第十四第十四讲最值综合知识站牌六年级秋季六年级秋季抽屉原理进阶数字谜中的计数六年级暑期最值问题综合六年级暑期逻辑推理综合五年级春季概率初识主要是对各种最值问题的综合，包括最值原理，构造中的最值及综合类的最值．漫画释义第11级上超常体系教师版1\n课堂引入日常生活中，“值”这个字一般做动词使用，表示值得；或做形容词使用，表示商品物美价廉，“真值”.但是在数学中，“值”一般做名词解释，表示“数值”.本讲“最值综合”就是有关求解满足某一条件的“最大数值”或“最小数值”的问题.教学目标1.熟练掌握并自如运用最值定理2.掌握综合性的最值问题，如应用题中“最少花费”或“最多产出”类问题；和数字谜最值问题3.掌握最值问题中构造与论证题型经典精讲1．最值定理：两个数的和一定，差越小，积越大．(另外一层含义就是：和一定，差越大，积越小)两个数的积一定，差越小，和越小．(另外一层含义就是：积一定，差越大，和越大)2.构造最值：先分析，再构造例题思路模块一：最值定理例1：和一定，差小积大例2：平面几何最值例3：立体几何最值模块二：综合最值例4：统筹问题（最少花费，最多产出）例5：数字谜最值模块三：构造最值例6：数列构造例7：图形构造例8：至少/至多选出多少个数2第11级上超常体系教师版\n第十四例1用09这10个数字组成两个五位数，⑴要使得它们的乘积最大，那么这两个五位数分别是多少？⑵要使得它们的乘积最小，那么这两个五位数分别是多少？（学案对应：超常1）【分析】⑴为使这两个五位数的乘积最大，应将比较大的数字尽量派到靠前的数位上，所以万位数字是9和8，千位数字是7和6，百位数字是5和4，十位数字是3和2，个位数字是1和0．那么两个五位数的和肯定是(98)10000(76)1000(54)100(32)1010为定值，那么要使得这两个数的乘积最大，就要使得这两个数的差尽可能小，因此两个数应该是96420和87531．⑵和一定，差越大，积越小，类似分析可知，当这两数取10468和23579时，乘积最小．例2某校有一道笔直的围墙，该校准备以围墙为一边，用一道长36米的铁丝网，围成一块长方形菜地，这块菜地的面积最大是多少平方米？（学案对应：超常2）【分析】如图，用铁丝网围成的长方形菜地为ABCD，将长方形沿DC边翻转得到大长方形ABEF，大长方形周长为72米，当其为正方形时候面积最大，所以长方形ABCD面积最大为18182162平方米BA墙CDEF例3如图，一个边长为60的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？【分析】设减去的小正方形的边长是x，那么长方体的容积是：602x602xx要求这个式子的最大值.我们知道，如果几个数的和固定，那么要它们的积最大，只需要这几个数的差尽量小就可以了.可是这里面3个数的和为1203x，不固定.那么我们可以考虑这3个数：602,602,4xxx，这3个数的和是120，积是602x602xx的4倍.而这3个数满足602x4x时积最大，此时x10.那么长方体容积的最大值是：602060201016000.第11级上超常体系教师版3\n例4甲、乙、丙、丁一天能生产的衣服或裤子如下表，上衣裤子甲：8件10件乙：9件12件丙：7件11件丁：6件7件现问甲、乙、丙、丁每周最多能生产多少套衣服？（学案对应：超常3，带号1）【分析】分别比较，四个人的生产上衣和裤子的效率之比，则得到甲为0.8，乙为0.75，丙为0.63，丁为0.857142．则让生产上衣效率高的尽量生产上衣，让最低的尽量生产裤子．此时，甲、丁共生产上衣8×7+6×7=98件．丙生产裤子11×7=77件．此时令乙生产上衣x天．则9x+98=12(7-x)+77.解之得x=3此时共生产上衣125件．中国世界之最大全1、世界最长的城墙——中国万里长城.2、世界最古老的东西贸易通道——丝绸之路.3、世界围地最大的城墙——明代南京石头城.4、世界最早的兵书——春秋孙武的《孙子兵法》5、世界水稻种植最北的地区——黑龙江呼玛县.6、世界最著名的涌潮——钱塘江潮.7、世界最大陨石雨和陨石——降落在吉林省.8、.世界最大的皇宫——北京的故宫9、世界最长的运河——京杭大运河.10、世界最长的石窟画廊——敦煌莫高窟11、世界海拔最高的河流——雅鲁藏布江.12、世界最高的大咸水湖——西藏的纳木错湖13、世界高峰最多的山脉——喜马拉雅山脉.14、世界最高的农业种植区——西藏.15、世界流动沙丘面积百分比最大的沙漠——塔克拉玛干沙漠.16、世界最低的盆地——新疆吐鲁番盆地.17、世界陆面最大的高差——珠穆朗玛峰（8844.43）与艾丁湖（﹣155米）.18、世界熔岩地貌最发达之地——广西、贵州和云南东部.19、世界最大的黄土地貌——中国黄土高原.20、世界最高最年轻的高原——青藏高原.21、世界空气最稀薄之地——珠穆朗玛峰.22、世界最高、最大的高原湖群分布区——藏北高原.4第11级上超常体系教师版\n第十四例5华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：“猛攻苦战是第一，熟练生出百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分才.”