第10讲第十讲变速问题知识站牌六年级寒假六年级秋季行程模块综合选讲变速问题六年级暑期多次相遇与追及五年级春季比例法解行程五年级寒假时钟问题利用正反比例解行程问题，体会比例法在解决速度变化问题方面的技巧漫画释义第11级下超常体系教师版1教学目标1.掌握正反比例在解变速问题上的技巧2.寻找题中的不变量，利用不变量进行解题课堂引入大家都知道龟兔赛跑的故事吧，小兔输了比赛的原因就是因为睡觉，导致自己很快的速度变为0，结果让乌龟超过了自己，我们日常生活中这种问题是很多的，为了避免重蹈兔子失败的覆辙，我们要认真来研究这类问题，找到兔子睡觉的最佳时间，且保证乌龟追不上它。这就是我们今天要学习的变速问题！知识点回顾1.两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？【分析】根据题意列综合算式得到：33008283155（分钟），所以两个人还需要5分钟相遇。2.客车和货车同时从甲、乙两地的中点向相反方向行驶，5小时后，客车到达甲地，货车离乙地还有60千米，已知货车和客车的速度比是5:7，求甲、乙两地相距多少千米.【分析】甲、乙两地相距60(75)72420千米3.昊昊、铮铮两人同时从A地出发前往B地，昊昊每分钟走80米，铮铮每分钟走60米。昊昊到达B地后，休息了半个小时，然后返回A地，昊昊离开B地15分钟后与正向B地行走的铮铮相遇。A、B两地相距_____________米。【分析】设铮铮从出发到与昊昊相遇共行了x分钟，则昊昊行了（x30）分钟。60x158080(x3015)480020xx240所以A、B两地相距24060158015600米。2第11级下超常体系教师版第10讲4.设原来的速度为v，提速后的速度为v，以原速度行驶用的时间为t，提高后的速度行121驶用的时间为t.2①同样的路程，提速20％，则vv:____，tt:，若两次相差1小时，则原来用1212____小时，现在用____小时．②同样的路程，减速20％，则vv1:2____，tt1:2____，若两次相差1小时，则原来用____小时，现在用____小时．【分析】①vv:5:6tt:6:56,512，12，②vv:5:4tt:4:54,512，12，5.①8点出发，原定13点到达，出发后车速提高了25％，现在____点到达．②从北京到G城的特别快车在2000年10月前需要12.6小时，后提速20%.问：提速后，北京到G城的特别快车要用小时.【分析】①因为vv:4:5，则tt:5:4，根据题意t5，所以t4，因此是12点到达121212②根据题意提速前后速度比为5:6，由于路程不变，所以提速前后所用时间比为6:5，所以提速后用时为12.66510.5（小时）经典精讲变速问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点：算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．例题思路模块一：基本的变速问题第11级下超常体系教师版3例1：平均速度的变速问题例2：上下坡变速问题例3、路程相同的变速问题模块二：路程为不变量的变速问题例4、例5模块三：环形跑道上的变速问题例6、例7、例8例1甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？（学案对应：超常1）【分析】方法一：由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)÷2=70米．这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米．而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米．这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷70=96分钟．由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720÷2=3360米．则前一个3360米用了3360÷80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟．方法二：设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720，解方程得：x=48分钟，因为80×48=3840（米），大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3360÷80=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟）.评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别．在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的．其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算是简单的．因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的．例2从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米．某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度．（学案对应：带号1）【分析】（方法一）设A、C之间的路程为x千米，自行车上坡速度为每小时y千米，则C、B之间的路程为(20x)千米，自行车下坡速度为每小时2y千米．