第八讲第八讲整数裂项与通项归纳知识站牌六年级春季六年级寒假计算模块综合选讲二计算模块综合选讲一六年级暑期整数裂项与通项归纳六年级暑期分数裂项五年级春季比较与估算掌握整数裂项技巧；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算漫画释义第11级上超常体系教师版1\n课堂引入在第一讲我们学过分数裂项，也就是大家看到的下面的题目：11111.1335577999101但是如果来了一个怪兽，它非常喜欢吃分数，尤其喜欢吃分数的分子，结果这个怪兽就把上题的分子吃掉了，只剩下1335577999101了，此时还可以用我们的法宝（裂项）计算吗？也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛，分数没有受到很大的伤害，因此法宝还可以继续使用，这就是我们今天要学习的整数裂项.教学目标1.掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别2.灵活运用通项归纳的技巧进行巧算经典精讲一、整数裂项11223nn1nn1n23例如：1×2+2×3+3×4+…+9×10112123012；3123234123；3134345234；3……1910910118910；31那么，原式=（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+9×10×11-8×9×10）31=（9×10×11-0×1×2）=3303二、通项归纳一些计算题目中，如果题目中给出数字很有规律，而且题目又很长，那么我们通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式，然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧．2第11级上超常体系教师版\n第八讲例题思路模块一：裂项例1：因数差1的整数裂项例2：因数差不是1的整数裂项例3：多个因数乘积的整数裂项例4：整数裂项的应用模块二：通项归纳例5：整数裂项中的通项归纳例6：平方差公式中的通项归纳模块三：综合运用例7：通项归纳的灵活运用例8：裂项的综合运用例1计算：⑴12231920________．⑵4556675960________．（学案对应：超常1，带号1）【分析】⑴本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：nn1n2n1nn111nn1nn1n2n1nn1，3331所以原式：=192021012=266031⑵原式59606134571960.3例2计算：⑴35573335________．⑵14477104952=_________（学案对应：超常2）1【分析】（1）原式3335371357120．61（2）原式4495255147155729第11级上超常体系教师版3\n例3计算：⑴12323434591011⑵1234234534569101112⑶123423453456nn(1)(n2)(n3)⑷357579192123⑸135735795791119212325（学案对应：带号2）11【分析】⑴nn1n2nn1n2n3n1nn1n2，441原式9101112012341910111242970从中还可以看出，1123234345nn1n2nn1n2n3．411⑵nn1n2(n3)nn1n2n3(n4)n1nn1n2(n3)，551原式9101112130123451910111213530888⑶123423453456nn1n2(n3)1nn1n2n3(n4)51⑷原式1921232513578286651⑸原式105(192123252713579)10619458例4计算：1!32!43!54!62012!20142013!．【分析】观察下面的规律：1!31!(12)1!2!，2!42!(13)2!3!原式1!2!2!3!3!4!4!5!2011!2012!2012!2013!2013!1．4第11级上超常体系教师版\n第八讲大约1500年前，欧洲的数学家们是不会用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要使用“0”.后来，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，教皇的权力更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他两手残废，再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的教皇明令禁止了.虽然“0”被禁止使用，但是罗马的数学家们还是不管禁令，在数学研究中仍然秘密地使用“0”，并做出了很多贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.例511111212231223341223349101【分析】由于1223nn1nn1n2，则313，1223nn1nn1n23333原式1232343459101131111112122323349101011311212101181110第11级上超常体系教师版5\n例622222462012计算：222231517120131（学案对应：超常3，带号3）22n2n2nn【分析】通项归纳：22n112n2n2n112310061原式=23410071007例72222222212232012201320132014计算：12232012201320132014（学案对应：超常4，带号4）【分析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222n(n1)n(n1)nn1ann(n1)n(n1)n(n1)n1n213243542013201220142013原式=()()()()()()1223344520122013201320142013201320132402620142014222n(n1)2n2n111（法2）：a22n22n(n1)nnnnn(n1)1111原式222212232012201320132014120132(1)2014201340262014例812345699100计算：23459899B【分析】设原式=A1BA991001010123333003BA223252995000BBABA33330050003383原式=ABABA333300500032836第11级上超常体系教师版\n第八讲兔妈妈买来10个萝卜，准备分给四个小宝宝.她把10个萝卜分成4份．从左到右分别是1个、2个、3个、4个.小黑闹着要吃那份最多的.妈妈说：“你如果能只移动1个萝卜，使4份萝卜的排列顺序倒过来，从左到右分别是4个、3个、2个、1个，那就给你最多的.”大家能帮帮小黑吗？答案：把第四堆的第三个萝卜移到第一堆和第二堆之间.附加题1.计算：12342345171819201【分析】原式17181920210123454883762.计算：357579313335【分析】原式131333537135781655851111111113243519213.计算…______111111111111123234345192021【分析】利用裂和的方法可以将每一项展开原式111111111324351921…11111111111111111111111112312323423434534519202119202111111111…111111111111111123123423453420211920231234234534…20211920第11级上超常体系教师版7\n=（1×2+2×3+…+19×20）+（2×3+3×4+…+20×21）通过整数裂项方法得到结果．11原式192021(202122123)5738331474746474645474645214.525251525150525150495251504965【分析】首先把每项分数约分．