第11讲第十一讲进位制进阶知识站牌六年级春季数论模块六年级寒假数论综合选讲（二）模块综合选讲（一）六年级秋季进位制进阶六年级秋季数论中的规律六年级暑期数论中的计数掌握进位制间的相互转化，利用n进制解决数论相关问题漫画释义第11级下优秀A版教师版1\n教学目标1.掌握进制间的互化，尤其是特殊进制间的简便互化；2.掌握用进位制的思想解决问题；3.探索其他进制下小数的意义．课堂引入二进制在计算机中的运用由于人的双手有十个手指，人类发明了十进位制记数法．然而，十进位制和电子计算机却没有天然的联系，所以在计算机的理论和应用中难以畅通无阻．究竟为什么十进位制和计算机没有天然的联系？和计算机联系最自然的计数方法又是什么呢？这要从计算机的工作原理说起．计算机的运行要靠电流，对于一个电路节点而言，电流通过的状态只有两个：通电和断电．计算机信息存储用硬磁盘和软磁盘，对于磁盘上的每一个记录点而言，也只有两个状态：磁化和未磁化．近年来用光盘记录信息的做法也越来越普遍，光盘上每一个信息点的物理状态有两个：凹和凸，分别起着聚光和散光的作用．由此可见，计算机所使用的各种介质所能表现的都是两种状态，如果要记录十进位制的一位数，至少要有四个记录点（可有十六个信息状态），但此时又有六个信息状态闲置，这势必造成资源和资金的大量浪费．因此，十进位制不适合于作为计算机工作的数字进位制．那么该用什么样的进位制呢？人们从十进位制的发明中得到启示：既然每种介质都是具有两个状态的，最自然的进位制当然是二进位制．二进位制所需要的计数的基本符号只要两个，即0和1．可以用1表示通电，0表示断电；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹点，0表示凸点．总之，二进位制的一个数位正好对应计算机介质的一个信息记录点．用计算机科学的语言，二进位制的一个数位称为一个比特（bit），8个比特称为一个字节（byte）．那么生活中常用的十进制数在计算机中是怎么用二进制表示呢？经典精讲一、进制的认识我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”，因此二进制中只用两个数字00123和1。二进制的计数单位分别是2、2、2、2、……，二进制数也可以写成展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：543210100110120202121202。2二进制的运算法则：“满二进一，借一当二”。n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。二、进制间的转化2第11级下优秀A版教师版\n第11讲进制间的转换我们只研究整数之间的转换，如下图所示。⑴十进制向其他进制转换。一个数从十进制向其他进制转换时，方法是统一的，连续除以进制，每步写出余数，最后把余数倒写即可。例如求2011108则20111037338⑵其他进制向十进制转换。一个数从其他进制向十进制转换，方法也是统一的，按照位值原理拆开相加即可。例如求12345103210123415253545194510⑶二进制与八进制互相转换二进制向八进制转换时，从个位开始取三位合成一位，缺位处用0填补，然后按位值原理分别转换，最后合并即可。例如求10101001111281117，0011，1015，0102，所以最后结果是251722228八进制向二进制转换时，则把每一位按照位值原理都分成三位，最后合并即可。例如求3561823011，5101，6110，1001，所以最后结果是1110111000122222(4)二进制与十六进制互相转换二进制向十六进制转换时，从个位开始取四位合成一位，缺位处用0填补，然后按位值原理分别转换，最后合并即可。十六进制向二进制转换时，则把每一位按照位值原理都分成四位，最后合并即可。三、进制的判断判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠以下两个方法：1、数字特征．在n进制下，每个数字都不能大于(n1)，如在八进制下，每个数字都不能大于7；反过来说，若n进制下出现7这个数字，则n必定大于7，起码为八进制．2、尾数特征．观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，再对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，再推断进制．如：等式345236在什么进制下成立？（1）尾数4520，而得数的尾数为6，说明20614恰好可进若干位．因此，进制应为14的因数；第11级下优秀A版教师版3\n（2）式子出现了6，因此进制必须大于6，可能为7或14，验算可知七进制时等式成立．四、进位制中的“弃(n1)法”根据位值原理，一个十进制的数akaa21满足：012k1akaa21a110a210a310ak1010除以9的余数为1，根据余数加法与乘法原理可知，aaaaaaa(mod9)k21123k这个数与它的各位数字之和模9同余．这就是我们常说的“弃九法”．在了解进制的概念后，我们不难得知，“弃九法”只在十进制下成立．相应地，在n进制下，012k1(aaa)anananank21n123kn除以(n1)的余数为1，同理有(aaa)aaaa(mod(n1))k21n123k即在n进制下，一个数与它的各位数字之和模(n1)同余．如：(24102)6除以5的余数与24102(13)6除以5的余数相等，再次求数字和可知余数为4．实际上，我们可以将和为(n1)倍数的若干个数字划去，通过剩下的数字快速求余数．知识点回顾1.(1)请用“二进制”写出前10个正整数；(2)请用“三进制”写出前10个正整数；【分析】1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010；22222222221,2,10,11,12,20,21,22,100,101；33333333332.