第1讲第一讲计算模块综合选讲(二)知识站牌六年级春季六年级冬季计算模块综合选讲计算模块综合选讲（二）六年级秋季（一）数形结合六年级暑假分数裂项六年级暑假整数裂项与通项归纳复习小学阶段分数的计算.漫画释义第12级下优秀A版教师版1\n第1讲经典精讲1、分数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧.2、分数裂项：基本形式：母积子和差.和差：第一取决于分子拆成和或差，第二取决于算式整体的运算符号.目的：裂成两项.如果裂差，与前后相同相消；如果裂和，考虑凑整.1(1)对于分母可以写作两个因数相乘的形式，即形式的，这里我们把较小的数写在前ab1111面，即ab，那么有()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：11，形式的，我们有：n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)1111[]n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)1111[]n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)3、常用公式：1.abcabcabc1001；2.abababab10101；n(n1)3.123n；22222n(n1)(2n1)4.123n；6225.33332n(n1)123n123n；426.13572n1123n1nn1321n；n01n1aq1(1)7.等比数列求和公式：Snaq1aq1aq1(q1)；q1228.平方差公式：ababab；9.11111111123n321，其中n9．n个1n个1第12级下优秀A版教师版2\n第1讲例题思路例1：分组与凑整例2：分数的四则运算(硬算)例3：提取例4：约分技巧例5：分数裂项例1398(1)23.25341717772(2)523.2738992011(3)20112011201239183198【分析】(1)原式2333234610.4174174417177(2)原式=860.273.145.820111(3)原式201120112011120122012.【想想练练】624(1)10121717171134(2)38794114111997(3)1997199719986246248【分析】(1)101210127.171717171734(2)原式(17)(29)6410.4111997199711(3)原式=（1997）199719971997199711.1998199819981998例2第12级下优秀A版教师版3\n第1讲54(1)1001.2316157111357(2)(4)(133)21826341685619【分析】(1)原式1003380.651571172342317(2)原式=()(1312)24.463812381281113【想想练练】0.531.2551.251.4845112551585【分析】原式248444511254152248541133441.例31389121(1)1272.59102251717252111111111111(2)111234534342345【分析】1389121(1)1272.591022517172521389122.5127910251717252.540100.111111111111(2)11123453434234511111111117111.342345234512412114【想想练练】计算:2316713771341214【分析】原式2342816.713137第12级下优秀A版教师版4\n第1讲153219【拓展】4.853.66.1535.51.75141853215【分析】本题观察发现除以相当于乘以3.6则公因数就出来了.18175719原式4.853.613.66.153.65.5443421135194.8516.153.65.541212154365.595.54.510.412例411111111(1)1111111123456789132426483972(2)1242483612345610【分析】(1)原式=5.23459132426483972(2)124248361233313241132421324333312411242124333313241233331241239.【想想练练】12324610020030023446820030040033312311232123100【分析】原式33323412342234100333123121001.333234121004第12级下优秀A版教师版5\n第1讲夏琨塔拉·戴维（ShakuntalaDevi，1929年11月4日－2013年4月21日），印度女性，曾是神童和著名心算家，有“人脑计算机”的美称.因其不可思议的计算能力而列入1982年版的《吉尼斯世界纪录》.夏琨塔拉·戴维曾在全球各大学接受测试，现场示范其最著名的特殊能力：在28秒内计算出两个任意13位数的乘积.这项成就让戴维女士名列吉尼斯世界纪录，虽然这个记录后来被移除，原因是基于她的成绩远优于其它受测天才的计算能力.2013年4月21日上午08时15分左右，在印度班加罗尔一家医院去世，享年83岁.例511111111612203042567290111112【分析】原式=+++=-=.2334910210512345678【拓展】+++++++=__________.1224477111116162222292937【分析】111111111111111式=1-+-+-+-+-+-+-+-2244771111161622222929371=1-3736=37一位疯狂的艺术家为了寻找灵感，把一张厚为0.1毫米的很大的纸对半撕开，然后再撕成两半叠起来。假设他如此重复这一过程25次，这叠纸会有多厚？A、像山一样高B、像一栋房子一样高C、像一个人一样高D、像一本书那么厚答案：这叠纸的厚度将达到3355.4432米，有一座山那么高.第12级下优秀A版教师版6\n第1讲杯赛提高200820072009200920082010200820091200920101200820072009200920082010【分析】原式20082009120092010120082007200920092008201020072009200912008201020101200820072009200920082010112.200720092008200820102009知识点总结1、分数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧.2、分数裂项：标志：母积子和差.和差：第一取决于分子拆成和或差，第二取决于算式整体的运算符号.目的：裂成两项，如果裂差，与前后相同相消；如果裂和，考虑凑整.1111(1)对于分母两个因数：()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：11，形式的，我们有：n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)1111[]n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)1111[]n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)3、常用公式：1)abcabcabc1001；2)abababab10101；n(n1)3)123n；22222n(n1)(2n1)4)123n；6第12级下优秀A版教师版7\n第1讲2233332n(n1)5)123n123n；426)13572n1123n1nn1321n.家庭作业1216191.(1)_______.243941213(2)34________.34233445(3)517191________.354759121619121619【分析】(1)1113.243941224394121341(2)34333.3434537495(3)原式（50）（70）（90）354759301401501123.11342.3879=____________.4114111134【分析】38794114113417294116410.1313.201322010.42013310477【分析】原式2013201342013420134697.33132426483972412964.(1)________.124248361248161111(2)100(1)(1)(1)(1)_________.234100第12级下优秀A版教师版8\n第1讲13242648397241296【分析】(1)1242483612481633341324113242132431324433331241124212431244333313241234333312412349.1111(2)原式=100(1)(1)(1)(1)23410012399=100=1.2341003333335.=____________.2558811111414171720111111111111111【分析】原式31325588111114141717202209.203625483616.