第12讲第十二讲应用题综合(二)知识站牌六年级寒假应用六年级秋季题模块综合选讲应用题综合（二）六年级秋季经济问题六年级暑期应用题综合六年级暑期（一）浓度问题复习牛吃草、工程、浓度、经济问题，并灵活运用方程解应用题漫画释义第11级下优秀A版教师版1\n课堂引入我们在暑期复习相关的经典应用题，一定体会到了方程和算术方法在解应用题方面奥妙之处了吧，方程可以使我们很容易找到解题思路，算术方法可以使我们算的很快，可以说各有优势吧。我们今天再来复习六年级相关的应用题，本次重点是体会方程思想在解应用题方面的奥妙之处，寒假再进行系统复习，我们的应用题板块就到达终点了。相信大家一定学会了很多解题技巧，那么看看我们今天会有什么收获呢？教学目标1.掌握分百应用题相关的相关解题技巧2.灵活运用方程思想解决实际问题知识点回顾1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．可供25头牛吃几天？【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200份；15头牛吃10天共吃了1510150份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这50份草是牧场的草201010天生长出来的，所以每天生长的草量为50105，那么原有草量为：200520100．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．2.某商场的广告写着“满200元送50元购物券”，这个商场的商品相当于打折．【分析】相当于原价250元的商品能用200元买到，20025080%，相当于八折．3.一种商品八折优惠是120元，七折优惠是元．【分析】12080%70%105（元）4.用200克盐，加水稀释成浓度为5%的盐水，则需加水______克。【分析】2005%4000（克）40002003800（克）5.把浓度为95%的酒精600克稀释为浓度为75%的医用酒精，需加入克的蒸馏水。【分析】这道题是经典的浓度问题。用十字交叉法就可以解。2第11级下优秀A版教师版\n第12讲75:20=15:4.也就是说95%的酒精与纯水的比例应该是15:4.我们设加入水x克，有600：x=15:4，得到x=160.6.一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？1【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总211111量的，乙每天能完成总量的，所以乙单独做28天能完成。121221287.一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？11【分析】由题意知甲乙合作的工作效率为，乙丙合作的工作效率为，甲丙合作的工作效率为3645111111，甲的工作效率为()2，所以甲一人需要90天完成603645604590经典精讲一、牛吃草问题算术方法中重要的两步1.求草的生长速度2.求草的原有草量方程方法是分别设草的生长速度和原有草量为两个未知数，根据吃的总草量列方程组二、经济问题经济问题主要相关公式：利润售价成本售价成本利润，利润率100%100%；成本成本售价=标价×折扣三、浓度问题浓度问题相关公式：溶质溶质溶液=溶质+溶剂，浓度=100%=100%.溶液溶质溶剂常用方法：1.十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)甲溶液质量AB甲溶液与混合溶液的浓度差形象表达：乙溶液质量BA混合溶液与乙溶液的浓度差2.列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法．第11级下优秀A版教师版3\n四、工程问题工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。⑴解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。⑵利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。例题思路一、牛吃草例1二、经济问题例2三、浓度问题例3四、工程问题例4、例5例1有一块草地，现有的草共有x份，假设每天草地都能均匀生长出y份新草，每头羊每天吃1份草，这块草地经过测算可供100只羊吃200天；或供150只羊吃100天。问：⑴x和y各为多少？⑵如果放牧250只羊，可以吃多少天？⑶草吃完了，草地就会沙化，无法继续放牧，为了防止草地沙化，这块草地最多可以放牧多少只羊？x200y100200x10000【分析】⑴x100y150100，解得y50⑵10000(25050)50（天）⑶羊的只数等于生长速度，因此为50只【拓展】把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷.如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？【分析】方法一：设1头牛1天吃1份草，则1公顷草的生长速度为(28451510305)(4530)1.6，1公顷草地的原有草量为2845151.64512，要把第三块草地80天吃完可供(12241.62480)8042头牛方法二：设1头牛1天吃1份草，设1公顷草地的原有草量为x，1公顷草地的生长速度为y5x5y301030根据题意列方程组得15x15y454528x30y60x12化简得，解得x45y84y1.6要把第三块草地80天吃完可供(12241.62480)8042头牛4第11级下优秀A版教师版\n第12讲例2某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过10吨时，按3元/吨计费；月用水量超过10吨时，其中的10吨仍按3元/吨收费，超过部分则按3.5元/吨计费．⑴10月份小丽家用水8吨，应交水费多少元？⑵11月份小丽家实交水费35.25元，11月份小丽家用水多少吨？（学案对应：学案1）【分析】⑴3824（元）10月份应交水费24元．⑵31030（元）35.25303.51.5（吨）1.51011.5（吨）用水11.5吨．【想想练练】自来水公司为鼓励居民节约用水，规定每人每月用水不超过2立方米时，按每立方米0.5元收费；超过2立方米的部分按每立方米2元收费．