把（1110101）2改写成十进制数．【分析】由于所给出的数位数比较多，我们先从低位写起：（1110101）110214081161321642（1110101）214163264（117）103.把下列各数转化成十进制数：⑴（463）8；⑵（2BA）12；⑶（5FC）16．2【分析】⑴（463）486838464683256483（307）102⑵（2BA）2121112101228813210（430）102⑶（5FC）51615161216128024012（1532）104第11级下优秀A版教师版\n第11讲4.将（42）写成二进制数．10【分析】要将（42）写成二进制数，参见右式．根据除二倒取余数法，即：（42）（101010）．10102242221……0……210125……022……121……00……15.把9865转化成五进制、八进制，看看谁是最细心的．【分析】(9865)(303430)(9865)(23211)1051086.计算：⑴（101101）2（10111）2；⑵（101101）2（10111）2；⑶（101101）（1011）；⑷（10101011）（10011）．2222【分析】⑴列竖式：⑵列竖式：101101101101+10111－10111100010010110得：（101101）（10111=1000100）（）得：（101101）（10111=10110）（）222222⑶列竖式：⑷列竖式：1001101101×101110011101010111001110110110110110011101101100111111011110得：（101101）（1011）（111101111）得：（10101011）（10011）（1001）222222例题思路一、n进制的认识例1：n进制的计算例2：n进制的互化例3：n进制的判断二、n进制的应用第11级下优秀A版教师版5\n例4：挑次品例5：弃n1法例1①(101)2(1011)2(11011)2________；②(11000111）(10101）(11）(）；2222③(63121)8(1247)8(16034)8(26531)8(1744)8________；（学案对应：学案1，）【分析】①对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：(101)(1011)(11011)(5)(11)(27)(28)(11100)；222101010102②可转化成十进制来计算：(11000111）2(10101）2(11）2(199)10(21)10(3)10(192)10(11000000）2；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对(10101）(11）进行除法计算，只是每次借22位都是2，可得(11000111）2(10101）2(11）2(11000111）2(111）2(11000000）2；③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n．原式(63121)8[(1247)8(26531)][(16034)88(1744)]8(63121)(30000)(20000)(13121)；8888【想想练练】计算：⑴（1011）2（110101）2（10101）2；⑵（111011）2（1101）2（1011）2．【分析】⑴列竖式：⑵列竖式：1011110101111011101110+10101－1101－10111010101101110100011得：（1011）（110101）（10101）（1010101）得：2222（111011）（1101）（1011）（100011）2222题⑵也可先变形为如下形式再解：（111011）2（[1101）2（1011]）2（111011）2（11000）2（100011）2我们可以看出十进制数运算中的加减法运算律在二进制中仍适用．例2把（125）8化成二进制数．【分析】要将八进制数转化为二进制数，可以先将八进制数转化为十进制数，再将十进制数转化为二进制数．十进制数在其中起到了中介的作用．2（125）1828564165（85）8106第11级下优秀A版教师版\n第11讲285124202211210025122011所以，（125）8（1010101）2【想想练练】把十进制数2009转化为八进制数．【分析】采用除八倒取余数法：82009182513831733所以，（2009）10（79D）16（3731）8【拓展】在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？22【分析】(abc)a6b6c36a6bc；(cba)c9b9a81c9ba．69所以36a6bc81c9ba，于是35a3b80c．因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，则b也是5的倍数，所以，b0或5．①若b0，则35a80c，即7a16c；由于(7,16)1，并且a、c都不为0，所以a16，c7，但是在6、9进制下，不可以有一个数字为16．②若b5，则35a3580c，即7a316c；考虑两边除以7的余数，可知2c除以7余4，那么c除以7余2，所以c2或者27k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有6或者6以上的数，于是c2．那么35a15802，可得a5．2于是(abc)6(552)656562212．所以，这个三位数在十进制中为212．例3算式15342543214是几进制数的乘法？