第十三第十三讲切片与染色知识站牌六年级秋季六年级秋季旋转与轨迹圆柱与圆锥六年级暑期切片与染色五年级春季弦图五年级春季特殊图形运用切片法求镂空体的体积，并掌握堆积体的染色规律漫画释义第11级上超常体系教师版1\n课堂引入镂空是一种雕刻技术，外面看起来是完整的图案，但里面是空的或者里面又镶嵌小的镂空物件.距今五千年前的新石器时代晚期陶器已有透雕圆孔为饰，山东大汶口出土的薄胎黑陶把杯，把柄上就有多种镂空纹饰.汉代到魏晋时期的各式陶瓷香薰都有透雕纹饰；宋以后镂空装饰日益发展；清朝乾隆（1736-1795）年间时烧成镂空转心、转颈及镂空套瓶等作品，使这类工艺达到顶峰.河北省民间艺人雕刻的镂空核雕巧妙地利用植物果核上的纹理，经过揣形摹象，刻制出生动有趣的客观物象．植物果核一般具有体积小、纹理不规则和表皮薄而脆等特点，核雕艺人借助果核不规则的纹理使作品疏朗、剔透，主题集中，或人物亭阁、或鸟兽虫鱼，无不生动有趣.今天我们就来学习求镂空的立体图形体积（不过由于知识有限，我们只能求简单的镂空图形的体积）的巧妙方法——切片法.教学目标1.理解求镂空图形体积的方法，并运用切片法求体积.2.掌握立体图形的多面涂色规律，并能灵活运用规律解决实际问题.经典精讲一、切片法将一些小正方体有序码放组成堆积体，然后从各个方向打洞形成镂空图形．我们要求这个镂空体的体积，我们常用的方法就是切片法，即一层一层的求体积，然后求总和即可．总结一下“切片法”适用的题型是：全面打洞、挖块成线.这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！二、长方体的涂色规律一个abc的长方体，将其表面涂成红色，并切成abc个大小相同的小正方体．1.当a1，b1，c2时，此时五面涂红色的有2块；四面涂红色的有(c2)块；2.当a1，b2，c2时，此时四面涂红色的有4块；三面涂红色的有2[(b2)(c2)]块；两面涂色的有(b2)(c2)块；3.当a2，b2，c2时，此时三面涂红色的有：8块；两面涂红色的有4[(a2)(b2)(c2)]块；一面涂色的有2[(a2)(b2)(a2)(c2)(b2)(c2)]，没有涂红色的有(a2)(b2)(c2)块.2第11级上超常体系教师版\n第十三例题思路模块一：切片法求体积例1：利用切片法求小方块个数例2、例3：利用切片法求规则镂空体的体积例4：利用切片法求不规则镂空体的体积模块二：涂色规律应用例5：长方体的涂色规律例6、例7：正向应用涂色规律例8：逆向应用涂色规律例1有黑白两种颜色的正方体积木32块，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A（学案对应：超常1）【分析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.例2有一个棱长为5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(如下图)，求这个立体图形的体积．（学案对应：超常2）第11级上超常体系教师版3\n【分析】从前往后分成五层，依次如下图3因此这个立体图形的体积是：22231692（cm）例3如图，每个小正方体的棱长为2厘米，该有孔(贯穿)正方体的体积是．（学案对应：超常3，带号1）【分析】从前往后分成五层，依次如下图3因此这个立体图形的体积是：8(3231616)808（cm）4第11级上超常体系教师版\n第十三例4一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，图中阴影就是抽空的状态．图中剩下的小正方体有多少个？（学案对应：带号2）【分析】解法一：(用“切片法”来解)从前往后分成五层，依次如下图剩下的小正方体有：20814112073（个）解法二：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5525个，由侧面图形抽出的小正方体有5525个，由底面图形抽出的小正方体有4520个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，252520877452，所以共抽出了52个小正方体．1255273，所以右图中剩下的小正方体有73个．第11级上超常体系教师版5\n魔方魔方，也称鲁比克方块，台湾称为魔术方块，香港称为扭计骰，英文名为：Rubik'sCube.魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.其中三阶魔方是由富有弹性的硬塑料制成的6面正方体.核心是一个轴，并由26（中间一层为8块，其余两层各9块）个小正方体组成.包括中心方块6个，固定不动，只有一面有颜色；边角方块（角块）8个（3面有色），可转动；边缘方块（棱块）12个（2面有色），亦可转动.此外除三阶魔方外还有二阶、四阶至十三阶魔方.近代新发明的魔方越来越多，它们造型不尽相同，但都是趣味无穷.魔方在出售时，小立方体的排列使大立方体的每一面都具有相同的颜色.当大立方体的某一面平动旋转时，其相邻的各面单一颜色便被破坏，而组成新图案，再转再变化，形成每一面都由不同颜色的小方块拼成的立方体.玩法是将打乱的立方体通过转动尽快恢复成六面呈单一颜色.三阶魔方19总的变化数为43,252,003,274,489,856,000.