第二讲第二讲韩信点兵知识站牌六年级暑期六年级暑期数论中的计数数论中的最值六年级暑期韩信点兵五年级春季位值原理五年级春季同余理解“物不知数”的问题，并总结利用逐步满足法解决问题的相关技巧漫画释义第11级上超常体系教师版1\n课堂引入物不知数，意思为有一些物品，不知道有多少个．这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的．原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”通俗的说就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个．这些物品的数量至少是多少个？在我们的“数海拾贝”版块中给出了利用中国剩余定理解此题的方法，同样韩信也给了这题的另一个答案，就在我们的“数学游戏”版块中，但至于怎么算的，无法考究，不过学完本讲，你会发现解此题的最好最快的方法，你也会理解韩信说出另一个答案的真正道理．那就进入我们今天要学的课程吧．教学目标1.理解“物不知数”这类题目的实质2.灵活运用逐步满足法解决“物不知数”这类题目的相关技巧经典精讲在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．这样的问题，有人称为“韩信点兵”．它形成了一类问题，解这类问题的方法是由中国人首先提出的，所以被称为“中国剩余定理”．我们在解决类似“物不知其数”题，也就是找出一个数N，满足除以A余a,除以B余b,除以C余c．在解决这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余．例如AaBbd,则有Nd[,]ABn，而N的最小值是N[,]ABd;绝招二：加同补．例如：AaBbe;则有Ne[,]ABn，而N的最小值是N[,]ABe;绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．2第11级上超常体系教师版\n第二讲例题思路模块一：除数为两个的韩信点兵问题例1：余数相同例2：除数与余数和或差相同模块二：除数为三个的韩信点兵问题例3：其中有两个条件中除数与余数的差相同例4：其中有两个条件中除数与余数的和相同例5：没有两个条件的除数与余数的和或差相同例6：连续自然数分别是3个数的倍数问题模块三：除数为三个以上的韩信点兵问题例7：除数与余数的差相同例8.除数与余数的差或和无关系例1一个自然数除以4余3，除以7余3，问满足条件的两位数分别是多少？(学案对应：超常1)【分析】[4,7]331，[4,7]2359，[4,7]3387，例2一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？【分析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11813103，可知这个数加上3后就能同时被11和13整除，而11,13143，这个数又要在200以内，所以这个数是1433140．【巩固】（2005年第10届华杯赛初赛）不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学?【分析】此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5，减去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值．13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，13＋2×40＝93，为满足条件的整数，即最多有93名同学．例3一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为．（学案对应：超常2，带号1）【分析】我们观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以满足前两个条件的自然数为a835m，下一步只需要a除以9余4，35938，只需88m除以9余4，只需8m除以9余5，最小的m4，因此满足所有条件的最小自然数为8354148第11级上超常体系教师版3\n例4有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块．这堆糖至少有块．（学案对应：带号2）【分析】这堆水果糖的总数被8除余2，被9除余3，被10除余4．如果增加6块就刚好是8，9，10的公倍数，又8，9，10的最小公倍数是360．所以这堆水果糖至少有3606=354（块）．物不知数在中国古代著名数学著作《孙子算经》卷下第28题，叫做“物不知数”，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》做出了完整的解答．明朝数学家程大位有《孙子歌》如下三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知秦九韶解法，首先利用他发明的大衍求一术求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个70（这个称为35相对于3的数论倒数），3和7的最小公倍数21相对于5的数论倒数21，3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15．然后702213152233便是可能的解之一．它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23．例5一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（学案对应：超常3）【分析】方法一：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，…；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是依次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是10510521102．