第十一第十一讲从整体考虑知识站牌六年级秋季六年级秋季从极端考虑数形结合六年级暑假从整体考虑六年级暑假归纳与递推五年级春季类比与猜想探讨整体思想在换元法、捆绑法、旋转轮换式方程、平均速度、几何割补、位值展开中的应用漫画释义第11级上超常体系教师版1\n教学目标1.理解从整体考虑的内涵，尝试着用整体考虑思想去思考问题．2.运用整体考虑思想解决相关问题．课堂引入现实生活中，我们经常会听到“整体考虑”这个词，而且也会时不时的用“整体考虑”这个词来说明问题．例如你的父母给你买衣服时，先买了一件上衣，发现你的裤子和上衣不搭配，于是又给你买了一件和上衣搭配的裤子．为什么你的父母会发现不搭配呢？原因是你父母整体考虑了你的身材．现在又有一个现实问题摆在你面前，大家可以看看我们的例题，个别题目你看完后就有解题思路，有的题目根本没有思路．不过纵观所有例题，从整体考虑我们的多数题目还得和老师一起思考才会有思路，因此为了解决这个问题，我们就来认真听讲，看看老师是怎么思考的吧！经典精讲整体思想解题在解数学题时，有时候从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之，会导致解题过程繁杂、运算量大．有很多数学问题，如果我们有意识地放大考查问题的“视角”往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．其主要表现形式有：整体设元、整体代换、整体补形．整体设元（换元）：用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的．一般在题目条件中数字较大、式子较复杂，而重复度高的情况下使用．整体代换：根据问题的条件和结论，选择一个或几个式子，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的．一般在某个式子里的各个分量具体值是无法求解的，而题目却必须要求某个式子的值时使用．例如：一个圆柱体底面积是5平方厘米．展开后是一个正方形，求这个圆柱体的表面积．整体补形：根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法．一般在几何问题，通过割补法解题时使用．例如：ooA45,BD90,AD7,BC3，求S．四边形ABCD2第11级上超常体系教师版\n第十一例题思路计算方面的换元法：例1、例2计数方面的捆绑法：例3几何方面的整体代换：例4数论方面的整体考虑：例5应用题方面的整体考虑：例6、例7行程问题方面的整体考虑：例8例1111111111111计算：(1)()(1)()．232013232014232014232013【分析】本题数据较多，直接计算过于复杂，观察到题中出现的相同算式，考虑整体设元．111111111设：a，b，2342013234201320141则原式(1ab)(1ba)ba．2014【铺垫】计算：(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)．【分析】设a0.120.23,b0.120.230.34，则原式=(1ab)(1ba)ba0.34．例211计算：112111311143114201312013（学案对应：超常1，带号1）1【分析】观察到1这个式子出现两次，从整体考虑，记为x,则：131412013111x原式1．1x11x1x1x第11级上超常体系教师版3\n例34名男生和4名女生排成一队，要求女生必须排在一起，则共有多少种排法？4【分析】先把女生排好共有A24种排法，再把排好的女生队伍当做一个整体，这个整体与4名男4545生去排队有A120种排法，所以共有AA2880种．545【巩固】4名男生和4名女生排成一队，要求女生必须排在一起，且女生中的小雪和小珂必须相邻，则共有多少种排法？【分析】先把小雪和小珂排好，相邻总共有两种情况；再把雪珂当一个整体与另外两名女生排好共3有2A12种排法；最后排好的女生队伍当一个整体，这个整体与4名男生去排队有3535A120种排法；所以共有2AA1440种．535例42图中阴影部分的面积是25cm，求圆环的面积．（取3.14）（学案对应：超常2，带号2）22Rr22【分析】设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有25，即Rr50．则圆环面积为：2222222πRπrπ(Rr)50π157(cm)．苏步青和他的行程题我国著名数学家苏步青教授去法国做学术访问时，一位陪同他的数学家在电车里给苏教授出了这道题：甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100里，甲每小时走6里，乙每小时走4里．如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住．这只狗共跑了多少里路？本题好像是一个分段行程问题，但如果按照这个思路尝试，却会发现计算量庞大，无法得出结果．但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同．由此便能求出答案：狗一共跑了1006410（小时），所以狗跑的距离为1010100（千米）．有时我们会遇到一些看起来无法解决的问题，这个时候我们就需要问问自己：是否应该换个角度思考？尝试着像上面的题从整体思考，一定能让我们的头脑在锻炼中变得越来越聪明！4第11级上超常体系教师版\n第十一例5老王去银行兑现一张支票，结果银行职员疏忽在支付款项时把百元和千元的数字弄反了而老王也没注意到．在回家的途中，老王花费152元买了一本杂志，回到家才发现口袋里的钱恰好是要兑领支票之金额的两倍．若老王原来口袋里没有钱，请问原来这张支票的金额是多少？（学案对应：超常3）【分析】设原支票的面额是Aabcd元，其中a、b、c、d均为0~9的数字，A是整数．于是根据题意得：Abacd1522Aabcd，展开变形得到：Aabcd152AbacdAabcd．