第十二第十二讲多次相遇与追及知识站牌六年级寒假六年级秋季行程模块综合选讲变速问题六年级暑期多次相遇与追及五年级春季比例法解行程问题五年级寒假时钟问题总结多次相遇与追及的规律，利用比例、线段图、柳卡图解决多次相遇与追及问题漫画释义第11级上优秀A版教师版1\n课堂引入人与人的相遇是一种缘不管是擦肩而过，还是一次美丽的邂逅，都是一种缘缘会让来自不同世界的人走到一起例如今天我们是来自不同学校的同学，汇集到一起来学而思学习，这就是缘分，而且我们已是多次相遇，恰巧今天又要学习多次相遇与追及问题，那该是多大的缘分呀!缘是一个经历了心灵的过程，在这个过程里有些东西不仅仅是灵魂的一种体验，而且还是精神上的一种拥有为了这来之不易的缘分，让我们一起进入今天的课程，体会那精神上的享受！教学目标1.理解多次相遇与追及的规律，并能运用相应规律解决行程相关的问题2.掌握用柳卡图解决多次相遇与追及问题的技巧，体会柳卡图与线段图在解决行程问题中的联系与区别经典精讲一、往返相遇问题的重要结论：设一个全程中甲走的路程为M,乙走的路程为N⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题：⑵同一出发点的直线型多次相遇问题相遇甲乙共走甲共走的乙共走的相遇甲乙共走甲共走乙共走次数的路程和路程路程次数的路程和的路程的路程11MN122M2N233M3N244M4N355M5N366M6N……………………n2n1(2n1)M(2n1)Nn2n2nM2nN二、柳卡图柳卡图实质上是中学学习的S-T图的变形，即出现两条横轴（时间），纵轴（路程）忽略在画柳卡图时，最好是先画一个人往返于两地间的路线，并标注到达两地的时刻，接着再画另一人所走路线并标注到达两地的时刻，相交点即相遇地点，最后再利用几何中沙漏模型解决相关问题2第11级上优秀A版教师版\n第十二知识回顾1小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？【分析】从家到学校的路程：15230（千米），回来的时间30103（小时）．2两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米甲、乙两车相遇时，用了___小时【分析】根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），3两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？【分析】两车的相距路程减去5小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：480(4042)548041070（千米）．4甲、乙二人同时从相距10千米的两地出发，同向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，经过几小时甲追上乙？【分析】10÷（6—4）=5（小时）5A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？【分析】28÷(32－25)＝28÷7＝4(小时)6①同样的路程，甲乙的速度比为3：2，则甲乙的时间之比为____；②同样的时间，甲乙的速度比为3：2，则甲乙走的路程之比为____；③同样的速度，甲乙用的时间比为3：2，则甲乙走的路程之比为_____.【分析】①2:3②3:2③3:2例题思路模块一：多次相遇的认识例1：求全程个数例2：柳卡图的认识模块二：多次相遇与追及规律的应用例3、例4：两次相遇与追及的应用例5：多次相遇与追及的规律运用第11级上优秀A版教师版3\n例1甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？（学案对应：学案1）【分析】方法一：10分钟两人共跑了(32)60103000米300010030个全程．我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1,3,5,7,…,29共15次．方法二：第一次两个人相遇需要100(32)20(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200(32)40(秒)所以一共相遇：(106020)40115.5(次)，即为15次．【想想练练】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【分析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：100（64）10(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了126010710(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：100（64）10(秒)，(126010)(102)3510，共相遇35136(次).注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．例2如图，甲、乙两人在相距70米的甲乙两端同时出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，他们相遇的地点分别用A、B、…、G表示，问：38915162124甲CEAGBF乙4612182024D（1）A点到甲地的距离为米；（2）B点到甲地的距离：B点到乙地的距离=：；（3）C点到乙地的距离为米；（4）F点到G点的距离为米（提示：F点到甲地的距离减去G点到甲地的距离）【分析】（1）30米；（2）5:2；（3）60米；（4）20米4第11级上优秀A版教师版\n第十二例3甲、乙两车分别从AB,两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，两车相遇后继续行进，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回．已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是50千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A、B两地相距＿＿＿千米．