依题意得：4第11级下超常体系教师版第10讲x20x2y2y，20xx31y2y420203两式相加，得：21，解得y8；代入得x12．y2y4故A、C之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米．33方法二：整体考虑某人从A到B，再返回A,共用时间213（小时），而上坡和下坡44325各行了20千米，下坡时的速度是上坡时速度的2倍，所以上坡时间为3（小时），41225上坡速度为208（千米/时），下坡速度为8216（千米/时），假设法求得AC间路程233所用时间为(16220)(168)（小时），所以AC间的路程为812（千米）22例3王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。因途中有2千米正在修路，只好推车步行，步行速1度只有骑车速度的，结果这天用了36分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？3（学案对应：带号2）【分析】途中有2千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用362016分钟，由于在别的路段1上还是骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的2千米上．由于步行速度是汽车速度的，3所以步行2千米所用的时间是骑车2千米所用时间的3倍，多用了2倍，这个多出来的时间就是16分钟，所以骑车2千米需要1628分钟．由于8分钟可以骑2千米，而王刚平时骑车20分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为2(208)5千米．例4一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【分析】车速提高20%，速度比是5:6，那么所用时间为原来的6:5，所以原定时间为6(65)6小时；如果按原速行驶一段距离后再提速30%，此时速度比为10:13，所用时间比为113:10，所以按原速度后面这段路程需要的时间为1(1310)134小时．所以前面按原315速度行使的时间为64小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全3355部路程的6318第11级下超常体系教师版5“1英里4分钟”的故事自古希腊设立“1英里比赛”的赛跑项目以来，人们一直试图在４分钟内跑完，甚至曾让狮子追赶奔跑者，但仍没突破。于是所有运动专家都断言：1英里4分钟是人类极限。然而，1954年5月6日，牛津大学医学院25岁的学生罗杰·班尼斯特，用3分59.4秒的时间突破了这一极限！帮助班尼斯特成功的教练，是伊利诺斯大学身体适应实验室主任库里顿博士。这位教练的方法是：把一英里分成4段，根据班尼斯特的体能算出通过每段的最短时间是58秒，然后在每段都设一个教练指引运动员：“太快了，放慢！”“提速，加油！”很多教练都借鉴了库里顿博士的方法，第二年就有37位选手突破了1英里4分钟！例5甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙距离A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？（学案对应：超常2）【分析】出发时，两车的速度之比为5:4，所以相遇以后两辆车的速度之比为5120%:4120%5:6，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5:4，所以相遇4后两辆车还需要行驶的路程之比为4:5，所以甲还需要行驶全部路程的，当甲行驶这段948481路程的同时，乙行驶了全程的56，距离A地还有1，所以A、B两915915451地相距10450千米．45例6（超常（1）~（4））⑴甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？⑵甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后甲比原来速度增加4米／秒，乙比原来速度减少4米／秒，结果都用25秒同时回到原地．求甲原来的速度．⑶（2009年第二届学而思杯五年级数学试题）A、B两地相距6000米，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发相向而行，结果在距B6第11级下超常体系教师版第10讲地2400米处相遇．如果乙的速度提高到原来的2.5倍，那么两人可提前9分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？⑷A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇．如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇．则A、B两地相距多少千米？⑸甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5时在途中相遇；如果他们每人每小时都比预定速度快1千米，则可在下午4时相遇；如果他们每人每小时都比预定速度慢1.5千米，则要在下午7时相遇，A、B两地的距离是千米．（学案对应：超常3）【分析】⑴甲、乙两人的速度和第一次为60÷6=10（千米／时），第二次为12（千米/时），故第二次出发后5时相遇。设甲第一次的速度为x千米／时，由两次相遇的地点相距1千米，有6x－5（x＋1）＝±1，解得x＝6或x＝4，即甲、乙二人的速度分别为6千米／时和4千米／时。