第一讲第一讲数形结合知识站牌六年级秋季六年级秋季算两次从极端考虑六年级秋季数形结合六年级暑期从整体考虑六年级暑期归纳与递推利用图形的技巧推导相关计算公式，并在理解公式的基础上解决相关问题漫画释义第11级下超常体系教师版1\n课堂引入大家都听说过数形结合这个词吧，我国著名数学家华罗庚就曾写过这么一首诗：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．几何代数统一体，永远联系莫分离．”可见数形结合的重要性，其实在以前的课程中，我们你已经不知不觉中用过了，比如解行程问题中用过的柳卡图、证明勾股定理的相关方法，这些都是用几何图形解决相关问题，今天我们再来认识用相关图形解决相关代数公式问题和应用题教学目标1.理解用图形法推导代数公式的过程2.会用图形法解决相关应用题知识点回顾一、看图说明勾股定理的证明过程⑴b-ab-acbcbaaa22222【分析】c(ba)2ab，即cab⑵babacabbbaaba222【分析】左右两幅图阴影面积应该相同，即cab2第11级下超常体系教师版\n第一讲⑶22a2abb【分析】这个梯形的面积为S(aba)(b)2，也可以用左右个三角形和中间大22222ababca2abbababc222三角形的和来表示S所以有，即abc2222222二、看图说明第一次迎面相遇点和第三次迎面相遇点间距离04612A140米B038964【分析】140()4077经典精讲一、数形结合的意义数和形是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的．而数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．在我们的小学数学教学中，如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学，那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力．“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，则使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中．二、相关公式的推导（具体推导见例题）1.等差数列求和公式：和=(首项末项)项数÷2第11级下超常体系教师版3\n2222nn(1)(2n1)2.平方和：123n62233332nn(1)3.立方和：123n(123n)4224.平方差：ab(abab)()三、阶梯型标数法（一）阶梯型标数指的是求图中从点A走到点B的最短路线的条数（图中虚线不能走）（二）阶梯型标数特征1．走到图中任意一点的所有路线中，单位竖线段个数不多于单位横线段的个数。2．走到虚线边上任意一点的路线条数，恰好是卡塔兰数（1,，2，5，14，4，,13，,429，）例题思路模块一：相关数列公式的推导例1：等差数列求和公式的推导例2：平方和公式的推导例3：立方和公式的推导例4：等比数列求和公式的推导模块二：相关代数公式推导例5：平方差公式的推导例6：多项式乘法的推导模块三：数形结合的应用例7：矩形图法的应用例8：卡塔兰数的应用例11试用图解法说明：123nnn(1)2【分析】第一行1111…111第二行1111…11第三行1111…1………第n-1行11…1111第n行111…1111图一图二将图一中所有1相加即是123n，将图一旋转180度后得图二，两图合起来看最后1发现每行都有n1个1，恰有n行，因此得到123nnn(1)24第11级下超常体系教师版\n第一讲例222221根据例1思路尝试探索：123nnn(1)(2n1)推导过程6（学案对应：超常1，带号1）【分析】第一行1nn第二行22nn-1n-1n第三行333nn-1n-2n-2n-1n…………第n-1行n-1n-1…n-1n-1nn-1…3223…n-1n第n行nnn…nnnnn-1n-2…321123…n-2n-1n图一图二图三2222将图一中所有数相加即是123n，将图一顺时针旋转120度后得图二，再顺时针旋转120度后得图三，三图合起来看，最后发现每行对应位置的和为2n1，恰有n行，因此得到22222222nn(1)(2n1)123n(2n1)(123n)3，即123n，6例333332试用图解法说明：123n(123n)（学案对应：超常2）【分析】方法一：第一步：先将下图各行求和再相加得：(1234n)(24682)n(369123)n2(4812164)n(n2n3n4nn)(1234n)2(1234n)3(1234n)4(1234n)n(1234n)2(1234n)第二步：还可以按下图线所连接的方式求和得1(242)(36963)(4812161284)2(n2n3nn3n2nn)12(121)3(12321)4(1234321)n(123n321)333331234n33332综合第一、二步可知123n(123n)第11级下超常体系教师版5\n1234…n2468…2n36912…3n481216…4n………n2n3n4n…n2方法二：公元前1世纪古希腊数学家尼科梅切斯(Nichomachus)就是采用数形结合的方法——图解法，得出了三次方幂求和的公式：333312123n[n(n1)]2尼科梅切斯给出的解法是这样的：23把求和式中任意一项k．