4第11级上超常体系教师版\n第二讲方法二：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余321，被5除与52，所以满足前面两个条件的a15m7(m为自然数)，只需15m7除以7余3，即15m除以7余3，而15721，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为315752，那么这个数在1000和1200之间，应该是10510521102．例6（2008年“奥数网杯”六年级试题）三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是．（学案对应：超常4，带号3）【分析】如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1和这个数加1，那么题目变为：一个数除以4余1，除以9余8，且能被7整除，且求这个数的最小可能值．这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，也可以采用中国剩余定理来解．方法一：逐步满足法．除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，；除以9余8的数有：8，17，26，．可见同时满足这两条的数最小为17，（备注：满足前两个条件的也可以用逐步满足法．如下：满足除以4余1的数是4n1再满足除以9余8：只需(4n1)9a8经尝试n4可见同时满足这两条的数最小为17）由于4,936，那么满足除以4余1且除以9余8的数为1736n，要求1736n能被7整除的最小n4，所以所求的3个连续自然数的中间的那个数最小为161，那么它们的和最小为1613483．方法二：代数表示法．根据题意，设这三个数分别为7k1、7k、7k1（k是整数），那么7k1是4的倍数，7k1是9的倍数，由于7k18kk1，7k19k2k1，所以k1是4的倍数，2k1是9的倍数，由k1是4的倍数知2k2是8的倍数，设2k19n，那么2k29n38nn3，所以n3是8的倍数，n最小为5，相应地k最小为23，那么这三个自然数的和最小为7233483．方法三：用不定方程来解．7b4a1⑴设这三个数分别为4a，7b，9c，那么．9c7b1⑵7b13b13b1由⑴得ab，所以是整数，b为3，7，11，15，19，23，；4447b12b12b1由⑵得cb，所以是整数，b为5，14，23，32，．999可见b最小为23，那么所求的三个自然数的和最小为7233483．方法四：中国剩余定理．一个数除以4余1，除以9余8，除以7余0，由于能被4、9整除且除以7余1的数最小为36，能被4、7整除且除以9余1的数最小为28，能被7、9整除且除以4余1的数最小为[7,9]3189，根据中国剩余定理，3602881891413满足除以4余1，除以9余8，除以7余0，而[4,7,9]252，所以413252161是满足条件的最小数，那么所求的三个自然数的和最小为1613483．第11级上超常体系教师版5\n例7（2008年走美杯5年级决赛）n除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，，除以16余15．n最小为．【分析】n加上1后变成116的公倍数，所以n1最小为169571113720720，n最小为720719．例8一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．（学案对应：带号4）【分析】法一：将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：5、7、11公倍数3、7、11公倍数3、5、11公倍数3、5、7公倍数3852311651057704623302101155693495315……………………除3余2的最小除5余3的最小除7余4的最小数是770值是693值是1653、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以21051050被11除余5，由此可知77069316510502678是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小于它们的最小公倍数．由于3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以267811552368是符合条件的最小值．法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到702213154263是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是263105253；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可知96327除以11的余数为5，所以531053368是满足条件的最小数．也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8，也就是除以3、5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为(3571)253，后面的步骤与上面的解法相同．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率领1500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”．于是士气大振．一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团．交战不久，楚军大败而逃．同学们你们知道韩信怎么算出1073的吗6第11级上超常体系教师版\n第二讲附加题1.一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现321527，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，3,5,11165，所以这个数最小是1657172．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，在7的基础上加上3，5，11的最小公倍数，得到172即为所求的数．2.三个连续偶数，从小到大依次是4、9、14的倍数，这三个连续偶数的和最小为多少？【分析】设最小的偶数为x,则有：x4a0x4a0(x2)9b0，即x9b17，满足前两个条件的所有数是1636n，(x4)14c0x14c110只需(1636)14nc10，即(28)14nc10，因此n1，所以最小的偶数是52，12那么三个连续偶数的和最小为162．