第六讲第六讲旋转与轨迹知识站牌六年级春季几何六年级寒假几何模块综合选讲（二）模块综合选讲（一）六年级秋季旋转与轨迹六年级秋季复合图形分拆六年级秋季圆柱与圆锥求相关图形旋转所形成的立体图形体积及圆中的滚动扫过面积漫画释义第11级下超常体系教师版1\n课堂引入春节期间我们看到过漂亮的烟花，大家想过没有这些漂亮烟花怎么形成的呢？原理很简单，大家晚上可以拿着手电筒来回舞动，也会有“漂亮”的烟花；大家玩过风车吧，当风车不动的时候，就是几个扇叶，如果风车转起来，就会是一个圆面。因此我们可以说一个图形动起来，在我们的视觉范围里，图形会发生改变，这就是我们今天要学习的“点动成线、线动成面、面动成体”教学目标1.想象线、面旋转后所成的图形，并能求相关面积和体积2.总结相关旋转规律，解决相关实际的旋转问题知识点回顾（没有特殊要求的π均取3.14）1.已知圆的半径是5厘米，则圆的周长是厘米，面积是平方厘米2【分析】周长是：3.145231.4（厘米）；面积是：3.14578.5（平方厘米）2.如图大扇形的半径是6厘米，小扇形半径是4厘米，则图中阴影部分的周长是厘米；面积是平方厘米。（π取3）4606606022【分析】周长是：(64)232(64)14（厘米），面积3(64)10（平方360360厘米）3.已知圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米，则圆柱的表面积是平方厘米，体积是立方厘米（π取3）22【分析】表面积：2334+233=126（平方厘米），体积是：334108（立方厘米）2第11级下超常体系教师版\n第六讲4.已知圆锥的底面半径是6厘米，高是5厘米，则圆锥的体积是立方厘米（π取3）12【分析】体积是：365180（立方厘米）35.如图，线段AB长10厘米，向右平移5厘米，所形成的图形面积是多少？【分析】线段平移扫过的图形为长方形，如下图所示，长方形的面积为10×5=50（平方厘米）6.一个长方形长5厘米，宽3厘米，沿着与水平面垂直的方向平移6厘米，所形成的立体图形的体积是多少立方厘米？【分析】长方形的面积为5×3=15（平方厘米），沿垂直方向平移6厘米，所形成的长方体体积为15×6=90（立方厘米）7.一个圆半径是20厘米，沿着与水平面垂直的方向平移6厘米，所形成的立体图形的体积是多少立方厘米？【分析】半径为20厘米的圆的面积为400π，沿垂直方向平移6厘米，所形成的圆柱体积为2400π=7536（立方厘米）经典精讲一、旋转1.线动成面一条线段绕固定点旋转一定的角度，只要找到线段距离固定点的最近点和最远点，然后绕固定点旋转所形成的图形，所形成的图形经过割补就是下图的阴影.2.面动成体长方形绕长或宽旋转所形成的图形是圆柱，直角三角形绕直角边旋转所形成的的图形是圆锥二、轨迹一个点在空间移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹。第11级下超常体系教师版3\n例题思路模块一：线动成面例1；羊吃草问题例2：图形滚动扫过的面积例3：线段绕固定点旋转扫过的面积模块二：面动成体例4：长方形绕长或宽旋转问题例5：直角三角形绕边旋转问题例6：长方形绕对角线旋转问题模块三：轨迹例7：正方形顶点旋转轨迹例8：三角形顶点旋转轨迹例1草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)3030A10C10B203【分析】如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的个圆，B，41C分别是半径为20米和10米的个圆．4232121所以羊活动的范围是3020104442321213020102512．4444第11级下超常体系教师版\n第六讲例2一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图），小圆盘运动过程中扫出的面积是（）平方厘米。（3.14）（学案对应：超常1）【分析】小圆盘扫出的面积为四分之一圆环和一个小圆的面积，12222(3.1463.144)3.14118.84(cm)4例3⑴如图，线段AB长10厘米，绕A点顺时针旋转90度，所形成的图形面积是多少？⑵如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ABC60，此时BC长5厘米．以点B为中心，将ABC顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．ECABD⑶如图，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积．(取3.14)ADBC第11级下超常体系教师版5\n⑷一段曲线连着折线，绕着一点A旋转一周360°，已知图形上最近的点距离旋转点3cm，最远的点距离5cm，此曲线扫过的面积为多少？A⑸如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积．ABDC（学案对应：带号1）【分析】⑴线段AB绕A点顺时针旋转90度，所得图形为扇形，如下图所示，扇形的圆心角为9090度，圆周半径为10厘米，面积为100π×=25π=78.5（平方厘米）360⑵注意分割、平移、补齐．E(1)C(2)ABD如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，因为EBD60，那么ABE120，1122则阴影部分为一圆环的．即3.14(105)78.5（平方厘米）33⑶如下图所示，6第11级下超常体系教师版\n第六讲A''DADAD''A'A'B'B'B''BCD'BCD'如下图所示，端点A扫过的轨迹为AAA，端点D扫过轨迹为DDD，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，AD所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然,有阴影部分面积为SSSS,而直角三角形ADC、ACD面直角ADC扇形ACA直角ACD扇形CDD积相等．SSSS=SS直角ADC扇形ACA直角ACD扇形CDD扇形ACA扇形CDD902902229=ACCD(54)7.065(平方厘米)36036044即AD边扫过部分的面积为7.065平方厘米．