⑵因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用25秒，则相遇前两人合跑一圈也用25秒．(法1)甲以原速V甲跑了25秒的路程与以V甲4的速度跑了25秒的路程之和等于400米，25V甲25V甲4400，解得V甲6米/秒．(法2)由跑同样一段路程所用的时间一样，得到V4V，即二者速度差为4；而二者速甲乙400度和为V甲V乙16，这是个典型的和差问题．可得V甲为：16426米/秒．25⑶第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙33的速度比为(60002400):24003:2，所以第一情况中相遇时甲走了全程的．325乙的速度提高到原来的2.5倍后，两人速度比为3:(22.5)3:5，根据时间一定，路程比33等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的．358两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走9分钟，所以甲的33速度为6000()9150(米/分)．58⑷因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的．在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5=2.5小时．甲每小时多走2千米，2.5小时就多走2×2.5=5千米，这5千米就是甲原来3-2.5=0.5小时走的，所以甲的速度是5÷0.5=10千米/时．在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5=3.5小时．乙每小时少走2千米，3.5小时就少走2×3.5=7千米，这7千米就是甲原来3.5－3=0.5第11级下超常体系教师版7小时走的，所以乙的速度就是7÷0.5=14千米/时．所以A、B两地的距离为（10＋14）×3=72千米．⑸设甲、乙两人的预定速度的和为每小时V千米．在预定速度下的相遇时间为t，由于三次所走的总路程相同，根据矩形图法，所以三个不同线型的长方形面积相同，列方程组3t2(V3)t10得2(t1)1V，解得V18，所以A、B两地的距离为1810180千米．t+2tt-1V-3VV+2例7如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%．结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B．如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？（学案对应：超常4，带号3）AB【分析】(法1)相遇后乙的速度提高20%，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后速度的比为1:(120%)5:6，所以所花时间的比为6:5，则甲从出发到相遇所用时间与从相遇点返回出发点所用时间的比也为6:5．设甲在相遇时跑了6个单位时间，则相遇后到跑回A点用了5个单位时间．设甲原来每单位时间跑的路程为S，由题意得：甲6S甲5S甲125%490，解得S甲40．相遇时甲跑的路程为406240米，所以每单位时间乙跑的路程为100490502406米．3100那么速度变化后，甲、乙的速度比为40125%:120%50:405:4．3从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，所以甲一共跑了8第11级下超常体系教师版第10讲490(54)52402690(米)．(法2)设相遇处为C点．因为甲前后速度比为1:125%4:5，乙前后速度比为1:120%5:6，所以，乙先后在BC段的时间比为6:5，也即甲先后两段路程AC与CA所用的时间比也是6:5，则甲所行AC段路程与CA段路程之比为(46):(55)24:25．所以，CA的路程为490242525250(米)，BC的路程为25050200(米)．所以，速度变化后，甲、乙两人的速度分别为：甲：250550(米/单位时间)；乙：200540(米/单位时间)．则甲追上乙需要的时间为：49050504044(单位时间)．所以，甲一共跑了50444902690(米)．例8圆形跑道的35%是平路，65%则设置了跨栏（如图中的粗线部分）。甲、乙两人的平路速度分别为5米/秒，7米/秒,跨栏速度分别是4米/秒，3米/秒。第一次两人A点出发逆时针跑，甲先跑了6秒钟，然后乙再出发。结果两人在跑第一圈的时候相遇了两次，且两次相遇的间隔为13秒。问：(1)跑道总长为多少米？(2)如果两人从A点出发顺时针方向跑，而且在跑第一圈的时候也相遇了两次，且两次相遇时间的间隔为39秒，那么甲和乙应该谁先跑，先跑多少秒？（学案对应：带号4）A【分析】(1)由于一圈内相遇两次，所以第一次相遇地点应在平路上，第二次相遇地点应在跨栏处，两人在两个相遇地点间走的路程相同、时间相同，只是在平路和跨栏处所用的时间不同，甲乙在平路上用的时间比为7:5（差两份），甲乙在跨栏处时间比3:46:8（也差两份），7所以甲在平路上用的时间为137秒，因此甲在平路上共用的时间为7665(75)6728所以平路长度为528140（米），跑道总长为14035%400（米）6(2)肯定是乙先出发，同理可知甲在跨栏处用的时间为3918秒，因此甲在第一次相762遇前走的路程为400140418188（米），乙早出发了1883188415（秒）3第11级下超常体系教师版9阿基里斯悖论公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：让乌龟在阿基里斯前面1000米处起跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为0.1t,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为0.01t，乌龟仍然前于他1米……这样下去，芝诺认为阿基里斯可以不断逼近乌龟却永远不能超越它。