍数的和的因数,即本题中这两个数的最大公因数是49的因数,从而最大公因数为1或者7．如果最大公因数为1,则最小公倍数为48,可能为1和48或3和16,这两种情况都不符合平方和为637；如果最大公因数为7,则最小公倍数为42,可能为7和42或14和21,此时221421637,满足题意,所以这两个数分别为14和21．10第12级下超常体系教师版\n第5讲第五讲数列数表模块综合选讲知识站牌六年级春季五年级寒假数列数表模块综合选讲数表――从杨辉三角谈起四年级寒假数表――从日历谈起四年级暑假等差数列进阶三年级春季等差数列初步复习数列，日历型数表，三角型数表.漫画释义第12级下超常体系教师版1\n经典精讲数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格.首先,数表具有数列的一般特征,即各项与其项数之间具有特定的对应关系,可以用通项公式或递推关系表示出来;其次,数表又不等同于普通数列,由于具有一定的形状,因此各项必须受其所在位置的限制,这点是需要特别注意的.数列与数表问题常用的思考方法有：1.观察：观察是解决数列数表问题的根本前提,许多数列数表问题首先就是找规律问题,这需要观察出突破口;2.对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系,必要时要用代数式表示出来;3.周期性：许多数列数表问题是周期问题,特别是某些求某数在第几行第几列的问题;4.递推关系：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系;5.整体及动态分析;6.利用特殊位置：比如中间项,拐角,最大数或最小数等;7.结合奇偶分析或整除分析等.杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.(如下图)11112113311464115101051………………………它有以下一些特点(更多的特点并未列出)：1.每个数等于它上方两数之和.2.每行数左右对称,由1开始逐渐变大.3.第n行的数有n个.n14.第n行所有数之和为2.例题思路模块一：例1-3,数列问题模块二：例4-6,日历型数表模块三：例7-8,三角型数表2第12级下超常体系教师版\n第5讲例1按规律填数,并写出每个数列的第n项(1)2,4,6,8,____,12(2)1,3,5,7,____,11(3)1,4,7,10,13,_____.(4)1,4,9,16,____,36(5)1,2,4,8,16,____.(6)2,6,12,20,30,_____.(7)1,3,6,10,15,_____.2n1nn(1)【分析】答案分别为10,9,16,25,32,42,21,第n项依次为2n,2n-1,3n-2,n,2,n(n-1),.数表中2经常用这些规律.例2有20个等式123456789101112131415……第20个等式的左右两边的和都是.22【分析】第n个等式最左边的一个数为n,紧挨着等号的左边的数为nn(1),20400,2021420(400420)21因此第20个等式左边为400+401+402+…+420=86102例3下面的各算式是按规律排列的:11,23,35,47,19,211,313,415,117,…,那么第18个算式是___________.其中第___________个算式的结果是1992.【分析】第一个加数以4为周期变化,第二个加数呈等差数列,所以第18个算式是235,因为第一个加数小于等于4,第二个加数为奇数,所以结果为1992的算式只可能是11991或31989,如1果第二个加数是1991,那么这是第19911996个算式,那么第一个加数应该是4,如果第21二个加数是1989,那么这是第19891995个算式,第一个加数的确是3,所以第995个算2式的结果是1992.第12级下超常体系教师版3\n例4一列自然数：0,1,2,3,……,2024,第一个数是0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大1,最后一个是2024.现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行,竖排为列.(1)第13行第1列的数为____.第n行第1列的数为____.(2)第1行第10列的数为____.第1行第n列的数为____.(3)第15行第7列的数为_____.第7行第15列的数为____.(4)2014在第___行,第_____列.(5)对角线的数分别为0,2,6,12,…,那么对角线的第15个数为____.2【分析】(1)每行第1个数为（行数-1）的平方.因此第n行第1列的数为(n1),第13行第1列的数2为(131)144.22(2)第1行第n列的数为n1,第1行第10列的数为10199.2(3)第15行第1列的数为(151)196,第7列的数为196+7-1=202;2第15列第1行的数为151224,第7行的数为224-7+1=218(4)2024-2014+1=11,2014在第11行第45列.(5)对角线上的数的通项为(n1)n,因此第15个数为1415210例5如图所示,把自然数按规律排列起来.如果用“土”字型阴影覆盖出8个数求和,那么和能否等于(1)571(2)560(3)702(4)790.(“土”字不能旋转或翻转)【分析】如下图,可发现x不能除以9余0或1,且8个数之和为8x-18,为偶数(不能是4的倍数).(1)不能,因为571是奇数.(2)不能,因为560是4的倍数(3)不能,若8x-18=702,则x=90,90除以9余0,不可能框出.(4)可以.8x-18=790,则x=101,101除以9余2,可以框出.4第12级下超常体系教师版\n第5讲x-18x-10x-9x-8xx+8x+9x+10例6将自然数1,2,3,,10000列成如图的100100的正方形数表：1,2,,100,101,102,,200,201,202,,300,,,,,9901,9902,,10000.从表中任意选定一个数,随后删掉该数所在的行和列,再对剩下的9999的正方形数表进行同样的处理,如此下去,工作了100次选数程序,那么被选中的100个数的和是.【分析】该数表的第m行第n个数的“通项公式”为100(m-1)+n,选出的100个数分属不同行不同列,所以它们的和是100×(0+1+2+…+99)+(1+2+3+…+100)=500050.第12级下超常体系教师版5\n神算小少年杨辉在南宋度宗年间,古城钱塘（今杭州）有一位少年,聪明好学,尤其喜爱数学.但由于当时数学书籍很少,这个少年只能零碎地收集一些民间流传着的算题,并反复研究,从中增长知识.一天,这个少年无意中听说100多里的郊外有位老秀才,不仅精通算学,而且还珍藏了许多《九章算术》、《孙子算经》等古代数学名著,非常高兴,急忙赶去.老秀才问明来意后,望了望这位少年,不屑地说：“小子不去读圣书,要学什么算学?！”但少年仍苦苦哀求,不肯走.老秀才无奈,于是说：“好吧,听着！‘直田积八百六十四步,只云阔不及长十二步,问长阔共几何?’（用现在的话来说就是：长方形面积等于864平方步已知它的宽比长少12步；问长和宽的和是多少步?）你回去慢慢算吧,什么时候算出来,什么时候再来”.说完便往椅子上一靠,闭目养起神来,心里却暗暗发笑：“小子一定犯难了,这道题老朽才刚刚理出点头绪（此题的解法一般要用到二次方程）,即使他懂得算学,那一年半载也是算不出来的.”谁料,正当老秀才闭目思量时,少年说话了：“老先生,学生算出来了,长阔共60步.”“什么?！”老秀才一听,惊奇地从椅子上跳起来,一把夺过少年演算出来的草稿纸瞪大了眼睛看起来：“啊,这小子是从哪里学来的?居然用这么简单的方法就算出来了.妙哉！老朽不如.”老秀才转过脸来,对少年夸奖道：“神算,神算,怠慢了,请问高姓大名?”“学生杨辉,字谦光.”少年恭敬地回答.后来的事,同学们都能想象出来了,在老秀才的指导下,杨辉通读了许多古典数学文献,数学知识得到全面、系统地发展.