22⑷最后扫过的是一个圆环，面积为3.14(53)50.24（cm²）。1⑸容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的，如图：4A'ABDCB'9π因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为．42、研究AB边的情况．在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：第11级下超常体系教师版7\nA'ABDCB'下面来求这部分的面积．观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形ACA'面积＋三角形ABC''面积－三角形ABC面积－扇形BCB'面积＝扇形ACA'面225π3π积－扇形BCB'面积4π443、研究AD边扫过的图形．由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如图阴影部分所示：A'ABDCB'225π4π9用与前面同样的方法可以求出面积为：π444旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．例4一个长方形的长是5厘米，宽是2厘米，以其中的一条边为轴旋转一周，可以得到一个圆柱，圆柱体积最大是多少立方厘米?(π取3.14)2【分析】以5为半径，高为2的圆柱体体积为5250，以2为半径，高为5的圆柱体体2积为2520，所以圆柱体积最大是50157（立方厘米）8第11级下超常体系教师版\n第六讲椭圆的画法椭圆规是一种古老的绘画椭圆的简易工具。常见的椭圆规由有十字形滑槽的底板和旋杆组成，在十字形滑槽上各装有一个活动滑表标。滑标下面有一根旋杆。此旋杆与纵横两个滑标连成一体。移动滑标，其下面的旋杆能作360°的旋动画出符合椭圆方程的椭圆。若在木板上隔一段距离钉两根钉子，再把一条绳子的两头分别系在钉子上，用笔绷紧绳子绕一圈，画出的轨迹也是椭圆。科技馆的椭圆规例5已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，分别以这三边为轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？（π取3.14）【分析】以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm，高是3cm的圆锥体，体积为1233.144350.24(cm)3以4cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm，高是4cm的圆锥体，体积为1233.143437.68(cm)3以5cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3452.4cm，高之和是1235cm的两个圆锥的组合体，体积为3.142.4530.144(cm)3例6一个长方形的长为16厘米，宽为12厘米．以它的一条对角线为轴旋转此长方形，得到一个旋转体．求这个旋转体的体积．（结果中保留π，即不用近似值代替π．）第11级下超常体系教师版9\nABMEOFNDC（学案对应：超常2，带号2）【分析】如图先找到长方形的对称中心O,可以想象对角线左边三角形旋转是两个圆锥对起来，右边的也是，但是半径大的圆锥把半径小的圆锥给覆盖了，由于OEOF,左边的三角形，OE的下半部分被右边的覆盖，因此上边部分就是四边形ABEO旋转而成的立体图形，下边的是四边形CDFO旋转而成，上下的体积相同，因此体积为1212122[BMAM(BMMCEOOC)]333112162112162122[()7.2(()(207.2)7.510)]3203203853.8(立方厘米)例7如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置．求点A走过的路程的长．A1A2ⅠⅡⅢⅣⅠⅢⅣⅡABCDEABCDE（学案对应：超常3，带号3）【分析】因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．这三段路程分别是：1第1段是弧AA，它的长度是2π4(cm)；141第2段是弧AA，它的长度是2π5(cm)；1241第3段是弧AE2，它的长度是2π3(cm)；4111所以A点走过的路程长为：2π42π52π36π(cm)．44410第11级下超常体系教师版\n第六讲例8正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)BACBA（学案对应：超常4，带号4）【分析】如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120的圆弧，所以路线的总长度为：1202π628π（厘米）；360三角形在滚动过程中扫过的图形为两个120的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积2120为：π621524π15（平方厘米）．360如图，两条直线相交于点O。△ABC的顶点A在其中一条直线上，顶点B在另一条直线上。如果保持△ABC的各边边长不变，让点A和点B在所在直线上滑动，那么点C描绘出来的轨迹是一个什么样的图形？答案：一个椭圆。第11级下超常体系教师版11\n知识点总结1.线动成面一条线段绕固定点旋转一定的角度，只要找到线段距离固定点的最近点和最远点，然后绕固定点旋转画出图形即可2.面动成体长方形绕长或宽旋转所形成的图形是圆柱，直角三角形绕直角边旋转所形成的的图形是圆锥附加题1.如图1，一只羊被拴在一个长为4米，宽为3米的长方形的羊圈内，在B处有一个缺口，羊可以自由出入，拴绳长9米，那么羊能够到达的地方的面积约为平方米。(π取3.14，结果保留两位小数)【分析】首先在羊圈内，羊能到达羊圈中3×4=12平方米的所有空间，在羊圈外，根据勾股定理求出，羊圈的对角线长为5米，所以拴绳可以从B处穿出的长度最多有4米，所以羊圈以外的部分可以看作半径为4米的四分之三圆和一个半径为1米的四分之一圆，如图2所示∶21231S=43+π1π41212π=50.46550.47(平方米)。4442.