但是，生活经验告诉我们阿基里斯一定能超过乌龟，那么你能说出芝诺上面的解释在哪里出现了问题吗？思考题1.红太狼和灰太狼同时从“野猪林”出发，到“天堂镇”。红太狼一半路程溜达，一半路程奔跑。灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑。如果它们溜达的速度相同，奔跑的速度也相同，则先到“天堂镇”是_________.【分析】灰太郎2.如图，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C1的距离是B至C距离的．当小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是5多少千米?41【分析】BE是BC的，CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也55就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B1第11级下超常体系教师版第10讲到G．小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．6因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷1=18(分钟)．4因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟．从A至B下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；65A至D全程长是(36+54)×+30×=11.5千米．60603.一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。求甲、乙两地的距离。55【分析】时间与速度成反比，车速提高20%，所用时间为原来的，原来需要116（时）。6610同理，车速提高了30%，所用时间是原来的。因为提前1小时到达，所以车速提高后的13101313这段路原来用11（时）。甲、乙两地相距10066360（千米）13334.如图所示，有A、B、C、D四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路AB、BC、CD上，汽车行驶的最高时速限制分别是120千米、40千米和60千米。一辆大巴车从A景点出发驶向D景点，到达D点后立刻返回；一辆中巴同时从D点出发，驶向B点。两车相遇在C景点，而当中巴到达B点时，大巴又回到了C点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了12.5%，求大巴客车的最高时速。ABCD【分析】由于AB、BC、CD三段公路等长，不妨设ABBCCD60千米，大巴从C→D→C用602602（小时），此时中巴从C→B，速度为60230（千米/小时），所以中巴从80809D→C的速度为30(112.5%)（千米/小时），用时为60（小时），这也是大3343巴从A→B→C用的时间．大巴在BC上最少用6040（小时），所以大巴在AB上最29333多用（小时）．大巴的最高时速为6080（千米）．4244第11级下超常体系教师版15.一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行，甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点10厘米处与甲第一次迎面相遇．则乙爬虫原来的速度是．【分析】离出发点10厘米有甲爬行10厘米、701060厘米、7010三种情况5①当甲爬行10厘米时，甲所用时间为104（秒），乙虫在整个爬行过程中分为两个阶2段，第一阶段，以原速爬行了15厘米，第二阶段，以原速的2倍爬行了15105厘米，31这两个阶段的速度比为1:2，路程比为15:53:1，则两个阶段所用时间的比为:6:1。12561515于是第一阶段乙用了秒，乙爬虫原来的速度为157厘米/秒。26177②当甲爬行60厘米时，甲所用时间为60415（秒），乙虫在整个爬行过程中分为两个阶段，第一阶段，以原速爬行了15厘米，第二阶段，以原速的2倍爬行了151025厘米，这两个阶段的速度比为1:2，路程比为15:253:5，则两个阶段所用时间的比为356909011:6:5。于是第一阶段乙用了15秒，乙爬虫原来的速度为15厘米125611116/秒。③当甲爬行80厘米时，甲所用时间为80420（秒），乙虫在整个爬行过程中分为两个阶段，第一阶段，以原速爬行了15厘米，第二阶段，以原速的2倍爬行了15105厘米，31这两个阶段的速度比为1:2，路程比为15:53:1，则两个阶段所用时间的比为:6:1。1261201207于是第一阶段乙用了20秒，乙爬虫原来的速度为15厘米/秒。617786.（2013年第十八届决赛B卷）甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行驶60千米，两车分别到达B地和A地后，立即返回。返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车速度不变。已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A,B两地的距离为千米。