（学案对应：学案2）【分析】方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是3:2，因此可以设全程为5份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）21ACDEFB因此甲、乙两地间的距离是5025125（千米）方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）034AB02631因此甲、乙两地间的距离是50()125（千米）55【想想练练】甲、乙两人同时从A、B两地同时出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A、B两地的距离为__米.【分析】方法一：将AB,间等分为5份，甲每走3份乙走2份，甲、乙相遇情况如下图：第2次相遇点第1次相遇点乙AB甲AB,两地的距离为30025750（米）.方法二：利用柳卡图，甲乙两人的速度比是3:2，因此走完一个全程所用时间的比是2:3,3122利用相似知识得CD间对应的分率是，AB,两地的距离为300750（米）.5555第11级上优秀A版教师版5\n法国数学家柳卡·斯图姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士他对射影几何与微分几何都作出了重要贡献在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家的晨宴快要结束的时候，柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?”问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们尽管为此问题大家进行了广泛的探讨与激烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题这个有趣的数学问题，被数学界称为“柳卡趣题”下面介绍的是柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．如下图：例4（A版（1）~（2））⑴甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地30千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距B地20千米处相遇，则A、B两地间的距离是千米⑵甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地30千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地60千米处相遇，则A、B两地间的距离是千米⑶甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距B地60千米处相遇，当甲乙第三次相遇时，距A地千米⑷如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米．求这个圆的周长．DABC6第11级上优秀A版教师版\n第十二⑸小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米（学案对应：学案3）【分析】⑴3032070（千米）⑵(30360)275（千米）⑶AB,两地间相距80360180千米当第三次相遇时，两车所走路程和是5个全程，那么其中甲车走了805400千米，400180240，所以距A地40千米⑷第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一个周长．从出发开始算，两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的路程是第一次相遇时合起来所走的路程的3倍，那么从A经过C到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是803240(米)．那么圆周上A到B的距离是24060180(米)．圆的周长为1802360(米)．⑸由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．则甲、乙两地的距离为(336)27.5千米；王李甲乙AB王李甲乙AB②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王．在这个过程中，小王走了633千米，小李走了639千米，两人的速度比为3:91:3．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9312千米．所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米【想想练练】如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行．它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点6厘米处的D点，问，这个圆周的长是多少？B第一次相遇AC第二次相遇D【分析】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A点出发的应爬行8324(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为83618(厘米)，一个圆周长就是：(836)236(厘米)第11级上优秀A版教师版7\n例5甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在A、B两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车3速度的，并且甲、乙两车第2012次相遇的地点和第2013次相遇的地点恰好相距120千米(注:当7甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A、B两地之间的距离是多少千米？