经过不懈的努力,杨辉终于成了我国古代杰出的数学家,并享有数学“宋元第三杰”之誉.例7把自然数按如下规律排成三角形数表：如4是第3行的第3个数,那么(1)自然数100是第____行左起的第____个数.(2)2014是第___行左起的第____个数.(3)第20行左起第5个数是___.(4)第21行左起第8个数是_____.123654789101211【分析】观察规律.每n行有n个数,奇数行是从大数到小数,偶数行是从小到大;nn(1)123n,26第12级下超常体系教师版\n第5讲13141415(1)91,105,因此100在第14行,100-91+1=10,所以100是14行第10个数.2262636364(2)1953,2016,2016-2014+1=3,因此2014在第63行第3个数.22(3)1+2+3+…+19+5=195(4)1+2+3+…+20+21-8+1=224例8如图,把从1开始的连续的自然数按照一定的顺序排成数表,如果这个数表有40行,请通过计算回答下列问题：(1)第1行的数是多少?(2)第20行中最大数与最小数之和是多少?(3)第35行中最大数与最小数之和是多少?【分析】此数表有如下特点：(1)第1行有1个数,第2行有2个数,…第n行有n个数.(2)数表中1所在行的下面每增加1行,上面会增加2行,因此1所在的行上下行数之比为2：1.即1上面有26行,下面有13行.(3)按下面左表的方式来看,加粗的点所在的数为1+2+3+….即从1开始的连续数的和.(4)每行中最大数在第1列.(5)前27行中奇数行的最小数在下面右表中A,B,C,D的位置,偶数行的最小数在下面右表中E的位置,且C和E差1.(4)第28行到第40行的最小数在下面右表中X,Y,Z的位置.因此：(1)根据题意,40行共有：123440820个数,则根据题意有：第1行中的数,应为：820-39=781;(2)第20行中的最大数为：781+19=800;第2行的最小数为1+2+3+…+39;第4行的最小数为1+2+3+…+36;第6行的最小数为1+2+3+…+33;…第20行最小数为1+2+3+…+12=78,因此和为800+78=878第12级下超常体系教师版7\n(3)第35行中的最大数为：781+34=815;第28行最小数为1+1;第29行最小数为1+2+3+4+1;第30行最小数为1+2+3+4+5+6+7+1;…第35行最小数为1+2+3+…+22+1=254.和为815+254=1069DCEBAXYZ?处应填的数为____.99453936282172271821?137答案：72,99数字和为7+2+9+9=27；27,45数字和为18；18,39数字和为21；21,36数字和为12；12,28数字和为13；13,21数字和为7.答案为12.家庭作业1.找规律填数：1,5,11,19,29,,55.151119294155【分析】+4+6+8+10+12+141跟5差4,5和11差6,11和19差8,19和29差10,29跟下一个数差12,2912418第12级下超常体系教师版\n第5讲2.将自然数1,2,3,4,5,6,…按如下的方式写出,则含300的等式的结果为______.123456789101112131415……2【分析】第n个等式最左边的一个数为n,紧挨着等号的左边的数为nn(1),289172300182324,因此300在第17行,1718306因此含300的等式的结(289306)18果为289+290+291+…+306=5355211211232112343213.有一串数,,,,,,,,,,,,,,,,…这串数从左往右,第个数是122233333444444495.在这串数中的什么位置.9149【分析】需要求出是第几个,先得知道分母是1~8的分数共有多少个?9分母是8的分数共有28115(个),前8组共有1158264.19再算出,~共有9个分数,所以共有64973(个).992巧解为8973.5会出现两次,第1次为分母为14的第5个数;第2次为分母为14的倒数第5个数.1422135174;1441924.将自然数1,2,3,4,…按如下方式排出.则300在第____行第____列.1251043698722【分析】每一行的第1个数均为行数的平方,2891730018324,300-289=11<18,因此300在第11行第18列.5.如图,把从1开始的自然数排成数阵.试问：能否在数阵中放入一个3×3的方框.使得它围住的几个数之和等于：(1)300;(2)450;(3)648.如果可以,请写出方框中最大的数.第12级下超常体系教师版9\n【分析】9个数之和为中间数的9倍,且中间数不能除以7余0或1才能框出.(1)300不是9的倍数,因此不能框出.(2)450÷9=50,50÷7…1,因此不能框出.(3)648÷9=72,72÷7…2,可以框出,最大数为72+7+1=806.下面方阵中所有数的和是多少?1901190219031904195019021903190419051951190319041905190619521948194919501951199719491950195119521998【分析】我们不难看出,每一行、每一列都是一个等差数列,通过观察,每一列的相邻两个数都相差1,由于每一行都有50个数,所以每行的和构成公差为50的等差数列.第一行的和我们可以求出,为：（19011950）50296275一共有（194919011）行,每行的和构成首项为96275,公差为50,项数为49的等差数列,那么最后一行的和为：9627550（491）98675,所以,方阵中所有数的总和为（9627598675）4924776275.7.如图所示,将1至400这400个自然数填入下面的三角形中,每个小三角形内填有一个数.“1”所处的位置为第1行;“2,3,4”所处的位置为第2行;……请问：(1)第15行正中间的数是多少?(2)第12行中所有空白三角形内的数之和是多少?(3)前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少?10第12级下超常体系教师版\n第5讲【分析】(1)由于第1行有1个数,第2行有3个数,第3行有5个数,…则第n行有2n-1个数,根据题意,第15行有29个数.第15行的最后一个数为：1+3+5+7+9+..+29=225.由于第15行有29个数,则其中间数为：225-14=211;(2)根据题意,第11行中共有：21个数,则有第12行中最后一个数为144.观察可知,偶数行时,奇数部分为空白部分.由于第11行中的最后一个数为121.所以第12行中所有空白部分的数字为：123、125…143,他们的和为：;123125143(123143)1121463(2)根据题意,第1行阴影部分比空白部分多：1个;2第2行阴影部分比空白部分多：12;2第3行阴影部分比空白部分多：23;2第4行阴影部分比空白部分多：34;2第5行阴影部分比空白部分多：45;2第6行阴影部分比空白部分多：56;2第7行阴影部分比空白部分多：67;2第8行阴影部分比空白部分多：78;7815所以他们的和为：3617668.图中的数是按一定规律排列的,那么第6行第23列的数字是多少?【分析】根据题意,第22列的最后一个数字应为1234567891011....的第1+2+3+…+22=253个数字.由于1到9中有数字：1×9=9个;10到99中有数字：2×90=180个;100到999中有数字：3×900=2700个.所以253-189=64.64÷3=21余1.所以第22列最后一个数为121中的1,第23列第1行为121中的2,所以第23列第6行为123中的1.第12级下超常体系教师版11\n第7讲第七讲几何模块综合选讲（三）知识站牌六年级春季六年级春季几何模块综合选讲几何模块综合选讲(三)六年级寒假(二)几何模块综合选讲六年级秋季(一)复合图形拆分六年级秋季圆柱圆锥复习长正方体，圆柱、圆锥，三视图，旋转问题.