动态几何1．在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？【解析】解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，∵AD∥BC所以AP∥BQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，知：AP＝BQ即可，即：t＝6﹣2t，∴t＝2，当t＝2时，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．2．如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上． （1）求证：；（2）若，求的值；（3）设，是否存在的值，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵沿折叠为，∴，∴，又∵，∴．∴；（2）解：在中，，∴设，，，∵沿折叠为，∴，，，，又∵， ∴，∴，；（3）存在，时，与相似理由：当时，．∵，，∴，∴，∵，∴；②当时，，∵，∴，这与相矛盾，∴不成立．综上所述，时，与相似． 3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线：()经过点和轴上的点，，．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结，求；（3）将抛物线向上平移得到抛物线，抛物线与轴分别交于点(点在点的左侧)，如果与相似，求所有符合条件的抛物线的表达式．【解析】解：（1）过作轴，垂足为，∵，∴∵∴，．∵，∴．在中，，∴．∴∵抛物线：经过点， ∴可得：，解得：∴这条抛物线的表达式为；（2）过作轴，垂足为，∵=∴顶点是，得设直线AM为y=kx+b，把，代入得，解得∴直线为 令y=0，解得x=∴直线与轴的交点为∴（3）∵、，∴在中，，∴．∴．由抛物线的轴对称性得：，∴．∵，∴∴．∴当与相似时，有：或即或，∴或．∴或 设向上平移后的抛物线为：，当时，，∴抛物线为：当时，，∴抛物线为：．综上：抛物线为：或．4．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．观察猜想（1）线段与“等垂线段”（填“是”或“不是”）猜想论证（2）绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．拓展延伸（3）把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值． 【解析】（1）是；∵，∴DB=EC，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB∴DE∥BC∴∠EDC=∠DCB∵点、、分别为、、的中点∴PM∥EC，PN∥BD，∴，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠PNC+∠DCB∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°∴线段与是“等垂线段”；（2）由旋转知∵，∴≌（）∴，利用三角形的中位线得，， ∴由中位线定理可得，∴，∵∴∵∴∴∴与为“等垂线段”；（3）与的积的最大值为49；由（1）（2）知，∴最大时，与的积最大∴点在的延长线上，如图所示：∴ ∴∴.5．数轴上点A表示的有理数为20，点B表示的有理数为-10，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A停止，设运动时间为t（单位：秒）．（1）当t=5时，点P表示的有理数为．（2）在点P往左运动的过程中，点P表示的有理数为（用含t的代数式表示）．（3）当点P与原点距离5个单位长度时，t的值为．【解析】（1）由题意得：，点P从点A运动到点B所需时间为（秒），点P从点B返回，运动到点A所需时间为（秒），则当时，，因此，点P表示的有理数为，故答案为：；（2）在点P往左运动的过程中，，则点P表示的有理数为，故答案为：；（3）由题意，分以下两种情况：①当点P从点A运动到点B，即时，由（2）可知，点P表示的有理数为， 则，即或，解得或，均符合题设；②当点P从点B返回，运动到点A，即时，，点P表示的有理数为，则，即或，解得或，均符合题设；综上，当点P与原点距离5个单位长度时，的值为或5或或时，故答案为：或5或或．6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC=　　cm；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．【解析】（1）由题意根据勾股定理可得：（cm）， 故答案为6；（2）如图，点P恰好在∠ABC的角平分线上，过P作PD⊥AB于点D，则可设PC=xcm，此时BP=（8-x）cm，DP=PC=xcm，AD=AC=6cm,BD=10-6=4cm，∴在RT△BDP中，，即，解之可得：x=3，∴BP=8-3=5cm，∴P运动的路程为：AB+BP=10+5=15cm，∴t=s；（3）可以对△ACP的腰作出讨论得到三种情况如下：①如图，AP=AC=6cm，此时t=s；②如图，PA=PC，此时过P作PD⊥AC于点D，则AD=3，PD=4，∴AP=5， 此时t=s；③如图，PC=AC=6cm，则BP=8-6=2cm，则P运动的路程为AB+BP=10+2=12cm，此时t=s，综上所述，在运动过程中，当t为2.5s或3s或6s时，△ACP为等腰三角形．7．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，A(a，b)满足＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．OA∥CB．（1）填空：a＝_______，b＝_______，点C的坐标为_______；（2）如图1，点P(x，y)在线段BC上，求x，y满足的关系式；（3）如图2，点E是OB一动点，以OB为边作∠BOG＝∠AOB交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在OB上运动时，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【解析】解：（1）∵， ∴∴由平移得：且C在y轴负半轴上，故答案为：；（2）如图，过点分别作⊥x轴于点M，⊥y轴于点N，连接．∵AB⊥x轴于点B，且点A，，C三点的坐标分别为：∴OB=，OC=，∴，而∴满足的关系式为： （3）的值不变，值为2．理由如下：∵线段OC是由线段AB平移得到，∴，∴∠AOB=∠OBC，又∵∠BOG=∠AOB，∴∠BOG=∠OBC，根据三角形外角性质，可得∠OGC=2∠OBC，∠OFC=∠FCG+∠OGC，∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBC=2（∠FCG+∠OBC）=2∠OEC，∴；所以：的值不变，值为2． 8．综合实践初步探究：如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为；解决问题：(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为；拓展应用：(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由； 【解析】：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE， ∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE-OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，∴OE-OD=OC．