第十一第十一讲从整体考虑知识站牌六年级秋季六年级秋季从极端考虑数形结合六年级暑假从整体考虑六年级暑假归纳与递推五年级春季类比与猜想探讨整体思想在换元法、捆绑法、旋转轮换式方程、几何割补中的应用漫画释义第11级上优秀A版教师版1\n教学目标1.理解从整体考虑的内涵，尝试着用整体考虑思想去思考问题．2.运用整体考虑思想解决相关问题．课堂引入现实生活中，我们经常会听到“整体考虑”这个词，而且也会时不时的用“整体考虑”这个词来说明问题．例如你的父母给你买衣服时，先买了一件上衣，发现你的裤子和上衣不搭配，于是又给你买了一件和上衣搭配的裤子．为什么你的父母会发现不搭配呢？原因是你父母整体考虑了你的身材．现在又有一个现实问题摆在你面前，大家可以看看我们的例题，个别题目你看完后就有解题思路，有的题目根本没有思路．不过纵观所有例题，从整体考虑我们的多数题目还得和老师一起思考才会有思路，因此为了解决这个问题，我们就来认真听讲，看看老师是怎么思考的吧！经典精讲整体思想解题在解数学题时，有时候从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之，会导致解题过程繁杂、运算量大．有很多数学问题，如果我们有意识地放大考查问题的“视角”往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．其主要表现形式有：整体设元、整体代换、整体补形．整体设元（换元）：用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的．一般在题目条件中数字较大、式子较复杂，而重复度高的情况下使用．整体代换：根据问题的条件和结论，选择一个或几个式子，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的．一般在某个式子里的各个分量具体值是无法求解的，而题目却必须要求某个式子的值时使用．例如：一个圆柱体底面积是5平方厘米．展开后是一个正方形，求这个圆柱体的表面积．整体补形：根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法．一般在几何问题，通过割补法解题时使用．例如：ooA45,BD90,AD7,BC3，求S四边形ABCD2第11级上优秀A版教师版\n第十一知识回顾1.你能通过移动天平上的砝码，使下面的天平平衡吗？【分析】左边=1020838克，右边=1016430克，左边比右边多8克．只要从左边拿4克到右边，两边的重量就一样多．这样可以把左边8克的砝码和右边4克的砝码互换一下，左右两边重量都是34克，天平平衡．2.3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1只小花猫等于3只鸭的重量，1只狗重9千克，1只猫与1只鸭各重多少千克？【分析】3只猫等于1只狗的重量，1只狗重9千克，3只猫也就重9千克，933（千克），所以1只猫就等于3千克．1只猫等于3只鸭的重量，1只猫重3千克，3只鸭也就重3千克．331（千克），所以1只鸭等于1千克．3.甲、乙两人共储蓄32元，乙、丙两人共储蓄30元，甲、丙两人共储蓄22元．三人各储蓄多少元？【分析】方法一：甲乙乙丙+甲丙32302284(元)，即2倍的(甲乙丙)等于84元．甲乙丙84242(元)．423210(元)……丙储蓄款，423012(元)……甲储蓄款，422220(元)……乙储蓄款．方法二：(322230)224212(元)……甲储蓄款．321220(元)……乙储蓄款，302010(元)……丙储蓄款．4.解方程：124x3x2【分析】124x3x21223x4x147xx24x7y144,5.解方程组：12x5y240.【分析】第一个方程两边同时乘以3得12x21y432再减去第二个方程得16y192解得第11级上优秀A版教师版3\ny12进而x15x15所以原方程组的解为y12例题思路计算方面的换元法：例1、例2计数方面的捆绑法：例3几何方面的整体代换：例4应用题方面的整体考虑：例5例111111111111111111111．234523456234562345（学案对应：学案1）11111111【分析】设1A，B23452345原式11111111ABABABAABBAB(AB)．66666666【想想练练】111111111111计算：(1)()(1)()232013232014232014232013【分析】本题数据较多，直接计算过于复杂，观察到题中出现的相同算式，考虑整体设元．111111111设：a，b，2342013234201320141则原式(1ab)(1ba)ba．2014例22计算：201320132013201420132012（学案对应：学案2）【分析】设a201320132原式a(a1)a1)22a(a1)14第11级上优秀A版教师版\n第十一【想想练练】20122013201320122012201220132013【分析】设20122012a,20132012b原式(a1)ba(b1)abbababa10000例34名男生和4名女生排成一队，要求女生必须排在一起，则共有多少种排法？（学案对应：学案3）4【分析】先把女生排好共有A424种排法，再把排好的女生队伍当做一个整体，这个整体与4名男545生去排队有A120种排法，所以共有AA2880种．545苏步青和他的行程题我国著名数学家苏步青教授去法国做学术访问时，一位陪同他的数学家在电车里给苏教授出了这道题：甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100里，甲每小时走6里，乙每小时走4里．