漫画释义第12级下超常体系教师版1\n经典精讲1、基本计算:立体图形表面积体积22S圆柱侧面积2个底面积2rh2rV圆柱rhn221S侧面积底面积=lr2圆锥Vrh360圆锥体3注:l是母线,即从顶点到底面圆上的线段长.(理解即可,不需要掌握)S(abacbc)2Vabc或VSha、b、c分别为长方体的长宽高.32Va或VShS6a(a为正方体棱长)2、三视图与空间想象:(1)积木块表面积的求法:三视图(是主视图、俯视图、左视图的总称).三视图法求表面积的口诀为:先俯后正侧检验;面积乘2加凹槽.三视图中,俯视图可能出现少木块的情况．(2)正方体的11种展开图．3、水中浸物问题:物体浸入水中的体积与排开水的体积相等.铁块浸入水中三种情况:1、水溢出;2、铁块完全浸入;3、铁块露出.VV铁水水溢出时水高:H容器;铁块完全浸入水高:H原+;铁块露出时水高:.SS－S容底容底铁底4、切片法与标数法:体积切片“表”标数.(1)思想:化立体为平面、化无序为有序.(2)利用标数法时,注意利用图形的对称性.2第12级下超常体系教师版\n第7讲例题思路例1：组合图形计算例2：组合图形计算例3：排水问题例4：旋转问题例5：三视图例6：切片与标数法例7：染色例8：构造问题例1(1)一个无盖的长方体水槽,长5米,宽0.5米,高0.4米,做这个水槽至少要铁皮_______平方米.将它注满水,水的体积是_________立方米.(2)两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米,把它们拼在一起可组成一个新长方体,在这些长方体中,表面积最小的是________平方厘米.(3)有高度相同的一段方木和一段圆木,体积之比是1:1.如果将方木加工成尽可能大的圆柱,将圆木加工成尽可能大的长方体,则得到的圆柱体体积和长方体的体积的比值为______________(结果保留).【分析】(1)长方体表面积:(50.50.50.40.45)9.4平方米,注意到水槽没有上面,9.450.56.9平方米;体积为50.50.41立方米.(2)由于拼在一起可组成一个新长方体,所以拼接的两个面是完全相同的两个面,拼接成的长方体的面积,即等于原来的两个长方体的面积之和减去拼接在一起的两个面的面积,所以,在拼成的长方体中,表面积最小的为拼接的两个面的面积最大的情况,而原来的长方体中最大的面为54这个面,所以,在拼成的这些长方体中,表面积最小为:(544335)454218840148(平方厘米).(3)正方体:加工成的圆柱=4:,圆柱:加工成的正方体=:2,根据正方体与圆柱体积相同,经2过连比圆柱体体积和长方体的体积的比值为:8.例2求以下立体图形的体积和表面积(取3)(单位：厘米).第12级下超常体系教师版3\n23【分析】体积：81212208172819203648立方厘米，4332表面积:圆柱表面积(822812)720，44正方体表面积(208)1212820822012800，720+800=1520平方厘米.例3(1)正方体铁块,棱长是6厘米.将其放入一圆柱形杯子中,水面高度为5厘米(水没有溢出);再将铁块取出,水面下降1厘米.请问杯子里原来有多少立方厘米的水?(2)一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米,深20厘米,水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米,高为18厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【分析】(1)解：设杯子底面积为x.x(51)(x66)5解得x=180.1804=720立方厘米.(2)若铁圆柱体能完全浸入水中,则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体22515218在水中体积之和,因而水深为：17.88(厘米);2522它比铁圆柱体的高度要小,那么铁圆柱体没有完全浸入水中．底面积为5221,水的23156体积保持不变为515315．所以有水深为17(厘米),小于容器的高度20厘米,2176显然水没有溢出于是17厘米即为所求的水深．7例4如图,ABCD是矩形,BC6cm,AB10cm,对角线AC、BD相交O．图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米(取3)?4第12级下超常体系教师版\n第7讲ADOBC【分析】设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V,则V等于高为10厘米,底面半径是6厘米的圆锥,减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆锥的体积后得到．1212所以,Vπ6102π3590π(立方厘米),33那么阴影部分扫出的立体的体积是2V180π540(立方厘米)．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人.阿基米德流传于世的数学著作有10余种.其中《方法论》已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用.研究者们认为，“阿基米德有能力创造出伽利略和牛顿所创造的那种物理科学”.《球与圆柱》熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径.阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的三分之二.在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”.另一篇著作《十四巧板》组合数学的专家研究之后，又有了惊人发现——《十四巧板》中的十四巧板总共有17152种拼法可以得到正方形。《十四巧板》表明“希腊人完全掌握了组合数学这门科学的最早期证据”.“阿基米德羊皮书”提供的《方法论》和《十四巧板》这两篇阿基米德遗作的重新问世，确实可以说是“改写了科学史”.正因为他的杰出贡献，许多人都认为：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两位通常是牛顿和高斯.例5(1)已知：如图,20个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体图形,它的表面积是____平方厘米.第12级下超常体系教师版5\n(2)由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图,则组成几何体的小立方体个数的最大值是________,最小值是________．(3)小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体的主视图和俯视图都是3×3的图形,那么这个几何体至少用了块木块．【分析】(1)俯视图面积11;侧视图面积7;正视图面积9;还有两个凹槽面积为4,所以其表面积为(1179)2458平方厘米.111030(2)最大121共12个;最少020共7个.131101111(3)10114块.333例6已知：如图,两个555的正方体被用两种方式打通,分别求两个立体图形的表面积和体积.6第12级下超常体系教师版\n第7讲【分析】(1)由顶到底的切片如下：故体积为2424162424112;正视图标数如下：112111121122221121111211正视图面积标数总和为32;本题图形6个方向对称,故表面积为326192.(2)由顶到底的切片见下页图：故体积为2192192181;正视图标数如下：131313331313133313131正视图面积标数总和为45;本题图形6个方向对称,故表面积为456270.