函数综合1．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，点是直线与直线的交点，点在线段上，．（1）求直线的解析式及点的坐标；（2）求点的坐标及直线的解析式．【解析】解：（1）设直线的解析式为：，将点、代入解析式则，解得，，直线的解析式为：，由题意联立方程组，解得，，点的坐标为；（2）设点的坐标为，，，解得，，由题意得，，．，设直线的解析式为，把，代入，得，解得，， 直线的解析式为：2．如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝mx+n相交于A（﹣1，2），B（4，a）两点，AE⊥y轴于点E，则：（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若y1≤y2则直接写出x的取值范围；（3）若M为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足S△ABM＝S△AOB，则求点M的坐标．【解析】（1）把A（﹣1，2）代入反比例函数得，k＝﹣2∴反比例函数的关系式为，把B（4，a）代入得，，∴B（4，）把A（﹣1，2），B（4，）代入一次函数得，解得∴一次函数的关系式为：（2）当时，反比例函数的图象在一次函数图象的下方，结合图象可知，当，自变量x的取值范围为：x≤﹣1或0＜x≤4．（3）当时，∴与y轴的交点坐标为（0，），如图： ∵S△ABM＝S△AOB∴根据平行线间的距离处处相等，可将一次函数进行平移个单位，则平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点即为所求的M点．将向下平移个单位过O点，关系式为：，解得，∵M在第四象限，∴M（2，﹣1），将向上平移个单位后直线的关系式为：，解得，∵M在第四象限，∴，综上所述，点M的坐标（2，﹣1）或，3．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图： （1）如果在3月份出售这种植物，单株获利__________元；（2）单株售价与月份x之间的关系式为___________；单株成本与月份x之间的关系式为__________．（3）请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利=单株售价-单株成本）．【解析】（1）从题图知，3月份的单株售价为5元，单株成本为4元，∴单株获利为（元）．故答案为1．（2）设直线的关系式为．把点代入上式得解得∴直线的关系式为．设抛物线的关系式为．把点代入上式得，解得，∴抛物线的关系式为． 故答案为；．（3）．∵，∴当时，取得最大值．答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大．4．如图，直线与双曲线相交于两点，与轴交于点，与轴相交于点．（1）求的值；（2）若点与点关于轴对称，求的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于点的点使得?若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）∵点A（-1，2）在双曲线上，∴，解得，，∴反比例函数解析式为：，∵∴，则点B的坐标为（2，-1），把代入得： ，解得；（2）对于y=-x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1），∵点D与点C关于x轴对称，∴点D的坐标为（0，-1），∴△ABD的面积=×2×3=3；（3）对于y=-x+1，当y=0时，x=1，∴直线y=-x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），S△PAB=×|1-a|×2+×|1-a|×1=3，解得，a=-1或3，此时P点坐标为（-1，0）或（3，0）当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），S△PAB=×|1-b|×2+×|1-b|×1=3，解得，b=-1或3，∵D（0，-1）∴此时P点坐标为（0，3）∴P点坐标为（-1，0）或（3，0）或（0，3）．5．如图，直角坐标系中，一次函数的图像分别与，轴交于，两点，正比例函数的图像与交于点．（1）求的值及的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）若点M是直线一动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的时，请直接写出出符合条件的点M的坐标； （4）一次函数的图像为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．【解析】（1）∵点在上，∴，∴，∴，设为，将代入，得，∴，∴的解析式．（2）由于，∴与垂直，由（1）可知， 在中，令，可得，解得，∴，令，可得,∴，∴．（3）由题意可得：,设，则，，∴，，整理得：，解得：，，故M的坐标为，．（4）∵一次函数的图像为，且，，不能围成三角形，∴当经过点时，；当、平行时，；当、平行时，；故k的值是或2或． 6．