即Aabcd152100(baab)因为上式右边是100的倍数，要使上式成立，必定有cd48，于是Aab29(ba)，因为此式右边大小不会超过100，所以A0，从而ab0，化简得19a8b2．于是a是偶数，并且19a89270，于是a2，于是b5．于是原支票的面额是2548元．例63x6y17⑴已知，求xy．7x4y13x2y3z8⑵已知，求xyz．x3y5z6⑶购买3斤苹果，2斤桔子需要6.90元；购买8斤苹果，9斤桔子需要22.80元，那么苹果、桔子各买1斤需要元．⑷购买1斤香蕉，2斤桔子需3元；购5斤香蕉，8斤桔子需17元，那么购买1斤香蕉、1斤桔子共需______元．⑸有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要元．⑹某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹅蛋共用去9.25元；买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹅蛋共用去3.20元．试问买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元？（学案对应：带号3）【分析】⑴两个方程相加得10x10y171330，即xy3x2y3z8（1）⑵(1)2(1)得，xyz82610x3y5z6（2）⑶假设购买1斤苹果、桔子分别需要x元、y元，则：3x2y6.9，8x9y22.8两式相加得11x11y29.7，即xy2.7．所以各买1斤需要2.7元．⑷假设购买1斤香蕉、桔子分别需要x元、y元，则：x2y3（1）5x8y17（2）第11级上超常体系教师版5\n（2）-(1)3得2x2y17338，xy4即购买1斤香蕉、1斤桔子共需4元3x7yz20(1)⑸设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z，则，4x10yz27(2)由(1)3(2)2得xyz3202276，即各买一件需要6元．⑹设鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各买一个分别需x,y,z元，则：13x5y9z9.25(1)2x4y3z3.2(2)（1）+（2）4，得21x21y21z9.253.24，xyz1.05即买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需1.05元．例7五个人去吃饭，实行AA制，就是平均分担费用，餐馆每消费1元现金就给0.5元的代价券．甲向朋友借了100元代价券，乙自己有60元代价券，共花360元代价券，交了160元代价券和200元现金，得到100元代价券．将此代价券还给甲的朋友，然后按AA制付费，那么甲、丙、丁、戊每人应付现金元，乙应付现金元（在该餐馆内，100元现金和150元代价券是等值的）．（学案对应：超常4）【分析】总花费：160元券+200元现金-100元券=160元券+300元券-100元券=360元券．所以每个人出360元券÷5=72元券，折合72÷1.5=48元现金，因此甲、丙、丁、戊每人应付现金48元；乙应付现金(7260)1.58元．例8三轮摩托车（前面一个轮，后面并排两个轮）的三个相同轮胎从安装到报废所行驶的千米数不一样．安装在前轮上的轮胎行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的分别只能行驶15000千米和10000千米．为了使某摩托车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后就换轮胎的方法，最多换两次（每次可以换多个），那么该摩托车用三个新轮胎最多可以行驶多少千米？（学案对应：带号4）111【分析】方法一：从整体考虑，3()14400（千米）．240001500010000方法二：假设开始时前轮、左后轮、右后轮分别是ABC,,；开了x米后，把A换到右后，B换到前，C换到左后；再开y米后，把A换到左后，B换到右后，C换到前；最后再开z米后轮胎全部报废．则：xzy1240001500010000yxz1xyz14400240001500010000zyx12400015000100006第11级上超常体系教师版\n第十一【铺垫】自行车的前轮和后轮从安装到报废所行驶的千米数不一样．安装在前轮上的轮胎行驶6000千米后报废；安装在后轮上的行驶3000千米后报废．为了使某自行车行驶尽可能多的路程，行驶一定路程后将两个轮胎对调，那么该自行车用两个新轮胎最多可以骑多少千米？11【分析】方法一：从整体考虑，2()4000（千米）．60003000方法二：设骑了x千米后，前后轮对调，再骑y千米后，两轮胎一起报废，则：xy160003000xy4000xy130006000旅馆房价30元，小雪、小珂、小戴三人一起入住，每人付10元．后来老板又打折了，只要25元，让服务员退给他们5元，服务员偷偷拿了2元，退给他们每人一元，这样等于他们三个一人掏了9元，3927(元)，再加上服务员的2元，是29元．问：那一元去哪了？答案：问题本身就是严重的逻辑混乱，没分清整体和部分的关系．可以分为两个整体：○1小雪、小珂、小戴付的30元钱，这30元钱最终归属是：老板25，小雪、小珂、小戴每人1，服务员2．25111230．○2小雪、小珂、小戴付的27元钱，这27元钱的最终归属是：老板25，服务员2．25227也就是说服务员的2元是包含在三人掏的那27元里面的，不能乱加起来！附加题11111211111123891.(1)2(1)()234910234910234910123892()2349101111112389【分析】设a1，b23491023491022原式a2abb2(ab)11111123892(1)234910234910100第11级上超常体系教师版7\n2.如图，ABCD是正方形．