第九讲第九讲弦图知识站牌六年级秋季六年级暑期圆柱与圆锥切片与染色六年级暑期弦图五年级春季特殊图形五年级春季圆与扇形进阶复习勾股定理；由弦图求解较复杂的几何问题．漫画释义第11级上超常体系教师版1\n课堂引入准备四个完全相同直角三角形纸片（没有等腰直角三角形），用这四个直角三角形能否拼出两个正方形呢？同学们不妨试一试.如果大家没有拼出来，可以给大家一个图纸，就是我们的“数海拾贝”中的图.有的同学会问，两个正方形在哪里呢？答案是外面一个和里面一个（很像脑筋急转弯）.大家看着图纸能拼出来吗？当然还有其他类似的拼法，同学们可以在我们的例题中去寻找.今天我们就重点来学习“数海拾贝”中的那个图形，它有一个很好听的名字叫“弦图”.教学目标1.复习并掌握勾股定理极其应用2.掌握在复杂图形中构造弦图的技巧，并能用弦图解决相关面积问题经典精讲一、勾股定理222如图，在直角三角形中，有abccab二、勾股定理的证明自从发现勾股定理以后，世界上许多数学家和数学爱好者已经发现了300多种不同的证明，下222面就说说两种最简洁、最有趣的证明.在证明勾股定理“abc”这个公式时，最关键的一步是怎222样理解公式中的“a、b、c”的几何意义，聪明的古人想到了把它们理解成边长为a、b、c的正方形的面积！通过把抽象的东西形象化.勾股定理实际上是说“以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积”.1、赵爽的“弦图”对比观察右边两幅图可以看出：从两个相等的大正方形(边长都为a+b)中减去4块一样的直角三222角形后，剩下的面积是相等的，所以cab.赵爽的证明中只用到了人所共知的数学规律：等量减等量差相等.2第11级上超常体系教师版\n第九讲2、刘徽的“出入相补”原理在刘徽的证明中用到了两个平面图形如果“出入相补”，则其面积相等，这就是“出入相补”原理.利用“出入相补”原理，将一个图形进行割补，重新组成一个新图形，从而得到数学公式或命题的证明——这是一种很重要的数学方法，它是中国古代数学方法的特色之一.例题思路模块一：勾股定理与弦图例1：复习勾股定理例2：弦图的认识模块二：弦图的应用例3：利用弦图画正方形例4：利用弦图解决正方形面积间的关系模块三：弦图的构造例5、6、7、8：适当添加辅助线解决面积问题例1下图中有三个直角三角形．请问x=厘米．（学案对应：超常1）【分析】两个直角三角形完全一样，所以两直角三角形的两直角边分别为9cm和12cm，由勾股定理2222得，x91215，所以x15．例2⑴由四个完全相同的长方形拼出下图（1），大正方形的面积是小正方形面积的倍⑵将图（1）中每个长方形沿对角线剪开，形成图（2）的虚线正方形ABCD的面积是⑶将图（2）沿虚线剪开后形成图（3），大正方形的面积与小正方形的面积差是⑷小亮同学随机地在图（3）的大正方形及其内部区域投针，则针扎到小正方形（阴影）区域的可能性是___________．第11级上超常体系教师版3\n22AA33DDBBCC图1图2图3⑸照图中的样子，在一正方形纸板上割去两个直角三角形.求图中阴影部分的面积.4664⑹从四角的5厘米处，用剪刀剪出45的角度，中间便会形成一个小正方形（见下图）．这个小正方形的面积是多少平方厘米？22【分析】⑴(23)(32)2522⑵2313，或2324113⑶13112或2324121⑷13⑸方法一：连接如右图所示的线段得到四个全等的三角形，则阴影面积为46(64)(64)2822方法二：利用勾股定理得正方形面积为4652，则阴影面积为5246284664⑹如图所示右上角阴影三角形斜边的平方为小正方形的面积，可求得小正方形面积为：2225550（cm）．4第11级上超常体系教师版\n第九讲例3请只用刻度尺画出一个面积为5平方厘米的正方形.22【分析】由于512，利用勾股定理，如图例4如下图，连接顶点和正方形边上的三等分点，得到一个小正方形，那么这个小正方形的面积占整个大正方形面积的.ADADBCBC（学案对应：带号1）【分析】按照右图分割正方形，中心小正方形占4格，周围三角形每两个可以对接成3格，所以总2共有10格，小正方形占.5第11级上超常体系教师版5\n中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅《勾股圆方图》，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.2002年8月在北京召开的国际数学大会会标就取材于赵爽的《勾股圆方图》.赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且另有发展.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义.例5如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？DGCHPN4cmQMF2cmAEB（学案对应：超常2，带号2）【分析】如图所示，分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ，易知长方形MNPQ的面积为428平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH、BFME、CGQF、DHPG四个长方形的面积之和，等于正方形ABCD的面积加上长方形MNPQ的面积，为12128152平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152276平方厘米，那么阴影四边形EFGH的面积为1447668平方厘米．