或者约等于4.310.如果一秒可以转3下魔方，不计重复，需要转4542亿年，才可以转出魔方所有的变化，这个数字是当前估算宇宙年龄的大约30倍.例5⑴一个116的长方体，将其表面涂成红色，并切成6个大小相同的小正方体，如图所示，那么其中五面、四面被涂成红色的小正方体各有多少块？⑵一个156的长方体，将其表面涂成红色，并切成30个大小相同的小正方体，如图所示，那么其中四面、三面、两面被涂成红色的小正方体各有多少块？⑶一个456的长方体，将其表面涂成红色，并切成120个大小相同的小正方体，如图所示，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？6第11级上超常体系教师版\n第十三⑷一个abc的长方体，将其表面涂成红色，并切成abc个大小相同的小正方体，其中一些小正方体中，最多有几个面涂红色，最少有几个面涂红色？（学案对应：超常3，带号3）【分析】⑴五面：2块；四面：4块．⑵四面：4块；三面：2[(52)(62)]14块；两面：(52)(62)12块；⑶三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436块；一面涂红的在表面中间部分：(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252块．没涂红色的小方块有：(42)(52)(62)24块．⑷当a1，b1，c2时，一些小正方体最多有5面涂色，最少有4面涂色当a1，b2，c2时，一些小正方体最多有4面涂色，最少有2面涂色当a2，b2，c2时，一些小正方体最多有3面涂色，最少有0面涂色例664个同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个4×4×4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最大为:．3【分析】没有露在表面的小正方体有(4-2)=8(个)，用黑色的．2在面上但不在边上的小正方体有(4-2)×6=24(个)，其中22个用黑色．这样，在表面的4×4×6=96(个)小正方形中，22个是黑色，96-22=74(个)是白色，白色与黑色的面积比为74:2237:11．例7将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个．【分析】有下列组合：16×1×1，8×2×1，4×4×1，4×2×2．对于16×1×1的情况，两端的小正方体各有5个面涂漆，它们之间夹着的14个小正方体各有4个面涂漆，没有3个面涂漆的．对于8×2×1的情况，四个角上的小正方体各有4个面涂漆，它们之间夹着的12个小正方体各有3个面涂漆．对于4×4×1的情况，四个角上的小正方体各有4个面涂漆，边上的8个小正方体各有3个面涂漆，中间的4个小正方体各有2个面涂漆．对于4×2×2的情况，八个角上的小正方体各有3个面涂漆，它们之间夹着的8个小正方体各有2个面涂漆．所以，最多有12个，最少有0个．第11级上超常体系教师版7\n例8一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n刀后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是________．（学案对应：超常4，带号4）【分析】沿着长边等距离切5刀，可切为516块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415块；沿着高边等距离切n刀，可切为n1块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(62)(52)(n12)12(n1)个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，12(n1)24，解得n3．将数0~10进行分类，分成了四类，如下：第一类：1、3、7、8第二类：0、10第三类：5、9第四类：2、4、6同学们，你们知道这是按什么规律进行分类的吗？答案：按普通话中四个声调：阴平、阳平、上声和去声，进行分类附加题1.右图是一个由许多完全相同的白色立方体构成的实心塔，共有20层，除了与桌子接触的那一面，塔的外表都被涂成了红色．如果将塔拆开，请问有多少个各面全都是白色的立方体？22222【分析】共有白色的立方体共有：1＋2＋3＋…＋17＋18=2109（个）2.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方体只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【分析】长：3115厘米；宽：1113厘米；高：1113厘米；所以原长方体的表面积是：(353533)278平方厘米．8第11级上超常体系教师版\n第十三3.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个棱长为1的小正方体，其中恰有两个面涂上红色的小正方体恰好是2012块．大长方体体积的最小值是．【分析】设大长方体的长、宽、高分别为x,y,z(xyz1)．