=____________.362548186362548361362548361【分析】原式1.3611548186361548548186第12级下优秀A版教师版9\n第2讲第二讲几何模块综合选讲（二）知识站牌六年级春季六年级寒假几何模块综合选讲几何模块综合选讲(三)六年级寒假(二)几何模块综合选讲六年级秋季(一)复合图形拆分六年级秋季圆柱圆锥复习曲线形面积周长、图形变换、旋转轨迹问题.漫画释义第12级下优秀A版教师版1\n经典精讲一、相关公式22n圆的面积r；扇形的面积=r；360n圆的周长=2r；扇形的弧长=2r.360二、基本图形1、“弓形”:弓形一般不要求求周长,主要求面积.一般来说,“弓形”面积=扇形面积－三角形面积.(除了半圆)2、“弯角”:如图,“弯角”的面积=正方形－扇形3、“谷子”:如图,“谷子”的面积=“弓形”面积×2224、“圆环”:如图,“圆环”面积=(Rr),R、r分别是大小圆半径三、常用的思想方法:1、转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的)2、等积变形(割补、平移、旋转等)3、借来还去(加减法)4、外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的“关系”)5、容斥(实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的.我们把两部分面积加起来,去掉总面积,剩下的就是重叠部分面积.)6、差不变．例题思路例1:扇形、弯角、谷子例2:整体代入例3:图形变换(割补,平移,等积)例4:容斥原理例5:轨迹问题2第12级下优秀A版教师版\n第2讲例1(1)已知:如图,半径为2,圆心角45,求扇形的弧长和面积(π取3.14).(2)已知:如图,正方形ABCD的边长为2厘米,以B为圆心以2厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积(π取3)．(3)已知:如图,正方形ABCD的边长为2厘米,分别以B、D为圆心以2厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积(π取3)．ADAD2BCBC45452【分析】(1)弧长23.1421.57,面积3.1421.57.3603601212(2)弯角=正方形-扇形,S22431(平方厘米)；44(3)法1:把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．12则阴影部分的面积为π2226-4=2(平方厘米)；2法2:连接AC,我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积,1212所以阴影部分面积2(22)2(平方厘米).42例2已知:如图,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等．图中阴影部分的周长是多少厘米(π取3.14)?a-RRAODRRBCa图8【分析】设BCODa,OBOACDR,由已知πRRaR,于是有aπR．阴影部分的周长1为圆周+a+R+a-R=4.12πR4.116.420.5(厘米)．42【想想练练】已知:图中阴影部分的面积是25cm,求圆环的面积(取3.14)．第12级下优秀A版教师版3\n22Rr22【分析】设大圆半径为R,小圆半径为r,依题有25,即Rr50．2222222则圆环面积为:πRπrπ(Rr)50π157(cm)．例3已知:如图所示,四个全等的圆每个半径均为2m,阴影部分的面积是多少?2m2m2m或【分析】我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式,但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如图,割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等,22等于（22）16m（）．【想想练练】求如图中阴影部分的面积(取3.14)．【分析】可将橄榄型的阴影部分剖开,两部分分别顺逆时针旋转90,则阴影部分转化为四分之一圆121减去一个等腰直角三角形,所以阴影部分的面积为π4444.56．42例4已知:如图,三角形ABC是直角三角形,AC4cm,BC2cm,求阴影部分的面积(取3.14)．4第12级下优秀A版教师版\n第2讲BAC【分析】从图中可以看出,阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差,所22141212以阴影部分的面积为:ππ422.5π43.85(cm)．22222【拓展】已知:如图,半径分别为3,4,5的三个圆,图中A部分(两小圆重叠部分)的面积与阴影部分的面积相比,哪个更大?【分析】易得两个小圆面积之和等于大圆面积。根据重叠等于未覆盖,可知A=阴影.欧几里得（约公元前330年—前275年）古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，此外还有不少著作，如《已知数》，《纠错集》，《圆锥曲线论》，《曲面轨迹》，《观测天文学》等，遗憾的是除《几何原本》外这些都没有留存下来消失在时空的黑暗之中了。《几何原本》的目录：第一卷几何基础，第二卷几何与代数，第三卷圆与角，第四卷圆与正多边形，第五卷比例，第六卷相似，第七卷数论（一），第八卷数论（二），第九卷数论（三），第十卷无理量，第十一卷立体几何，第十二卷立体的测量，第十三卷建正多面体.两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。很多人认为除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。例5第12级下优秀A版教师版5\n已知:如图,正方形的边长是4厘米,圆形的半径是1厘米.当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(π取3.14)?2422【分析】如图,面积为:S244244.56cm.【想想练练】已知:如图,等边三角形的边长是3厘米,圆形的半径是1厘米.当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(π取3.14)?2【分析】如图,面积为:232341830.56(平方厘米).把下列图形分成四小块，使它们形状大小完全相同，并且是已知图形的缩小版.答案：6第12级下优秀A版教师版\n第2讲杯赛提高已知:图中是一个钟表的圆面,图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少?1211110甲2乙93O84756【分析】根据图形特点,可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解:阴影部分甲120°的扇形三角形小弓形；阴影部分乙三角形小弓形；由于120°扇形的面积容易求得,所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积:AB12121211111111110甲210甲210甲2乙乙乙9O39393OO848484757575666阴影部分乙的面积120°阴影部分的面积阴影部分乙的面积11=斜纹三角形B的面积=圆的面积的=圆的面积的63+斜纹弓形A的面积111综上所述:阴影部分甲的面积圆的面积的圆的面积的．所以甲、乙面积之比为3661:1．知识点总结1、“弓形”面积=扇形面积－三角形面积.(除了半圆)第12级下优秀A版教师版7\n2、“弯角”的面积=正方形－扇形13、“谷子”的面积=弓形面积×2=两个圆－正方形4224、圆环面积=(Rr),R、r分别是大小圆半径5、常用方法技巧:旋转、平移、对称、割补、容斥原理、差不变家庭作业1.如图,三角形OAB的面积是5平方厘米,则阴影部分面积是____________平方厘米(π取3.14).21【分析】由题意:r5210,阴影部分面积103.1452.85.42.已知：如图，大圆半径为R,小圆半径为r,两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点,半径R为边长作一个正方形:再以O为顶点,以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米,则环形面积是______________平方厘米(π取3.14)．O22【分析】已知阴影部分的面积,也就是Rr50平方厘米,那么环形的面积为:2222πRπrπ(Rr)π50=157(平方厘米)．3.已知：如图，等腰直角三角形直角边边长为4，则阴影部分面积为____________(π取3.14).48第12级下优秀A版教师版\n第2讲421【分析】:两个半圆减一个直角三角形()444.56.224.已知：如图，直角三角形的两条直角边长为12,则图中阴影部分的面积是___________．AA12D12DB12CB12C11【分析】如图,连接BD,可知阴影部分的面积与三角形BCD的面积相等,即为121236．225.图中的长方形的长与宽的比为8:3,则阴影部分的面积是___________(π取3.14)．DC420AOB【分析】如右图,设半圆的圆心为O,连接OC．从图中可以看出,OC20,OB20416,根据勾股定理可得BC12．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积,21为:π20(162)12200π384244．