写成“kk”的形式，那么k就可以理解成k个“边长为k”的正方形面积之和．那么，可以构造一个图形，如下图：432112342一方面，图中大正方形的边长为“1+2+3+4”，面积为(1234)．另一方面它又等于全部小正方形的面积之和．但是注意在放置两个2×2及4×4的正方形时，两个正方形有重叠部分——图中浅色阴影正方形，再把重叠部分补到它的右上方的小正方块——图中深色阴影正方形中去，这样一来这些小正方形的面积和正好等于边长为“1+2+3+4”的大正方形面积．所以：333322222123411223344(1234)例422试用图解法说明：ab(abab)()22【分析】计算阴影部分面积即是ab，6第11级下超常体系教师版\n第一讲bbbbbbbbaaaaaaaa但是计算阴影部分面积有如右图三种分割方法完全平方公式的证明222(ab)aababb22a2abb222(ab)a2abbaaabbabb例5试用图解法说明：⑴ac(d).⑵(abc)(d)⑶(abc)(de).⑷(+)(abcde)(f)【分析】(1)、(2)、(3)中各块长方形面积和即为答案第11级下超常体系教师版7\ncdcdcdaaS1S2S1S2S5S2aS1bS3S4bS3S4S6（4）的答案是各个小长方体的体积之和fecdab例6111111试用图解法说明：1234nn222222（学案对应：带号2）【分析】如图，将一个边长为的正方形，平均分成两块，然后再将剩下的平均分成两块，依次类推，111111分了n次以后，只剩下阴影部分了，因此有1234nn22222211n216…1418128第11级下超常体系教师版\n第一讲例7某校数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人；在实际中把一等奖中最后4人调整为二等奖．这样使二等奖的学生平均分提高了1分，使一等奖的学生平均分提高了3分，那么原来一等奖的平均分比二等奖的平均分多了几分？（学案对应：超常3，带号3）【分析】由总分总人数平均分，所以我们自然而然想到了矩形图，我们用矩形的长表示人数，宽表示平均数，那么对应矩形的面积则表示总分．依题意，画两个矩形分别表示一等奖和二等奖的情况，如图：A提高3分一一B等?等?奖奖C提高1分平二平等均奖均二等奖平均分平分分均分10人20人6人4人20人根据人数的调整情况与平均分的变化，进一步得到下图：由于调整前后的总分数没有发生变化，反映到矩形图中就意味着总面积不变．所以后来增加的面积就等于后来减少的面积：矩形B矩形A矩形C矩形A的面积6318；矩形C的面积20120．那么，矩形B的宽201849.5．因此，原来一等奖平均分比二等奖平均分高9.5110.5分．例8某体育馆，门票价格为50元，而且规定每人限购1张门票，现有10人排队购票．其中5人均手持50元面值的钞票，另5人均手持100元面值的钞票，而售票员只带了门票，没有准备零钱，问共有多少种购票序列是不需要售票处另外找零的？（学案对应：超常4，带号4）【分析】在下图中从A点沿格线走到B点，无论到途中哪一点，经过的小横线段都不少于小竖线段；所以用小横线段代表拿50元钱的人，小竖线段代表拿100元钱的人，在任何一个位置，拿面值50元的人数，不少于拿100元的人数；所以本题相当于求图中从A点到B点有多少种不同走法．利用标数法，可求出从A点到B点有42种走法．但是事实上10个人互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿50元的人，5个人共有5!=120种排法；第二步排拿100元的人的方法也是5！种，因此共有5!×5!=14400种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有42×14400=604800(种)．第11级下超常体系教师版9\n方格乘法方格乘法约于十五世纪传入中国，形如我国古代织出的锦缎．因此我国的劳动人民给这种计算格式起了一个很形象的名字——“铺地锦”．计算方法：先画一个矩形，把它分成m×n个方格（m，n分别为两乘数的位数），在方格上边、右边分别写下两乘数．再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数．然后这些乘积由右下到左上，沿斜线方向相加，相加满十时向前进一．最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）．举例如下图：46×75=3450.请你尝试用以上方法计算789×987．知识点总结一、踢三角可以解决的问题求自然数列与等差数列中对应项乘积的和二、矩形图法可以解决的问题当两个相关的量存在乘积关系时，可以尝试用矩形图法，其中一个量做为矩形的长，另一个量做为矩形的宽三、阶梯型标数可以解决的问题当两个量存在不多于或不少于时，可以尝试阶梯型标数法，其中较大的量用水平线表示，较小的量用竖直线表示四、相关公式2222nn(1)(2n1)1.平方和：123n62233332nn(1)2.立方和：123n(123n)4223.