【分析】根据题意甲乙的速度比是40:602:3，因此相同时间内甲乙路程比也是2:3，因此第一次相遇时，甲走2份，乙走3份，甲到B地时，乙走了5237.5份，距B地还有1107.52.5份，此时甲乙速度比为2(1):31:1，因此甲乙再各走1.25份相遇，因21000此A,B两地的距离为50(0.51.25)5（千米）71220.51.251.253AB7.丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的N10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按次遥1第11级下超常体系教师版第10讲控器。【分析】乐乐的玩具甲虫跑完全程需要4002020分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要4040030分钟，乐乐要想取胜，就必须使丁丁的玩具甲虫因倒退所耽误的总时间超过3402020分钟．乐乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的1分钟及跑完这133分钟倒退路程所花费的时间，为110%11.1分钟；乐乐第二次按遥控器后，丁丁耽误的时间为120%11.2分钟；……乐乐第n次按遥控器后，丁丁耽误的时间为2021n10%110.1n分钟．所以相当于要使1.11.21.3大于6，由于33221.11.21.31.41.56.56，而1.11.21.31.41.51.68.16，所以乐乐要想33取胜，至少要按6次遥控器．知识点总结⑴当时间相同即T甲T乙时，有S甲:S乙V甲:V乙；⑵当速度相同即V甲V乙时，S甲:S乙T甲:T乙；⑶当路程相同即S甲S乙时，V甲:V乙T乙:T甲．⑷没有相同量时例如：如果V:V3:5，T:T7:4，那么S:S(37):(54)21:20甲乙甲乙甲乙家庭作业1.甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米．问他走后一半路程用了多少分钟？【分析】方法一：全程的平均速度是每分钟（8070）275（米），走完全程的时间是60007580（分钟），走前一半路程速度一定是80米，时间是30008037.5（分钟），后一半路程时间是8037.542.5（分钟）．方法二：设走一半路程时间是x分钟，则80x70x61000，解得x40（分钟），因为80403200（米），大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是30008037.5（分钟），后一半路程时间是40（4037.5）42.5（分钟）．第11级下超常体系教师版12.游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行400米，下坡每分行600米。已知从A点到B点需3.7分，从B点到A点只需2.5分。问：AC比BC长多少米？【分析】取AD等于BC（见下图）。因为从A到B与从B到A，走AD与BC两段路所用的时间和DCDC相同，所以D到C比C到D多用3.7－2.5＝1.2（分），即1.2.由此解得400600111DC12121440米40060012003.放学后兄弟二人都要从学校去奶奶家，弟弟先行5分钟，哥哥出发后25分钟追上了弟弟.如果哥哥每分钟多行15米，那么出发后20分钟可以追上弟弟.则弟弟每分钟行多少米？【分析】根据题意，哥哥提速前后，两人所走的路程相同，因此哥哥、弟弟的速度比和时间比成反比，所以哥哥提速前，哥哥与弟弟的速度比是(255):256:524:20，哥哥提速后，哥哥与弟弟的速度比是(205):205:425:20，弟弟每分钟行15(2524)20300（米）4.（2011年西安某高新一中入学数学真卷）1汽车从A地开往B地，若将车速提高，可比预定时间提前20分钟赶到；若按原计划行61驶72千米后，再将车速提高，就可比原定计划提前30分钟到达，求A、B两地间的距3离是多少？1【分析】车速提高，速度比是6:7，那么所用时间为原来的7:6，所以原定时间为6120(76)7140分钟；如果按原速行驶72千米后再提速，此时速度比为3:4，所3用时间比为4:3，所以按原速度后面这段路程需要的时间为30(43)4120分钟．所以前面按原速度行使的时间为14012020分钟，因此A、B两地间的距离是7220140504千米5.如图，甲、乙分别从A、C两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为5:4，相遇于B地后，甲继续以原来的速度向C地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇1前降低，这样当乙回到C地时，甲恰好到达离C地18千米的D处，那么A、C两地之间5的距离是__________千米。ABCD1第11级下超常体系教师版第10讲4【分析】由于甲、乙的速度之比为5:4，所以，ABBC:5:4，乙调头后的速度为原来速度的，54所以乙调头后两人速度之比为5:(4)25:16，而乙回到C地时甲恰好到达D处，所以5169BDBC:25:16，即BCCD，则ACBC4CD72（千米），即A、C两地之间94的距离为72千米．6.甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。【分析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用24秒，则相遇前两人合跑一圈也用24秒。以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以（V+2）1跑了24秒的路程之和等于400米，24V+24（V+2）=400易得V=7米/秒37.