26.一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图),绳长是4m,则狗所能到的地方的总面积是_____________(π取3.14)．3【分析】如图所示,狗活动的范围是一个半径4m,圆心角300°的扇形与两个半径1m,圆心角120°的扇2形之和．所以答案是43.96m．第12级下优秀A版教师版9\n第4讲第四讲数论模块综合选讲（二）知识站牌六年级春季六年级春季数论模块综合选讲（三）数论模块综合选讲（二）六年级寒假数论模块综合选讲（一）六年级秋季数的进制六年级秋季神奇的九主要是对质数,合数,因数,倍数,平方数的复习和巩固.漫画释义第12级下优秀A版教师版1\n经典精讲一、质数、合数、分解质因数1．判断一个数是否为质数的方法根据定义,如果能够找到一个小于P的质数p(均为整数),使得p能够整除P,那么P就不是质数,所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样的计算量很大,对于不太大的P,我们可以先找一个大于且接近P的平方数K2,再列出所有不大于K的质数,用这些质数去除P,如没有能够除尽的那么P就为质数.2例如：149很接近16913,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11、13整除,所以149是质数.2．分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数．2例如：30235其中2、3、5叫做30的质因数．又如1222323,2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式．分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征．3．因数个数定理aaaa设自然数n的质因数分解式如pp12p3pn.123n那么n的因数个数为dn()(a1)(a1)(a1)(a1)123n自然数n的因数和为aa121aa121Snp1p1pp1p2p2pp111112222aa121pnpnpp1nnnn二、因数、倍数1．最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系①ABmambmmab(,)[,]ABAB,即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公因数是A、B、AB、AB及最小公倍数的因数．2．求一组最简分数的最大公因数与最小公倍数⑴求一组最简分数的最大公因数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的b最大公因数b；即为所求．a82(8,2)2例如：(,)915[9,15]452第12级下优秀A版教师版\n第4讲⑵求一组最简分数的最小公倍数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大a公因数b；即为所求．b35[3,5]15例如：[,]412(4,12)4三、平方数1．定义我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数．22222如.11,24,39,…,11121,12144,…其中1,4,9,…,121,144,…都叫做完全平方数．平方数分解质因数后,它的质因数必定会成对出现．2．完全平方数的有关性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9．性质2：完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质3：如果一个完全平方数的个位是6,则十位是奇数,反之亦然．性质4：如果一个完全平方数的个位是0,则它末尾连续的0的个数一定是偶数个．如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个．性质5：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数．22性质6：平方差公式:ab(abab)()性质7：偶数的完全平方是4的倍数,奇数的完全平方被4除一定余1,任何自然数的平方数不可能被4除余2例题思路模块一：例1～例2：质数与合数模块二：例3～例4：因数与倍数模块三：例5：平方数例1（学生版仅有1-4题）观察下面几个数,并回答下面的问题.9,17,24,30,60,91,2011,2014（1）出现的质数是__________.（2）将合数分解质因数.第12级下优秀A版教师版3\n（3）根据分解式,回答每个合数有多少个因数.（4）另外写出一个有8个因数的数.（5）若一个数有3个因数,则这个数平方后有多少个因数?（6）若一个数有6个因数,则这个数平方后可能有多少个因数?（7）若一个数的平方有9个因数，则这个数可能有多少个因数?【分析】（1）17,2011232（2）93,2423,30235,60235,91713,201421953（3）因数个数为指数加1连乘,因此9有3个因数,24有8个因数,30有8个因数,60有12个因数,91有4个因数,2014有8个因数.73（4）只要能写成a或bc或def形式的数均可.24（5）有3个因数的数的形式是a,平方后的形式为a,因数个数为5.也可拿具体数据尝试.521024（6）有6个因数的数的形式可能是a或bc,平方后的形式为a或bc,因数个数为11或158224（7）有9个因数的数的形式可能是a或bc，因此原数可能是a或bc，因数个数为5个或4个.想想练练：567有多少个因数?4【分析】56737，共10个因数.例2把40,44,45,63,65,78,99,105这八个数平分成两组,使每组四个数的乘积相等.【分析】40235,442211,45532,63732,65513,782313,993211,105357,要使每组四个数的乘积相等,需要每组含有相同的质因数,看质因数2,第一组含有40,第二组含有44,78,再看11,13,第一组应有40,99,65,再看5第二组应有44,78,45,105,最后看7,第一组应有40,99,65,63.例3在下面的横线处填上适当的数.1.(18,45)___,(72,42)___,(38,2014)___2.(12,18,30)___,(24,40,88)___,(15,75,200)___3.[12,15]___,[25,40]___,[36,60]___4.[3,6,9]___,[8,12,20]___,[38,106,1007]___2415105.(,)___,[,]___（选讲）352233【分析】1.9,6,382.6,8,53.60,200,1804第12级下优秀A版教师版\n第4讲4.18,120,20142305.,1511想想练练：有3根铁丝,长度分别是20厘米、48厘米、72厘米.现在要把它们截成长度相等的小段,每根都不能有剩余,每一小段最长是多少厘米?一共可以截成多少小段?【分析】(20,48,72)4,因此每小段最长为4厘米,共可以截成35小段.例4（1）已知A、B两数的最小公倍数是180,最大公因数是30,若A=90,则B=.（2）已知两数的最大公因数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是_____.【分析】（1）根据最小公倍数最大公因数AB,知道B180309060（2）假设这两个数是21a和21b,易得21ab126,所以ab6,由a和b互质,那么就有61623两种情况．所以甲、乙是：21121,216126或21242,21363两种情况．它们的和是147或105．想想练练：已知两个自然数的积为450,最小公倍数为150,求这两个数.【分析】由于两个自然数的积两数的最大公因数两数的最小公倍数,可以得到,最大公因数是4501503,设这两个数分别为3a、3b,那么(,)1ab,且ab150350,所以a和b可以取1和50或2和25,所以这两个数是3和150或6和75．雷劈数有位印度数学家叫卡普利加,在一次旅行中,遇到猛烈的暴风雨,电闪雷鸣过后,他看到路边一块里程碑被雷电劈成两半,一半上刻着30,另一半刻着25.这时,卡普利加的脑际中忽然发现2了一个绝妙的数学关系:30+25=55,553025把劈成两半的数加起来,和再平方,正好是原来的数.按照第一个发现者的名字,这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”,也叫“分和累乘再现数”.例5（1）两个平方数的差能否是5?（2）两个平方数的差能否是6?第12级下优秀A版教师版5\n（3）两个平方数的差能否是8?（4）通过上面三题,你能总结出两平方数之差有什么特征吗?（5）三个自然数,它们都是完全平方数,最大的数减去第二大的数的差为80,第二大的数减去最小的数的差为60,求这三个数.