如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)．B'60AB【分析】面积圆心角为60的扇形面积半圆空白部分面积(也是半圆)圆心角为60的扇形面60232积π3π4.5(cm)．360212第11级下超常体系教师版\n第六讲3.如图所示，将一块边长为8cm的方形木块涂黑后固定在桌上。将另一块大小相等的方木块涂白后靠着黑木块放在桌上，在白木块上有一点P，分别距白木块的边缘2cm和6cm。白木块不转变方向，并且与黑木块总是保持接触，白木块绕黑木块滑行一周后，请问P点移动的路程是多少厘米？【分析】P点移动的轨迹如图所示。正好是一个边长为2＋8＋6=16（cm）的正方形。因此，P点移动的路程为：16×4=64（cm）。4.有一椭圆形家具平放在客厅，其最长的部分为AB，长度为6m。小明将它以A点为轴，把整个家具逆时针旋转60，此时B点移动到B。请问此家具下缘扫过的面积（即为阴影部分）为多少？（取π3.14）【分析】如图所示，此家具所扫过的部分即为阴影部分，且可观察出区域X与区域Y的面积一样，602故所求面积即为扇形之面积3.14663.14618.84m。360家庭作业1.一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)3【分析】如图所示，狗活动的范围是一个半径4m，圆心角300°的扇形与两个半径1m，圆心角120°2的扇形之和．所以答案是43.96m．第11级下超常体系教师版13\n2.如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3)AOA'【分析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边OA．1因此可以求得，三角形扫过的面积为：24π10102425π99(平方厘米)．43.(2008年“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC中，B为直角，且BC2厘米，AC4厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为．(π3.14)AAB'BCBCA'【分析】如右上图所示，假设ABC旋转120到达ABC''的位置．阴影部分为AB边扫过的图形．从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形ACA'的面积与ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形BCB'的面积与ABC''的面积，由于ABC的面积与ABC''的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形12021202ACA'与扇形BCB'的面积之差，为π4π24π12.56(平方厘米)．3603604.(2006年希望杯第四届六年级一试)如图，从正方形ABCD上截去长方形DEFG，其中AB=111厘米，DE=厘米，DG=厘米。将ABCGFE以GC边为轴旋转一周，所得几何体的表面23积是________平方厘米，体积是________立方厘米。(结果用π表示)EDAFGBC14第11级下超常体系教师版\n第六讲1【分析】经过旋转之后我们可以得到一个挖去一个半径为小圆柱体的柱体，其表面积为22112112111×2×π+2×π×1+×π=4π，其体积为1×π×1-×π×（）=π。3332125.如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？BCA2abπ【分析】设BCa，ACb，那么以BC边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为，以AC边32abπ为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，由此可得到两条等式：32ab48b4a3，两条等式相除得到，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到，2ab36a3b4根据勾股定理，直角三角形的斜边AB的长度为5，那么斜边上的高为2.4．如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底22.4π5面半径为2.4，高的和为5，所以体积是9.6π．36.如图，ABCD是矩形，BC6cm，AB10cm，对角线AC、BD相交O．E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)AEDAEDOOBFCBFC【分析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．12两个圆锥的体积之和为2π3530π90(立方厘米)；32圆柱的体积为π310270(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为27090180(立方厘米)．7.（2008年第9届中环杯5年级初赛第6题）某人从某点向前走16米，原地向右转18，再向前走16米，再向右转18……这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了米。第11级下超常体系教师版15\n【分析】这个人每次走相同的长度之后右转18，那么如果他要回到出发点，至少需要转360，也就是转3601820次，期间一共走了2016320米。实际上，由于多边形外角和是360，这个人走的轨迹构成一个正20边形。8.直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B，C点；再绕B111点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C点分别到达A，C点．求C点经C到C走过的路径的12212长．A2BC1Ⅲ60Ⅰ30ⅡCAB1C2180305【分析】由于BC为AC的一半，所以CAB30，则弧CC为大圆周长的，弧CC112360121为小圆周长的，而CCCC即为C点经C到C的路径，所以C点经C到C走过的路11212124515065径的长为2π202π10π5ππ(厘米)．