例7第12级下超常体系教师版7\n把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色,然后切割成棱长为1的小立方体,其中,两面有红色的小立方体有40块,一面有红色的小立方体有66块,那么这个长方体的体积是多少?【分析】解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z且xyz.两面有红色的小立方块只能在长方体的棱上出现,若x=1,则没有两面有红色的小立方块,所以x2,此时两面红色的方块只能与长方体的棱共棱,一面红色的方块只与长方体的面共面,从而有4[(x-2)+(y-2)+(z-2)]=40,2[(x-2)(y-2)+(x-2)(z-2)+(z-2)(y-2)]=66整理得,x+y+z=16xy+yz+zx=85222于是有xyz86即2xy,9.逐个检验,可知x=5,y=5,z=6,此时长方体的体积为150.例8已知：如图,正方体的棱长为6cm,连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形,而连接其中三个顶点形成一个正三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有个面,它的体积是________立方厘米.【分析】从图中可以看出,夹在六边形与三角形之间的立体图形有2个底面和6个侧面(六边形的每一条边对应一个侧面),所以共有8个面,由于正方体是关于它的中心成中心对称的,而根据正六边形和正三角形的连法,如果从正方体中去掉以这个正三角形为底面的三棱锥以及与它相对的三棱锥后,剩下的部分正好被六边形分成2个同样的立体图形,这就是所要求的立体图形．所以所要求的立体图形的体积是：1113666266672(cm)．232【铺垫】如图,原正方体的棱长为12厘米,沿图中的线将正方体切掉正面的部分,求剩下不规则立体图形的体积是多少?8第12级下超常体系教师版\n第7讲【分析】倾斜于上下底面的切面,把正方体一分为二．被切掉的部分的图形和剩下的部分图形关于正33方形的中心是对称的．122864(cm).3有一个牛奶瓶，其下半部分是圆柱形，高度为整个瓶高的；其上半部分形状不规则，41占瓶高的.现在瓶内只剩一部分牛奶，在不打开瓶盖的情况下，利用一把直尺，怎样测4定这些牛奶占整个牛奶瓶容积的几分之几(奶瓶的内径忽略不计)?答：先把奶瓶正放，用直尺量出瓶子里牛奶的高度记为a；再把瓶子倒过来，量出从牛奶液面到瓶底的高度记为b.a所以a+b就是整个奶瓶容积的圆柱体高度.则牛奶占整个牛奶瓶容积的.ab知识点总结1、基本计算:立体图形表面积体积22S侧面积2个底面积2rh2rVrh圆柱圆柱S侧面积底面积=nl2r212圆锥Vrh360圆锥体3注:l是母线,即从顶点到底面圆上的线段长.(理解即可,不需要掌握)第12级下超常体系教师版9\nS(abacbc)2Vabc或VSha、b、c分别为长方体的长宽高.3S6a2(a为正方体棱长)Va或VSh2、三视图与空间想象:(1)积木块表面积的求法:三视图(是主视图、俯视图、左视图的总称).三视图法求表面积的口诀为:先俯后正侧检验;面积乘2加凹槽.三视图中,俯视图可能出现少木块的情况．(2)正方体的11种展开图．3、水中浸物问题:物体浸入水中的体积与排开水的体积相等.铁块浸入水中三种情况:1、水溢出;2、铁块完全浸入;3、铁块露出.VV铁水水溢出时水高:H容器;铁块完全浸入水高:H原+;铁块露出时水高:.SS－S容底容底铁底4、切片法与标数法:体积切片“表”标数.(1)思想:化立体为平面、化无序为有序.(2)利用标数法时,注意利用图形的对称性.家庭作业1.求以下图形的表面积和体积(取3).32【分析】体积：2062062025640.4323表面积：4622620220620202084688002204.442.如图,圆锥形容器中装有水50升,水面高度是圆锥高度的一半.这个容器最多能装水升.10第12级下超常体系教师版\n第7讲【分析】圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍,圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍,所以容器容积是水体积的8倍,即508400升.3.有一个足够深的水槽,底面是长为16厘米,宽为12厘米的长方形,原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油(油在水的上方).如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块,那么油层的高是_______厘米.8812【分析】铁块被放入后,液面的高度变成1216(cm),其中水层的高度变成1612166129(cm),所以油层的高度为16-9=7(cm).1612884.(1)已知：如图，由18个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，求它的表面积是多少(2)正视图和侧视图都如下图所示，那么最少_______块木块.(1)(2)【分析】(1)(998)2254.432(2)14+3+2+1+2+3+4=19块.2345.左边正方形的边长为4,右边正方形对角线长度为6.如果按照图中所示的方式旋转,那么得到的第12级下超常体系教师版11\n两个旋转体的体积之比是多少?2【分析】左边正方形旋转所围成的体积为：2416;216右边正方形旋转所围成的体积为：61834所以两者所围成的体积之比为8:9.6.已知：如图,每个小正方体棱长为1，该有孔(贯穿)正方体的表面积(含孔内各面)是．【分析】观察有孔正方体的特点,先求出有孔正方体外表面的面积,再加上孔内表面的面积总和,即可求出有孔正方体的表面积．2有孔正方体外表面面积为：556126138．本题关键是计算孔内表面面积,观察一组相对面之间的孔,每个孔均分别与另两个方向的一个孔“相交”,所以,其每个孔内表面面积是1342216,但是两个“相交”的孔,不仅互相破坏了对方的内壁,两个孔位被重叠的部分也出现了重叠,所以,有孔正方体孔内表面面积总和是：16236284．所以,有孔正方体表面积为：13884222．7.64个棱长为1的小正方体,其中34个为黑色的,30个为白色的;现将它们拼成一个444的大正方体;那么在大正方体的表面上,黑色部分的面积最小为;最大为.12第12级下超常体系教师版\n第7讲【分析】若要黑色部分的面积最小,那么应当有8个黑色块去做这个图形不会露出来的“内核”,剩下34826个黑色块中,再拿出4624个放在只露出一个面的位置上;但此时还剩下26242个黑色块,它们应当被放在只露出2个面的棱块的位置上;综上,面积最小值为242228;若要黑色部分的面积最大,那么应先拿出8个黑色块放在露出3面的角块的位置上;剩下34826个黑色块中,再拿出21224个放在露出2个面的棱块的位置上;但此时还剩下26242个黑色块,它们应当被放在露出1个面的位置上;综上,面积最大值为38224274.8.已知：如图是一个立体图形的平面展开图,图中的正方形边长都为2.按图所示数据,这个五棱柱的体积等于.31【分析】棱长为2的正方体减去一个三棱柱，21127.2第12级下超常体系教师版13\n第8讲第八讲数论模块综合选讲（三）知识站牌六年级春季六年级春季数论模块综合选讲数论模块综合选讲(三)六年级寒假(二)数论模块综合选讲六年级秋季（一）数的进制六年级秋季神奇的九主要是对带余除法、余数性质、同余问题、中国剩余定理的复习和巩固.漫画释义第12级下超常体系教师版1\n经典精讲1.余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．2.同余若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．3.余数的性质①被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数；②余数小于除数．