【分析】（1）设这两个数分别为a,b且（a≥b）（下同）2222则ab(abab)()51(32)(32)3222（2）ab(abab)()6,因为a+b与a-b的奇偶性相同,而6不能拆成同奇偶的两数相乘,因此没有两个平方数差6.2222（3）ab(abab)()42(31)(31)31（4）平方差公式中a+b与a-b的奇偶性相同,因此两个平方数的差可以是奇数,也可以是4的倍数,但一定不能是除以4余2的数.222（5）设这三个数从大到小分别为A、B、C,那么有ABAB80,ACAC140,因为1402257,AC、AC同奇同偶,所以有AC14,AC10或AC70,AC2,分别解得A12,C2和A36,C34,对于后者没有满足条件的B,所以A只能等于12,C2,继而求得B8,所以这三个数分别为22212144、864、24．小聪明“六一”儿童节,某小队全体同学（十人）去玩电子游戏,但每次只能一个人玩.同学们都想先玩,谁也不谦让.这时有人想了个主意,叫他们站成一排,1、2、3、4……报数,报单数的离开队伍,剩下的再从队头开始报数,报单数的再离开……,最后剩下谁,谁就先玩.小聪明很快找到了第一个先玩的应站的位置.想想看,小聪明站在____号位置上.答案：8号杯赛提高111一次考试,参加的学生中有得优,得良,得中,其余的得差,已知参加考试的学生不满100人,那么7436第12级下优秀A版教师版\n第4讲得差的学生有多少人?111【分析】由题意“参加的学生中有得优,得良,得中”,可知参加考试的学生人数是7,4,3的倍数,743因为7,4,3的最小公倍数为84(小于100人),所以参加的学生总数为84人．那么得差的学生有：8412212823人．知识点总结1.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数．2.因数个数定理:aaaa设自然数n的质因数分解式如pp12p3pn.123n那么n的因数个数为dn()(a1)(a1)(a1)(a1)123n3.短除模型：ABmambmmab(,)[,]ABAB,即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积.bd(,)bdbd[,]bd4.最简分数的最大公因数与最小公倍数的求法(子同母反)：(,),,ac[,]acac(,)ac5.完全平方数的有关性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9．性质2：完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质3：如果一个完全平方数的个位是6,则十位是奇数,反之亦然．性质4：如果一个完全平方数的个位是0,则它末尾连续的0的个数一定是偶数个．如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个．性质5：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数．22性质6：平方差公式:ab(abab)()性质7：偶数的完全平方是4的倍数,奇数的完全平方被4除一定余1,任何自然数的平方数不可能被4除余2家庭作业1.已知300=2×2×3×5×5,则300一共有个不同的因数.第12级下优秀A版教师版7\n【分析】32318个2.连续四个奇数的积是3465,则这四个数中最大的一个是____．【分析】根据四个全为奇数,来分解质因数．3465573311．3.(35,63)___,(14,35,49)___,[18,20]___,[30,40,50]___【分析】7,7,180,6004.已知两个自然数的积为360,最小公倍数为120,求这两个数.【分析】由于两个自然数的积两数的最大公因数两数的最小公倍数,可以得到,最大公因数是3601203,设这两个数分别为3a、3b,那么(,)1ab,且ab120340,所以a和b可以取1和40或5和8,所以这两个数是3和120或15和24．5.有一个正整数将它分别加上15与减去4后都是完全平方数,请问此数是什么?22【分析】a-b=19=1×19,a=10,b=9.9×9+4=85.6.60乘以一个自然数a,乘积是一个完全平方数,则a最小为______.2【分析】60235,当a=15时,每个质数的指数均为偶数,因此a最小为15.8第12级下优秀A版教师版\n第5讲第五讲数列数表模块综合选讲知识站牌六年级春季五年级寒假数列数表模块综合选讲数表――从杨辉三角谈起四年级寒假数表――从日历谈起四年级暑假等差数列进阶三年级春季等差数列初步复习数列，日历型数表，三角型数表.漫画释义第12级下优秀A版教师版1\n经典精讲数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格.首先,数表具有数列的一般特征,即各项与其项数之间具有特定的对应关系,可以用通项公式或递推关系表示出来;其次,数表又不等同于普通数列,由于具有一定的形状,因此各项必须受其所在位置的限制,这点是需要特别注意的.数列与数表问题常用的思考方法有：1.观察：观察是解决数列数表问题的根本前提,许多数列数表问题首先就是找规律问题,这需要观察出突破口;2.对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系,必要时要用代数式表示出来;3.周期性：许多数列数表问题是周期问题,特别是某些求某数在第几行第几列的问题;4.递推关系：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系;5.整体及动态分析;6.利用特殊位置：比如中间项,拐角,最大数或最小数等;7.结合奇偶分析或整除分析等.杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.(如下图)11112113311464115101051………………………它有以下一些特点(更多的特点并未列出)：1.每个数等于它上方两数之和.2.每行数左右对称,由1开始逐渐变大.3.第n行的数有n个.n14.第n行所有数之和为2.例题思路模块一：例1-2,数列问题模块二：例3-4,日历型数表模块三：例5-6,三角型数表2第12级下优秀A版教师版\n第5讲例1按规律填数,并写出每个数列的第n项(1)2,4,6,8,____,12.(2)1,3,5,7,____,11.(3)1,4,7,10,13,_____.(4)1,4,9,16,____,36.(5)1,2,4,8,16,____.(6)2,6,12,20,30,_____.(7)1,3,6,10,15,_____.2n1nn(1)【分析】答案分别为10,9,16,25,32,42,21,第n项依次为2n,2n-1,3n-2,n,2,n(n-1),.数表2中经常用这些规律.【想想练练】按规律填数：2,5,10,17,,37,．2【分析】通项为n1,26,50例211211232112343219有一串数,,,,,,,,,,,,,,,,…这串数从左往右,第个数是．122233333444444499【分析】需要求出是第几个,先得知道分母是1~8的分数共有多少个?9分母是8的分数共有28115(个),前8组共有1158264．19再算出,~共有9个分数,所以共有64973(个)．992巧解为89733【想想练练】在这串数中的什么位置.732【分析】从开始到以6为分母的分数,共636个数,第1次出现在第36+3=39个数,第2次出现在72第7247个数.例3一列自然数：0,1,2,3,……,2024,第一个数是0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大1,最后一个是2024．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行,竖排为列,则2005在数表中位于第________第12级下优秀A版教师版3\n行第________列．22【分析】观察可知第n行的第1个数是n1,第n列的第1个数是n1．由于224419362005202545,所以第45行的第1个数是1936,第45列的第1个数是202512024．由于20242005120,所以2005在第20行第45列．【想想练练】此表中的2014在第___行第___列.【分析】2024-2014+1=11,2014在第11行第45列例4将1~1001各数按下面格式排列,如图,框出9个数,要使这9个数之和等于(1)123,(2)252,(3)999,能否办到?请说出理由．12345678910111213141516171819202122232425262728…………99599699799899910001001【分析】能不能框出,取决于两个方面,和为9的倍数,中心数不能除以7余0或1(1)不能,123不是9的倍数．(2)不能,中间数是252928,但28在第7列,不能作为正中心的数．(3)9999111,11176,能．4第12级下优秀A版教师版\n第5讲神算小少年杨辉在南宋度宗年间,古城钱塘（今杭州）有一位少年,聪明好学,尤其喜爱数学.但由于当时数学书籍很少,这个少年只能零碎地收集一些民间流传着的算题,并反复研究,从中增长知识.一天,这个少年无意中听说100多里的郊外有位老秀才,不仅精通算学,而且还珍藏了许多《九章算术》、《孙子算经》等古代数学名著,非常高兴,急忙赶去.老秀才问明来意后,望了望这位少年,不屑地说：“小子不去读圣书,要学什么算学?！”但少年仍苦苦哀求,不肯走.老秀才无奈,于是说：“好吧,听着！‘直田积八百六十四步,只云阔不及长十二步,问长阔共几何?’（用现在的话来说就是：长方形面积等于864平方步已知它的宽比长少12步；问长和宽的和是多少步?）你回去慢慢算吧,什么时候算出来,什么时候再来”.