（学案对应：学案4）20132012ADCB【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S：SV：V3:7，甲乙甲乙设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2012次相遇时，甲走：(201221)312069(份)，120691012069，所以第2012次相遇地点是在从A地向右数9份的C点，第2013次相遇时，甲继续向右数6份即可，到达D由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是120410300(千米)．四龟问题四只乌龟在边长为3米的正方形四个角上，以每秒1厘米的速度同时匀速爬行，每只乌龟的爬行方向时刻指向另一只.问：经过多少时间它们才能在正方形的中心碰头？答案：对于任意一只乌龟A，它始终朝着它面对的那只乌龟B爬行，因此无论如何，A与B的距离都是以1cm/s的速度在减小的，一开始两者距离是3m，所以就是300s之后，两只乌龟的距离变成0，即碰头.8第11级上优秀A版教师版\n第十二杯赛提高A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？【分析】方法一：3002403024006.75(个)，即甲乙共行了6.75个全程，共相遇了3次，甲乙两人的速度比是300:2405:4，设全程为9份①如图所示，甲走路线用实线表示，乙走路线用虚线表示第一次相遇甲行5份，乙行4份，5所以第一次相遇地点距A地是全程的9②第二次相遇时两人共行了3个全程，甲行的距A地93593份，所以第二次相遇1地点距A地是全程的3③第三次相遇时两人共行了5个全程，55927甲行的距A地7份，所以第三次相71遇地点距A地是全程的，所以第二次相遇距A地最近，最近距离是2400800(米)93方法二：柳卡图法，其中实线表示甲所走的路程，虚线表示乙走的路程，实线与虚线的交点就是相遇点由图可以看出两人共相遇了3次，其中第2次距A地最近，最近距离为D到A地的距离，由图看出1MNPQ:6:121:2，根据沙漏模型DADB:1:2，所以最近距离为2400800(米)3第11级上优秀A版教师版9\n附加题1.A、B两地相距950米甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米则甲、乙两车第次迎面相遇时距B地最近【分析】半小时，两人一共行走(40+150)×30=5700(米)，相当于5700÷950=6(个)全程，由于两人同时同地出发，两人行程每2个全程就会有一次相遇，而两人的速度比15:4，所以相同时间内4811两人的行程比为15:4，那么第一次相遇甲走了全程的2，距离B地个全程；154191916324第二次相遇甲走了全程的，距离B地个全程；第三次相遇甲走了全程的，距离B1919195地个全程，比较可知甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B地最近192.两名游泳运动员在长30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米，他们同时从游泳池的一端出发，来回一共游了21分钟，他们一共遇上（迎面或同向）几次？【分析】甲游全程用30130秒，乙游全程用300.650秒，画出柳卡图：0306090120150180210240270300甲乙030609012015018021024027030021分钟一共1260秒，一共相遇84133次3.男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A，坡底为B)．两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？【分析】方法一：柳卡图法0162532ACDB06102235如上图所示，A为坡顶，B为坡底，从A到B的方向表示下坡，从B到A的方向表示上坡，折线图向右的方向的距离表示上(下)坡的时间．1111根据题意，男、女运动员下坡、上坡的时间比为:::6:10:10:15，男运动员跑的路5332线为实线，女运动员跑的路线为虚线，从图中可以看出，两人第一次迎面相遇在C，第二10第11级上优秀A版教师版\n第十二次迎面相遇在D，所以需要求D到A的距离．根据几何中的相似三角形性质，可得D到A的距离与到B的距离之比等于(2516):(2210)9:123:4，而A、B之间的距离为110米，所以D到A的距离为31111047(米)，故第二次相遇的地点距A点47米．3477方法二：方程法．设第二次迎面相遇的地点离A点x米．由于第二次相遇时男运动员走了一个下坡、一个上坡和x米下坡，女运动员走了一个下坡和110x米上坡，可得方程：110x110110110x533211解得x47，即第二次迎面相遇的地点离A点47米．774.甲乙两人都从A地去往B地，甲先出发1小时后乙再出发．结果乙比甲提前1小时到达B地，问：乙在什么地方追上甲？【分析】由图可看出，乙在A,B中点处追上甲．1hBA甲乙知识点总结多次迎面相遇规律1.相向而行：第一次相遇两人合走一个全程，以后每相遇一次都要合走两个全程，因此第n次相遇，两人合走2n1个全程（n为正整数）2.同向而行：每相遇一次都要合走两个全程，因此第n次相遇，两人合走2n个全程（n为正整数）家庭作业1.甲、乙二人在相距180米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走2米，乙每秒走2.5米.每人都走了6.5分钟，那么在这段时间内他们共相遇了多少次.【分析】方法一：甲乙6.5分钟共走了(22.5)6.5601755米，共走了17551809.75个全程.两人第一次相遇合走了一个全程，以后每2个全程相遇一次.那么，9.75个全程共相遇了5次.方法二：甲行全程用180290秒，乙行全程用1802.572秒画出柳卡图：第11级上优秀A版教师版11\n03672108144180216252288324360甲乙由图得，一共相遇5次2.如图，A,B两地相距70米，甲、乙两人同时从A地同向出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，则第二次相遇地点与第一次相遇地点间相距多少米？06812AB03491262【分析】70()40（米）61253.