③如果ab,除以c的余数相同，就称ab,对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除．(abc,,均为自然数)例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711能被3整除．④a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于314．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数．⑤a与b的乘积除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)．例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于313．注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数．4.剩余问题四大绝招绝招一：减同余．例如AaBbd,则有Nd[,]ABn，而N的最小值是N[,]ABd;绝招二：加同补．例如：AaBbe;则有Ne[,]ABn，而N的最小值是N[,]ABe;绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．2第12级下超常体系教师版\n第8讲例题思路带余除法：例1余数性质：例2、例3余数性质、同余问题：例4同余问题：例5、例6剩余问题：例7、例8例1(1)a、b两数的差是737，数a除以数b，得商16，余17，则a=，b=.(2)两个正整数相除，商是7，余数是5，如果被除数、除数都扩大到原来的4倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于1039.原来的被除数是______，除数是______.【分析】(1)由题知a16b17，并且ab737,即ab=+737,所以b73716b17，即15b73717720，所以b48,ab737785.(2)被除数除数=7余5，如果被除数、除数都扩大到原来的4倍，那么商不变，但是余数也要变成原来的4倍，即4被除数4除数7余20.这时，由题意有：4被除数4除数7201039，化简可以得到被除数除数253，结合被除数除数7余5得除数25357131，被除数25331222.例2na表示7的末两位数，那么aa+++a+a+a=_____.n1232013201412345【分析】a707,a749,a743,a701,a707,所以四个一循环.12345201445032，aa+++=07+49+43+01=100aa，1234aa1+++2a3+a2013+a2014=10050374950356，末两位是56，所以原式最后结果是56.例3123420132014123420132014除以10所得的余数为多少？【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个第12级下超常体系教师版3\n位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样123420的．首先计算123420的个位数字，为1476563690163656749094的个位数字，为4，由于2014个加数共可分成100组零14个数，100组的个位数字和是4100400，个位数为0.另外14个数它们的个位数字是943163的个位数，即3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．例4x2在1到2014的所有自然数中，有多少个整数x使得2与x被7除的余数相同？x【分析】2被7除的余数是2、4、1、2、4、1……每3个数以循环；2x被7除的余数是1、4、2、2、4、1、0；1、4、2、2、4、1、0……每7个一循环.同时满足两个条件的，必然是3和7的公倍数，即21的倍数.所以余数列是21个一循环.x1234567891011121314151617181920212x2412412412412412412412x142241014224101422410余数列中21个数有6个余数相同，2014219519，所以共有9566576.n费马数221人们一般把整数看作最基本的数，其它数都由整数衍生出来.然而专业的数学人士却不这么看，他们认为质数才是最基本的数，他们试想用一个公式能找出所有的质数.被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质.n2费马发现，设Fn()2=1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn()分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F太大（F4294967297），他没有再往下检测就直接猜55测：对于一切自然数，Fn()都是质数，这便是费马数.但是，就是在F上出了问题！5费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F42949672976416700417，它并5非质数，而是一个合数！更加有趣的是，之后人们发现随着n增大，很多数都不是质数.质数和费马开了个大玩笑！这又是一个合情推理失败的案例！同学们，寻找质数之旅就需要依赖大家的智慧啦！例54第12级下超常体系教师版\n第8讲(1)两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求abba．(2)学校举行“六一”联欢晚会，老师给孩子们准备了50个橘子，260块饼干，120块奶糖.平均分发完毕，还剩4个桔子，7块饼干，5块奶糖.问这个班有多少位小朋友?(3)现有糖果254粒，饼干210块和桔子186个．某幼儿园大班人数超过40．每人分得一样多的糖果,一样多的饼干，也分得一样多的桔子．余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是1:3:2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个．【分析】(1)abba能被7整除，即(10ab)（10ba)9（ab）能被7整除．所以只能有ab7，那么ab可能为92和81，验算可得当ab92时，ba29满足题目要求，abba92292668．(2)小朋友人数应是46、253和115的公因数，只有23满足条件，所以该班有23人.(3)设大班共有a名小朋友．由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2，所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而254186210230一定是a的倍数．同样，2254186322也一定是a的倍数．所以，a只能是(230,322)23246的因数．但a＞40,所以a=46．此时254=46×5+24，210=46×3+72，186=46×3+48．故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个．例623已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a1，a，a1，求该自然数的值．23【分析】根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a，a．由于2232aaa，所以自然数613721与154同余；由于aaa，所以611549394与201同余，所以除数是37211543567和93942019193的公因数，运用辗转相除法可得到(3567,9193)29，该除数为29．经检验成立．例7(1)n除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，，除以16余15.n最小为______.