王红家3口人，上月共交水费13元，请你算一算王红家上月用水多少立方米？【分析】2(1320.5)28（立方米）【巩固】某市收取水费按以下规定：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米按2.2元收费，若超过20立方米，则超过的部分按每立方米3元收费.如果某用户这个月所交的平均水价是2.5元，那么该用户这个月用了多少立方米的水？2.23【分析】十字交叉法：2.5，所以这个月用水205(53)32(立方米)0.5:0.35:3【拓展】自来水公司对水费的计算办法是：每户每月用水不超过5吨，每吨收费0.85元；若超过5吨，则超出的部分每吨的收费标准另行规定.已知今年7月份张家用水量和李家用水量的比是2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月的水费是22.65元。问超出5吨部分的收费标准是每吨多少元?【分析】设张家和李家7月用水量分别为2x吨和3x吨，那么由已知条件可得：2x514.6050.853x522.6550.85解得：x＝7.故超出5吨部分的收费标准是每吨（14.60－5×0.85）÷（14－5）＝1.15元.第11级下优秀A版教师版5\n方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》．《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组．我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也．二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程．上述方程的概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现．其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产．这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族．例3某班在一次数学考试中，平均成绩为79分，男生平均成绩为75.5分，女生的平均成绩为81分，则班上男、女生人数之比为（学案对应：学案2）75.581【分析】十字交叉法：792:3.54:7方程法：设男生有x人，女生有y人，则有75.5x81y79(xy)，化简得xy:4:71【想想练练】有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖41组成，其中为酥糖．将两包糖混合后，水果糖占78%，那么第一包糖与第二包糖的数量比为.53443【分析】第一包糖水果糖占，第二包糖水果糖占．由十字交叉知：78%:78%2:3，4554即第一包糖与第二包糖的数量比为2:3．【拓展】有两包糖，每包糖内都装有奶糖，水果糖和巧克力糖．已知：⑴第一包糖的粒数是第二包2的；⑵在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；⑶巧克力在第一包3糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍．当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么，水果糖所占的百分比等于多少？【分析】列表法奶糖水果糖巧克力糖总数第一包25%2x2份第二包50%x3份6第11级下优秀A版教师版\n第12讲可列方程22x3x528%解得x20%那么，第一包中水果糖占125%220%35%，水果糖所占百分比为35%250%3544%。例4搬运一个仓库，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓，乙在B仓同时搬运，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后两个仓库同时运完，问，丙分别帮甲、乙多长时间？（学案对应：学案3）【分析】设搬运一个仓库的货物的工作量是1，现在相当于三人共完成工作量2，所需时间是：11128（小时）1012158甲8小时能完成，尚需要丙帮助搬运108113（小时）10158乙8小时能完成，尚需要丙帮助搬运128115（小时）1215例523某项工程，由甲、乙两队承包，2天可以完成，需支付工程款1800元；由乙、丙两队承包，3天546可以完成，需支付工程款1500元；由甲、丙两队承包，2天可以完成，需支付工程款1600元．现7在决定将工程承包给某一个队，确保工程在一个星期内完成，且支付的工程款最少，那么所支付的工程款是多少元？（学案对应：学案4）25【分析】甲、乙工效：1251267甲、丙工效：1272034乙、丙工效：13415574411甲效：2，甲独干：14天1220151544同理：乙、丙独干需6天、10天54甲、乙合干1天：1800750元；乙、丙合干1天：1500400元1215第11级下优秀A版教师版7\n7甲、丙合干1天：1600560元；20甲干1天得(750400560)2400455元乙干1天得750455295元，丙干1天得560455105元所以应该选乙，应该支付1770元．【想想练练】一项工作，甲、乙两人合作8天完成，乙、丙两人合作9天完成。丙、甲两人合作18天完成，那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？【分析】设工程总量为1,1甲工效+乙工效=，81乙工效+丙工效=，91丙工效+甲工效=，187三个式子相加为甲工效+乙工效+丙工效=，481故丙的工效为，所以丙一个人来做，完成这项工作需要48天.48传说印度数学家花拉子密在他太太怀第一胎时，写了一份遗嘱，内容为：如果我亲爱的妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如果生女儿，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。不幸地，在小孩出生前，花拉子密就去世了，遗下了168两黄金的遗产。而老天作弄人，他的妻子竟然生下一对双胞胎，一男一女。聪明的你，请帮他们依照符合花拉子密的遗愿的方式公平地分配这笔遗产吧！请问儿子可分得多少两黄金？