（学案对应：学案3）【分析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520，但是现在为4，说明进走20416，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．第11级下优秀A版教师版7\n二进制与八卦二进制是德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646~1716）最早明确提出的．在他发明了系统的二进制后，他收到了曾在中国工作过的传教士寄的《伏羲六十四卦次序图》与《伏羲六十四卦方位图》．看到这两幅图后，莱布尼茨对“八卦”大加赞赏，并对创造“八卦”的伏羲氏十分敬佩，对易经给予了非常高的评价．原来，在莱布尼茨的二进制中，通过0与1引申，就可以表示一切数字，如000，001，010，011，100分别代表0-4这几个数字．而在易经八卦中，通过阴阳引申，就可以表示宇宙万有的原理．如果把阴爻看作0，把阳爻看作1，所有的卦象于是也就可以看成0和1的组合．比如坤卦就是000000，乾卦就是111111，大有卦就是111101等等．伏羲图的六十四个卦象，也正好可以看作二进制算术从0到63的数字．例4（A版学生版只有（2））⑴小马虎有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个．但这10箱钢珠中不小心混进了1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？⑵小马虎装了10箱零件．但他没有注意自己的马虎性格，混进了几箱次品进去，已知每件零件重10克，次品比标准品轻1克，聪明的你能不能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？（每箱的零件足够多）⑶小马虎装零件又出错了！这次他虽然只装6箱零件，却把次品、不及格品各混了几箱进去．已知标准零件重10克，每个次品比标准重1克，不及格品比标准轻1克．这次还能不能只称量一次就能把装有次品、不及格品的箱子分辨出来？⑷小马虎怕再次出错，于是找来了朋友小迷糊帮忙，结果反而把零件搞得更乱了！这次6箱零件中混进了次品、不及格品．每个标准零件重10克，每个次品比标准重1克，不及格品比标准轻0.5克．小马虎想照搬上次的方法却失败了！请你再为他想一个好方法将箱子分辨出来！【分析】⑴将10箱钢珠分别编为1～10号，然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢珠……，这样共取了12345678910=55（个）钢珠，重量是：5510=550（克），如果轻了n（1n10）克，那么第几号箱就是次品．在这个方法中，第10号箱也可不取，这样共取出45个钢珠，如果重450克，那么10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品．总结：不同的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进制数，反之，也是．⑵我们用二进制的思想解决这一问题．将10箱钢珠分别编为1～10号，从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢珠，从3号箱中取4个钢珠，从4号箱中取8个钢珠……从10号箱中取512个钢珠，即每箱分别取(1)、(10)、(100)、(1000)……(1000000000)个22222钢珠．若全是标准品，重量和应为(123512)1010230（克）．实际重量比10230轻了n克，是因为有某几箱的每个零件都轻了1克．因此只需看n是由1，2，4，8，16，……512中的哪些数字组成，即看n的二进制表示中哪几位为1即可．8第11级下优秀A版教师版\n第11讲如实际重量和为9956克，102309956274(0100010010)（补上第10位的0），即第2、25、9箱为次品．⑶现在零件3种状态，分别为标准、次品、不及格品，因此我们构造三进制区分三种状态．每箱分别取零件(1)、(10)、(100)、……(100000)，即1、3、9、……、243个．这次我们3333假设全是次品，那么重量和应为(139243)114004（克）．实际重量比4004轻了n克，是因为有某几箱的每个零件轻了1或2克．因此只需看n是由1，3，9，……243中的哪些数字组成，即看n的三进制表示中哪几位为1或2即可．其中1表示比次品轻1克，即标准品；2表示比次品轻2克，即不及格品．如实际重量和为3580克，40043580424(120201)，即第1、6箱为标准品；第2、43箱为次品；第3、5箱为不及格品．⑷题目中的0.5克不好处理．但我们可以假设每两个零件可以拼成一个大零件，那么题目可变为：每个次品比标准重2克，每个不及格品比标准轻1克．现在零件也有3种状态，若将标准重量看作1，那么次品、不及格品重量分别为0、3，由于有3的存在，因此我们需要构造四进制才可区分三种状态．与上题类似，每箱分别取零件(1)、(10)、(100)、……(100000)，即1、4、16、……、44441024个，假设全是次品，和应为(14161024)1115015（克）．实际重量比15015轻了n克，是因为有某几箱的每个零件轻了1或1.5克．因此只需看2n是由1、4、16、……、1024的那些数字组成，即看2n的四进制表示中哪几位为2或3即可．其中2表示比每两个零件比次品轻2克，即标准品；3表示每两个零件比次品轻3克，即不及格品．如实际重量和为13198克，15015131981817，181723634(320302)，即第1、54箱为标准品，第2、4箱为次品、第3、6箱为不及格品．例5算式14265253641215566在八进制下是否正确？能不能快速验证呢？（学案对应：学案4）【答案】我们可以用“弃七法”求各数除以7的余数，再利用余数定理验证．