平方差：ab(abab)()10第11级下超常体系教师版\n第一讲附加题333321.试用图解法说明：1234(1234)【分析】如下图所有数的和为：(1234)(2468)(36912)(481216)(1234)2(1234)3(1234)4(1234)2(1234)也等于1(242)(36963)(4812161284)12(121)3(12321)4(1234321)3333123433332所以1234(1234)2.某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价90%收款．某学校到书3店购买甲、乙两种书．其中乙种书的册数是甲种书册数的，只有甲种书得到了90%的优5惠，这时，买甲种书所付的总价钱是买乙种书所付总钱数的2倍．已知乙种书每本定价是1.5元，那么优惠前甲种书每本原价是多少元？【分析】如下图，设甲种书有5份，乙种书有3份，则乙种书总钱数为31.54.5份，则甲种书总钱数为4.529份，甲种书优惠前总钱数为90.910份，所以优惠前甲种书每本原价为1052元.甲1.5乙533.甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5时在途中相遇；如果他们每人每小时都比预定速度快1千米，则可在下午4时相遇；如果他们每人每小时都比预订速度慢1.5千米，则要在下午7时相遇，A、B两地的距离是千米．【分析】设甲、乙两人的预定速度的和为每小时V千米．在预定速度下的相遇时间为t，由于三次所走的总路程相同，根据矩形图法，所以三个不同线型的长方形面积形同，列方程组得3t2(v3)t102(t1)1v，解得v18，所以A、B两地的距离为1810180千米．第11级下超常体系教师版11\nt+2tt-1V-3VV+24.计算：143751099151．【分析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，……，99，乘数依次为4，7，10，……，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2n1，2乘数可以表示为3n1，所以通项公式为2n13n16nn1．所以，222原式6111622165050122261250125050150511015051502256225另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算．1原式38914152029730261335995151552972975612222335995151552972975612222391529753915297612222913599531359963222251359913599222222而13599和13599都是我们非常熟悉的．22222222222213599123100246100111001012014505110166110010120110261991001016166650，213599502500，35所以原式16665025002562252212第11级下超常体系教师版\n第一讲22221小结：从上面的计算过程中可以看出，1359999100101，而6112239910099100101，32222所以有135992122399100家庭作业21.试用图解法说明：135(2n1)n2【分析】按图中线路求和，即为135(2n1)，按每行求和再相加得n，所以有2135(2n1)n1111…11111…11111…11111…1………1111…12.计算：199297395501【分析】同平方和公式的推导，踢三角：叠加三个三角，每个位置都是，原式10112350342925333333333.计算：13579111315333333333【分析】原式12341415241422151513338127457600222788128422222224.计算：1234200520062007第11级下超常体系教师版13\n2222222【分析】原式2007200654321(20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)112007200620052004321200712007201502825.有两组数：A组为0.60.91.5B组为3.24.32.5从每一组数中各选一个数，再相乘会得到多少个积．求所有的积的和是多少．【分析】共有339个积，将A、B组中每个数看成下图每个小长方形的长和宽，求所有积的和，即为图中所有小长方形面积的和，即大长方形的面积，因此所有积的和为：(0.60.91.5)(3.24.32.5)300.60.91.53.24.32.56.有七根竹竿排成一行．第一根竹竿长1米，其余每根的长都是前一根的一半．问：这七根竹竿的总长是几米？【分析】我们这样考虑：取一根2米长的竹竿，把它从中截成两半，各长1米．取其中一根作为第一根竹竿．将另外一根从中截成两半，取其中之一作为第二根竹竿．如此进行下去，到截下第七根竹竿时，所剩下的一段竹竿长为1111111（米）22222264163因此，七根竹竿的总长度是2米减去剩下一段的长，也就是2164647.