14747464746454321525251525150525150495251504948再将原式各项的分母都通分为5251504948，则各项的分子依次为51504948，50494847，49484746，…………4321．计算中可以应用下面的公式：112342345nn1n2n3nn1n2n3n4．511根据上面的公式，分子的和为4849505152，与分母约分，结果为．552222222222222112123123412265.333333333333311212312341226【分析】先找通项公式：n(n1)(2n1)2222123n622n1211a()，所以，原式n132333n3n2(n1)23n(n1)3nn142111111112152131223342627327816.计算1×100+2×99+3×98+…+98×3+99×2+100×1=.2【分析】通项公式an(101n)101nn，n1所以原式101(1100)1002100101201=171700627.计算：3（共2013条分数线）2323332721【分析】3233218第11级上超常体系教师版\n第八讲426152133327721335214312133421515213233………………n22015221213，所以2013条分数线的话，答案应该为22n112201413233知识点总结一、整数裂项1122334(n1)n(n1)n(n1)31123234345(n2)(n1)n(n2)(n1)n(n1)4110111112121399100(9910010191011)3二、通项归纳解题步骤1.找规律，归纳第n项公式2..将归纳出的公式用到每一项，进行计算家庭作业1.请计算：1223344950=_________1【分析】原式49505101241650.32.请计算：24462426________．1【分析】原式242628024291263.计算：2464686810222426【分析】原式第11级上超常体系教师版9\n12224262802468480484.计算：2013!(1!2!23!34!42011!20112012!2012)．【分析】观察下面的规律：1!11!(21)2!1!2!22!(31)3!2!原式2013!(2!1!3!2!4!3!2012!2011!2013!2012!)2013!(2013!1!)111115.计算：121223122334122334991001【分析】由于1223nn1nn1n2，则313，1223nn1nn1n23333原式12323434599100101311111121223233499100100101311212100101151472020022223996.计算：222213199122n1n1【分析】通项公式：a，nn11n11nn2原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)223344559898999931425364999710098223344989899992999913243597999810011005022227.计算：1223181919202【分析】方法一：ann(1)nn(1)[(n2)1]nn(1)(n2)nn(1)n原式123122342318192018191920211920123234181920192021(122318191920)10第11级上超常体系教师版\n第八讲11192021221920214341230232232方法二：分拆(21)222，(31)333再用公式323232333222原式(22)(33)(2020)(12320)(12320)1221202120214141230468.计算：12343456567817181920333122（提示：12nnn1）4【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A，再设B23454567678916171819，则AB1234234534561718192011718192021488376，5现在知道A与B的和了，如果能再求出A与B的差，那么A、B的值就都可以求出来了．AB12342345345645675678171819204(123345567...171819)222242(21)4(41)6(61)18(181)33334(24618)4(24618)12214891042096444042所以，A488376644402276408．超常班学案【超常班学案1】计算：⑴34455619202021⑵2334451001011【分析】⑴34=345-234（）；3145=（456-345）；3156=（567-456）；……312021=（202122-192021）；31原式=（345-234+456-345++202122-192021）3第11级上超常体系教师版11\n1=（202122-234）3=3072(234123)(345234)(10010110299100101)⑵原式3110010110212333433981本题也可直接采用结论：1223nn1nn1n2，则3原式1223344510010112110010110223343398【超常班学案2】请计算：（1）25588116265________；（2）3771111156367________．1【分析】（1）原式1062656825830450；91（2）原式21636771371124976.1212123123412350【超常班学案3】计算：223234235012nnn1n1n【分析】通项公式为：，（n从2开始）23nn1n2n1n2324354515035075原式1425364952152262222221223100101【超常班学案4】计算：1223100101【分析】方法一：通过代数式进行通项归纳或者找规律，可知：2222n(n1)nn2n11an2，n(n1)nn(1)nn(1)111100100所以原式=22220020012231001011011012222222132101100方法二：原式=()()()1212232310010110010121321011001223100101上式为若干组同分母分数的和，而且这些和都是2，所以原式100100210020010110112第11级上超常体系教师版\n第八讲123班学案【超常123班学案1】请计算：（1）344556677889910101111121213________；（2）4556674950________．1【分析】（1）原式121314234720；31（2）原式49505134541630.3【超常123班学案2】S=1×2×3+2×3×4+3×4×5++2010×2011×2012，试求出4×S÷（2010×2011×2012）的值．1【分析】123=1234-0123（）；41234=（2345-1234）；41345=（3456-2345）；4……1201020112012（2010201120122013-2009201020112012）41原式=（20102011201220130123）4（201020112012）4=2013111【超常123班学案3】111222213120131221(n1)(n1)n1n1【分析】a1n22(n1)1(n1)1n(n2)nn2223320132013原式1324201220142201320131201410072222222221232348910【超常123班学案4】计算：33535172222222221232348910【分析】原式2222131912222n1nn13n25511通项归纳，33222n1n1n12n1n15111292原式38124272291099第11级上超常体系教师版13