现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数.如果这个28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？（学案对应：带号2）【分析】读题意，诗中共有28个字母，其中，一重复了3次，是重复了2次，分重复了2次，不同的数共有28-1-2-1=24个；现在要让“分”尽量的大，则让其他的数尽量的小.令最小的数为a，次小的为a+1…最大的则为a+23.看是否满足，不满足再进行调整.根据题意，这28个数的平均数是23，则他们的和是：23×28=6443a+2(a+1)+(a+2)+(a+3)2(a+23)=2a+a+1+a+23+(a+a+23)×24÷2=300+28a，则（644-300）÷28=128，此时还多8，则可把a+1与a+9互换，即3a(a1)(a2)(a8)2(a9)(a22)2(a23)，即让是代表23即可.此时分最大代表的是35.例6将不小于1的17个不同的整数排成一列，使其任意相邻的4个整数的和都不小于100，求这17个整数之和的最小值.（学案对应：超常4，带号3）【分析】设17个不同的整数分别为a1，a2，a3，…，a17，则S(aaaa)(aaaa)(aaaa)a，123456781314151617为了使总和最小，则令aaaaaaaaaaaa100，1234567813141516同时使a17尽量小，因为a1a2a3a4100，所以a2a3a4a5至少为101，所以a比a至少大1，依此类推，则a比a至少大4，所以a至少为5，5117117此时有一组解符合题意：1，17，33，49，2，16，34，48，3，15，35，47，4，14，36，46，5.总和最小为10045405.例7正方体的八个顶点上分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后把每条棱的两端的两个数相加所得和中最多有种不同的数值．（学案对应：带号4）【分析】这个题用到整体法．共12条棱，最多12个值．12达不到．因为所有和总和（1+2+3+4+5+6+7+8）×3=108两个数的和最小3，最大15．从这13个数中挑12个，也就是去掉9才能让总和108．所以1相邻2（因为有和为3），还相邻3（因为有4），还相邻4（因为有5）．这样6就无法得出．所以最大11．具体标数如下：78364512第11级上超常体系教师版5\n例8有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49，各不相同.请你挑出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码的乘积小于100.你最多能挑出多少个小孩？【分析】最多能挑出18个小孩.方法一：要想挑选的小孩尽可能多，要尽量先挑号码小的，先从1，2，3……开始，在1和2之间插入最大的号码—49，49×2＝98，不超过100.在2与3之间，应插哪个号码？3×33＝99，应插33……在8与9之间可以插入11；在9与10之间还能插入哪个号码呢？没有一个号码能再插人，因此，10的旁边应该是1，形成一个圆圈.数一数号码，共18个.因此，最多能挑选18个孩子.方法二：题目规定，两个号码的乘积不能大于100，因此，这两个号码一定有一个是个位数，也有一个是两位数，两个两位数的号码不能作邻居.先把从1到9的九个号码排成一个圆圈；在每两个号码之间都有一个空，共有九个空，还可以插入九个号码.无论插入的号码数字大一点还是小一点都可以，反正答案只有一个.用若干个棱长为1的小正方体铁框架焊接成的几何体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示.那么这个几何体至少是个小正方体铁框架焊接而成.注意，此题是焊接而成，而不是堆砌，则中间可以空，所以用9个小正方体铁框架即可焊接而成.如下图6第11级上超常体系教师版\n第十四附加题1.ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的数字．已知ABCDEFG1993，问乘积ABCDEFG的最大值与最小值差多少？【分析】由于ABCDEFG1993，可以看出A1，因为E0,1，所以B最大为7，这时E2．由于D、G都不能是0,1，所以DG13，CF8．