说完便往椅子上一靠,闭目养起神来,心里却暗暗发笑：“小子一定犯难了,这道题老朽才刚刚理出点头绪（此题的解法一般要用到二次方程）,即使他懂得算学,那一年半载也是算不出来的.”谁料,正当老秀才闭目思量时,少年说话了：“老先生,学生算出来了,长阔共60步.”“什么?！”老秀才一听,惊奇地从椅子上跳起来,一把夺过少年演算出来的草稿纸瞪大了眼睛看起来：“啊,这小子是从哪里学来的?居然用这么简单的方法就算出来了.妙哉！老朽不如.”老秀才转过脸来,对少年夸奖道：“神算,神算,怠慢了,请问高姓大名?”“学生杨辉,字谦光.”少年恭敬地回答.后来的事,同学们都能想象出来了,在老秀才的指导下,杨辉通读了许多古典数学文献,数学知识得到全面、系统地发展.经过不懈的努力,杨辉终于成了我国古代杰出的数学家,并享有数学“宋元第三杰”之誉.例5把自然数按如下规律排成三角形数表：如4是第3行的第3个数,那么(1)自然数100是第____行左起的第____个数．(2)2014是第___行左起的第____个数.(3)第20行左起第5个数是___.(4)第21行左起第8个数是_____.123654789101211【分析】观察规律.每n行有n个数,奇数行是从大数到小数,偶数行是从小到大;nn(1)123n,2第12级下优秀A版教师版5\n13141415(1)91,105,因此100在第14行,100-91+1=10,所以100是14行第10个数.2262636364(2)1953,2016,2016-2014+1=3,因此2014在第63行第3个数．22(3)1+2+3+…+19+5=195(4)1+2+3+…+20+21-8+1=224?处应填的数为____.99453936282172271821?137答案：72,99数字和为7+2+9+9=27；27,45数字和为18；18,39数字和为21；21,36数字和为12；12,28数字和为13；13,21数字和为7.答案为12.杯赛提高如图,按规律排列的三角形数阵(杨辉三角),那么第10行中左起第3个数是__________．22【分析】第n行的第3个数为C,因此第10行左起第3个数为C36n19家庭作业1.按规律填空：32.25,64.5,129,,516．【分析】2582.一数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4…请根据其规律指出第100个数是几?6第12级下优秀A版教师版\n第5讲【分析】规律：1个1,2个2,3个3,…,n个n,1+2+3+…+13=91,1+2+3+…+14=105,因此第100个数是14.3.自然数按一定的规律排列如下：第1列第2列第3列第4列第5列……第1行1491625……第2行2381524……第3行5671423……第4行1011121322……第5行1718192021…………………………………………从排列规律可知,123排在第行,第列．2【分析】第1行第一个数为列数的平方.123111231212,因此第11列的第1个数为121,123在第12行第2列.4.下图是一个由整数组成的三角形．试研究它的组成规律,从而确定出x的数值．10111001225542005101416166161564632160***x****【分析】最后一行的数为0,61,122,178,x为178.5.自然数按一定规律排成下表,则第25行的第5个数是________.12345678910【分析】123245305.6.如图,观察这个数表并找出它的规律,这个数表第31行的第1个数是______．第12级下优秀A版教师版7\n124579101214161719212325………………【分析】发现这个数表的奇数行是奇数,偶数行是偶数,而31是个奇数,所以这一行的数必定是奇数.又数表的每一行的最后一个数就为这一行行数的平方,那么30行的最后一个数为900,那么第30行的第1个数就为901.8第12级下优秀A版教师版\n第7讲第七讲几何模块综合选讲(三)知识站牌六年级春季六年级春季几何模块综合选讲几何模块综合选讲(三)六年级寒假(二)几何模块综合选讲六年级秋季(一)复合图形拆分六年级秋季圆柱圆锥复习长正方体，圆柱、圆锥，三视图，旋转问题.漫画释义第12级下优秀A版教师版1\n经典精讲1、基本计算：立体图形表面积体积22S圆柱侧面积2个底面积2rh2rV圆柱rhn221S侧面积底面积=lr2圆锥Vrh360圆锥体3注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长.(理解即可，不需要掌握)S(abacbc)2Vabc或VSha、b、c分别为长方体的长宽高.32VaS6a(a为正方体棱长)或VSh2、三视图与空间想象：(1)积木块表面积的求法：三视图(是主视图、俯视图、左视图的总称).三视图法求表面积的口诀为：先俯后正侧检验；面积乘2加凹槽.三视图中，俯视图可能出现少木块的情况．(2)正方体的11种展开图．2第12级下优秀A版教师版\n第7讲例题思路例1：基本计算.例2：简单的旋转.例3：简单的组合图形计算.例4：较复杂的组合图形计算.例5：三视图与空间想象.例1(1)用一根36分米长的铁丝做一个长和宽都是4分米的长方体框架，它的高是_______分米.(2)一个无盖的长方体水槽，长5米，宽0.5米，高0.4米，做这个水槽至少要铁皮_______平方米.将它注满水，水的体积是_________立方米.(3)两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是________平方厘米.(4)一个圆柱的底面半径为2厘米，高为5厘米，则这个圆柱的表面积是______平方厘米,体积是_______立方厘米.那么底面半径为4厘米，高为_______厘米的圆锥和这个圆柱的体积相同(取3.14).【分析】(1)长+宽+高=3649,高=9421分米.(2)长方体表面积:(50.50.50.40.45)9.4平方米,注意到水槽没有上面,9.450.56.9平方米;体积为50.50.41立方米.(3)由于拼在一起可组成一个新长方体，所以拼接的两个面是完全相同的两个面，拼接成的长方体的面积，即等于原来的两个长方体的面积之和减去拼接在一起的两个面的面积，所以，在拼成的长方体中，表面积最小的为拼接的两个面的面积最大的情况，而原来的长方体中最大的面为54这个面，所以，在拼成的这些长方体中，表面积最小的为：(544335)454218840148(平方厘米).22(4)圆柱表面积2252262.825.1287.92平方厘米；体积2562.8立方15厘米；534厘米.4例2已知：如图，左边正方形的棱长为4，右边正方形对角线长度为6.如果按照图中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少?第12级下优秀A版教师版3\n2【分析】左边正方形旋转所围成的体积为：2416；216右边正方形旋转所围成的体积为：61834所以两者所围成的体积之比为8:9.【想想练练】如图，ABCD是矩形，BC6cm，AB10cm，对角线AC、BD相交O．E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米(π取3)?AEDAEDOOBFCBFC【分析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．12两个圆锥的体积之和为2π3530π90(立方厘米)；32圆柱的体积为π310270(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为27090180(立方厘米)．例3一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱，圆柱的底面周长是12.56米，高是2米，圆锥的高是0.6米.求这个粮囤的体积是________立方米(取3.14).4第12级下优秀A版教师版\n第7讲212【分析】底面半径12.5623.142米，体积2220.625.122.51227.632立方3米.【想想练练】如图所示，一个圆柱体的木料如果被切成四块，面积增加48平方厘米；如果被切成三块，面积增加50.24平方厘米；如果被削成一个最大的圆锥体，那么体积减少了________立方厘米(取3.14).22222【分析】42rh48，4r50.24，解得r=2，h=3.rh3.142325.12立方厘米.33例4求以下立体图形的体积和表面积(取3)(单位：厘米).23【分析】体积：81212208172819203648立方厘米，4332表面积:圆柱表面积(822812)720，44正方体表面积(208)1212820822012800，720+800=1520平方厘米.第12级下优秀A版教师版5\n阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人。阿基米德流传于世的数学著作有10余种.其中《方法论》已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用。研究者们认为，“阿基米德有能力创造出伽利略和牛顿所创造的那种物理科学”。《球与圆柱》，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的三分之二。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。另一篇著作《十四巧板》组合数学的专家研究之后，又有了惊人发现——《十四巧板》中的十四巧板总共有17152种拼法可以得到正方形。