圆1．【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE=ED；（2）解：连接CD，OD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，∵OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD=30°，∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，∴∠AOD=120°，∵AB=6，∴BD=3，AD=3，∵OA=OB，AE=ED，∴OE＝BD＝，∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD==．2．【解析】（1）和是所对圆周角，；AB是圆的直径，， 在中，，，，，，AE是⊙O的切线．（2）如图：AB是圆的直径，DC平分∠ACB，，，，，是直角三角形；，，．3．【解析】（1）证明，．∵平分，， ，．，，∴是的切线；（2）证明：连接NE，∵为的直径，∴．，．，，，．4．【解析】解：（1）连接DN，ON ∵⊙O的半径为，∴CD=5∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD=CD=AD=5，∴AB=10，∴BC==8∵CD为直径∴∠CND=90°，且BD=CD∴BN=NC=4（2）∵∠ACB=90°，D为斜边的中点，∴CD=DA=DB=AB，∴∠BCD=∠B，∵OC=ON，∴∠BCD=∠ONC，∴∠ONC=∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为⊙O的切线． 5．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠BAC=30°，点D是弦AC上的一点．（1）若OD⊥AC，求OD长；（2）若CD=2OD，判断形状，并说明理由．【解析】解：（1）AB为⊙O的直径，AB=8cm，∠BAC=30°，OD⊥AC，，（2）是等腰三角形．理由如下：如图，过作于连接 设则由勾股定理可得：是等腰三角形．6．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC． 【解析】解：（1）如图1，连接OC．∵AE=4，BE=2，∴AB=6，∴CO=AO=3，∴OE=AE-AO=1，∵CD⊥AB，∴CE=∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE，∴CD=2CE=．（2）证明：如图2，延长ME与AC交于点N． ∵CD⊥AB，∴∠BED=90°．∵M为BD中点，∴EM=BD=DM，∴∠DEM=∠D，∴∠CEN=∠DEM=∠D．∵∠B=∠C，∴∠CNE=90°，即ME⊥AB．7．如下图所示，在直角坐标系中，以为圆心的与轴相交于两点，与轴相交于两点，连接． （1）上有一点，使得．求证；（2）在（1）的结论下，延长到点，连接，若，请证明与相切；（3）如果，的半径为2，求（2）中直线的解析式．【解析】解：（1）由题意可知，，又因为，所以，故∽，所以，（2）连接，则，因为，，故，即，所以与相切．（3），，所以，，所以，均为等边三角形，它们的高分别是，故点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为， 设的直线为，则，所以，所以直线的解析式为．8．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF＝，BC＝5，求DM的值．【解析】（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝， ∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH＋∠CGH＝＋＝90°，∴∠FEO＝∠FEG＋∠CEO＝＋＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴∴；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R， 设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝，则tan＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tan＝，则sin＝，cos＝，CH＝BCsin＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2＋BH2，即r2＝（r﹣3）2＋（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tan，则cos＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝，解得：CE＝，在△FEG中，cos＝， 解得：FG＝；∵FH＝FG＋GH＝，∴HM＝FHtan∠F＝×＝；∵CM＝HM＋CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．9．（1）如图①，的顶点O重合，且，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）（2）连接，若分别是四边形的四个内角的平分线.①如图②，如果，那么的度数为_______；（直接写出结果）②如图③，若，与平行吗？为什么？【答案】（1）180；（2）①；②，理由见解析.【解析】（1）,可得；（2）①结合,可得；②， 理由是：因为分别是四边形的四个内角的平分线，所以.所以在四边形中，.所以在中，.在中，.所以.所以所以.因为，所以在中，.因为，所以.所以.所以10．如图1，设是一个锐角三角形，且，为其外接圆，分别为其外心和垂心，为圆直径，为线段上一动点且满足．（1）证明：为中点； （2）过作的平行线交于点，若为的中点，证明：；（3）直线与圆的另一交点为（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为．证明：若三线共点，则；反之也成立．【解析】解：（1）连接，则，又为垂心∴，∴∴四边形为平行四边形∴，又为中点∴为中点（2）过作连接，由（1）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形∵∴∴为垂心∴ ∴（3）设与交点为由（1）可知四边形为平行四边形∴为直径中点而圆与圆相交弦为∴∴设则为垂心∴三线共点三点共线11．如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，过点作，垂足为，．（1）求证：；（2）点在的延长线上，连接． ①求证：与相切；②当时，直接写出的长．【解析】（1）证明：，即（2）①连接 即是的半径与相切②如图，∵BC为直径，EF⊥AB，∴∠BAC=∠BFE=90°，∴AC∥FE，∴，∵CE=4，∴BE=10，∴BC=14， ∴OA=OC=7，∴，在Rt△AOE中，由勾股定理，得，∵，，∴△AEO∽△GEA，∴，即，∴，∴．12．如图，是的直径，点是弧的中点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，若于点，交于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于，连接，交于、交于点，已知，，求的长．【解析】解：（1）连接，∵点是弧的中点， ∴弧弧∴∵∴；（2）延长交于点，连接．∵，是的直径∴弧弧∵弧弧∴弧弧∴∴；（3）连接∵是的直径∴设∴∵弧弧∴∵∴∴∴∴ 连接，作于点∵∴，，∴∵弧弧∴，∵是的直径，∴∴∴∴，∴由（1）知，，∴，∴∴∵∴，∴，，作于点，连接∴∴，∴，∴，四边形是矩形，∴．