如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住．这只狗共跑了多少里路？本题好像是一个分段行程问题，但如果按照这个思路尝试，却会发现计算量庞大，无法得出结果．但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同．由此便能求出答案：狗一共跑了1006410（小时），所以狗跑的距离为1010100（千米）．有时我们会遇到一些看起来无法解决的问题，这个时候我们就需要问问自己：是否应该换个角度思考？尝试着像上面的题从整体思考，一定能让我们的头脑在锻炼中变得越来越聪明！例4已知如图阴影面积为2.28平方厘米，求下图圆的面积．（π=3.14）（学案对应：学案4）第11级上优秀A版教师版5\n221r2【分析】设圆的半径为r，则有3.14r2.28，解得r8，所以圆的面积是423.14825.12（平方厘米）2【想想练练】图中阴影部分的面积是25cm，求圆环的面积．22Rr22【分析】设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有25，即Rr50．则圆环面积为：2222222πRπrπ(Rr)50π157(cm)．例5（A版（1）~（3））3x6y17⑴已知，求xy．7x4y13x2y3z8⑵已知，求xyz．x3y5z6⑶购买3斤苹果，2斤桔子需要6.90元；购买8斤苹果，9斤桔子需要22.80元，那么苹果、桔子各买1斤需要元．⑷购买1斤香蕉，2斤桔子需3元；购5斤香蕉，8斤桔子需17元，那么购买1斤香蕉、1斤桔子共需______元．⑸有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要元．⑹某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹅蛋共用去9.25元；买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹅蛋共用去3.20元．试问买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元？【分析】⑴两个方程相加得10x10y171330，即xy3x2y3z8（1）⑵(1)2(1)得，xyz82610x3y5z6（2）⑶假设购买1斤苹果、桔子分别需要x元、y元，则：3x2y6.9，8x9y22.8两式相加得11x11y29.7，即xy2.7．所以各买1斤需要2.7元．⑷假设购买1斤香蕉、桔子分别需要x元、y元，则：6第11级上优秀A版教师版\n第十一x2y3（1）5x8y17（2）（2）-(1)3得2x2y17338，xy4即购买1斤香蕉、1斤桔子共需4元3x7yz20(1)⑸设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z，则，4x10yz27(2)由(1)3(2)2得xyz3202276，即各买一件需要6元．⑹设鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各买一个分别需x,y,z元，则：13x5y9z9.25(1)2x4y3z3.2(2)（1）+（2）4，得21x21y21z9.253.24，xyz1.05即买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需1.05元．旅馆房价30元，小雪、小珂、小戴三人一起入住，每人付10元．后来老板又打折了，只要25元，让服务员退给他们5元，服务员偷偷拿了2元，退给他们每人一元，这样等于他们三个一人掏了9元，3927(元)，再加上服务员的2元，是29元．问：那一元去哪了？答案：问题本身就是严重的逻辑混乱，没分清整体和部分的关系．可以分为两个整体：○1小雪、小珂、小戴付的30元钱，这30元钱最终归属是：老板25，小雪、小珂、小戴每人1，服务员2．25111230．○2小雪、小珂、小戴付的27元钱，这27元钱的最终归属是：老板25，服务员2．25227也就是说服务员的2元是包含在三人掏的那27元里面的，不能乱加起来！附加题3141592631415927314159251.计算：．31415926314159271【分析】设a31415926a(a1)(a1)原式aa(1)12aa12aa11第11级上优秀A版教师版7\n2.如图，ABCD是正方形．阴影部分的面积为．（取3.14）AD53BC222【分析】设内部的正方形边长为a，由勾股定理，可以求得内部的正方形的面积为a5334，22a217（或者a(35)35234），所以其内切圆的面积是()，阴影部分面积2217为347.31．23.2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9=2025，这样的4位数称为“零巧数”，那么请罗列出所有的“零巧数”有．【分析】设零巧数为abc0，因此有abc09abc，即1000abc900a9bc，2bc25a，因此a是小于8的偶数，因此所有的零巧数是2025,4050,60754.有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，也可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．