《十四巧板》表明“希腊人完全掌握了组合数学这门科学的最早期证据”。“阿基米德羊皮书”提供的《方法论》和《十四巧板》这两篇阿基米德遗作的重新问世，确实可以说是“改写了科学史”。正因为他的杰出贡献，许多人都认为：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两位通常是牛顿和高斯。例5(1)已知：如图，将15个棱长为1厘米的正方体堆放在桌子上，把表面刷上红漆，则涂上红漆的部分面积是____平方厘米.(2)已知：如图，由18个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，则它的表面积是______平方厘米.(3)思思在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如下左图，从侧面看如下右图，那么他最多用了_____块木块，最少用了_____块木块.6第12级下优秀A版教师版\n第7讲【分析】(1)涂上红漆的部分面积即为表面积，由三视图法，前面、后面面积均为7，左面、右面面2积均为6，上面面积为10，所以红色面积为(76)21036(cm).2如果题目问未涂上红漆的面积为：90-36=54(cm).(2)(998)2254平方厘米.(3)从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数).312331002122002031230003最多25，最少9.【想想练练】(1)已知：如图，20个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体图形，它的表面积是____平方厘米.(2)已知：正视图和侧视图都如图所示，那么这个立体图形最少_______块木块.(1)(2)【分析】(1)俯视图面积11；侧视图面积7；正视图面积9；还有两个凹槽面积为4，所以其表面积为(1179)2458平方厘米.432(2)14+3+2+1+2+3+4=19块.234第12级下优秀A版教师版7\n3有一个牛奶瓶，其下半部分是圆柱形，高度为整个瓶高的；其上半部分形状不规则，占瓶41高的.现在瓶内只剩一部分牛奶，在不打开瓶盖的情况下，利用一把直尺，怎样测定这些牛4奶占整个牛奶瓶容积的几分之几(奶瓶的内径忽略不计)?答：先把奶瓶正放，用直尺量出瓶子里牛奶的高度记为a；再把瓶子倒过来，量出从牛奶液面到瓶底的高度记为b.a所以a+b就是整个奶瓶容积的圆柱体高度。则牛奶占整个牛奶瓶容积的.ab杯赛提高已知：如图所示(单位：厘米)长方体木块的长、宽、高分别为3、2、1厘米，6个这样的长方体拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是_______平方厘米.123【分析】每个长方体表面积为22，6个共132；拼在一起时会失去几个表面；想要结果最大，失去的面应当小而少，结果使得图形变得“细长”；失去10个12的面，最大值为13220112；想要结果最小，失去的面应当大而多，图形应尽量“正方”；失去8个32的面和2个33的面，最小值为132481866.知识点总结1、基本计算：立体图形表面积体积8第12级下优秀A版教师版\n第7讲22S圆柱侧面积2个底面积2rh2rV圆柱rhS侧面积底面积=nl2r212圆锥Vrh360圆锥体3注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长.(理解即可，不需要掌握)S(abacbc)2Vabc或VSha、b、c分别为长方体的长宽高.23S6a(a为正方体棱长)Va或VSh2、三视图与空间想象：(1)积木块表面积的求法：三视图(是主视图、俯视图、左视图的总称).三视图法求表面积的口诀为：先俯后正侧检验；面积乘2加凹槽.三视图中，俯视图可能出现少木块的情况．(2)正方体的11种展开图．家庭作业1.分别求以下图形的体积(取3).62410101065B1【分析】圆锥6624864.3圆柱1010103000.长方体：5610300.2.已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，分别以这三边为轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是_______立方厘米(π取3.14).【分析】以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm，高是3cm的圆锥体，体积为第12级下优秀A版教师版9\n1234316(cm).3以4cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm，高是4cm的圆锥体，体积为1233412(cm).3以5cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3452.4cm的两个圆锥，123高之和是5cm的两个圆的组合体，体积为3.142.459.630.144(cm).33.张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．则今年粮囤的容积是去年粮囤容积的_____倍.2233233【分析】底面周长是3，半径是，()所以今年粮囤底面积是，高是2．同理，去2244222232年粮囤底面积是，高是1．(2)(1)4.5.因此，今年粮囤容积是去年粮囤容444积的4.5倍．4.一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积为6.28立方厘米的圆柱体，纸盒的容积是______立方厘米(取3.14).2棱长【分析】圆柱的高与底面直径都等于正方体的棱长，即6.28=3.14×棱长×26.28所以(棱长)=48，即纸盒的容积是8立方厘米.3.145.地上有一堆棱长为1厘米的小立方体，三视图如图所示，则这堆立方体共有______个，表面积为_________.俯视图正视图侧视图10第12级下优秀A版教师版\n第7讲210【分析】302共10个，表面积为(666)2642平方厘米.0116.一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高________厘米.【分析】把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面右图的新容器，底面积是72—6×6=36(平方厘米)．水的体积是722.5180(立方厘米)．后来水面的高为180÷36=5(厘米)．第12级下优秀A版教师版11\n第8讲第八讲数论模块综合选讲（三）知识站牌六年级春季六年级春季数论模块综合选讲数论模块综合选讲(三)六年级寒假(二)数论模块综合选讲六年级秋季（一）数的进制六年级秋季神奇的九主要是对带余除法、余数性质、同余问题、中国剩余定理的复习和巩固.漫画释义第12级下优秀A版教师版1\n经典精讲1.余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．2.同余若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．3.余数的性质①被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数；②余数小于除数．③如果ab,除以c的余数相同，就称ab,对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除．(abc,,均为自然数)例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711能被3整除．④a与b的和除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于314．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数．⑤a与b的乘积除以c的余数，等于ab,分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)．例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于313．注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数．4.剩余问题四大绝招绝招一：减同余．例如AaBbd,则有Nd[,]ABn，而N的最小值是N[,]ABd;绝招二：加同补．例如：AaBbe;则有Ne[,]ABn，而N的最小值是N[,]ABe;绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．2第12级下优秀A版教师版\n第8讲例题思路模块一：例1-3，带余除法模块二：例4，同余模块三：例5，剩余例1(1)一个数除以18的商为5，余数为6，则这个数为____.(2)除法算式208中，被除数最小等于.(3)一个三位数除以50，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________.(4)两数相除，商10余2，被除数、除数、商数、余数四数之和等于91，则被除数是_______．【分析】(1)18×5+6=96.