在八进制下，14265除以7余4，2536除以7余2．根据余数定理，得数应与428除以7的余数相等，即1，而41215566除以7余2，因此式子在八进制下不正确．【想想练练】在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求这个多位数除以7的余数为多少？【分析】类似于十进制中的“弃九法”，8进制中也有“弃7法”，也就是说8进制中一个数除以7的余数等于这个数的各位数字之和除以7的余数．本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为68，而68除以7的余数为5，所以这个数除以7的余数也为5．第11级下优秀A版教师版9\n有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工．这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付．可是不付又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7环．对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付．”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话，从不食言，可以请大老爷作证．”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分文不取，并会以命相拼也要兑现的．这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的一环三个月的工钱也不止．老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？答案：断开第三环，从而得到1，2，4环的三段，第一个月拿走一环，第二个月以一换二，第三个月取一环，第四个月以三换四，第五个月再取一环，第六个月以一换二，第七个月再取一环杯赛提高在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示．小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是三进制下的年龄．请问小招多少岁？10【分析】①设小招为a岁，得a(10)a0(3)，又a0(3)a3033a(10)，解得a0，不合题意，所以小招的年龄不可能是一位数．②设小招是ab岁，由题意得：ab(10)ab0(3)．因为ab(10)10ab，ab0(3)a9b3019a3b，所以10ab9a3b，即a2b．又因为ab0是三进制数，a，b都小于3，所以a2，b1．所以，小招为21岁．③设小招为abc岁，由题意有，abc(10)abc0(3)，因为abc(10)100a10bc，32abc0a3b3c327a9b3c，所以100a10bc27a9b3c．(3)即73ab2c．又a、b、c都小于3，所以上述等式不成立．综上可知小招的年龄是21岁．1第11级下优秀A版教师版\n第11讲附加题1.计算：⑴（101101）（10111）；⑵（101101）（10111）；2222⑶（1011）（110101）（10101）；⑷（111011）（1101）（1011）．222222【分析】⑴列竖式：⑵列竖式：101101101101+10111－10111100010010110得：（101101）（10111=1000100）（）得：（101101）（10111=10110）（）222222⑶列竖式：⑷列竖式：1011110101111011101110+10101－1101－10111010101101110100011得：（1011）（110101）（10101）（1010101）得：（111011）（1101）（1011）（100011）22222222题⑷也可先变形为如下形式再解：（111011）（[1101）（1011]）（111011）（11000）（100011）222222我们可以看出十进制数运算中的加减法运算律在二进制中仍适用．2.计算：⑴（1101）（101）；⑵（100001）（11）．2222【分析】⑴（1101）2（101）2（1000001）2⑵（100001）（11）（1011）2223.一个三位数abc，它的八进制形式恰好为(1cba)，请问这个三位数是多少？8【分析】根据位值原理可知，100a10bc51264c8ba，整理得9(11a7)c2(256b)．因此256b必是9的倍数，b4．代入得11a7c56，即11a7(c8)，因此必c8是11的倍数，c3，最后计算除a7．这个三位数是743．4.将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是__________．●●●●●○1●●●●○●2●●●●○○3●●●○●●4●●●○●○5【分析】从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32．因此问题当中的表示168226第11级下优秀A版教师版1\n5.在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的．如果十进制中的147在20进制中的读音是“seythhaseythugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“nawhadewugens”，那么20进制中读音是“dewhanawugens”的数指的是十进制中的数．【分析】（147）10（77）20，（49）10（29）20，所以ha代表十位，ugens代表个位，dew代表9，naw代表2．