(2)a是一个三位数.它的百位数字是4，a9能被7整除，a7能被9整除，问a是多少？(3)一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？【分析】(1)加上1后变成116的公倍数，所以n1最小为169571113720720，n最小为720719.(2)a9能被7整除，说明a97a2能被7整除；a7能被9整除，说明a79a2能被9整除；7963，则63261符合上述两个条件，又a是一个百位数字是4的三位数，估算知，a63661439.(3)根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以第12级下超常体系教师版5\n7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而5,7,9315，所以这个数最小为3158323．例8如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?BA【分析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，…，B孔的编号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1．同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数．如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数，设孔数为a，则157105(m为非零自然数)而且a能被7整除．注意15被7除余1，所以156被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而157105已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是156191．6第12级下超常体系教师版\n第8讲过去使用过这样的币制：12便士相当于1先令，20先令相当于1磅.如果我花了3磅11先令4便士买了一所崭新的豪华居所，那么我付5磅的钞票应该找回我多少钱？【答案】1磅8先令8便士知识点总结1.余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．2.同余若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．3.余数的性质①被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数；②余数小于除数．③和之余同余于余之和.④差之余同余于余之差.⑤积之余同余于余之积.4.剩余问题四大绝招绝招一：减同余．绝招二：加同补．绝招三：中国剩余定理．第12级下超常体系教师版7\n绝招四：逐步满足法．家庭作业1.数1257除以一个三位数，余数是150，则这个三位数是.【分析】因为除数×商=被除数－余数=12571501107．所以1107应是除数的整数倍.将1107分解质因数，得110733341，而除数应大于150，并且是三位数，可知符合条件的1107的因数只有3×3×41=369，所以这个三位数是369.2.小闻在计算有余数的除法时，把被除数268看成286，结果商比原来多1，余数比原来多6，问原来除式中的余数是多少？【分析】268amb，做错变成286am1b6，可得：a286268612，26812224，原来的余数为4.3.在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.【分析】根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a(a＜57)，则这个数为57×a+a=58a.，37所以58a＞2009，得到a＞2009÷58=34，由于a为整数，所以a至少为35.又由于a＜5857，所以a最大为56，则a可以为35，36，37，…，56.由于每一个a的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有5635122个.4.六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．【分析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数．计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．5.1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？【分析】如果用1990和1769去除这个自然数n时，余数是1．而199017692211317，经检验n13符合要求，所以n最小为13．6.若2836，4582，5164，6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同，除数是多少？2【分析】4582283617462973，516445825822973，6522516413582977，因为除数是两位数，所以除数是97.8第12级下超常体系教师版\n第8讲7.有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数.这三个连续自然数最小是多少？【分析】根据题意，令这三个连续的自然数分别是：a、a1、a2，则它们从小到大依次是5、7、9的倍数.所以我们有：a50a76a97满足前两个的所有的自然数为：2035n所以有：2035n97，所以35n95，有8n95，则n最小取4，此时a最小取160.所以这三个自然数为160、161、162.8.已知：三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除，那么，最小的一个自然数是______.【分析】能被17整除且除以15余1的最小自然数是136.因为1715255，所以最大数应具有形式：136255(kk0,1,2).因为是三个连续自然数，所以最小一个自然数是134255(kk0,1,2).当k6时，134255k1664能被13整除，所以最小的一个自然数是1664.第12级下超常体系教师版9\n第9讲第九讲组合模块综合选讲（二）知识站牌六年级春季六年级寒假组合模块综合选讲（二）组合模块综合选讲（一）六年级秋季抽屉原理进阶六年级秋季数字谜中的计数六年级暑假最值问题综合对组合中最值问题，体育比赛，统筹问题，构造论证等问题的复习漫画释义第12级下超常体系教师版1\n经典精讲组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科.简单来说组合数学解决的主要有以下几个问题：1.是否存在?2.存在――构造或论证3.不存在――论证4.存在的话，上下限――最值问题5.共有多少种情况――计数6.哪种情况最佳――统筹与最优化,必胜策略例题思路例1：最值原理例2：体育比赛例3：统筹与最优化例4：计数例5：概率例6：染色与覆盖例7：中国邮差例8：构造与论证例1例题中字母均代表正整数.(1)a+b=100,则a×b最大为____，最小为____.(2)a+b+c=100，则a×b×c最大为____，最小为____.(3)将100拆成若干个自然数之和，则这些数的乘积最大为_____.(列出式子即可)(4)a×b=100,则a+b最大为____，最小为____.(5)a×b×c=100,则a+b+c最大为____，最小为____.