【分析】设原来的两位数是ab，则得到的两个三位数分别为ab3和3ab，四位数为3ab3，由题知ab33ab3ab33600，即10ab3300ab300310ab3600，21ab294，故ab14．5.小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你来回答这个问题．职位会计与出纳出纳与秘书秘书与主管主管与主任主任与会计月薪和3000元3200元4000元5200元4400元【分析】观察所有人的工资和发现每人的工资都计算了两次，所以将全部工资和相加后除以2后得到五人的工资和为：（3000+3200+4000+5200+4400）÷2=9900（元）．由于要求主任的月薪，所以将会计和出纳的3200元，秘书和主管的4000元减去即得主任的月薪为：9900-3000-4000=2900（元）．6.商店规定4个空汽水瓶可换一瓶汽水，某班28位同学春游，他们至少买多少瓶汽水才能确保每人有一瓶汽水喝？【分析】此规定等价于：3个空瓶=1瓶汽水（不含瓶），设至少买x瓶汽水才能确保每人有一瓶汽x水喝，有x28，x21，则只需买21瓶汽水，其中21个空瓶可换7瓶汽水，（在换3的过程中，最后还需向商店借一个空瓶，喝完汽水再还回商店）共计28瓶．7.赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回．假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？2【分析】上山下山的平均速度为4（千米/时），所以整个过程的平均速度也是4千米/时，故1136共走12千米．8第11级上优秀A版教师版\n第十一知识点总结1.有很多相同部分的计算题，通过换元，达到简便计算的效果2.计数问题，排列组合里的捆绑法3.无法单独求出每个未知数，但是可以求出某几个未知数的和的方程及相关应用题4.几何面积计算中出现求不出来的半径时，通常用整体考虑家庭作业11111111111111111.计算()()()()．57911791113579111379111111111【分析】设a,b，79117911131111则原式=(ab)(ba)(ba)．555652.计算：201420132012201220132014．【分析】设20132012a原式2014a2012(a2)2014a2012a201222a220122(201320122012)402600003.4名男生和3名女生排成一队，要求女生必须排在一起，则共有多少种排法？3【分析】先把女生排好共有A36种排法，再把排好的女生队伍当做一个整体，这个整体与4名男535生去排队有A5120种排法，所以共有A3A5720种．4.大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形；再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求圆环的面积．(π取3.14)O【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中22已知阴影部分的面积，也就是Rr50平方厘米，那么环形的面积为：2222πRπrπ(Rr)π50157(平方厘米)．第11级上优秀A版教师版9\n5.有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数．【分析】方法一：设两位数为x，则有（10x＋1）－（100＋x）＝414，解得：x＝57．方法二：可以用数字谜的方法来解．列竖式如下：ab11ab414分析竖式知1减b不够减，肯定要向前借1位，即：101b4，整理得：b＝7，b借1给个位十位，此时6－a＝1，整理得：a＝5，经百位计算验证，结果正确．6.甲杯中装有浓度为10%的糖水溶液40克，乙杯中装有浓度为19%的糖水溶液60克．现在分别从甲和乙中取出相同重量的糖水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中，这样甲、乙容器中糖水浓度相同．则从甲中取出的糖水是多少克？【分析】从整体来看，最后甲乙中的浓度等于40克10%糖水和60克19%糖水混合后浓度，所以甲3中10%糖水和19%糖水的比例为2:3，所以从甲中取出的糖水是4024克．5A版学案【学案1】计算：(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)．【分析】设a0.120.23,b0.120.230.34，则原式=(1ab)(1ba)ba0.34．20130132013201420132012【学案2】计算：．20132013201320141【分析】设a20132013a(a1)(a1)原式aa(1)12aa12aa11【学案3】4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？【分析】先把女生排好共有2种排法，再把排好的女生当做一个整体，这个整体与4名男生去排队5有A5120种排法，所以共有1202240种．【学案4】如图中圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等．图中阴影部分的周长是厘米．（取3.14）a-RRAODRRBCa图8【分析】如图，设BCODa，OBOACDR，由已知πRRaR，于是有aπR．阴影1部分的周长为ABBCCDDA圆周长+2a4.12πR4.116.420.5（厘米）．4说明：这里π=3.14不必使用．1第11级上优秀A版教师版