（92）=（182），所以答案是182．2010n6.如果21能被31整除，那么自然数n应满足什么条件？n012345【分析】要使2除以31余1，由于2、2、2、2、2、2……除以31的余数分别为1、2、4、n8、16、1……，每5个一循环，当n是5的倍数时2除以31余1，所以n应满足的条件是能被5整除．n另解：本题也可以从二进制进行考虑．由于3111111(2)，2100000000(2)(n个0)，nn21100000000111111(n个1)，要使21能被31整除，就需要使11111(2)(2)(2)(n个1)能被11111整除，也就是要使n能被5整除．(2)7.智能文具公司用以下方式计算原子笔：12支原子笔算为1打，12打原子笔算为1箩，用记号811'6"代表6箩11打又8支原子笔。请问37'10"与68'3"相差多少支原子笔？【分析】本题实际上是一个十二进制计算问题，我们可以将其转化为十进制数计算问题来做，相差的原子笔支数是(103)1212(87)12(63)993支。知识点总结一、进制的判断1、数字特征：n进制下每个数字不超过(n1)2、尾数特征：进位部分的因数二、进位制中的“弃(n1)法”在n进制下，一个数与它的各位数字之和模(n1)同余．实际上，我们可以将和为(n1)倍数的若干个数字划去，通过剩下的数字快速求余数．家庭作业1.567(）8(）5(）2.【分析】本题是进制的直接转化：567(1067）(4232）(1000110111）；8522.在八进制中，1234456322________；在九进制中，1443831237120117705766________．【分析】原式1234(456322)12341000234；原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438．1第11级下优秀A版教师版\n第11讲3.将（2013）写成二进制数．1022013……121006……02503……12251……12125……1262……0231……1215……127……123……121……10则（2013）（11111011101）1024.在几进制中有413100？【分析】利用尾数分析来解决这个问题：由于(4)(3)(12)，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．101010所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于(4)(13)(52)，因为52100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，101010于是知道n10，那么n不能是12．所以，n只能是6．5.茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快满足顾客的需要则为优秀．结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待．原来他把茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶．别的伙计看在眼里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包．奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多．于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，64，128，256．你能解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？【分析】由于1(1),2(10),4(100),8(1000),16(10000),32(100000)观察一下你会发222222现最佳员工：所取的数字与二进制中的(1),(10),(100),(1000),(10000),(100000)对应，222222而我们所要的3，5，6，7，9，等等数字都可以用这些二进制相加得来，老师可以在黑板上给学生列竖式演示此道理，说明取1，2，4，8，16，32，64，128，256的道理．6.在十六进制中，一个多位数的数字和为十进制中的243，求除以15的余数为多少？【分析】类似于十进制中的“弃九法”，十六进制中应用“弃十五法”，24315163，因此余数为3．第11级下优秀A版教师版1\nA版学案【学案1】将（30）、（72）改写成二进制数．1010【分析】（30）161416861684201（11110）102（72）10648640320168040201（1001000）2【学案2】计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示，一般用KB、MB、GB作为存储容量101010的单位，它们之间的关系是1KB=2B，1MB=2KB，1GB=2MB．小明新买了一个MP3播放器，存储容量为256MB，它相当于_____B．101828【分析】256MB=256×2KB=2KB=2B【学案3】算式21431050在几进制下成立？【分析】观察尾数4312，得数尾数为0，即12全部进位，因此这个进制应是12的因数．又因为出现了数字5，因此是六或十二进制，验算可知六进制下等式成立．【学案4】已知正整数N的八进制表示为N(12345654321)，那么在十进制下，N除以7的余8数是．2【分析】与十进制相类似，有：(12345654321)(111111)．882根据8进制的弃7法，(111111)被7除的余数等于其各位数字之和，为6，而636除以87的余数为1，所以(111111)的平方被7除余1，即(12345654321)除以7的余数为1.881第11级下优秀A版教师版