【分析】根据题意妻子与儿子的分配比例是1:2，妻子与女儿的分配比例是2:1，所以妻子、儿子、416896女儿的分配比例是2:4:1，所以儿子分得124（两）杯赛提高在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是多少只？【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，有80%的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫．那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：80%32%:32%20%4:1．而狗比猫多180只，所以狗的数目为180414240只．8第11级下优秀A版教师版\n第12讲知识点总结一、方程法解牛吃草问题分别设草的生长速度和原有草量为两个未知数，根据吃的总草量列方程组二、工程问题合作的天数不等于两人工作天数的平均数三、浓度问题只要有两种物品混合或放在一起得到一种新的物品，就可以考虑用十字交叉法进行解题附加题1.第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快.有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完.在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完.如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？【分析】设1头牛1天吃1份草，设1公顷草地的原有草量为x，1公顷草地的生长速度为y3x6y152x8根据题意列方程组得5x35y155，解得y1，因此第二群牛有(87771)715（头）2.某城市对煤气费的规定是：用煤气不超过60立方米，每立方米收费0.8元；若超过60立方米，则超出的部分每立方米收费1.2元．已知小明家4月份煤气费平均每立方米0.88元．则他家4月份应缴煤气费________元．【分析】不超过60立方米的部分比平均共少给了60(0.880.8)4.8元，则超过60立方米的部分共比平均多了4.8元，超过60立方米有48(1.220.88)15立方米，共75立方米，每立方米0.88元，所以共缴费750.8866元．3.小程的妈妈退休后，在离家不远的地方开了一个杂货店．她将其中的某种商品按定价出售，每件可获得利润45元．现在按定价的八五折出售8件，与按定价每件降价35元出售12件，所能获得的利润一样．请问这种商品每件的定价是多少？【分析】每件降价35元出售12件，所能获得的利润与按定价的八五折出售8件所获得的利润一样多，这样就能求出八五折所得的利润，再用45元减去这个利润，就是定价的15%的对应量，就可求出原来的定价了．(4535)12815（元）(4515)(185%)200（元）4.（2011~2012赛季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛郑州选区小学六年级决赛试题）某旅游团体准备订购定价为100元的某种纪念章80枚．团体负责人对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4枚．”商店经理算了一下，若降价5%，则由于旅游团体多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种纪念章的成本是多少元？第11级下优秀A版教师版9\n【分析】设成本为a，降价5%，价格减少了5元．团体负责人会多买5*4=20枚．10015%a8020100a80100求得：a=7015.甲、乙、丙三队要做A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多，甲、乙、4丙三队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天，为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队共同做B工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，那么，丙队与乙队合作了几天？15【解析】如果A工程的工作量是1，则B工程的工作量是1，三队最后合作完成的工作量是445991111．三队一共用的时间是18（天），乙队完成的工作量是44420243031118，剩下的工作量是丙完成，所以丙与乙合作的天数是15（天）2442306.甲、乙两班期末考试平均成绩的统计表如图所示，已知甲、乙两班的女生人数相同，那么这两个班全体同学的平均成绩是_____分。平均甲乙分班班男生8695女生9488全体8992【分析】统一比，通过浓度三角可以知道甲班男女生比例为5:3，乙班男女生比例为4:3，因为甲乙两班女生人数相同可以知道两班人数比为8:7，利用浓度三角可以求解。7.有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔A和B，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开A孔，关闭B孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭A孔，打开B孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过分钟才能将水箱注满．【分析】本题需要注意侧高线的不同位置上的两个排水孔起作用的阶段不同，只有当水上升到其高度后排水孔才开始排水，在此之前则是不排水的．(法1)方程法．设进水速度为x，出水速度为y，立方体水箱的容积为1．则21x(xy)203312x(xy)223311解此类方程，可采用换元法．设a，b，原式可以变形为：xxy21ab2033a18，解得：．12b24ab22331111所以x，y．1818247210第11级下优秀A版教师版\n第12讲11111所以，打开两个排水孔注满水箱的时间为：1824(2)26(分钟)．33318721(法2)设单开进水管注满水箱的所需进水时间为x分钟，同时开一个进水管与一个出水孔31注满水箱的所需的进水时间为y分钟．则32xy20，解得：x6，y8．x2y2211111以水箱的看作“1”，则进水速度为，出水速度为，366824111所以灌满水箱最上层的需要1212分钟．