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的211.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了；乙跑第二圈时速度提高了．已知沿跑道看从甲、335乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?【分析】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二12圈的速度为.如下图：532第一次相遇地点逆时针方向距出发点的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了的跑53112道长度.在乙接下来跑了跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了24圈．所以还剩下333112112121的跑道长度，甲以4的速度，乙以的速度相对而跑，所以乙跑了43535581圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差8311919圈，所以，这条椭圆形跑道的长度为190400米．5840408.（2013“数学解题能力展示”六年级组初试）环形跑道的长为2013米，A、B是直径的两端.甲乙顺时针、丙逆时针同时从A点出发，甲每经过B点一次，速度就变为原来的2倍.已知乙丙第一次相遇时，甲恰好第一次回到A点；乙第一次回到A点时，甲恰好第二次回到A点.那么，当甲和丙第一次相遇时，丙走了多少米？第11级下超常体系教师版1【分析】假如甲不加速，换算一下乙丙相遇时甲的位置，甲应该跑了四分之三圈，所以速度方面甲：（乙+丙）=3:4；假如甲不加速，换算一下乙回到A时甲的位置，甲应该跑了一又八分之一圈，所以速度方面甲：乙=9:8；接下来就是化通比了，可以求出速度方面甲：乙：丙45=9:8:4，所以甲跑半圈时，丙跑了圈，两人还差圈，此时甲加速，甲：丙=18:4，18185454534丙应该跑了(圈)，再加上之前跑的(圈)，丙共跑了(圈)，18184991818991132013549故丙跑了(米).11超常班学案【超常班学案1】某学校运动会上，800米跑是既讲耐力又讲技术的一项比赛项目，A、B、C三位学生都有夺冠的希望，但由于他们使用的技术不同，得出了不同的效果，这项运动可分为三个阶段：第一阶段是起跑和慢加速阶段；第二阶段是全速前进阶段；第三阶段是全速冲刺阶段．假设全速前进阶段A、B、C三位同学的速度都是6米／秒，⑴若A、B、C三位同学花在慢加速阶段的时间都是12秒，而在这时间内他们分别跑了60米、54米和48米，问半分钟后他们的位置如何？⑵由于A在慢加速阶段加速太快引致30~48秒间呼吸不均匀造成速度下降到5米／秒，问1分钟时他们的位置关系如何？⑶三人都在最后80米处发起最后的冲刺，若此时A的速度为8米／秒，B的速度为6.4米／秒，最后夺冠的是C，问C最后冲刺阶段的速度至少是多少？【分析】⑴A：60+186=168米，B：54+186=162米，C：48+186=156米⑵A：60+186+185126330米，B：54486342米，C：48486336米⑶A到终点用时为60(720330)6808135秒，B到终点用时为60(720342)6806.4135.5秒,因此C只有超过A才能获得冠军，因此C到终点最多用时135秒，因此冲刺阶段最多用时13560(720336)611（秒），所以80C最后冲刺阶段的速度至少是8011（米/秒）11【超常班学案2】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2，设第一次相遇时甲、乙两人行的路程分别是3份，2份相遇后，甲、乙两人的速度比为3(120%):2(130%)18:13，到达B地时，即甲134又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是13:18，即乙的路程为21．乙18945从相遇后到达A还要行3份的路程，还剩下311(份)，正好还剩下14千米，所以1991第11级下超常体系教师版第10讲5份这样的路程是1419(千米)．A、B两地有这样的325(份)，因此A、B两地的总9路程为：9545(千米)【超常班学案3】环形场地的周长为1800米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速)，12分钟后相遇．如果每人每分钟多走25米，则相遇点与前次相差33米，求原来二人的速度．【分析】甲、乙原来的速度和为：180012150(米/分)，如果每人每分钟多走25米，现在的速度之和为：150252200(米/分)，现在相遇需要的时间为：18002009(分钟)．题目中说相遇点与前次相差33米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系．由于以原来的速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程12；提速后走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程9；故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比，甲比乙多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即为两次相遇点的距离33米．所以现在问题转化为：甲以原速度走12分钟走到某一处，现在甲以比原速度提高25米/分的速度走9分钟，走到距离前一处还有33米的地方，求甲的速度．