由于F0,1,2，所以F最小为3，C最大为5．从而三位数BCD最大为759，这时EFG234；BCD最小为234，这时EFG最大，为759．由于ABCD与EFG的和一定，所以当它们的差最小即EFG最大时，它们的积最大，这时ABCD与EFG分别为1234和759；当它们的差最大即EFG最小时，它们的积最小，这时ABCD与EFG分别为1759和234．所以，乘积ABCDEFG的最大值与最小值的差为：12347591759234936606411606525000．2.用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式.【分析】要让乘积最大，首先3个三位数的百位数字必须尽量大.123......94591818要分成3个能被9整除的三位数，那么必有1个数的各位和为9，那么这个数最大是621.剩下两个三位数，百位必然是8和9，那么只能是873和954.这个算式是：6218739543.如右图，正方形ABCD的面积为4，延长BC与DC，矩形CEFG的面积为16，DE交BG于C，那么四边形BEGD的面积最小为多少？ADCBGEF【分析】正方形ABCD的面积为4，则边长为2.设CEx，CGy，则四边形BEGD的面积=三角形BDC的面积+三角形CEG的面积+三角形CBE的面积+三角形DCG的面积1=2+8+(CDCGCBCE)21=10+(2x2y)2=10+(xy)由假设知道xy16，根据两数和为定值时，两数相等时积最大的原理.推知两数的积为定值时，两数相等时和最小.故xy4时，四边形BEGD的面积最小，最小为18.第11级上超常体系教师版7\n4.从1,2,3，…，2009，这2009个数中最多可以选出多少个数，使得其中任意两个数的积都不是他们差的倍数？【分析】将所有的奇数选出，共计1005个，其中任意2个数的积是奇数，而差是偶数.若选出1006个数，那么必可找出相邻的2个数来.这是因为如果任意各数之差都不小于2，那么最大的数就不小于1+1005×2=2011>2009.1115.试求算式adg的最大值，其中每个不同的字母代表不同的非零111behcfi的数码.111【分析】要使算式最大，不妨取a9，d8，g7.要使最大，分母应该最小.111behcfi取b1，e2，h3，之后取c6，f5，i4，所以原式11165470298724241117111310011236546.圆上的100个点将该圆等分为100段等弧，随意将其中的一些点染成红点，要保证至少有4个红点是一个正方形的4个顶点，问：你至少要染红多少个点?DACOB【分析】如图所示：圆的一对直径AC，BD互相垂直时，则ABCD恰是一个正方形.反过来，如果圆上的四点A，B，C，D恰是一个正方形ABCD的4个顶点，则对角线AC，BD恰是该圆的一对互相垂直的直径.圆上的100个点将该圆等分为100段等弧，恰有25对互相垂直的直径，由互相垂直的直径的4个端点恰可构成25个不同的正方形.最不利的情形是：每对互相垂直的直径的4个端点中染红3个点，则总计在圆的100个等分点中染红了75个点，其中任意的4个红点都不是一个正方形的4个顶点.这时，我们只要再染一个红点，即染76个红点，而76＝3×25＋1，就必定会出现一个正方形的4个顶点都是红点，因此，要保证至少有一个正方形的4个顶点为红点，至少要将这100个等分点中的76个点染成红点.8第11级上超常体系教师版\n第十四知识点总结1.最值定理：和一定，差小积大；积一定，差小和小．2.构造最值：先分析，再构造家庭作业1.将1到9填入下面的九个口中，算式的和的最小值是____.口×口×口+口×口×口+口×口×口74【分析】积相同，差小和小.三个数的乘积为9!2357.可以分成：32322323257981643257727270，差肯定是最小的.那么和为727270214.2.用数字2,5,6,7,9组成1个三位数和1个两位数，这两个数的乘积最大是多少？【分析】95762723903.一个长方体，有相邻的两个面的面积之和是36平方厘米，它的长、宽、高都是整数厘米，并且都是质数.长方体体积最大是（）立方厘米.【分析】由已知可设长方体长宽高分别为abc,,则(ab)c36218312，则c2或c33当c3时，a5,b7，Vabc573105cm最大.3当c2时，a5,b13,或者a7,b11,Vabc2711154cm最大.3经比较，长方体体积最大是154cm.4.如图，等腰直角三角形ABC中，CACB4厘米.在其中作一个矩形CDEF，矩形CDEF的面积最大可能是多少？【分析】矩形CDEF的长和宽之和是一固定值：4厘米.那么长和宽相差越小，面积越大.因此矩形面积最大为224平方厘米.5.某服装厂有甲、乙两个车间，甲车间每天生产上衣16件或20条裤子，乙车间每天生产上衣18件或24条裤子，要上衣和裤子配套，两个车间各生产21天，最多能生产多少套衣服？