阴影部分的面积为．（取3.14）AD53BC222【分析】设内部的正方形边长为a，由勾股定理，可以求得内部的正方形的面积为a5334，22a217（或者a(35)35234），所以其内切圆的面积是()，阴影部分面积2217为347.31．23.某商场对顾客实行优惠，规定：⑴如果一次购物不超过200元，则不给予折扣．⑵如果一次购物超过200元，但不超过500元的按标价给予九折优惠．⑶如果一次购物超过500元的，其中500元按（2）给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去该商场购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则他应付款的钱数是多少?【分析】第一次付款168元，而200×0.9=180（元），168<180,所以这次没有折扣;第二次付款423元，而500×0.9=450（元）,423<450,所以这次的原价是小于500元的，全部打九折买的，那么原价为423÷0.9=470（元）．那么两次合买这些商品的定价为168+470=638（元），应付500×0.9+138×0.8=560.4（元）4.赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回．假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？2【分析】上山下山的平均速度为4（千米/时），所以整个过程的平均速度也是4千米/时，故1136共走12千米．5.小雪走下坡的速度是12kmh/，上坡的速度是6kmh/，平路的速度是8kmh/，从他家到学校要先走一段上坡路，再走一段下坡路，最后是一段平路，小雪从家去学校花了1个小时，从学校回家花了1.5小时，则从家到学校的距离是多少？【分析】假设从家到学校的上坡路是x千米，下坡路是y千米，平路是z千米，则有：xyz161284x2y3z24xyz10xyz2x4y3z361.512686.甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前1小时出发，则差13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1小时出发，则过中点37千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差是多少？【分析】两个过程相加看成一个整体，则甲乙走的时间相同，10小时相遇，路程差为2674100（千米），所以速度差为1001010（千米/时）．8第11级上超常体系教师版\n第十一知识点总结整体思想考虑问题常见于以下题型：1.有很多相同部分的计算题，通过换元，达到简便计算的效果2.计数问题，排列组合里的捆绑法3.无法单独求出每个未知数，但是可以求出某几个未知数的和的方程及相关应用题4.几何面积计算中出现求不出来的半径时，通常用整体考虑5.数论里位值原理展开时，如果有较多字母，通常可以整体考虑6.行程难题，可以试着把整个运动过程与各段行程结合起来，从整体考虑家庭作业11111111111111111.计算()()()()57911791113579111379111111111【分析】设a,b，79117911131111则原式=(ab)(ba)(ba)555653141592631415927314159252.计算：31415926314159271【分析】设a31415926a(a1)(a1)原式aa(1)12aa12aa113.4名男生和5名女生排成一队，要求女生必须排在一起，则共有多少种排法？5【分析】先把女生排好共有A120种排法，再把排好的女生队伍当做一个整体，这个整体与4名5555男生去排队有A120种排法，所以共有AA14400种．5554.如图，圆的周长是16.4厘米，且圆的面积与长方形的面积正好相等．图中阴影部分的周长是厘米．（取3.14）a-RRAODRRBCa图8【分析】如图，设BCODa，OBOACDR，由已知πRRaR，于是有aπR．阴影第11级上超常体系教师版9\n1部分的周长为ABBCCDDA圆周长+2a4.12πR4.116.420.5（厘米）．4说明：这里π=3.14不必使用．5.小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是多少?【分析】假设原先的电话号码是abcdef，则经过两次升位后的号码是28abcdef，则有：28abcdef81abcdef28100000ax81a10000081(x其中xabcdef)x1250(2881)1250(228162)aa82500abcdef282500．6.某商店有A、B、C三种袜子，若买A种4双，B种7双，C种1双需要26元；买A种5双，B种9双，C种1双需要32元．问A、B、C三种袜子各买一双要元．【分析】假设买A、B、C三种袜子各一双分别要x元、y元、z元，则：4x7yz26（1）5x9yz32（2）(1)4(2)3得xyz8即各买一双要8元．7.甲杯中装有浓度为10%的糖水溶液40克，乙杯中装有浓度为19%的糖水溶液60克．现在分别从甲和乙中取出相同重量的糖水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中，这样甲、乙容器中糖水浓度相同．则从甲中取出的糖水是多少克？【分析】从整体来看，最后甲乙中的浓度等于40克10%糖水和60克19%糖水混合后浓度，所以甲3中10%糖水和19%糖水的比例为2:3，所以从甲中取出的糖水是4024克．58.假设一辆汽车的四个相同轮胎从安装到报废所行驶的千米数不一样．安装在前轮上的两个轮胎都是行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的分别只能行驶15000千米和10000千米．