【分析】(1)和一定，差小积大，差大积小.100=50+50=99+1，乘积最大为50×50=2500，最小为99×1=99.2第12级下超常体系教师版\n第9讲(2)100=33+33+34=98+1+1，积最大为33×33×34=37026，最小为98×1×1=98(3)整数分拆最值情况为：多3少2无1.100÷3＝33…1，可以拆为32个3，2个2，因此乘232积最大为23(4)积一定，差小和小，差大和大.100=100×1=10×10，和最大为100+1=101，最小为10+10=20(5)100=100×1×1=4×5×5，和最大为100+1+1=102，最小为4+5+5=14.例2有10支队伍参加比赛：(1)如果采用单循环赛(每两队赛1场)，需比赛________场.(2)如果进行淘汰赛(胜者继续比赛，负者下场)产生冠军，共需比赛________场.(3)如果进行双循环赛(每两队赛2场)，需比赛________场.(4)如果在2-0赛制下(胜者得2分，负者得0分，无平局)，单循环赛结束后，所有队的总积分为___分，每个队的得分均为____(填“奇”或“偶”)数.(5)如果在2-1-0赛制下(胜者得2分，平局各得1分，负者得0分)，单循环赛结束后，所有队的总积分为___分.(6)如果在3-1-0赛制下(胜者得3分，平局各得1分，负者得0分)，单循环赛结束后，所有队的总积分最高为___分，最低为___分.若最后总积分为128分，则出现了____场平局.2【分析】(1)C1045场(2)每场淘汰一个，最终剩下一个，因此共比赛了9场.(3)双循环赛，每只队伍都比赛9场，因此共比赛了90场.(4)2-0赛制下，每场总积分为2分，单循环共比赛了45场，因此总积分为45×2=90分，2和0均为偶数，因此每个队的得分也均为偶数.(5)2-1-0赛制下，每场总积分为2分，单循环共比赛了45场，因此总积分为45×2=90分.(6)3-1-0赛制下，每场最高积3分(无平局)，最低积2分(出现平局)，总积分最高为45×3=135分，最低为90分.每出现一场平局，就会在最高分上减1分，135-128=7，若总积分为128分，则出现了7场平局.例340名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗.这40名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学生的劳动效率如下表所示.如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么应如何安排人员才能既完成挖树坑的任务，又使树苗运得最多?第12级下超常体系教师版3\n【分析】法1：这三类学生挖树坑的相对效率是挖树坑2甲类：0.1运树苗20挖树坑1.2乙类：0.12运树苗10挖树坑0.8丙类：0.114.运树苗7由上可知，乙类学生挖树坑的相对效率最高，其次是丙类学生，故应先安排乙类学生挖树坑，可挖1.2×15=18(个)，再安排丙类学生挖树坑，可挖0.8×10=8(个)，还差30-18-8=4(个)树坑，由两名甲类学生去挖，这样就能完成挖树坑的任务，其余13名甲类学生运树苗，可以运13×20=260(棵).法2：设甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有x人、y人、z人，其中0≤x≤15，0≤y≤15，0≤z≤10，则甲、乙、丙三类学生中运树苗的分别有(15-x)人、(15-y)人、(10-z)人.要完成挖树坑的任务，应有2x+1.2y+0.8z=30，即20x≥300-12y-8z，在完成挖树坑任务的同时，运树苗的数量为P=20(15-x)+10(15-y)+7(10-2)=520-20x-10y-7z将式子整理解得p=520-300+12y+8z-10y-7z=220+2y+z.当y=15，z=10时，P有最大值，p=220+2×15+10=260(棵).将y=15，z=10代入，解得x=2，符合题意.因此，当甲、乙、max丙三类学生中挖树坑的分别有2人、15人、10人时，可完成挖树坑的任务，且使树苗运得最多，最多为260棵.例4能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【分析】用排除法，四位数总共有9×10×10×10=9000个，其中能被3整除的四位数有3000个，排除掉能被3整除且不含有数字6的四位数之后剩下的所有的四位数都满足条件！设能被3整除且不含有数字6的四位数为abcd，最高位千位a有8种选法(不能选0或6)，百位有9种选法(不能选6)，十位也有9种选法(也不能选6)，若前三位的数字和(a+b+c)除以3余0则个位d有3种选法(可选0，3，9)；若前三位的数字和(a+b+c)除以3余1，则个位d有3种选法(可选2，5，8)；若前三位的数字和(a+b+c)除以3余2，则个位d还是有3种选法(可选1，4，7)；故能被3整除且不含有数字6的四位数有8×9×9×3=1944个.从而得到能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有3000-1944=1056个.4第12级下超常体系教师版\n第9讲中国邮递员问题著名图论问题之一。邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街，都至少通过一次，再回邮局。在此条件下，怎样选择一条最短路线?此问题由中国数学家管梅谷于1960年首先研究并给出算法，故名。此问题类似于TSP问题。TSP问题（TravelingSalesmanProblem），即旅行商问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值，这是一个NP难问题。TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。例5一位养鱼专业户想测算出一个鱼塘中养鱼的条数，他上个月从鱼塘中随机地捕捉了60条鱼，并对它们作了标记后又放回鱼塘中，这个月又从鱼塘中随机地捕捉了70条鱼，发现其中3条鱼是有标记的.为了计算出上个月鱼塘中养鱼的条数，他假定上个月鱼塘中鱼的25％到这个月时已不在塘中(由于死去和迁出)，这个月鱼塘中鱼的40％上个月时并不在塘中(由于出生和迁入).那么上个月和这个月这个鱼塘中各养鱼多少条?【分析】法1：上个月：3(125%)4(条)，604[70(140%)(125%)]840(条)这个月：1050条法2：上个月随机抽取的60条鱼现在还剩:60(125%)45(条)1抽到的可能性就为：345151现在鱼塘里鱼的总数：701050(条)15上月鱼塘里鱼的总数：1050(140%)(125%)840(条)上个月鱼塘里养鱼840条例6(1)能否用9个如图所示的“T型”拼成一个66的棋盘?第12级下超常体系教师版5\n(2)能否用9个如图所示的14的长方形拼成一个66的棋盘?(3)能否用9个如图所示的“L型”拼成一个66的棋盘?(4)证明：在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×1×4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的表面平行.【分析】(1)不能，按照左下图的黑白染色，每个T覆盖了奇数个黑，奇数个白，那么9个T只能盖住奇数个黑和奇数个白，但图中有18个黑格，所以不能完全覆盖.(2)不能，按照如左中图方式染色，每个14的长方形覆盖了1个黑色格子，那么9个14的长方形只能覆盖9个黑色格子，但图中有10个黑色格子，所以不能完全覆盖；(3)不能，如右下图方式染色，每个“L型”覆盖奇数个黑格，9个“L型”覆盖了奇数个黑格，而黑格总数是偶数，所以不能完全覆盖.(4)先将6×6×6的正方体盒子视为实体，那么6×6×6的正方体可分成216个小正方体，这216个小正方体可以组成27个棱长为2的正方体.我们将这27个棱长为2的正方体按黑白相间染色，如下图所示.其中有14×8=112个黑色的,13×8=104个白色的,一个1×1×4的小长方体放入，一定占2黑2白，因此最多放入104÷2=52个1×1×4的小长方体.