16201620【分析】甲、乙生产上衣和裤子的效率比分别为,，且，所以应该选择甲车间生产上18241824第11级上超常体系教师版9\n衣，乙车间先生产裤子；这样21天内，甲车间共生产上衣16×21＝336件.而乙车间生产同样件数的裤子只要336÷24＝14天.乙车间余下7天则根据它生产上衣和裤子的效率比18:24＝3:4来确定生产上衣的天数(4天)和生产裤子的天数(3天)，这样7天内乙车间共可以生产72套衣服.加上前面生产的336套衣服，则21天共可生产衣服408套.6.将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续三个数之和写下来，则可以得到六个数a、a、a、a、a、a，将这六个数中最大的记为A．请问在所有填写方式中，123456A的最小值是什么？613425【分析】要由于每个写在圆周上的数都被用了三次，则a1a2a3a4a5a63(123456)63，即写出来的这6个数的平均数为10.5，因此A至少为11．由上图的排列方式可知A为11的情形存在，故A的最小值为11．7.有一个K位数N，在它的两头各添上一个1以后就变成一个K2位的数M．若M是N的23倍，求当K最小时，N的值是．K1K1K1【分析】根据题意可知，M11010N123N，所以13N101，那么101是13的倍数，其中最小的为1001．此时K2，N77，满足题意，所以当K最小时，N的值是77．8.一个正方体的12条棱分别被染成红色和蓝色，每个面至少要有一条边是红色的，最少有（）条边是红色的.A．6B．5C．4D．3【分析】长、宽、高各选一条染红色，且被染成红色的长、宽、高均不在同一平面即可！例如下图：10第11级上超常体系教师版\n第十四超常班学案【超常班学案1】用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.请问：算式ABCDEFGHIJ的计算结果最大是多少？【分析】要使ABCDEFGHIJ的结果最大，那么要使ABCDE的值最大，FGHIJ的值最小.对于位数不同的两数进行赋值，首先应把位数补齐，再从高到低赋值.要使ABCDE的值最大，即让ABCDE0每位数字的分配方法如下：百位尽可能大，AD,7,9；十位两数次之，BE,3,5；个位最小C1.于是，要让两乘数的差尽量小，那么，ABCDE0751930698430，ABCDE7519369843.FGHIJ的值最小，即让FGHIJ0每位数字的分配方法如下：百位尽可能小，FI,2,4；十位两数次之，GJ,0,6；个位最大H8.于是，要让两乘数的差尽量大，那么FGHIJ046820093600，FGHIJ468209360.所以ABCDEFGHIJmax60483.【超常班学案2】如图，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形.这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？53421768【分析】先把八边形补成一个矩形.那么要让八边形的面积最大，首先要让矩形的面积最大.矩形的周长为123456783649如果4条边的长度都是9，那么仅有18273645，而实际上有1条边是由3条小线段组成的，显然不成立.那么让3628210.这时可让上下两条边为8：8125，左右两边为10=3746.此时大矩形的面积为81080.此时想让八边形面积最大，那么左右缺损的两个小矩形面积要尽量小，分别是14423；6.于是八边形的面积最大为804670.各线段长度如图.第11级上超常体系教师版11\n【超常班学案3】40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗.这40名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学生的劳动效率如下表所示.如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么应如何安排人员才能既完成挖树坑的任务，又使树苗运得最多?挖树坑运树苗人数效任(个/人)(棵/人)(名)务率人员甲类22015乙类1.21015丙类0.8710【分析】这三类学生挖树坑的相对效率是：挖树坑2甲类：=0.1运树苗20挖树坑1.2乙类：=0.12运树苗10挖树坑0.8丙类：0.114运树苗7由上可知，乙类学生挖树坑的相对效率最高，其次是丙学生，故应先安排乙类学生挖树坑，可挖：1.21518(个)，再安排丙类学生挖树坑，可挖：0.8108(个)，还差301884(个)树坑，由两名甲类学生去挖，这样就能完成挖树坑的任务，其余13名甲类同学生运树苗，可运：1320260(棵).