第14讲第十四讲算两次知识站牌六年级秋季六年级秋季算两次从极端考虑六年级秋季数形结合六年级暑期从整体考虑六年级暑期归纳与递推从多个方面考虑问题，进而说明一些问题的必然性和不可能性漫画释义第11级下超常体系教师版1\n教学目标1.理解算两次的数学思想2.会用算两次的数学思想说明一些问题的必然性和不可能性知识点回顾1.一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)302515【分析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积．1010酒的体积：15π375π221010瓶中剩余空间的体积(3025)π125π22酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)2.如图所示，圆圈中分别填入0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A与B的和是________．AB【分析】若每个正方形中数的和都是18，那么总和为54，而这10个数的和为45，其中A、B各多算了一次，故AB9．101010103.求数a的整数部分．100101102110【分析】这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和．要求a的整数部分，只要知道a在哪2第11级下超常体系教师版\n第14讲两个连续整数之间．1010因为a中的11个分数都不大于，不小于，100110101010101010所以111111010010110211010010101010即１1.1100101102110由此可知a的整数部分是1．4.有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【分析】如图：○○|○○○○|○○○○，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有98236种方法．课堂引入大家都听说过阿基米德测量皇冠体积的故事吧，阿基米德恰好是利用了水从一个容器倒入另一个容器的过程中形状可以改变，但体积不变，即水的体积用两个形状表示，从而将王冠的体积与容器中水的体积建立了等式，从而测出水王冠的体积，这就是我们今天要学习的一种重要思想：算两次，利用这一思想相信大家能解决漫画中薇儿的难题了吧。经典精讲算两次，顾名思义就是对同一个量从两个不同角度进行计算，对分别计算出的结果进行比较，从而得到某个新的结论.实际上，数学研究中有很大比例的定理就是利用算两次的思想得来的.而在竞赛中也有很多问题用到了算两次的思想.其中，在组合中算两次的思想用到的最多，而在代数、几何等问题中算两次思想也有比较多的应用.证明中也大量采用了算两次的思想，但通常要找一个载体，对这个载体从不同的方向考虑，最终得到不同的正确结论，因而建立了一个等式。例题思路一、几何方面的算两次例1：面积方面的算两次例2：面积等式的推导例3：完美图形上的应用第11级下超常体系教师版3\n例4：体积方面的算两次二、其他法方面的算两次例5：放缩上的算两次例6：反证法上的说理例7、例8：计数方面的算两次例1如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DGDE:1:2，BC12厘米，AH8厘米，求长方形的长和宽．AADMEDMEBGHFCBFCGH【分析】连接HD,HE,设长方形的长为2x厘米，宽为x厘米，一方面三角形的面积为128248，另一方面三角形的面积可以转化为S(SS),因此有四边形ADHE△DBH△HEC112424482482x12x48，解得x，所以长方形的长为2厘米，宽为厘米227777例2阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等22式，例如由图（a）可以得到a+3ab+2b=（a+2b）（a+b）．请解答下列问题：（1）写出图（b）中所表示的数学等式22（2）试画出一个长方形，使得计算它的面积能得到2a+3ab+b=（2a+b）（a+b）．22【分析】（1）由图形可知：2a+5ab+2b=（a+2b）（2a+b）；（2）4第11级下超常体系教师版\n第14讲例3意大利数学家斐德利哥(P．J．Federico)用很多块大大小小都不一样的正方形填满了一个矩形，他的办法被人称为“矩形的完全正方形分解”，前几年曾是图论领域里颇为轰动的一桩新闻。如下图，一个完美长方形内，放着九个正方形的纸片，其中正方形A和B的边长分别为4和7，那么长方形的面积是多少？（学案对应：超常1，带号1）【分析】设右上角正方形的边长为x，由题意，将各正方形的边长标在九个正方形上面，如右图所示。而中间小阴影正方形的边长为9x7x77，解得x15。所以长方形的长为xx333，宽为x3x132，长方形的面积为33321056。例4⑴输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？⑵一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？第11级下超常体系教师版5\n26⑶一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？⑷如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．（学案对应：带号2）20cm8cm100cm【分析】⑴100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.51230(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150(毫升)．⑵由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是3空余部分体积的623倍．所以酒精的体积为26.4π62.172立方厘米，而62.172立31方厘米62.172毫升0.062172升．⑶根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．(法1)：808(8016)6406410(厘米)；(法2)：设水面上升了x厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：80x16(8x)，解得：x2，8210(厘米)．