学校举行计算机汉字输入技能竞赛，原计划评选出一等奖15人，二等奖20人，现将一等奖中的后5人调整为二等奖，这样一等奖获得者的平均速度提高了8字/分，二等奖获得者平均速度提高了6字/分，那么原来一等奖平均速度比二等奖平均速度多多少？【分析】由于总分总人数平均分，所以我们自然而然想到了矩形图，我们用矩形的长表示人数，宽表示平均数，那么对应矩形的面积则表示总分．与例题类似地，我们画出矩形图：14第11级下超常体系教师版\n第一讲A提高8字/分一B等？（设为x）奖平均C提高6字/分打字数二等奖平均打字数10人5人20人由于调整前后的总分数没有发生变化，反映到矩形图中就意味着总面积不变．所以后来增加的面积就等于后来减少的面积：矩形B矩形A矩形C矩形A的面积10880；矩形C的面积206120；矩形B的宽(12080)540所以原来一等奖平均速度比二等奖平均速度多40646字/分．8.学学和思思一起洗5个已排好顺序且互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【分析】我们把学学洗5个碗的过程看成从起点向右走5步（即洗几个碗就代表向右走几步），思思拿5个碗的过程看成是向上走5步（即拿几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法．由于洗的碗要多于拿的碗，所以向右走的路线要多于向上走的路线，所以我们用下面的三角形进行标数，共有42种走法，即代表42种摞法超常班学案2222【超常班学案1】计算：135192222【分析】135192222222(12319)(2418)12221920394（129）61247049101962470114013301或者直接用附加题4小结中，总结出的公式，即19202113306第11级下超常体系教师版15\n2222【超常班学案2】计算：（1）67830;（2）1031131231003222222222【分析】（1）原式123301234594002222（2）原式(123100)(1239)50504525500475【超常班学案3】小明用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元?【分析】见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为矩形A的面积与矩形B的面积相等，所以矩形A的长是矩形B的宽的2倍，设批发价为x元（图中矩形B的宽），因此按批发价买了(2x4)本，则有：xx(24)48，即xx(2)2446A2元B4本所以，x4，零售价为x26（元）【超常班学案4】一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法．【分析】如图8人排队相当于把8个人填入右边2列方格中，当A的位置确定时，第二列最多可以确定一个位置D，当确定A、B两个位置时，第二列最多可以确定C、D两个位置，因此第二列确定的位置个数永远不会多于第一列确定的位置个数，因此我们用横线代表第一列确定的位置，用竖线代表第二列确定的位置．画图如下：因此列纵队有共有14种排法．123班学案【123班学案1】计算：142931440199【分析】同例题，踢三角的应用，答案为(1991994)(12340)31098801111【123班学案2】用图示法说明：41664316第11级下超常体系教师版\n第一讲11【分析】将图1分割成形状、大小完全相同的四块，取其中一块，即为，如图2.再把图阴影取，441即为，以此类推，所有面积和变为图3，如果一直重复操作，最终面积和为一个阴影161111正方形，因此有416643图1图2图3【123班学案3】六年级（1）班还有班费m（m为小于400的整数）元，拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元.那么该班有名同学.班费m=元【分析】见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为矩形A的面积与矩形B的面积相等，所以矩形A的长是矩形B的宽的6倍，设批发价为x元（图中矩形B的宽），因此按批发价买了(6x12)本，则有：xx(612)m，即6(xx2)m，根据题意按批发价买了(6x12)本应该大于50，所以x6，且m400，当x7时，有m679378400，当x8时，m6810480400。所以x7，因此该班有6742人，班费有378元A2元B12本【123班学案4】（2010年秋季学而思杯试题）在一次小组长选举中，铮铮与昊昊两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票．在将7张选票逐一唱票的过程中，昊昊得的票始终没有超过铮铮．那么这样的唱票过程有种不同的情况．【分析】我们用横线段代表铮铮得票数，用竖线段代表昊昊得票数，根据题意，铮铮与昊昊得票情况有如下四种情况：A：铮铮7票，昊昊0票；B：铮铮6票，昊昊1票；C：铮铮5票，昊昊2票；D：铮铮4票，昊昊3票．这四种情况恰好是从开始分别到A、B、C、D四点的最短路线条数，共有1+6+14+14=35（条），因此共有35种不同唱票情况．第11级下超常体系教师版17