6第11级上超常体系教师版\n第九讲例6（第7届日本算术奥林匹克决赛试题）在直角边为3与4的直角三角形各边上向外分别作正方形，三个正方形顶点顺次连接成如左下图所示的六边形ABCDEF．求这个六边形的面积是多少？FFEEAA33B4B4CDCD（学案对应：超常3，带号3）【分析】根据图中三个正方形的特点，我们以直角三角形的斜边上的正方形为基础来构造弦图(如右上图)．这样，弦图中的4个直角三角形都与原直角三角形相同，中间阴影小正方形的面积2为431，且图中阴影三角形的面积都等于弦图中直角三角形的面积．所以，六边形ABCDEF的面积6个直角三角形面积2个阴影三角形面积3个正方形面积8个直角三角形面积3个正方形面积2228（342）34174．例7如图，长方形中被嵌入了8个相同的正方形.已知长20厘米，宽16厘米，那么每一个正方形的面积为平方厘米.（学案对应：带号4）【分析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为a，短直角边长为b，那么根据大长方形的长宽可列出方程组：4a2b20a4222，解得，所以每个小正方形的面积为422422420平方厘3a2b16b2米．第11级上超常体系教师版7\n例8如图，在多边形ABCFDE中，AB8，BC12，EDDF16，AECF，求多边形ABCFDE的面积.AEDFBC（学案对应：超常4）【分析】如图，把4个相同的多边形按照右图的方式拼接起来，得到一个大正方形，面积为22(128)400，中间小正方形的面积为16256，所以每个图形的面积为(400256)436关于勾股定理的证明方法已有500余种.其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.具体证法如下图.同学们你们能看图说明总统是怎样证明勾股定理的吗？22a2abb【分析】这个梯形的面积为S(aba)(b)2，也可以用左右2个三角形和中间大22222ababca2abbababc222三角形的和来表示S所以有，即abc22222228第11级上超常体系教师版\n第九讲附加题1.如图，以三角形的三边分别向外作正方形，其面积分别为13,25,26，求中心三角形的面积231325341526【分析】构造一个边长分别为4和5的长方形，把中心三角形包含在里面，所以三角形的面积为8.52.如图是由5个小正方形组成的一个“十字架”.请将它剪成若干块，然后拼成一个大正方形.【分析】方法如下：第11级上超常体系教师版9\n3.如图，阴影正方形的面积是8，那么图中的扇形面积是.（3）【分析】135DACB4.如图，圆内有两个正方形ABCD，EFGH，AB与GH部分重合，并且C、D、E、F在圆周上.圆心到AB的距离是15厘米，则两个正方形的边的长度相差厘米.DCDCMOOAHGBAHGBNEFEF【分析】根据题意，设ABCD，EFGH边长分别是a、b厘米.过O作垂线交CD于M，交EF于N,连接OD，OE在直角三角形ODM中，10第11级上超常体系教师版\n第九讲2a22OD()(a15)2在直角三角形OEN中，2b22OE()(b15)2a22b22因为OD=OE,所以()(a15)()(b15)，22522(ab)30(ab),a-b=24.4所以两个正方形的边的长度相差24厘米5.（第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛小学组二试）自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F.以BD，CD，CE，AE，AF，BF为直径分别向形外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6．若s5s62,s1s21,那么s4s3.【分析】连接AP，BP，CP．则222(AP2PF2)(BP2PD2)(CP2PE2)；AFBDCE222222222BFCDAE(BPPF)(CPPD)(APPE)．所以，222222AFBDCE=BFCDAE．22222AFBDCEBFCD两边同乘得：++2422222222222AE．也就是S1S3S5S2S4S6.S4S3S1S2S5S6123.22第11级上超常体系教师版11\n知识点总结222一、如图，在直角三角形中，有abccab2a2b2二、如图，通过分割，图中有三个正方形，这三个正方形的面积从大到小依次是(ab)，，2(ba)ababbaba家庭作业1.如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4．这个等腰梯形的周长等于．222【分析】两边的直角三角形的较短直角边为9323，腰长的平方为345，所以周长为359522．12第11级上超常体系教师版\n第九讲2.2002年将在北京召开国际数学家大会，大会会标如下图所示．它是由四个相同的直角三角形拼成的(直角边长为2和3)．问：大正方形的面积是多少?22【分析】由勾股定理得，大正方形的面积为2313．3.小强用八个相同的直角三角形，其直角边长分别为3cm和4cm，拼砌成两个中空但大小不相同的正方形．已知砌得的大正方形的中空部份刚巧能容纳所砌的小正方形，且大小正方形的中空部份的面积相差是y2cm，求y的值．【分析】本题考查考生对弦图的认识．拼成的大小正方形分别如下左图和右图：34所以面积差为4个直角三角形的面积：y4=24．24.请只用直尺画出一个面积为10平方厘米的正方形.22【分析】由于1013，利用勾股定理，如图135.