(提问”圆柱高是15厘米”，和”高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？)22208⑷缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：ππ1008400π(立方厘米)，薄膜22展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为8400π0.04659400平方厘米65.94平方米．另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．22208由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为ππ84π(平方厘米)，展22开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π0.046594厘米，所以展开后薄膜的面积为6594100659400平方厘米65.94平方米．6第11级下超常体系教师版\n第14讲【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】8010(8016)12.5，因为12.512，所以此时水已淹没过铁块，8010(8016)1232，32800.4，所以现在水深为120.412.4厘米【拓展】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160立方厘米，铁块体积为1612192立方厘米，因为160192，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米总结铁块放入玻璃杯会出现三种情况①放入铁块后，水深不及铁块高.②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯，③水有溢出玻璃杯.阿基米德定律（Archimedeslaw）是物理学中力学的一条基本原理。浸在液体（或气体）里的物体受到竖直向上的浮力作用，浮力的大小等于被该物体排开的液体的重力关于浮力原理的发现，有这样一个故事：相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。但是在做好后，国王疑心工匠做的金冠并非全金，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重。工匠到底有没有私吞黄金呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。经一大臣建议，国王请来阿基米德检验。最初，阿基米德也是冥思苦想而却无计可施。一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起。他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着“尤里卡！尤里卡！”意思是“我知道了”。例5小张打算做一个两位数乘以三位数的乘法，但粗心的他在计算时遗留掉了乘号，从而将两位数直接放在三位数的左边，形成一个五位数，该五位数恰好为应得积的9倍，求原来的两个数的乘积。（学案对应：超常2）【分析】设两位数为x,三位数为y,依题意1000x+y=9xy,∴y=111+(x+y)/(9x）>111，(9y-1000)x=y,∴x=y/(9y-1000)>=10,∴y>=90y-10000,∴y<=10000/89<112.4,因y是整数，故y=112.x=112/(9*112-1000)=14,xy=1568,为所求。第11级下超常体系教师版7\n例6有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。（学案对应：超常3，带号3）【分析】如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为1+2+…+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。例7一个正方形的内部有n个点，以正方形的4个顶点和内部的n个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?（学案对应：超常4）【分析】方法一：归纳法如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀.方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+64=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．（建议老师重点讲方法二，此方法属于算两次）例8n012n试说明：2C+C+C++Cnnnn（学案对应：带号4）8第11级下超常体系教师版\n第14讲【分析】可以以数吃糖块为载体，假设小明有n1块糖，每天至少吃1块，n1天或n1天之内吃完，共有多少种吃法？将n1块糖排成一行，这样在n1块糖之间就产生了n个空隙．可以在这些空隙中插入竖线，如果一条竖线都没有插，就代表着1天把所有的糖吃完．如果每个空隙都插入竖线，就代表着每天吃一块糖，n1天吃完．一方面每个空隙都可以选择插或者不插，这样每一种插法都代表着一种吃法．由于每个空隙都有插或者不插两个选择，nn所以n个空隙就有2种插法，即n1块糖每天至少吃1块，一共有2种不同的吃法．令一方0面如果一天吃完，就是插0条竖线，共有C种放法；如果两天吃完，就是插1条竖线，共n1n有C种放法，以此类推如果n1天吃完，就是插n条竖线，共有C种放法。因此有nnn012n2C+C+C++Cnnnn64=65?错在哪里呢？数学上的视觉误导？首先用一条线将8X8=64的正方形分为两个长方形，一个是5X8的，一个是3X8的，然后将3X8的长方形用对角线平分为两个直角三角形，如图黄色所示。再将5X8的长方形分为两个相等的梯形，梯形的上底为3，下底为5，高为5。下面是转化过程。梯形的上底和小直角三角形的底结合，然后组成大的直角三角形，两个大直角三角形再组成大的长方形，这样长方形就是5X13=65的长方形了。由于重新拼的过程中没有加入什么新的东西，所以正方形和长方形的面积是相等的。由上面两段话可以得出一个8X8=64=65=5x13。【分析】拼接过程中的斜线不是对角线，会产生一些缝隙，我们的眼睛无法观察到思考题1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，求CD的长．