【超常班学案4】9个各不相同的正整数排成一排，如果任何五个相邻的数之和都大于36，这9个正整数的和的最小值是多少？【分析】设9个数依次为A~I，和为S，有S(ABCDE)(EFGHI)E，所以极限情况下，ABCDEEFGHI37且E最大，此时另外8个数尽量小，所以取1~8，此时E371819，构造一组1,4,5,8,19,7,6,3,2,即符合条件.123班学案【超常123班学案1】在一条公路上，每隔50公里便有一个垃圾站，公路上共有5个垃圾站．如图三垃圾站分布成一直线，A站储有垃圾10吨，B、C、D、E站各储有垃圾20吨、0吨、0吨和35吨．已知每运送一吨垃圾五公里便需40元，若要把所有垃圾运往一个垃圾站内存放，问运往哪一个垃圾站的费用是最便宜的?运费是多少元?A站B站C站D站E站10吨20吨0吨0吨35吨【分析】方法一：直接计算法：分别计算运往A,B,C,D,E垃圾站的运费：A：64000元，B：46000元，C：44000元，D：42000元，E：40000元12第11级上超常体系教师版\n第十四所以，运往E最便宜，运费是40000元．方法二：扰动法：在AB之间时，垃圾每向右移动五公里，费用减少（20+35-10）×50＞0，BE之间，垃圾每向右移动五公里，费用减少（35-10-20）×50＞0，所以费用最低时，垃圾都运往E站，费用为（3×50×20+4×50×10）×40÷5=40000（元）．【超常123班学案2】下面的两条横幅：中华少年杯赛联谊切磋勾股炎黄子孙惠州弘志振兴中华每个字代表一个小于25的非零自然数，不同的字代表不同的数，相同的字代表相同的数.已知14这些字代表的24个数的平均值是12.问“中华”两个字代表的自然数之和的最大值是多少?2414302【分析】这些字代表的24个自然数的平均值是12＝，则这24个数的和为302.如果24个汉2424字分别代表1至24，其总和是25241＋2＋3＋＋23＋24＝＝300，2因为302－300＝2，“中华”两字各出现了2次，其他字都只出现一次.必有其中一个“中华”由于代替了另外两个不同的汉字，使得总和增加2.设x和y分别代表“中”和“华”，所代替的两字为u，v，应当有：x＋y＝2＋u＋v．要使想x＋y最大，只要使u＋v最大.x＋y≤23＋24=47u＋v≤47－2=45若x＋y＝47，只能取x＝24，y＝23，或x＝23，y＝24．这时u＋v＝45，只有u＝23，v＝22，或u＝24，v=21，会出现y＝u的情况，所以x＋y＝47不能达到.再看x＋y＝46，可取x＝24，y＝22.由u＋v＝44，可取u＝21，v＝23.可见x＋y＝46可以达到.所以，“中”与“华”所代表的自然数之和的最大值是46.第11级上超常体系教师版13\n【超常123班学案3】如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.【分析】要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×(1+2+3+…+10)=275．每次和都小于等于M，所以10M大于等于275，整数M大于28．下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相间排列，也就是说数组每隔4个差值为1，这样从1填起，容易排出适当的填图.【超常123班学案4】在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两端所标的两个数之和写在这条棱的中点，各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值?如果可能，对照左图，在右图的表中填上正确的数字；如果不可能，说明理由.不同数值ABCDEFGH【分析】1）各棱中点处所写的数恰有五种不同数值是可能的，但填法不唯一.下表是一种解答.不同数值ABCDEFGH6，8，910，12153784622）不可能少于五种不同数值.以1所在顶点为端点的棱有三条，不妨设这三条棱的另一端点所填写的数是a、b、c，满足a＜b＜c，则这三条棱的中点处的数为1＋a，1＋b和1＋c，满足1＋a＜1＋b＜1＋c.以8所在顶点为端点的棱也有三条，设这三条棱另一端点所填写的数为x、y、z，满足x＜y＜z，则这三条棱的中点处的数为8＋x，8＋y，8＋z，满足8＋x＜8＋y＜8＋z，既然，c≤8，l＋c≤9；x≥1，8＋x≥9，所以l＋a＜1＋b＜1＋c≤8＋x＜8＋y＜8＋z，只有当c＝8，x＝1时，以上六条棱中点处的数才能恰有五个不同的数值，否则就多于五种不同数值.而这六条棱中点的六个数不可能少于五种不同的值，因此在12条棱中的点处所写的数不可能有少于五种不同的数值.14第11级上超常体系教师版