(2)本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819，所以本题答案为：20×(8+1)+8=188.(3)因为最大的三位数为999，999501949，所以满足题意的三位数最大为：999-49+8=958.(4)因为被除数减去2后是除数的10倍，所以根据和倍问题可知，除数为（911022）（101）7，所以，被除数为710272.想想练练：两数相除，商40余20，如果被除数和除数同时缩小10倍，所得的商和余数的和是____．【分析】由商不变的性质可知，商还是40，但余数会相应的缩小10倍，例如：4020÷100=40…20，402÷10=40…2.因此商和余数的和是40+2=42.例2在下面的方格中分别填入除以5，9，11的余数.除以5的余数除以9的余数除以11的余数164＋34573268－389397×62438×211+565037【分析】此题用的是“和余同余于余和，差余同余于余差，积余同余于余积，方余同余于余方”结果如下：第12级下优秀A版教师版3\n除以5的余数除以9的余数除以11的余数164＋34571323268－389488397×62433838×211+564105037411注：差余同余于余差时，若是小减大，则需要借数.方余同余于余方，实质是找周期.想想练练：数列1，1，2，3，5，8，13…中的第30项除以7的余数是_____.【分析】和余同余于余和的应用.余数分别为1，1，2，3，5，1，6，0，6，6，5，4，2，6，1，0，1，1，2……发现余数以16个为周期.30÷16…14，周期中的第14个数为6.因此余数是6.例3(1)110除以一个两位数，余数是5．求出符合条件的所有的两位数.(2)75除以一个自然数，余数是3，则这个自然数有多少种可能.【分析】(1)110-5=105，105357共8个因数，但余数小于除数，因此符合要求的数为15，21，35.32(2)75-3=72，7223，共12个因数，但余数小于除数，因此要去掉1，2，3这三种可能，共有12-3=9种可能.想想练练：一个两位数除325，余数是52，求这样的两位数.【分析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数.本题中325-52=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数因数还要满足比52大，符合条件的有91.例4(1)幼儿园的老师给班里的小朋友送来75个桔子，112个苹果.平均分发完毕，还剩1个桔子，1个苹果.这班里共有_______位小朋友.(2)幼儿园的老师给班里的小朋友送来40个桔子，200块饼干，120块奶糖.平均分发完毕，还剩4个桔子，20块饼干，12粒奶糖.这班里共有_______位小朋友.【分析】(1)75-1=74，112-1=111，小朋友的人数应是74和111的公因数，(74，111)=37，共有37位小朋友.(2)40-4=36，200-20=180，120-12=108.小朋友的人数应是36，180，108的大于20的公因数，只有36.4第12级下优秀A版教师版\n第8讲费马数2n21人们一般把整数看作最基本的数，其它数都由整数衍生出来.然而专业的数学人士却不这么看，他们认为质数才是最基本的数，他们试想用一个公式能找出所有的质数.被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质.n2费马发现，设Fn()2=1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn()分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F太大（F4294967297），他没有再往下检测就直接猜55测：对于一切自然数，Fn()都是质数，这便是费马数.但是，就是在F上出了问题！5费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F42949672976416700417，它并5非质数，而是一个合数！更加有趣的是，之后人们发现随着n增大，很多数都不是质数.质数和费马开了个大玩笑！这又是一个合情推理失败的案例！同学们，寻找质数之旅就需要依赖大家的智慧啦！例5(1)某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______．(2)某个两位数减去2是3的倍数，减去3是4的倍数，减去4是5的倍数，这个两位数是______．(3)一个数除以3余2，除以5余3，除以7余6，则这个数最小为____.【分析】(1)“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3，4，5]+1=60+1=61．(2)这个两位数加1就是3，4，5的倍数，因此这个数是[3，4，5]-1=59.(3)利用口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.(70×2+21×3+15×6)÷105…83.过去使用过这样的币制：12便士相当于1先令，20先令相当于1磅.如果我花了3磅11先令4便士买了一所崭新的豪华居所，那么我付5磅的钞票应该找回我多少钱？【答案】1磅8先令8便士第12级下优秀A版教师版5\n杯赛提高两个正整数相除，商是7，余数是5，如果被除数、除数都扩大到原来的4倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于1039.原来的被除数是多少，除数是多少?【分析】被除数除数=7余5，如果被除数、除数都扩大到原来的4倍，那么商不变，但是余数也要变成原来的4倍，即4被除数4除数7余20，这时，由题意有：4被除数4除数7201039，化简可以得到被除数除数253，结合被除数除数7余5，得除数25357131，被除数25331222.知识点总结1.余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．2.同余若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．3.余数的性质①被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数；②余数小于除数．③和之余同余于余之和.④差之余同余于余之差.⑤积之余同余于余之积.4.剩余问题四大绝招绝招一：减同余．绝招二：加同补．绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．6第12级下优秀A版教师版\n第8讲家庭作业1.两数相除，商7余4，被除数、除数、商数、余数四数之和等于79，则被除数是_______．【分析】因为被除数减去4后是除数的8倍，所以根据和倍问题可知，除数为（79744）（71）8，所以，被除数为87460.2.一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是_____.【分析】余数是3×3÷7的余数，为2.3.23547×35794分别除以5，8，9的余数之和为_____.【分析】2354735794243(mod5）2354735794326(mod8）2354735794313(mod9）余数之和为3+6+3=12.4.100除以一个自然数，余数是4，则这个自然数有多少种可能.5【分析】100-4=96，9623，共12个因数，但余数小于除数，因此要去掉1，2，3，4四种答案，共有12-4=8.5.老师给班里的学生发本子.一共85本数学本，130本语文本.平均分发完毕，还剩3本数学本，7本语文本.这班里共有_______位学生.【分析】85-3=82，130-7=123，(82，123)=41，共41名学生.6.一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，则满足条件的最小自然数为____.【分析】法1：中国剩余定理”：(70×2+3×21+4×15)÷105…53法2：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4，当4被加上两个7时得到18，恰好除以5余3，此时符合后两个条件；再依次用7和5的最小公倍数的倍数加18，当18被加上1个35时，得到53，检验符合三个条件．所以所求的最小自然数就是53.第12级下优秀A版教师版7\n第9讲第九讲组合模块综合选讲（二）知识站牌六年级春季六年级寒假组合模块综合选讲（二）组合模块综合选讲（一）六年级秋季抽屉原理进阶六年级秋季数字谜中的计数六年级暑假最值问题综合对组合中最值问题，体育比赛，统筹问题，构造论证等问题的复习漫画释义第12级下优秀A版教师版1\n经典精讲组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科.简单来说组合数学解决的主要有以下几个问题：1.是否存在?2.存在――构造或论证3.不存在――论证4.存在的话,上下限――最值问题5.共有多少种情况――计数6.哪种情况最佳――统筹与最优化,必胜策略例题思路例1：最值原理例2：体育比赛例3：统筹与最优化例4：计数例5：构造与论证例1(1)四边均为正整数,且周长为100米的长方形(包括正方形),面积最大为____,最小为____.