为了使这辆汽车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后就换轮胎的方法，最多换三次（每次可以换多个），那么这辆汽车用四个新轮胎最多可以行驶多少千米？211【分析】方法一：从整体考虑，4()16000（千米）．240001500010000方法二：假设开始时左前轮、右前轮、左后轮、右后轮分别是ABCD,,,；开了a米后，把A换到右前，B换到左后，C换到右后，D换到左前；再开b米后，把A换到左后，B换到右后，C换到左前，D换到右前；再开c米后，把A换到右后，B换到左前，C换到右前，D换到左后；最后再开d米后轮胎全部报废．则：abcd124000240001500010000bcda124000240001500010000abcd16000cdab124000240001500010000dabc1240002400015000100001第11级上超常体系教师版\n第十一超常班学案【超常班学案1】计算：2010200920102009(201320122011)2013(201220122011)2012201120102011201020102009(20132012)(20122011)2011201020102009【分析】设a2013，b20122011，c201220112010原式(aba)(cbc)(acb)22aabcbcabbc22ac22201320124025【超常班学案2】大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形；再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求圆环的面积．(π取3.14)O【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中22已知阴影部分的面积，也就是Rr50平方厘米，那么环形的面积为：2222πRπrπ(Rr)π50157(平方厘米)．【超常班学案3】一个六位数abcdef，如果满足4abcdeffabcde，则称abcdef为“迎春数”，求出所有“迎春数”的总和．【分析】方法一：设abcdeA，“迎春数”是10Af，并满足关系式：410Af100000fA．即39A99996f．所以：A=2564×f．f是一位数，要使A是五位数，f可以为4，5，6，7，8，9．而“迎春数”abcdef=10A+f=10×2564×f+f=25641×f，那么，所有“迎春数”的总和是：25641×(4+5+6+7+8+9)=25641×39=999999．方法二：用数字谜思路来解题．显然，f不小于4，若f=4，e为4×f的末尾数字，所以e=6；第11级上超常体系教师版1\nde为4ef的末2位，所以d=5；cde为4def的末3位，所以c=2；bcde为4cdef的末4位，所以b=0；abcdef为4bcdef的末5位，所以a=1；于是abcdef为102564．同理．f5，6，7，8，9，可以得到abcdef为128205，153846，179487，205128，230769．所有的和是999999．【超常班学案4】小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你来回答这个问题．职位会计与出纳出纳与秘书秘书与主管主管与主任主任与会计月薪和3000元3200元4000元5200元4400元【分析】观察所有人的工资和发现每人的工资都计算了两次，所以将全部工资和相加后除以2后得到五人的工资和为：（3000+3200+4000+5200+4400）÷2=9900（元）．由于要求主任的月薪，所以将会计和出纳的3200元，秘书和主管的4000元减去即得主任的月薪为：9900-3000-4000=2900（元）．123班学案22222357022351404567117234567【超常123班学案1】计算：．937450222【分析】根据公式a2abb(ab)，得22(235702)(567117)原式=93745022937450=937450=937450=487【超常123班学案2】如图，在33方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90°的三段圆弧与正方形ABCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比SS:?12AADDEED1FFDS2S1S12BCBB1B2C【分析】如右图，仔细观察图形不难发现带形S1的面积等于曲边三角形BCD的面积减去曲边三角形BCD11的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出．1第11级上超常体系教师版\n第十一221221π所以，S的面积3π32π251；1444同理可求得带形S的面积：2π带形S的面积曲边三角形BCD的面积曲边三角形BCD的面积31；211224所以，SS:5:3．12【超常123班学案3】甲乙丙丁四人每三个人的平均年龄加余下一人的年龄分别为29、23、21、17，则这4人中最大年龄和最小年龄差是多少岁？【分析】设甲、乙、丙、丁4个人的年龄分别为a、bcd、、，那么有：abcd293bcda233acdb213abdc173把四个式子加起来得到：abcd45(1)再将上面方程组里面的每个式子3后与（1）式相减分别得到：a12，b9，c3，d21，所以年龄最大与最小的差值为21318岁．【超常123班学案4】从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米．某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求自行车上坡的速度．3【分析】整体考虑，来回是上坡下坡20千米，共用3h，上下坡的速度比是1:2，所以上坡时间为42.5h，上坡速度为8kmh/．第11级上超常体系教师版1