所以，甲原来的速度为：(33259)(129)86(米/分)，乙原来的速度为：1508664(米/分)．【超常班学案4】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是米．ACB【分析】如图，设跑道周长为1，出发时甲速为2，则乙速为5．假设甲、乙从A点同时出发，按逆时针方向跑．由于出发时两者的速度比为2:5，乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此时甲跑25了1(52)2，乙跑了；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2(125%)2.5，33乙的速度变为5(120%)4，此时两者的速度比为2.5:45:8；乙要再追上甲一次，又55要比甲多跑1圈，则此次甲跑了1(85)5，这个就是甲从第一次相遇点跑到第二33次相遇点的路程．从环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可5251能是1个周长，又可能是2个周长．333321那么，这条环形跑道的周长可能为100150米或100300米．33第11级下超常体系教师版1123班学案【123班学案1】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快．两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰．那么甲回到出发点共用多少小时？【分析】（方法一）由第二个条件可以得到两人的速度之比：因为甲下山速度都是上山速度的1.5倍，111所以甲下到半山腰所用的时间等于爬山上到山顶时间的，所以甲上山所用的时21.5333间占上山并下到山腰所用时间的，即甲上山所花的时间等于乙上山所用的时间的1343，所以甲乙两人上山的速度之比为4:3，甲下山的速度和乙上山的速度之比为43141.5:32:1．当甲到达山顶时，乙爬了上山路程的，到两人相遇，乙又爬了剩下4411211路程的，此时乙距离山顶个路程，所以山顶到山脚的距离为600360012412661米，乙上山一小时行了360013000米，所以甲上山的速度为4000米/小时，下山6速度为6000米/小时，所以甲自出发到回到山脚共用1300060001.5小时．方法二：利用例3的解题思路，根据“当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰”，设甲从山顶行到半山腰路程为3份，相同时间内，如果甲以上山速度下山只能行2份，所以甲乙二人上山速度比为(332):(33)4:3，那么甲下山速度与乙上山速度比为(41.5):32:1，根据“两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇”，相同路程乙上山用1小时，那么甲下山用0.5小时，因此甲回到出发点共用10.51.5小时【123班学案2】（2008年学而思杯六年级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨7:40，欢欢从家出发骑车去学校，7:46追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是点分．【分析】欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，那么她调头后速度提高到原来的2倍，回到家所用的时间为3分钟，换衣服用时6分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了206365分钟，故她以原速度到达学校需要10分钟，最开始她追上贝贝用了6分钟，还剩下4分钟的路程，而这4分钟的路程贝贝走了14分钟，所以欢欢的6分钟路程贝贝要走146421分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21分钟，所以贝贝是7点25分出发的．【123班学案3】一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行，甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，甲爬行40厘米处与乙第一次相遇．则乙爬虫原来的速度是．1第11级下超常体系教师版第10讲A15cm30cmBC【分析】设A点是起始点，甲、乙二虫一开始都是顺时针爬行，乙爬行到B点后开始反向爬行，与甲虫在C点相遇。则AB15厘米，AC30厘米，ABC703040厘米，则甲从ABC所用时间为40410秒，甲、乙同时出发至相遇，则乙虫从ABAC所用时间也为10秒。乙虫在整个爬行过程中分为两个阶段，第一阶段，以原速爬行了15厘米（AB），第二阶段，以原速的2倍爬行了153045厘米（BAC），这两个阶段的速度比为1:2，13路程比为15:451:3，则两个阶段所用时间的比为:2:3。于是第一阶段乙从AB用122了104秒，乙爬虫原来的速度为1543.75厘米/秒。23【123班学案4】例8中所有数据都不变，如果两人从A点出发按顺时针方向跑，而且在跑第一圈的时候相遇两次，那么后跑的人最少晚出发几秒钟？【分析】要使晚出发的人走的时间最少，意味着第一次追上时路程差较小，那么第二次追上时的路程差最大，又要求在第一圈相遇两次，所以第二次相遇地点应在A点，那么两人都走了140米的平路，产生的时间差为140514078秒，甲乙在跨栏处时间比3:4(38):(48)，因此甲在在第一次相遇前走的路程为4001404(38)164（米），乙早出发了21643164413（秒）3第11级下超常体系教师版1