（4）由（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OC∴OD+OE+CD+CE=(+1)OC， 故四边形CDOE的周长为(+1)OC．9．是等边三角形，点在上，点，分别在射线，上，且．（1）如图1，当点是的中点时，则________；（2）如图2，点在上运动（不与点，重合）．①判断的大小是否发生改变，并说明理由；②点关于射线的对称点为点，连接，，．依题意补全图形，判断四边形的形状，并证明你的结论．【解析】（1）∵点D是等边△ABC的边BC的中点，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°，∵DA＝DE，∴∠AED＝∠BAD＝30°，∴∠ADE＝180°−∠BAD−∠AED＝120°，同理：∠ADF＝120°，∴∠EDF＝360°−∠ADE−∠ADF＝120°， 故答案为：120；（2）①不发生改变，理由如下：∵是等边三角形，∴．∵．∴点，，在以为圆，长为半径的圆上，∴．②补全图形如下：四边形为平行四边形，证明如下：由①知，，∵，，∴．在和中，，∴．∴． ∵点和点关于射线对称，∴，．∴，且．∴四边形为平行四边形．10．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：（1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒；（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数．【解析】（1）点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，，动点P从点A运动到点D所需时间为（秒），故答案为：15；（2）由题意，分以下六种情况： ①当点P在AB，点Q在CD时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，，此方程无解；②当点P在AB，点Q在CO时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，，解得，此时点P表示的数为3，不在AB上，不符题设，舍去；③当点P在BO，点Q在CO时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，，解得，此时点P表示的数为，不在BO上，不符题设，舍去；④当点P、Q相遇时，点P、Q均在BC上， 点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，，解得，此时点P表示的数为，点Q表示的数为，均符合题设；⑤当点P在OC，点Q在OB时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，，解得，此时点P表示的数为，点Q表示的数为，均符合题设；⑥当点P在OC，点Q在BA时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，，解得，此时点Q表示的数为0，不在BA上，不符题设，舍去； 综上，点P表示的数为或；（3）点Q到达点A所需时间为（秒），此时点P到达的点是，点P到达点C所需时间为（秒），此时点Q到达的点是，点Q在CD上追上点P，此时点P表示的数为，点Q表示的数为，，解得，此时点P表示的数为18，点Q表示的数为18．11．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作于点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动的时间为（秒）．（1）求点落在上时的值．（2）直接写出点在正方形内部时的取值范围．（3）当点在折线上运动时，求与之间的函数关系式．（4）直接写出直线平分面积时的值．【解析】（1）如图1所示， 由题意可知，当点落在上时，因为四边形是正方形，所以，又因为在矩形中，，，所以，在和中，因为，，所以，则，所以，解得，所以当点落在上时的值为．故答案为：．（2）①如图2，点刚落在正方形上．因为点是矩形对角线的中点， 所以在矩形的一条对称轴上，所以，所以，解得．②如图3，点和点重合，此时点运动的距离为，因为，，所以，所以，所以此时．综上所述，当点在正方形内部时，的取值位于上述两个临界位置之间，即的取值范围为．故答案为：．（3）①由（1）可知，当时，正方形和的重叠部分即为正方形，所以此时． ②当时，点在上，设与交于点，与交于点，此时正方形和的重叠部分为五边形，此时．同（1），可知，，因为，，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，所以，整理得． ③当时，点在上，设与交于点，则．因为，，所以，所以，同（1），，所以，所以，所以，，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，整理得．综上所述，当时，；当时，；当时，． 故答案为：（4）设直线与交于点，因为直线平分的面积，∴．①如图7，点在上，过点作于点，则，所以，因为，，，所以，解得．②如图8，点在上，连接． 因为、分别是、的中点，所以是的一条中位线，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，，（由（3）②知），，所以，解得．③如图9，在上，设与交于点，连接，交于． 同②，，且，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为（同②），所以，所以，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，解得．综上所述，当直线平分的面积时，的值为或或．故答案为：或或．12．在中，，，，点是射线上的动点，连接，将沿着翻折得到，设， （1）如图1，当点在上时，求的值．（2）如图2，连接，，当时，求的面积．（3）在点的运动过程中，当是等腰三角形时，求的值．【解析】(1)在中，，，，∴由勾股定理得：BC=10，由折叠性质得：P=AP=x，C=AC=6，则PB=8-x，B=4，在RtΔBP中，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，解得：；（2）当时，由折叠性质得：AC=C=4，∠CAB=∠CP=90º，∴=，∵=90º，=90º，∴，∵=90º，=90º，∴，∴， ∴=4，则，且=，由，∠CAB=90º，可求得，，，，；（3）①当时，若在线段上，如图1，过作H⊥AB于H，过C作CD⊥H延长线于D，则四边形ACDH是矩形，又是等腰三角形，∴，，，，∵=90º，=90º,∴，又=90º,∴，∴，得，解得， 若在延长线上时，如图2，过作AB的平行线，交AC延长线与D，过P作PH垂直平行线于H，则四边形APHD是矩形，同上方法，易求得D=4，，∴PH=AD=，同理可证得，∴，得，解得，②当时，如图3，由折叠性质得：CP垂直平分A，则，∠AQP=90º，又AC=6,，∵∠AQP=∠CAB=90º，∴由同角的余角相等得：∠ACQ=∠QAP，∴， ∴，即，解得：；③当时，如图4，则、重合，，综上所述或或或.