12433超常班学案【超常班学案1】如图，在一个长为60厘米，宽为30厘米的长方形黑板上涂满白色，现有一块长为l0厘米的长方形黑板擦，用它在黑板内紧紧沿着黑板的边平行移动擦黑板一周(黑板擦不旋转)，如果黑板擦没有擦到部分的面积恰好是黑板面积的一半，那么这个黑板擦的宽是多少厘米？【分析】如图所示，黑板擦擦过的轨迹为一个方框。图中小长方形的面积为大长方形面积的一半.S小长方形=S大长方形÷2=60×30÷2=900（平方厘米）,小长方形的长为：60-10×2=40（厘米），所以小长方形的宽为：900÷40=22.5（厘米），黑板擦的宽为：（30-22.5）÷2=3.75（厘米）16第11级下超常体系教师版\n第六讲【超常班学案2】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD是矩形，BC6cm，AB10cm，对角线AC、BD相交O．图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？ADOBC【分析】设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V，则V等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥，减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积后得到．1212所以，Vπ6102π3590π(立方厘米)，33那么阴影部分扫出的立体的体积是2V180π540(立方厘米)．【超常班学案3】若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈共需多少个正五边形．COBDA【分析】如图所示，设O为圆心，A、B、C、D为五边形的顶点，连接OA、OB、OC.从图中可以看出，△OAB和△OBC是完全相同的，所以OBAOBC，又五边形内角和为540°，所以正五边形的每个内角都为540°5108°，即ABDCBD108°，那么ABC3601082144,则OBA144°272°，又OABOBA，所以AOB18072236.所以要用360°36°10个正五边形才能围成一圈.【超常班学案4】如图，将边长为1的正三角形Ⅰ放在一条直线上，让三角形绕顶点C顺时针转动到达Ⅱ，再继续这样转动到达Ⅲ，则A点走过的路程的长．BBIIIIIIIIIIIIACAC【分析】图中圆弧即为A点走过的路程，分为两段，均为圆心角为120、半径为1的扇形的圆弧．两12044π个扇形圆弧长之和2π12π，即A点走过的路程的长是．36033第11级下超常体系教师版17\n123班学案【123班学案1】（2006年数学解题能力高年级初试8题）如下图，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C点为圆点，顺时针旋转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是平方米。（=3.14）【分析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。rrr111122221因为rr1，所以r。221212211所求面积为111r0.6775（平方米）424428【123班学案2】如图，直角梯形ABCD中，∠ADB=45°，∠BDC=90°，BD=10cm，梯形绕CD所在的直线旋转一周所得到的旋转体的体积是多少？AD45°BC【分析】延长BA，CD交于M点，如下图MNAD45°BC围绕CD所在直线，得到两个圆锥，一个向上，一个向下。又有∠C=45°。可知上下两个相18第11级下超常体系教师版\n第六讲同大小的圆锥。圆锥的底面就是以BD为半径的圆，高是MD=BD=10cm。三角形MBC围1200022绕MC旋转一周得到的旋转体体积是V21010cm同样的方法可以332502得到MAD围绕MC旋转一周得到的旋转体体积是cm。二者的差就是梯形旋转得到317502的体积，也就是cm3【123班学案3】正方形边长为acm，对角线长度记作bcm，在其无滑动的滚动一圈的过程中，顶点A走过的轨迹是多长？A【分析】转动一圈的过程如下图所示A1A3AA2中间当A作为轴的时候，没有动，所以共三条曲线；但是注意第一段的轨迹，半径不同此处为b，角度是90°。111轨迹长度：2b22aba442【123班学案4】先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲边三角形(如左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？(π3.14)A222BC【分析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才能实施具体的计算．第11级下超常体系教师版19\n22222AC22222B2图⑴图⑵22D2AC22222B2AC222B22D'22图⑶图⑷在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同．为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以A为圆心、2cm为半径、圆心角为60°的扇形．在顶点A、B、C处各有这样的一个扇形；第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边AB上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图⑶中D点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可知此时圆心D运动的轨迹是图⑶中的弧DD'，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、4cm为半径、圆心角为60°的扇形减去半径为2cm的60°的扇形；综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．2602602602滚动时经过的面积是：3π23π4π28π25.12(cm)．36036036020第11级下超常体系教师版