(2)面积为100平方米,且四边均为正整数的长方形(包括正方形),周长最大为____,最小为____.【分析】(1)和一定,差小积大,差大积小.周长为100,长与宽的和为50,50=25+25=49+1,面积最大为225625平方米,最小为49149平方米.(2)积一定,差小和小,差大和大.100=100×1=10×10,因此周长最大为2×(100+1)=202米,最小为2×(10+10)=40米.【想想练练】三个自然数的和是19,它们的乘积最大可能是多少?【分析】在和相同的情况下,差越小,积越大.19667,乘积最大为667252.2第12级下优秀A版教师版\n第9讲例2有10支队伍参加比赛：(1)如果采用单循环赛(每两队赛1场),需比赛________场.(2)如果进行淘汰赛(胜者继续比赛,负者下场)产生冠军,共需比赛________场.(3)如果进行双循环赛(每两队赛2场),需比赛________场.(4)如果在2-0赛制下(胜者得2分,负者得0分,无平局),单循环赛结束后,所有队的总积分为___分,每个队的得分均为____(填“奇”或“偶”)数.(5)如果在2-1-0赛制下(胜者得2分,平局各得1分,负者得0分),单循环赛结束后,所有队的总积分为___分.(6)如果在3-1-0赛制下(胜者得3分,平局各得1分,负者得0分),单循环赛结束后,所有队的总积分最高为___分,最低为___分.若最后总积分为128分,则出现了____场平局.2【分析】(1)C45场10(2)每场淘汰一个,最终剩下一个,因此共比赛了9场.(3)双循环赛,每只队伍都比赛9场,因此共比赛了90场.(4)2-0赛制下,每场总积分为2分,单循环共比赛了45场,因此总积分为45×2=90分,2和0均为偶数,因此每个队的得分也均为偶数.(5)2-1-0赛制下,每场总积分为2分,单循环共比赛了45场,因此总积分为45×2=90分.(6)3-1-0赛制下,每场最高积3分(无平局),最低积2分(出现平局),总积分最高为45×3=135分,最低为90分.每出现一场平局,就会在最高分上减1分,135-128=7,若总积分为128分,则出现了7场平局.【想想练练】有8个队伍进行足球循环赛,每队都恰与其他队伍各赛一场,胜方得3分,负方得0分；若为平局,各得1分.比赛结束后,全部队伍的总得分为80分.比赛中有_____场比赛结果为平局.【分析】共赛8×7÷2=28场,最高能得28×3=84分,一场平局总分减少一分,总分为80分,共有84-80=4场平局.例3小明骑在牛背上赶牛过河.共有甲、乙、丙、丁4头牛.甲牛过河需要1分钟,乙牛过河需要2分钟,丙牛过河需要5分钟,丁牛过河需要6分钟.每次只能赶两头牛过河,那么小明要把这4头牛都赶到对岸,最少要用多少分钟?【分析】要想用最少的时间,4头牛都能过河,保证时间最短：第一步：甲与乙一起过河,并由小明骑甲牛返回,共用：213(分钟)；第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回,共用了628(分钟)；第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟；所以,小明要把这4头牛都赶到对岸,最少要用38213(分钟).第12级下优秀A版教师版3\n例4abcd，，，，e五个人排成一排,a与b不相邻,共有多少种不同的排法?3【分析】法1：插空法,先排c,d,e,有A种排法.3在c,d,e三个人之间有2个空,再加上两端,共有4个空,a,b排在这4个空的位置上,a与b就232不相邻,有A种排法.根据分步计数乘法原理,不同的排法共有AA72(种).43442法2：排除法,把a,b当作一个人和其他三个人在一起排列,再考虑a与b本身的顺序,有AA425种排法.总的排法为A5.总的排法减去a与b相邻的排法即为a与b不相邻的排法,应为542A5AA4272(种).【想想练练】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相,请问：(1)如果要求男生不能相邻,一共有多少不同的站法?(2)如果要求女生都站在一起,一共有多少种不同的站法?【分析】(1)要求男生不能相邻,则可以先排女生,然后把男生插进女生之间的空位里.因为有3名女生,考虑到两端也可以放人,所以一共有四个空位.则站法总数为：34AA624144(种)34(2)根据题意,采用捆绑法,将所有女生看成一个整体,则站法总数为：53A5A31206720(种).中国邮递员问题著名图论问题之一。邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街，都至少通过一次，再回邮局。在此条件下，怎样选择一条最短路线?此问题由中国数学家管梅谷于1960年首先研究并给出算法，故名。此问题类似于TSP问题。TSP问题（TravelingSalesmanProblem），即旅行商问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值，这是一个NP难问题。TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。4第12级下优秀A版教师版\n第9讲例5今有长度为1,2,3,…,198,199的金属杆各一根.请问：能否用上全部的金属杆,不弯曲其中的任何一根,把它们焊接成：(1)一个正方体框架；(2)一个长方体框架?【分析】(1)总长(1199)199219900,不是12的倍数,不能；(2)能,此时长方体框架的长、宽、高之和为19925,可以分别为4577、199、199如图每个小正方形的边是一根火柴棒，图中共有____根火柴棒，共有___个正方形，至少去掉____根火柴棒，才能破坏掉所有的正方形.答案：有4×5×2=40根火柴棒，4×4＋3×3＋2×2＋1=30个正方形.一共有16个小正方形，每去掉1根火柴棒最多破坏两个小正方形，至少要去掉8根，但是要破坏最大的正方形要去掉边上的火柴棒，而去掉边上的火柴棒只能破坏1个小正方形，所以至少要去掉9根火柴棒，构造如右图.杯赛提高机器猫玩电子游戏,必须打过10关.在过第6、7、8、9关时分别得了90、84、81、93分,它过前9关所得的平均分数高于过前5关所得的平均分数.如果机器猫想要在过10关后所得的平均分数超过88分,那么,它在过第10关时至少要得_____分(得分均为整数分).【分析】后四关的平均数为87,所以前九关的平均分至少少了10分,第十关至少超过平均分11分,即99分.家庭作业1.用24根长1厘米的火柴棒围成一个矩形,这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢?【分析】在和相同的情况下,差越小,积越大.2446,那么我们围成一个66的正方形,面积最大,为36平方厘米.而22不能被4整除,那么我们让这个矩形的长和宽尽量接近.22256,那第12级下优秀A版教师版5\n么这个矩形的面积最大为5630.2.编号是1,2,3,4,5,6,7的七位选手参加象棋比赛,每两人都要比赛一场.其中有六位选手分别参加了1,2,3,4,5,6场比赛,那么一共还有________场比赛没有进行.【分析】共有7×6÷2=21场.此时共进行了(6+5+4+3+2+1+3)÷2=12场,剩余9场.3.有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥.此桥每次只能让2个人同时通过,否则桥会倒塌.过桥的人必须要用到手电筒,不然会一脚踏空.只有一个手电筒.4个人的行走速度不同：小强用1分钟就可以过桥,中强要2分钟,大强要5分钟,最慢的太强需要10分钟.17分钟后桥就要倒塌了.请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥?【分析】小强和中强先过桥,用2分钟；再由小强把电筒送过去,用1分钟,现在由大强跟太强一起过桥,用10分钟,过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟,最后小强与中强一起过河再用2分钟,他们一起用时间：21102217(分钟),正好在桥倒塌的时候全部过河.(时间最短过河的原则是：时间长的一起过,时间短的来回过.这样保证总的时间是最短的).4.5名男生和2名女生在一起照相,要求女生站在一起,一共有多少种不同的站法?【分析】捆绑法,2!6!1440种5.有12根长木棍,长度分别为1,2,3,4,…,12厘米.(1)能否用这12根小木棍拼成一个正方形,要求木棍全用上且不能折断或弯曲.(2)能否用这12根小木棍拼成一个长方形,要求木棍全用上且不能折断或弯曲.【分析】(1)不可以.78419.5,不是整数.(2)可以.123...1278,取四条边分别为：11221113;34910567826.6.将1至30依次写成一排：123…2930,形成一个多位数.从这个多位数中划掉45个数字,剩下的数最大是多少?如果要求剩下的数首位不为0,这个数最小是多少?【分析】1-30共有921251个数,去掉45个数,还剩6个数.要让剩下的数最大,那么我们让前面的数尽量是9.1-30中共有3个数字9.如果前3位都是9,那么要划去46个数,显然是不行的.那么我们让第3位是8.于是这个数最大是998930.要让剩下的数最小,那么首位为1,其他尽量为0.1-30中共有3个0.但是第3个0只能在最后一位,第2个0后,最小的2个数是1,2.所以最小值为100120.6第12级下优秀A版教师版