第11级下超常体系教师版9\n11【分析】利用勾股定理易得AB=5,利用S△ABCACBCABCD22可得到CD=2.42.右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120平方厘米，求原长方形的长与宽．【分析】大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.51.52.25倍，所以小正方形面积为120(2.2523)16平方厘米，所以小正方形的边长为4厘米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4312厘米，宽为4610厘米．3.如图所示，在长方形中放入六个形状，大小相同的长方形，图中阴影部分的面积是多少？614【分析】为了便于观察，对图中长方形进行平移：661414观察图中长方形的长与宽，不难发现它们有下列关系：1个长+3个宽14，1个长1个宽6利用代入法可得：141个长3个宽1个宽63个宽所以：1个宽(146)(13)2，1个长268．可得长方形的面积(622)14140，阴影部分的总面积140628444.7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米?24【分析】由图可知，1个长4个宽，1个长2个宽24，也就是宽的6倍是24厘米，则长方形的1第11级下超常体系教师版\n第14讲宽是4厘米，故图中空白部分的面积是44232(平方厘米)．5.下图内9个相同的小长方形构成大长方形，当大长方形周长为90，则每个小长方形周长为．【分析】首先要分析出小长方形的：2个长3个宽所以大长方形的长为小长方形的3倍，大长方形的宽为小长方形的2倍，所以大方形的周长表示为小长方形的(32)210个长所以小长方形的长为90109，小长方形的宽为9236小长方形的周长为(96)2306.（第六届“从小爱数学”邀请赛决赛第8题）意大利数学家斐德利哥(P．J．Federico)用23块大大小小都不一样的正方形填满了长、宽之比正好等于1：2的矩形，他的办法被人称为“矩形的完全正方形分解”，前几年曾是图论领域里颇为轰动的一桩新闻．他的一位顽皮的小外甥问舅舅要去了答案，可是，小家伙漫不经心，竟把最重要的数据——每个正方形的边长——几乎统统忘得一千二净．幸好，舅舅的图形还在，不过基本上成了一个没有数据的空壳子．另外，他只记得图中有两个正方形的边长是4与8．当然，所有正方形的边长全部都是自然数．有没有办法把全部数据复原?(只需将正方形的边长填人图中相应的正方形内)48【分析】如图第11级下超常体系教师版1\n42728175192314159271481628222635460432624知识点总结1.cadb如图有：abcd2.说明一个等式要找到一个载体，从两个方面考虑，得到正确结论，进而说明等式家庭作业1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BC=5，AC=12，求CD的长．1第11级下超常体系教师版\n第14讲11【分析】利用勾股定理易得AB=13,利用SACBCABCD△ABC2260可得到CD=13222.试说明4xy(xy)(xy)【分析】如图，以这个图为载体，用两种不同思路求面积即可3.图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是1平方厘米，求原来长方形的面积．【分析】由于中央的小正方形的面积为1平方厘米，所以这个小正方形的边长为1厘米．为了求出长方形的面积，必须知道其它四个正方形的边长，这样就必须探究各个正方形边长之间的关系了．x+2x+3④③④③11⑤①②j⑤①②x+1xx如左上图所示，把其余5个正方形依次编号，那么①号与②号正方形大小、形状完全相同．不妨设①号正方形的边长为x，那么有：⑤号正方形的边长为x1，④号正方形的变成为(x2)；③号正方形边长为(x3)．另一方面，从右上图可以看出，③号正方形的边长也等于①号与②号正方形边长的和减去中央阴影正方形的边长1，即等于(xx1)．所以x3xx1，由此可得x4．原长方形的面积为：114444556677143（平方厘米）．4.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？2218050【分析】卷在一起时铜版纸的横截面的面积为ππ7475π(平方厘米)，如果将其22展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25毫米(即0.025厘米)，所以第11级下超常体系教师版1\n长为7475π0.025938860厘米9388.6米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米．本题也可设空心圆柱的高为h，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中h在计算过程将会消掉．5.有24个偶数的平均数，如果保留一位小数的得数是15.9，那么保留两位小数的得数是【分析】因为计算它们的平均数时，得数保留一位小数的得数是15.9，所以它们的平均数不小于15.85，小于15.95；所以它们的和不小于15.85×24=380.4，小于15.95×24=382.8．所以它们的和最大值是382，计算它们的平均数时，得数保留二位小数，所求数为382÷24≈15.92．6.如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。【分析】如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数之和为奇数，那么五条线上的红圈共有奇数个（包括重复的）。从另一个角度看，由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。7.一张正方形纸片上被针扎了2013个孔，这些孔和正方形顶点中任意三点都不共线。引若干条互不交叉的直线段，它们的端点都是这些孔或正方形的顶点，将这些正方形分割成一些三角形，并且这些三角形内部和边上都不再有孔。问一共引了多少条线段？共得到多少个三角形？【分析】2013个小孔和正方形的4个顶点共有2017个顶点．我们从两方面来计算所有三角形的内角和。设共分成了n个三角形，于是它们的内角和为180n．