如下图，连接顶点和正方形边上的中点，得到一个小正方形，那么这个小正方形的面积占整个大正方形面积的.1【分析】把小三角形拼到小梯形上，得到右图，小正方形占整个面积的.5第11级上超常体系教师版13\n6.如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？DQ3CDQ3C223MM553PPAN6BAN6B【分析】如图，过M、N、P、Q分别作长方形ABCD的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD、NAM、PBN、QCP的面积xS56之和为S，四边形MNPQ的面积等于x，则，解得x32.5.xS97.如右图，长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形.已知AB=22厘米，BC=20厘米，那么每一个正方形的面积为平方厘米.ADADBCBC【分析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为a，短直角边长为b，那么根据大长方形的长宽可列出方程组：3a2b22a6222，解得，所以每个小正方形的面积为622622640平方厘3ab20b28.从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？【分析】构造一个用4个5的长方形和一个边长为0.5的小正方形构成的大正方形弦图，有ab0.5，所以a2.5.所以锯下玻璃条面积为2.50.51.25平方米2(ab)450.2514第11级上超常体系教师版\n第九讲超常班学案【超常班学案1】(2008年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛试题)将矩形ABCD分成四个全等的矩形，如图所示．若AE29cmAF41cm，请问AC的长度是多少厘米？【分析】设ADa，DEEFb，所以222a22b24121681，由此得ab29841，2222222b280．于是ACa(4)b(ab)15b841152805041．所以AC71（厘米）．【超常班学案2】如下图，一块边长为180厘米的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为40厘米的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为平方厘米．2【分析】如下图，铁片分为中间的正方形和四个长方形两部分，中间部分的面积为10010000平方厘米，四个长方形每个的面积为401004000平方厘米，剪出的最大正方形为中间的正方形加上四个长方形的一半，面积为18000平方厘米．【超常班学案3】(2013年学而思杯五年级)如右图，三角形ABC是直角三角形，M是斜边BC的中点，MNPQ是正方形，N在AB上，P在AC上．如果，AB的长度是12厘米，AC的长度是8厘米．那么，正方形MNPQ的面积是__________平方厘米．【分析】如下图，过M点作AB的垂线，垂足为D；以AD为外围正方形的一边，做出以MNPQ为ACAB内含正方形的弦图，；则MD为△ABC的中位线，MD4cm，AD6cm；故22弦图中外围正方形边长为6cm，ANMD4cm，DN642cm；故所求面积为22426420cm.2第11级上超常体系教师版15\nAANPNPDDFQQBMCME1【超常班学案4】（第一届华杯赛决赛第一试）从一块正方形木板锯下宽为米的一个长方形木条265之后，剩下的面积是平方米.问锯下的木条面积是多少平方米？18651【分析】如图，构造一个用4个的长方形和一个边长为的小正方形构成的大正方形弦图，有1821ab21313113，所以a.所以锯下木条面积为(ab)2465166212184651812ab123班学案【123班学案1】如下图，连接顶点和正方形边上的四等分点，得到一个小正方形，那么这个小正方形的面积占整个大正方形面积的.9【分析】如图，中心正方形占9格，周围三角形总共占8格，所以小正方形占大正方形的1716第11级上超常体系教师版\n第九讲【123班学案2】（2006年第15届日本算术奥林匹克决赛试题）如图，点E是正方形ABCD的CD边上的一点，以BE为一条直角边作等腰直角三角形BEF，斜边BF交AD于G，已知AG=5厘米，GD=15厘米.求三角形BEF的面积.FMSFNAGDQGDAEEBCPBC【分析】如下图作辅助线，由于AG=5，而AB=20.令SF=a，而SB=4a.而MN=20+20-a=4a解之得a=8.所以FN=12.222EF1220则三角形BEF的面积为272.（平方厘米）.22【123班学案3】(第十四届日本算数奥林匹克)下图中的三个四边形ABHG，CDIH和EFGI都是正方形，当其面积分别是10平方厘米、13平方厘米、29平方厘米时，求三角形GHI的面积.ABGFHCIDE222222【分析】如图，因为1310，2529，2313，所以构造一个边长为3和5的长方形，正好把中心三角形包含在里面，所以三角形面积为351322522325.5.第11级上超常体系教师版17\n【123班学案4】如图，长方形ABCD的周长是20，八边形EFGHIJKL的面积是578，八块阴影区域都是正方形.那么长方形ABCD的面积是多少？LKLKMQEJEJADADabBCBCFIFIGHNGHP222【分析】S3a2b2a3b2ab6a6b11ab6abab600ab578ab2218第11级上超常体系教师版