甲、乙两车同时从A地出发同向而行去往B地，甲车的速度是乙车速度的1.5倍，在AB,两地间做往返运动．已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是50千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A、B两地相距＿＿＿千米．【分析】方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是3:2，因此可以设全程为5份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）21ACDEFB因此甲、乙两地间的距离是5025125（千米）方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）046AB023631因此甲、乙两地间的距离是50()125（千米）5512第11级上优秀A版教师版\n第十二4.甲、乙二人同时从A地出发去B地，在A、B两地间往返而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是40千米，那么，A、B两地相距多少千米．【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S甲:S乙V甲:V乙30:203:2，设全程为5份，第一次相遇甲、乙共同行了两个全程，则两个全程中，甲走了6份，乙走了4份，所以F是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了4个全程，一个全程甲走3份，8个全程甲共走3412份，所以D是第二次相遇地点，由图看出DF是2份．但已知DF是40千米，所以AB的长度是402(23)100(千米)．(也可以用乙进行计算)ACDEFB5.甲、乙两车同时从AB、两地相向出发，第一次在距A地3000米处相遇相遇后两车继续前行，各自到达目的地后立即返回，在距A地500米处第二次相遇AB、两地相距（）米【分析】两人第一次相遇共同走了一个全程，第二次相遇共同走了三个全程，第二次相遇所用时间是第一次相遇时间的三倍甲第一次相遇时走了3000米，第二次相遇时走了3个3000米即9000米甲一去一回走了9000米后离出发点还有500米，即两个全程的长度是9000+500=9500米，一个全程的长度是4750米6.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A、B两点间的距离为多少米？101100ADCB【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S：SV：V180:2403:4，设全程为7份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了4甲乙甲乙份，通过总结的规律分析第100次相遇时，甲走：(10021)3597(份)，5977852，所以第100次相遇地点是在从B地向左数2份的C点，第101次相遇时甲走：(10121)3603(份)，6037861，所以第101次相遇地点在从A点向右数1份的D点，由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是16047280(米)．A版学案【学案1】甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时从直路的同一端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？【分析】方法一：10分钟两人共跑了(32)60103000米300010030个全程．我们知道两人同时从一端同向而行，每两个全程相遇一次，共15次．方法二：第一次两个人相遇需要200(32)40(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200(32)40(秒)所以一共相遇：10604015(次)第11级上优秀A版教师版13\n【学案2】甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距多少千米．【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S甲:S乙V甲:V乙30:203:2，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，所以C是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了3个全程，一个全程甲走3份，3个全程甲共走339份，所以D是第二次相遇地点，由图看出DC是2份．但已知DC是20千米，所以AB的长度是202(23)50(千米)．(也可以用乙进行计算)21甲乙ADCB【学案3】甲、乙两车的速度分别为52千米／时和40千米／时．他们同时从A地出发去B地，在A、B两地间往返而行，从开始走到第三次相遇，共用了6小时．A、B两地相距多少千米？【分析】从开始走到第一次相遇，两车走的路程是两个AB之长；而到第三次相遇，两车走的路程总共就是6个AB之长，是(5240)6552(千米)，所以A、B两地相距552692(千米)．【学案4】甲、乙两车同时从A地出发同向而行，在A、B两地之间不断往返行驶．甲车速度是3乙车速度的，并且甲、乙两车第2012次相遇的地点和第2013次相遇的地点恰好相距120千米(注:7当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A、B两地之间的距离是多少千米？20132012ADCB【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S：SV：V3:7，甲乙甲乙设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2012次相遇时，甲走：(20122)312072(份)，120721012072，所以第2012次相遇地点是在从B地向左数2份的C点，第2013次相遇时，甲继续向左数6份即可，到达D由图看出CD间距离为6份，A、B两地之间的距离是120610200(千米)．14第11级上优秀A版教师版