另一方面，这些三角形的内角的顶点都是2017个点中的点．换句话说，它们的内角都是由2017个点提供的．正方形的每个顶点都提供90度角，每个孔点则提供360度角．所以有36020133602014360，故得180n2014360．解得n4028，即共得到4028个三角形．这4028个三角形共有40283条边，其中有4条边是原正方形的4条边，不用另行引出．其他各边都是引出的线段，但每条线段恰为两个三角形的公共边，所以，引出的线段总数为(402834)26040．28.试说明C123nn1A1A2A3A4A5AnAn+1【分析】可以以数图中的线段为载体.如图：一方面两点确定一条线段，因此图中线段的条数与任意2选两点的方法数一一对应，因此共有C条线段，另一方面以A为顶点的线段有n条，以An112为线段的条数有n1条，因此一共有n(n1)321超常班学案1第11级下超常体系教师版\n第14讲【超常班学案1】用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球．如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．这个足球共有多少块白色皮块？【分析】设这个足球上共有x块白色皮块，则共有3x条边是黑白皮块共有的．另一方面，黑色皮块有32x块，共有5(32x)条边是黑白皮块共有的．由于在这个足球上黑白皮块共有的边是个定值，列得方程如下：3x5(32x)，解得x20．即这个足球上共有20块白色皮块．【超常班学案2】有34个偶数，如果保留一位小数是15.9，如果保留两位小数，得数最小是【分析】由于这个平均数保留一位小数是15.9，所以它至少应该是15.85，这34个数的和不小于15.8534538.9，而且和为偶数，所以最小为540，当和为540时，平均数为5403415.882，所以保留两位小数最小为15.88【超常班学案3】将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．【分析】如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的行与行之间的数目不同．那么红色最少也会占0+1+2+…+14=105个格子．同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：3×(0+l+2+…+14)=315个格子．但是，现在只有15×15=225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证【超常班学案4】在一个六边形纸片内有60个点，以这60个点和六边形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_______个．【分析】方法一：设正六边形内有n个点，当n1时有6个三角形，每增加一个点，就增加2个三角形，n个点最多能剪出62n12n2个三角形．n60时，可剪出124个三角形．方法二：设最多能剪出x个小三角形，则这些小三角形的内角和为180x．换一个角度看，汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为4180，故这些小三角形的内角总和为603604180．于是180x603604180，解得x124．123班学案【123班学案1】图中的三角形都是等边三角形，三角形A的边长是24.7，三角形B的边长是26．问：所夹三角形C的边长是多少?第11级下超常体系教师版1\nAACC2134BByx【分析】如图，设相应的三角形的边长是x和y，则可知：标号为1的三角形的边长是：26x标号为4的三角形的边长是：xy标号为3的三角形的边长是：yxy2yx最小的三角形的边长是：x26x2x26；标号为2的三角形的边长是：2yx2x262yx26或26x2x26523xxy24.7所以，y2x39x14.3解上述方程，，可以得到三角形C的边长是15.6．y10.4【123班学案2】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【分析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．因此，纸的长度：3.141023.14323.141009纸卷侧面积7143.5(厘米)纸的厚度0.040.04所以，这卷纸展开后大约71.4米．【123班学案3】将自然数1到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等．b18-b-cc18912-b12-c1143b+c-618-c-d7c+d-65612-dd61021第11级下超常体系教师版\n第14讲【分析】设左下角的数为a，每条直线上的三个数的和为S．由于这11个数的和为121166．从左下角引出的5条直线的总和为5S，其中左下角的数多计算了4次，则5S664a；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得4S66a．从而结合上面的两个式子可得S18，a6，即左下角的数为6，每条线上的数之和为18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b，c，d，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除6以外的10个数分别为：b，c，d，12b，12c，12d，18bc，18cd，bc6，cd6．由于18bc12c18cd18，得到b3cd30，即bd303c．所以，只要选取适当的b，c，d的值，使得上面的10个数各不相同即可．比如，选择c9，b1，d2，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出两种填法．11431125189110759736210684【123班学案4】mnr,,都是自然数，证明：范德蒙恒等式r0r1r12r2r0CCCCCCCCCnmnmnmnmnmr【分析】以从n位太太与m位先生中选出r个人的方法数为载体，一方面整体考虑共有C种选nm0r法，另一方面，如果r个人全选先生共有CC种选法；如果r个人选k位太太，rk位nmkrk0r1r12r2r0先生共有CC种选法；因此共有CCCCCCCC，综合以上两个nmnmnmnmnmr0r1r12r2r0方面有CCCCCCCCCnmnmnmnmnm第11级下超常体系教师版1