阅读理解1．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“伴随点”．例如：点的“伴随点”为点；点的“伴随点”为点．（1）直接写出点的“伴随点”的坐标．（2）点在函数的图象上，若其“伴随点”的纵坐标为2，求函数的解析式．（3）点在函数的图象上，且点关于轴对称，点的“伴随点”为．若点在第一象限，且，求此时“伴随点”的横坐标．（4）点在函数的图象上，若其“伴随点”的纵坐标的最大值为，直接写出实数的取值范围．【解析】解：（1）点A＇的坐标为（2，1）．（2）①当m≥0时，m+1=2，m=1;∴B（1，2）,∵点B在一次函数y=kx+3图象上，∴k+3=2，解得：k=-1;∴一次函数解析式为y=-x+3; ②当m＜0时，m+1=-2，m=-3;∴B（-3，-2）．∵点B在一次函数y=kx+3图象上，∴-3k+3=-2，解得：k=，∴一次函数解析式为y=x+3;（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y=－x2+4的图象上，∴点C的坐标为（n，-n2+4），∴点D的坐标为（-n，-n2+4），D＇（-n，n2-4）;∵CD=DD＇，∴2n=2（-n2+4），解得：n=;∵点C在第一象限，∴取，（舍）;∴D＇的横坐标为．（4）－2≤n≤0、1≤n≤3．解析如下： 当左边的抛物线在上方时，如图①、图②．－2≤n≤0,当右边的抛物线在上方时，如图③、图④．1≤n≤3;2．阅读下列材料，然后解答问题:在进行二次根式的化筒与计算时我们有时会遇到如:，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:；以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．请参照以上方法化简:（1）（2）（3）【解析】解：； ；=3．设是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以说函数是闭区间上的“闭函数”（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；（2）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求的值；（3）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的表达式(可用含的代数式表示)．【解析】(1)反比例函数是闭区间[1,2019]上的“闭函数”理由如下反比例函数在第一象限，随的增大而减小， 当时，当时，,即图象过点(1,2019)和(2019,1)当时，有，符合闭函数的定义，反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”(2)由于二次函数的图象开口向上,对称轴为,二次函数在闭区间[3,4]内，随的增大而增大当时，,当时，,即图象过点(3,3)和(4,4)当时，有，符合闭函数的定义，(3)因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，根据一次函数的图象与性质，有①当时，即图象过点和，解得. ②当时，即图象过点和,解得∴直线解析式为综上所述，当k＞0时，直线的解析式为y＝x，当k＜0，直线的解析式为y＝−x＋m＋n．4．阅读理解，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即．（1）已知点的“级牵挂点”为求点的坐标，并求出点到轴的距离；（2）已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限；（3）如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标；（4）如果点的“级牵挂点”在第二象限， ①求的取值范围；②在①中，当取最大整数时，过点作轴于点，连接，将平移得到，其中、、的对应点分别为、、，连接，直接写出四边形的面积为______．【解析】解：（1）点的“级牵挂点”为，，即且到轴的距离为（2）点的“级牵挂点”为设点的坐标为解得点的坐标为，在第一象限．（3）点的“级牵挂点”，即点在轴上 则的坐标为（4）①点的“级牵挂点”，即点在第二象限解得的取值范围为②由题意可以得到下图：所以四边形的面积=．故答案为． 5．定义：若两条抛物线在x轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x2 +bx+c经过(﹣2，0)、( ﹣4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax2 +ex+f经过点( ﹣3，3)．（1）求b、c及a的值；      （2）已知抛物线y =﹣x2 +2x +3与抛物线yn=x2﹣x﹣n （n为正整数）     ①抛物线y和抛物线yn是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由．      ②当直线y =x+ m与抛物线y、yn，相交共有4个交点时，求m的取值范围．      ③若直线y =k（k <0）与抛物线y =﹣x2 +2x +3与抛物线yn=x2﹣x﹣n （n为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A、点B、点C、点D，当AB =BC=CD时，求出k、n之间的关系式【解析】(1)∵抛物线经过(–2，0)、(–4，0)，则代入得：，解得：，，设“同交点抛物线”的解析式为，将(–3，3)代入得：，解得：，故答案为：，，；(2)①令，则，解得：，∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)， 令，则，解得：，∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，∴抛物线和抛物线是“同交点抛物线”，它们图形共同性质：对称轴同为直线；②当直线与抛物线y相交只有1个交点时，由，得：，由，解得：，抛物线的顶点坐标为(1，)，其中为正整数，因为随着的增大，的顶点纵坐标减小，所以当直线与抛物线中时的抛物线相交只有1个交点时，由，得：，由，解得：， 如图所示：当直线经过“同交点”时与两抛物线只有三个交点，把“同交点”(–1，0)代入得：，把“同交点”(3，0)代入得：，∴当直线与抛物线、有4个交点时，m的取值范围为：，且，；③设直线分别与抛物线和抛物线相交于A、D、B、C，如图：由，得：，∵，， ∴，由，得：，∵，，，∵，∴，∴，整理得：．6．回答下列问题：（1）已知一列数：2，6，18，54，162，…．，若将这列数的第一个数记为，第二个数记为…，第个数记为，则（2）观察下列运算过程：①①得②②-①得 参考上面方法，求（1）中数列的前个数的和．【解析】通过观察可发现其规律为：，故，；（2）根据题中已给的推导过程可得（1）中①①得：②②①得：7．如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段．请依据上述定义解决如下问题：(1)如图1，在锐角中，，，则　　；(2)如图2，在中，，，，求的面积；(3)如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求 【答案】（1）2；（2）39；（3）【解析】解：（1）如图1中，作．，，，，，故答案为2．（2）如图2中，作于． ，，，，，，，，，，，，．（3）如图3中，作于，于．，，，，，，，，，，，，， 在中，，，，，，．8．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：材料1：已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：．例如：已知，则这两点的距离材料2：在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即如图，已知，求线段的长度和中点的坐标；若为轴上一动点，求的最小值；已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由． 【解析】解：解：设作点关于轴对称点连接 解：为直角三角形9．一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等.若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：的“友谊数”为“”：若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：的“团结数”为(1)若的其百位数字为，十位数字为、个位数字为，试说明M与其“友谊数”的差能被整除；(2)若一个三位正整数，其百位数字为，十位数字为、个位数字为，且各位数字互不相等，求的“团结数”【解析】（1）由题意得：M为，则M的友谊数为，因此有，，， ，能被整除，即M与其“友谊数”的差能被整除；（2），，，则N的“团结数”是．10．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：；；（1）分式是分式（填“真”或“假”）（2）将分式化为整式与真分式的和的形式（3）如果分式的值为整数，求的整数值【解析】解：（1）因为分子次数小于分母次数，我们称之为真分数，分式分子零次，分母1次，所以分式是真分式；故答案为：真； （2）=；（3）=；∵分式的值为整数，且x为整数，∴x-1=±1，∴x=2或x=0∴x的整数值为2或0．11．阅读理解：己知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．根据以上结论，解决以下问题：(1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+有最小值，最小值为____；(2)应用：①如图1，已知点P为双曲线y=(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：②如图2，已知点Q是双曲线y=(x>0)上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标． 【解析】（1）根据题意知a=时最小，又∵a>0，∴a=1，则a+=2．（2）①设点P(x，)，（x>0）；则四边形OAPB周长为2（x+），当x=时，x=2，此时2（x+）有最小值8，即周长最小为8，此时点P(2，2)．②设点P(x，)，（x>0）；OP==，OP最小，即x+最小，所以x=，即x=2，∴点P（2，2）；由点P（2，2），即可知Q点纵坐标是2，带入y=(x>0)得点Q（4，2）；所以由O，P，Q三点坐标，要使OPQC四点能构成平行四边形，则点C坐标为：（-2，0）、（2，0）或（6，4）．12．数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，②当两个字母，中有1个正，1个负时，③当两个字母，中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求的值．（2）若均不为零，且，求代数式的值．【解析】（1）①当中有2个正，0个负时，原式； ②当中有1个正，1个负时，原式；③当中有0个正，2个负时，原式；综上所述，的值为或0或2．（2）∵，∴，，，不可能都为正或都为负，∴．①当中有两正一负时，原式，②当中有一正两负时，原式．综上所述的值为1或．