3.有连续的三个自然数a、a1、a2，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？【分析】法一：由a1是8的倍数，得到a被8除余7，由a2是7的倍数，得到a被7除余5，现在相当于一个数a除以9余0，除以8余7，除以7余5.运用中国剩余定理求a(用逐步满足的方法也可以)：7和87和98和9的公倍数的公倍数的公倍数566372112126144168189216224252288280315378441………………7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8余1的最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，根据中国剩余定理，2800441728854527符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知45277898495是满足各个余数条件的最小值，所以a至少是495．法二：仔细观察，可知由于a、a1、a2恰好分别是9、8、7的倍数，那么a9、a18、a27也分别是9、8、7的倍数，即a9是9、8、7的公倍数，那么a9的最小值是987504，即a至少是5049495．第11级上超常体系教师版7\n4.有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n1，n2．依题意可知：15|n，17|n1，19|n2，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15|n15|2n15|2n1517|n117|2n217|2n15[15,17,19]|2n1519|n219|2n419|2n15从上面可以发现2n15应为15、17、19的公倍数．由于[15,17,19]4845，所以2n1548452k1(因为2n15是奇数)，可得n4845k2415．当k1时n2430，n12431，n22432，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432．5.有5000多根牙签，可按六种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根；如果9根一包，那么最后还剩8根．第三、四、五、六种的规格是，分别以8、7、6、5根为一包，那么最后也分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签根．【分析】设原有牙签x根，如果添加1根牙签，那么按六种规格分成小包时都恰好每包装满且无剩余，即(x1)是5、6、7、8、9、10的公倍数．于是(x1)是5、6、7、8、9、10的最小公倍数的倍数．容易得到5、6、7、8、9、10的最小公倍数是[5,6,7,8,9,10]22233572520．又已知x大于5000且小于6000，即5000＜x＜6000，因此x1252025040．所以x5039．6.n为正整数，将它除以10余数为9；将它除以9余数为8；将它除以8余数为7；…；将它除以2余数为1．请问满足上述条件的n的最小值是多少？【分析】n加上1后变成210的公倍数，所以n1最小为[10,8,9,7]2520，n最小为2519．知识点总结我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N除以A余a,除以B余b,除以C余c这一类问题的时候，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余．绝招二：加同补．绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．8第11级上超常体系教师版\n第二讲家庭作业1.一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数有哪些？【分析】2，[3,7]223，[3,7]2345，[3,7]3366，[3,7]43872.赵老师有30多张积分卡，如果平均分给5个同学，最后剩余3张；如果平均分给6个同学，最后剩余2张，那么赵老师有多少张积分卡？【分析】因为5362，所以赵老师共有8[5,6]38张积分卡．3.布袋里装有玻璃弹子若干个，如果每次取2个，最后剩下1个；如果每次取3个，最后剩下1个；如果每次取7个，最后剩下3个．这个布袋中至少有个玻璃弹子．【分析】不妨设黑布袋中至少有x个玻璃弹子，那么x要满足的条件是：①除以2余1，②除以3余1，③除以7余3．我们先找到满足条件①、②的数76m，只需让76m满足条件③，即6m除以7余3，最小的m4，那么这个黑布袋中至少有31个玻璃弹子．4.某些自然数除以11余1，除以13余3，除以15余13，那么这些自然数中最小的是．【分析】因为11113310，所以满足前两个条件的自然数是[11,13]10133，结果133恰好除以15余13，所以这些自然数中最小的是1335.一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数．【分析】方法一：53642，可见这个数加上2后是5、6的公倍数，那么至少为5,6228，即28适合前两个条件．再用28依次加上30的倍数，由于28是7的倍数，30除以7的余数为2，可知28304满足除以7余1，所以，满足条件的最小的自然数是28304148．方法二53718，所以只需835m除以6余4，因为8612,35655，即让25m除以6余4，即5m除以6余2，求得最小的m4，所以满足条件的最小的自然数是83541486.三个连续偶数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个偶数最小为多少？【分析】设最小的偶数为x,则有：x5a0x5a0(x2)7b0，即x7b15，满足前两个条件的所有数是535n，只(x4)11c0x11c17需(535)11nc4，即(52)11nc4，因此n1，所以最小的偶数是40，12因此这三个偶数最小为40,42,447.