注：6×6×6的正方体的体积为216，1×1×4的小长方体的体积为4，所以可放入的小长方体数目不超过216÷4=54个.6第12级下超常体系教师版\n第9讲例7(1)A邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米.如果A邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么A邮递员最少需要走多少千米?(2)下图为B邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为180米、宽为150米.如果B邮递员每分钟行100米，在每个邮户停留1分钟，从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少要用多少分钟?【分析】(1)一笔画问题.图中有2个奇点，但我们不是从其中一个奇点出发，因此不能一笔画出.现在题目要求走遍所有的街道，那么必然要走重复.连接两个奇点，那么现在总路线多了1千米，奇点个数为0个，可以一笔画出.那么总路线为各条线段长度加起来，再加1，共26千米.(2)算上邮局，共需要去24家，因此至少要走24段路，时间最少，则应该让180的路最少，但要保证回去，至少需要走10段180(来回各5段)，剩下的14段为150的路，右图为一种符合条件的走法.因此最少路程为150×14+180×10=3900米，所用时间为39+23=62分钟.例81111试着把边长为,,的这99个小正方形不重叠地放入1个边长为1的正方形内.能做到就画234100出一种放法，不能，请说明理由.111【分析】能.+＜×2=1,232第12级下超常体系教师版7\n11111＋＋＋＜×4=1,4567411111＋＋＋…＋＜×8=1,891015811111＋＋＋…＋＜×16=1,161718311611111＋＋＋…＜×31=1,323233633211111＋＋＋…＋＜×37＜1.6465661006411111163＋＋＋＋＋=＜1.24816326464111如下图，将边长,的小正方形放入长1、宽的长方形；232111将边长～的小正方形放入长1、宽的长方形；474111将边长～的小正方形放入长1、宽的长方形；8158111将边长～的小正方形放入长1、宽的长方形；163116111将边长～的小正方形放入入1、宽的长方形；326332111将边长～的小正方形放入长1、宽的长方形.64100648第12级下超常体系教师版\n第9讲如图每个小正方形的边是一根火柴棒，图中共有____根火柴棒，共有___个正方形，至少去掉____根火柴棒，才能破坏掉所有的正方形.答案：有4×5×2=40根火柴棒，4×4＋3×3＋2×2＋1=30个正方形.一共有16个小正方形，每去掉1根火柴棒最多破坏两个小正方形，至少要去掉8根，但是要破坏最大的正方形要去掉边上的火柴棒，而去掉边上的火柴棒只能破坏1个小正方形，所以至少要去掉9根火柴棒，构造如右图.家庭作业1.(1)四边均为正整数，且周长为100米的长方形(包括正方形)，面积最大为____，最小为____.(2)面积为100平方米，且四边均为正整数的长方形(包括正方形)，周长最大为____，最小为____.【分析】(1)和一定，差小积大，差大积小.周长为100，长与宽的和为50，50=25+25=49+1，面积最2大为25625平方米，最小为49149平方米.(2)积一定，差小和小，差大和大.100=100×1=10×10，因此周长最大为2×(100+1)=202米，最小为2×(10+10)=40米.2.参加世界杯足球赛的国家共有32个(称32强)，每四个国家编入一个小组，在第一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出16强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生8强、4强、2强，最后决出冠军、亚军、第三名，第四名.至此，本届世界杯的所有比赛结束.根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场?【分析】单循环赛中，有3248(个)组.每组4个队.每组四个队中，每个队要与其他3队都比赛1场，每个队就比3场.因为每场比赛要2个队.所以1组里有4326(场).有8个组，单循环赛就有8648(场).进入淘汰赛，有16个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军1个队，就比了16115场，还要决出第三名，第四名，又多了1场.淘汰赛就有15116场.世界杯的足球赛全程共有481664(场).3.小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能第12级下超常体系教师版9\n再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状?【分析】用最短时间贴完所有的奖状就相当于问如何最节省时间，这道题目应该从反面来考虑：时间如果浪费了，会浪费在等待上，也就是说如果不想浪费时间，我们最需要做的就是不能等待.那么可以试验一下，当第一张奖状涂完的时候，这时候不能贴也不能等那么就只能继续涂下一张，等第二张涂完了就可以继续贴，但是这样下去到了最后一张的时候还是需要等待胶水可以粘贴的一段时间.那么继续试验先涂第一张A然后涂B，然后涂C，这时候A等待了4分钟马上贴上，再涂一张D马上贴上已经等待了5分钟的B，再涂一张E贴上已经等待6分钟的C(题目中说等待超过6分钟就不可以，那么等于六分钟应是可以的)这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的2分钟和贴的1分钟，那么总时间是96分钟.4.某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种?【分析】把4个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进行排列，6有A654321720(种)排法.然后在七个空档中排列3个男少先队员，有63A765210(种)排法，最后4个女少先队员内部进行排列，有74A432124(种)排法.由乘法原理，这样的排法一共有720210243628800(种).45.一个班有女生25人，男生27人，任意抽选两名同学，恰好都是女生的概率是几分之几?2524【分析】从25名女生中任意抽出两个人有300种不同的方法.2525130050从全体学生中任意抽出两个人有1326种不同的方法.计算概率：.213262216.证明：10×10的棋盘不能用25个1×4的长方形完全覆盖.【分析】如图，按照上图方法阶梯染色，一共有26个黑格，而每个小长方形只能覆盖一个黑格，所以不能完全覆盖整个图形.10第12级下超常体系教师版\n第9讲7.下图是某街区的示意图，各线段代表马路.街区为正方形，边长400米，各小区都是100米×200米的长方形.在S处的某人想找到G处的那个人，但是，由于他缺乏运动，所以，想尽量走最长的路，顺便锻炼锻炼，并且不想走重复的路.那么，他最多可以走多少米?【分析】(1)应用一笔画原理，图中共14个奇点，以1个奇点作起点，另1个奇点作终点，需7笔画成.因S与G是偶点，需另加2笔，共9笔画成.因他不走重复的路，所以会有8段路不能走到.(2)找出最短的8段路共800米，去掉即可.(3)全街区道路共3200米.最多可以走：3200-800=2400(米).8.黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写abab这个数，比如：可增写5(因为12125)；可增写11(因为151511).一直写下去，请问：能否得到下面两个数?若能，请你写出得到的过程；若不能，请说明理由.(1)143；(2)144【分析】(1)1，2，5，11，71，143；(2)不能，除2外全是奇数第12级下超常体系教师版11