当y=1或2，z=1时，没有两个面涂上红色的小正方体；当y>2，z=1时，两个面涂上红色的小正方体有x2y2个，得到x2y2201220121100625034.大长方体的体积xyzxy，为(20122)(12)6042，(10062)(22)4032或(5032)(42)3030.当z≥2时，两个面涂上红色的小正方体有x2y2z24(个)，得到xyz509根据“和一定，差小积大，差大积小”：此时的最小值为505222020最大值为1701701694884100综合所有情况，体积的最小值为2020，最大值为48841004.如图是一个由27个棱长为1的白色小正方体木块粘成的棱长为3的正方体木块，现任意挖去其中的3个棱长为1的小正方体，然后将所有暴露在外的表面全部刷上蓝漆，那么余下的24个棱长为1的小正方体中恰好有3面涂蓝漆的最多能有个.【分析】1）角块本身为3面暴露在外的小方块；2）挖去外侧面中部的小方块，能够增加4块三面暴露在外的小方块，加上角块，共形成8块3面涂漆的小方块，为最优方案3）因此挖去对称的2块外侧中部的小方块后，将产生16块3面暴露在外的小方块4）然后再挖去任意一个外侧面中部的小方块，将增加3块3面暴露在外的小方块，但同时破坏原来的2块3面在外的小方块.5)所以最多有17块3面涂漆的小方块5.如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体．当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%，那么一共用了多少个黑色的小正方体？第11级上超常体系教师版9\n15【分析】白色正方体的体积占总体积的93.75%，即占整个的，白色正方体与黑色正方体之比为：161：15，观察可知，每一层黑色正方体有4个，则白色正方体有60个，所以每一层共有64个正方体，则正方体的边长为1，则共有8层，所以一共用了4×8=32个小的黑色的正方体．知识点总结一个abc的长方体，将其表面涂成红色，并切成abc个大小相同的小正方体：1.当a1，b1，c2时，五面涂红色的有2块；四面涂红色的有(c2)块.2.当a1，b2，c2时，四面涂红色的有4块；三面涂红色的有2[(b2)(c2)]块；两面涂红色的有(b2)(c2)块.3.当a2，b2，c2时，三面涂色在顶点上，两面涂色在棱上，一面涂色在面上，0面涂色在芯上.家庭作业1.如图，工地上堆放了180块砖，这个砖堆有两面靠墙．如果要把这个砖堆的表面涂满白色，那么，被涂上白色的砖共有_______块．【分析】最上层的砖都被涂上了白色，共43336（块）．从第二层开始往下每层被涂上白色的块数相同，都是43214（块）．因此，被涂上白色的砖共有3614492（块）．2.有一个棱长为5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(如下图)，求这个立体图形的体积．10第11级上超常体系教师版\n第十三【分析】从前往后分成五层，依次如下图3因此这个立体图形的体积是：2(2220)892（cm）3.有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透“T字型”的孔(如图所示)，这个立体图形的体积是多少【分析】从前往后分成五层，依次如下图3因此这个立体图形的体积是：220881672（cm）第11级上超常体系教师版11\n4.如图所示，一个555的立方体，在一个方向上开有115的孔，在另一个方向上开有215的孔，在第三个方向上开有315的孔，剩余部分的体积是多少？【分析】方法一：将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100．方法二：开了315的孔，挖去31515，开了115的孔，挖去11514；开了215的孔，挖去215(22)6，剩余部分的体积是：555(1546)100．5.将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体．则三个面涂漆的小正方体有________块．【分析】因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有8块．6.64个同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个4×4×4的大正方体，，大长方体表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最小是多少？【分析】中心8个都用白色，在面上但不在边上的小正方体24个，也都用白色，还有2个白色放在棱上，所以白色小正方形有24+4=28个，黑色小正方形有96-28=68个，那么面积之比最小为28:68=7:177.如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多______块．【分析】三面涂上红色的小正方体有：425428个，两面涂上红色的小正方体有：341416个，所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612块．12第11级上超常体系教师版\n第十三8.