综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF=；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF=．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，，，四边形ACBF是矩形，AB=4，AB=CF=4； 故答案为：矩形，4；（2）如图所示：△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，，，四边形ECBF是平行四边形，点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形，EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，，，故答案为：菱形，；（3）证明：如图所示：∵∵∴∴∵∵∴为等边三角形 ∴∴∵∴四边形ACBF为平行四边形∵∴四边形ACBF为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，为格点，为小正方形边的中点.（1）的长等于_________；（2）点，分别为线段，上的动点，当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）.【解析】解：（1）由图可得：AC=，故答案为：5；（2）如图，与网格线相交，得点；取格点，，连接，与网格线相交，得点，取格点，，连接，与网格线相交，得点，连接，与相交，得点.连接，.线段，即为所求.如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，由计算可得：AB=，BC=，AC=5，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∴tan∠ACB=2，∵tan∠BCT=PT：TC=2，∴∠ACB=∠BCT，即BC平分∠ACT，根据画图可知：GH∥BC，∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC， ∵∠BCT=∠BCA，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支 持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：，图形的面积也可表示：，∴a2+b2+ab=c2+ab，∴a2+b2=c2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：(a+b)2，大正方形的面积也可以表示为：，∴，∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． （问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是　　，∠DCB的度数　　，∠ECD的度数是　　．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①，；②结论：，；证明：∵，∴∵∴（2）结论：当与没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，．∴上述②中发现的结论依然成立． 故答案为：（1）①55°，55°，35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究：(1)如图②，当点在上时，求证：.(2)如图③，当点在延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.【解析】(1)证明：过点作，分别交于点，交于点，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立. 过点作于,交于点在正方形中,∴∴是矩形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平． 问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值．【解析】（1）解：∵ABCD是平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形∵矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处∴∴∵∴四边形的形状是正方形故最后答案为：四边形的形状是正方形；（2）理由如下：如图，连接，由（1）知：∵四边形是矩形，∴由折叠知：∴又， ∴∴∴（3）∵，∴由折叠知：，∴∵∴设，则在中，由勾股定理得：解得：，即如图，延长交于点G，则∴∴∴∵，∴∴7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数 学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM　　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　　；进一步计算出∠MNE＝　　°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　　°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值　　．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处， ∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA'T是平行四边形，又∵AA'⊥ST，∴边形SATA'是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，∴AT＝A'T，在Rt△A'TB中，A'T＞BT，∴AT＞10﹣AT，∴AT＞5，∵点T在AB上，∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10， ∴5＜AT≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9．8．综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，．解决问题（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放(点在同一条直线上)，连接．发现，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将沿方向平移得到连接，当恰好是以为斜边的直角三角形时，求的值．请你直接写出的值． 【解析】（1）∵和是两个等边三角形，∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°，过点B作BF⊥AC，交AC的延长线于F，∴∠BCF=180°-∠ACD-∠ECB=60°，∠F=90°，∴∠CBF=30°，∴CF=BC=1cm，∴BF=cm，∴=；（3）由题意得∠ACD==60°，∵∠=90°，∴,∵,∴,∴=2cm， ∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号；（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图 10．已知：如图1，在中，弦，，．直线相交于点．（1）求的度数；（2）如果点在上运动，且保持弦的长度不变，那么，直线相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦与弦交于点；②如图3，弦与弦不相交：③如图4，点与点重合．【解析】解：（1）连接、，如图：∵∴是直径∴∴是等边三角形∴∴∴ （2）①结论：直线、相交所成锐角的大小不发生改变依然是证明：连接、、，如图：∵∴为等边三角形∴∴∴∵∴②结论：直线、相交所成锐角的大小不发生改变依然是证明：连接、，如图：∵∴是直径∴∴是等边三角形∴∴∴③结论：直线、相交所成锐角的大小不发生改变依然是 证明：如图：∵当点与点重合时，则直线与只有一个公共点∴恰为的切线∴∵，，∴∴．故答案是：（1）（2）①结论：直线、相交所成锐角的大小不发生改变，依然是；证明过程见详解．②结论：直线、相交所成锐角的大小不发生改变，依然是；证明过程见详解．③结论：直线、相交所成锐角的大小不发生改变，依然是；证明过程见详解．11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1)“争先”小组将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF恰好是等边三角形，求矩形ABCD的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图③，使B点落在AD边上的B′处；沿B′G折叠，使D点落在D′处，且B′D′过F点．试探究四边形EFGB′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB′，试判断并证明△BB′G的形状． 【解析】解：（1）矩形的长、宽之比应是．证明：设，等边三角形，，四边形为矩形，，．在中，，，，，，，，．（2）四边形是平行四边形．证明：四边形为矩形，，，，．由翻折的特性可知：，，，，又，，，又，四边形是平行四边形．（3）△为直角三角形．证明：连接交于点，如图所示． ，，，，．，△为等腰三角形，，．，，△为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C '与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是　　．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是　　cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND， ∵△ACD沿DB方向平移，∴MD'∥DN，∴四边形MNDD'是平行四边形，∵∠BD'M＝90°，∴四边形MNDD'是矩形；（3）由图形（1）可得AB＝10cm，BD＝8cm，∴AD＝＝＝6cm，∵四边形MNDD'为正方形，∴D'M∥DN，D'M＝D'D＝acm，∴△BD'M∽△BDA，∴，∴，∴a＝；（4）如图5，过点D作DG⊥AB于点G，∵DP＝DQ，∴∠DQP＝∠DPQ，QG＝PG，又∵∠A＝∠PDQ，∴△DQP∽△AQD，∴∠ADQ＝∠DPQ，∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA， ∴，∴，∴AG＝，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣＝，∴PG＝QG＝，∴AP＝AG﹣PG＝﹣＝，故答案为：．