大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题：在你前面有一条长长的阶梯，如果你每步跨2级，最后剩下1级；如果你每步跨3级，最后剩下2级；如果你每步跨5级，最后剩下4级；如果每步跨6级，最后剩下5级；只有当你每步跨7级时，最后正好走完，1级不剩．这条阶梯最少有级．【分析】由条件可知，台阶数要满足如下条件：(1)除以2余1；(2)除以3余2；(3)除以5余4；(4)除以6余5；(5)除以7余0；观察可知如果台阶数加1，那么能被2、3、5、6整除，这样的数是：29，59，89，119，149，179，…，在这其中满足条件(5)的最小数字是119，所以这条阶梯最少有119级．第11级上超常体系教师版9\n8.一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小数．【分析】本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，根据例题8可知符合条件的最小偶数是368，所以只要将368加上35711就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368357111523．超常班学案【超常班学案1】一个自然数除以4余3，除以7余3，满足条件的三位数有多少个【分析】三位数中最小的是[4,7]43115，最大的三位数是[4,7]353983，因此共有354132个【超常班学案2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为．【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而5,7,9315，所以这个数最小为3158323．【超常班学案3】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为.【分析】法一：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4，当4被加上两个7时得到18，恰好除以5余3，此时符合后两个条件；只需(1835)3ma2，即(02)3ma2，因此m1，所以所求的最小自然数就是53.法二：通过观察．没有发现除数与余数有和或差的关系，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步骤如下：3、5的公3、7的公5、7的公倍数倍数倍数15213530427045631056084140………………分别找出除以7余1的3、5的公倍数，除以5余1的3、7的公倍数，除以3余1的5、7的公倍数，分别是：15、21、70；因此符合条件的数是154213702263但是要求的是满足条件的最小的自然数，263不是最小的，对此的处理方法就是减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：263105253．法三：设所要求的数为x，则2x除以3余1，除以5余1，除以7余1，因此2x1[3,5,7]，所以x(1051)253.【超常班学案4】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．【分析】由于这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而7,8,9504，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被7，8，9除的三个商数的和是570111573，10第11级上超常体系教师版\n第二讲而504分别除以7、8、9所得的商之和是897879191，由于5731913，所以这个数加上6等于504的3倍，则这个数是504361506．123班学案【123班学案1】已知自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？【分析】本题属于“物不知数”问题，可以运用中国剩余定理，但需要先要找出11与9的公倍数中除以13余1的数、11与13的公倍数中除以9余1的数以及9与13的公倍数中除以11余1的数．比较麻烦．实际上，观察可知1159713316，也就是说这个数减去16后是11、9、13的公倍数，那么这个数最小就是11、9、13的最小公倍数加上16，为11913161303．【123班学案2】某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是＿．【分析】观察到11813103，因此除以11余8，除以13余10的最小自然数为11133140，140加上1113的倍数依然满足除以11余8，除以13余10，设某数为a，则a143m3(m为非零自然数)，只需143m3除以17余12，而1431787，只需(7m3)17n12，即7m17n15(n为自然数)从最小的n开始找，得到n2,m7，所以a14373998【123班学案3】一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是________．【分析】由于这个数除以7、8、9后分别余3、5、7，所以这个数加上11后能被7、8、9整除．而7、8、9的最小公倍数是789504，所以除以7，8，9后分别余3、5、7的数最小为50411493．然而504分别除以7、8、9所得的商之和是897879191，则493分别除以7、8、9所得的商之和是19123185（因为493除以7的商比504除以7的商少了2，除以8和9的商同样如此，所以减去3个2）．由于493除以7、8、9的三个商之和为185，493每增加一个504，商的和就要增加191，由于7581851913，所以需要增加3个504，故所求的数为49350432005．【123班学案4】（第13届日本算术奥林匹克预赛试题高小组）有四个连续的都大于1的整数A、B、C、D（A＜B＜C＜D）．这四个整数按照顺序分别是7、9、11、13的倍数，求符合以上条件的A、B、C、D组合的最小的A．【分析】令四个数分别是a，a+1,a+2,a+3，则他们分别是7、9、11、13的倍数，则相当于a除以7余0，a除以9余8；a除以11余9；a除以13余10．则2a用9除余7；用11除余7；用13除余7．且2a是显然还是7的倍数，也可以认为是用7除余7．则(2a-7)是7、9、11、13的倍数．7×9×11×13=9009．所以2a=9016.a=4508．所以符合条件的a的最小值为4508．第11级上超常体系教师版11