右图是由27块小正方体构成的333的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？3【分析】对于由n块小正方体构成的nnn正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有2312（n2）块，一面涂有红色的有6(n2)块，没有涂色的有(n2)块．由题设条件，3一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即(n2)88，解得n6．超常班学案【超常班学案1】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体与写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?33231321211132132323【分析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．543654765432543654321432543第一层第二层第三层上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216．第11级上超常体系教师版13\n【超常班学案2】有一个棱长为5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(如下图)，求这个立体图形的体积．【分析】方法一：从前往后分成五层，依次如下图，所以共有20164162076块．方法二：根据题意画出这个立体图形，分顶点和棱上数小立方体，顶点：8864，棱：11212，共有641276块小立方体【超常班学案3】有一个长、宽、高分别为12、9、7厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的正中央处都打一个底面为4平方厘米的正方形的贯穿洞．这个正方体剩下的体积是___立方厘米．【分析】9127打洞部分的体积为：12449447442444320（立方厘米），所以剩下的体积为：1297320436（立方厘米）．14第11级上超常体系教师版\n第十三【超常班学案4】一个大正方体，表面全涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1的小正方体．如8果在这些小正方体中，六个面都没有涂红色的小正方体的个数占全部小正方体个数的，那么大27正方体的棱长是___3【分析】设大正方体的棱长是a，则大正方体被分割成a个体积都等于13的小正方体，其中六个面都没有涂红色的小正方体的个数是(a2),a2382343所以()()()，于是有a=6．a2736123班学案【超常123班学案1】如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：【分析】如图，设正方体棱长为1，三个长方体高分别为x,y,z.1113所以有x+y+z=1，(2+4x):(2+4y):(2+4z)=3:4:5，可解得：x=，y=，z=，所以，三个8324长方体的体积比就是高的比，x：y：z=3：8：13【超常123班学案2】如图所示，用棱长为1的小立方体，堆集成一个576的长方体，然后再三个方向打洞，剩余部分的体积是多少？【分析】从上往下分五层看，如图：第11级上超常体系教师版15\n因此剩下部分的体积是372291522140【超常123班学案3】（世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方晋级赛六年级）有6个长、宽、高分别是4厘米、5厘米、6厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得6个长方体中染有红色的面恰好分别是1个面、2个面、3个面、4个面、5个面和6个面．染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有_______个．【分析】题目要求恰有一面是红色的小正方体最多，因此染红面是1个面的一长方体中恰有一面是红色最多有5630个；染红面是2个面的一长方体中恰有一面是红色最多有56260个；其他依次是60,60,56,52，因此恰有一面是红色的小正方体最多有306060605652318个【超常123班学案4】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个棱长为1的小正方体，其中恰有两个面涂上红色的小正方体恰好是2013块．大长方体体积的最小值是．【分析】设大长方体的长、宽、高分别为x,y,z(xyz1)．当y=1或2，z=1时，没有两个面涂上红色的小正方体；当y>2，z=1时，两个面涂上红色的小正方体有x2y2个，得到x2y22013201316713111833361.大长方体的体积xyzxy，为(20132)(12)6045，(6712)(32)3365，(112)(1832)2405(332)(612)2205，当z≥2时，两个面涂上红色的小正方体有x2y2z24(个)，上式的结果是偶数，此时两个面涂上红色的小正方体的个数不可能是2013所以，大长方体体积的最小值是2205.16第11级上超常体系教师版