3624那么总共需要681226(分钟)．(法3)图示法．2022如图所示，阴影部分表示单开进水管，空白部分表示同开进水管与一个出水管，比较两图，可以看出两图中上、下两格的时间完全相同．则说明单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了22202分钟．所以，假设左图三格全黑——即单开进水管注满水箱，时间为20218分钟，即进水管的1进水速度为；18再假设右图三格全白——即同开进水管与一个出水管注满水箱，时间为22224分钟，1111则其进水速度为，则一个出水管的出水速度为．2418247211111所以，同时打开两排水管的进水时间为：1824(2)26(分钟)．3331872家庭作业1.有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完。请问：（1）要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？（2）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？【分析】方法一：设1头牛1天吃1份草，则草的生长速度为(218246)(86)12，因此最多放养12头牛.原有草量为24612672，如果放养36头牛最多72(3612)3（天）方法二：设1头牛1天吃1份草，设草的生长速度是x，原有草量为y，则有6xy2468xy218第11级下优秀A版教师版11\nx12解得因此最多放养12头牛.如果放养36头牛最多72(3612)3（天）y722.（2012年广东省广州市小联盟）用水26立方米以下每立方米2元（包括26立方米），超过26立方米部分每立方米3元．小明家付了水费67元，他家用了多少水？【分析】26(67262)331（立方米）3.自来水公司为鼓励居民节约用水，规定如下水费计算方法：每月用水不超过10吨，按每吨3.2元收费；超过10吨的部分按每吨5元计算．小红家上月平均每吨水费交费4元，她家上月用了吨水．【分析】设她家上月用了x吨水，3.2105(x10)4x，解得x18，因此她家上月用了18吨水4.一堆糖果，其中奶糖占45%，若再放入16块硬糖，奶糖就只占25%，则这堆糖果中奶糖有块．【分析】方法一：设：原糖果x块，现糖果x16块x45%x1625%解得x202045%9（块）45%0%方法二：十字交叉法25%，则这堆糖果中奶糖有164545%9（块）25%:20%5:45.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵。已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树，两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？【分析】解：设共干了x天。24x30x32x900125086x2150x259002425900600300（棵）300÷3010（天）乙在开始后第11天从A地转到B地。6.(2009年第7届希望杯6年级2试)有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。则丙帮甲小时，帮乙小时。【分析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所11121以它们完成工作的总时间为2()小时．67144在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过．121771甲完成的工作量是，所以丙帮甲搬了1的货物，丙帮甲做的时间为6488812第11级下优秀A版教师版\n第12讲11321311小时，那么丙帮乙做的时间为13小时．8144442A版学案【学案1】为鼓励居民节约用水，某自来水公司规定如下水费计算方式，每月用水不超过5吨，按每吨1.2元计费，超过5吨的超出部分按每吨1.8元计费．（1）小明家2003年4月份交水费9.6元，小明家4月份用水________吨．（2）小倩家2003年5月份平均每吨交水费1.3元，小倩家5月份用水________吨．【分析】（1）5(9.651.2)1.87（吨）；（2）方法一：开始5吨每吨比平均少了0.1元，共少0.5元，之后每吨比平均多0.5元，只要一吨就可以了，所以共用水6吨．1.21.8方法二：十字交叉法：1.3，所以5月份用水5+1=6(吨)0.5:0.15:1方法三：方程法：设5月份用水x吨，则有1.251.8(x5)1.3x，解得x6【学案2】某班在一次数学测试中，全班同学平均成绩是81分，男生平均成绩是78.5分，女生的平均成绩是84分。这个班男女生人数之比是。78.584【分析】十字交叉法：813:2.56:5【学案3】甲、乙、丙三人在A、B两地植树，A地要植528棵，B地要植504棵。已知甲、乙、丙每天分别植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树。两地同时开始同时结束，乙应在开始后第（）天从A地转到B地。【分析】A、B两地植树共528+504=1032（棵），甲、乙、丙三人每天可以植树24+30+32=86（棵），共需1032÷86=12（天）。甲12天植树24×12-288（棵），所以乙要完成528–288=240（棵）之后，才去帮丙，即乙做了240÷30=8（天）之后，也就是乙在开始后第9天从A地转到B地。63【学案4】一项工程，由甲、丙两队承包，2天可以完成，需支付1600元。由乙、丙两队承包，3742天可以完成，需支付1500元；由甲、乙两队承包，2天可以完成，需支付1800元，在保证“五天5内完成这项工程”的前提下，单独选择哪个队承包最合适？第11级下优秀A版教师版13\n673425【分析】甲乙每天完成12，乙丙每天完成13，甲丙每天完成12，72041551257411甲工效：2，单干需14（天）；1220154474511乙工效：2，单干需110（天）5天，淘汰；201512101015711丙工效：2，单干需16（天）5天，淘汰。15122066所以单独选择甲最合适。63若要计算费用：甲乙每天费用16002560（元），乙丙每天费用15003400（元），742甲丙每天费用18002750（元）。甲每天5607504002455（元），甲单独完成5工程需支付：45541820（元）。14第11级下优秀A版教师版