某大学生利用40天社会实践参与了某加盟店经营，他销售了一种成本为20元/件的商品，细心的他发现在第天销售的相关数据可近似地用如下表中的函数表示：销售量销售单价当时，单价为当时，单价为40（1）求前20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）求后20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）在后20天中，他决定每销售一件商品给山区孩子捐款元（且为整数），此时若还要求每一天的利润都不低于160元，求的值．【解析】设该加盟店的每天利润为元（1）当时由二次函数的性质可知，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小则当时，取得最大值，最大值为元答：前20天中，第15天获得利润最大，最大利润是元；（2）当时因为所以当时，随增大而减小则当时，取得最大值，最大值为（元）答：后20天中，第21天获得利润最大，最大利润是580元；（3）由题意得：，且为整数由一次函数的性质可知，当时，随增大而减小 则当时，取得最小值，最小值为（元）要使每一天的利润都不低于160元，则只需的最小值不低于160元即可则解得因此，m的取值范围为且为整数故m的值为3或4．7．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用60天的时间销售一种成本为10元每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量m（件）、销售单价n（元/件）在第x天（x为正整数）销售的相关信息：①m与x满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；②n与x的函数关系式为：n＝．（1）求出第15天的日销售量；（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出在60天内该产品的最大利润．（3）在该产品的销售过程中，共有　　天销售利润不低于2322元．（请直接写出结果）【解析】解：（1）设m与x的函数关系式为：m＝kx+b，当x＝1时，m＝98；当x＝4时，m＝92，∴，解得：，∴m与x的函数关系式为：m＝﹣2x+100，∴当x＝15时，m＝﹣2×15+100＝70；（2）根据题意，可知：当1≤x≤20时，y＝m（n﹣10）＝（﹣2x+100）（x+30﹣10）＝﹣2（x﹣15）2+2450，∴当x＝15时，y有最大值2450，当20≤x≤60时，y＝m（n﹣10）＝40（﹣2x+100）＝﹣80x+4000，∵y随x的增大而减小，∴当x＝20时，y有最大值为：﹣1600+4000＝2400， 综上所述，60天内该产品的最大利润为2450元答：；60天内该产品的最大利润为2450元；（3）根据题意，当1≤x≤20时，﹣2（x﹣15）2+2450≥2322，解得：7≤x≤23，∴7≤x≤20,其整数解为7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20当20≤x≤60时，﹣80x+4000≥2322，解得：x≤，∴20≤x≤，其整数解为20综上所述，销售利润不低于2322元有14天，故答案为：14．8．定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围． 【解析】解：（1），故抛物线的表达式为：．故答案为：；将点、坐标代入得：，解得：，．故答案为：；（2）①由点、的坐标得：直线的表达式为：，设点，则抛物线的表达式为：，顶点为：，令，则，则即抛物线的解析式为：；②如图所示，抛物线落在内部为段， 抛物线与直线的交点为点；当时，即，解得：故点；故，由①知：，故：．9．如图，单位长度为的网格坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，反比例函数经过一次函数上一点．（1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图像；（2）依据图像直接写出当时不等式的解集； （3）若反比例函数与一次函数交于、两点，在图中用直尺与铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点、点；②矩形的面积等于的值．【解析】解（1）由图知点A坐标为(0，4)，点B的坐标为(8，0)，一次函数经过A、B两点，∴，解得：，∴一次函数解析式为：，∵经过点C(2，a)，∴a=－1+4=3，∴点C坐标为(2，3)，∵反比例函数经过点C(2，3)，∴，∴反比例函数解析式为：；当x=6时，y=1，所以反比例函数过D(6，1)描绘出反比例函数(x＞0)的图像如下图： （2）由图可知，一次函数与反比例函数交于C、D两点，通过（1）得到C、D两点坐标，根据图中反比例函数与一次函数的位置关系，当时满足．故（3）画出两个以C、D为顶点的矩形如上图所示，理由如下：由图像可知点C(2，3)，点D(6，1)，依据勾股定理可得CD==，已知矩形面积为10的情况下，分类讨论：若以CD为边构造矩形，则矩形的另一边为；若以CD为对角线的情况下构造矩形，此时矩形为正方形，得其边长为．故构造符合题意的矩形共有3个．10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于点，先将抛物线沿轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物，直线；经过，两点．（1）求点的坐标，并结合图象直接写出不等式：的解集；（2）若抛物线的顶点与点关于原点对称，求p的值及抛物线的解析式；（3）若抛物线与轴的交点为、（点、分别与抛物线上点、对应），试问四边形是何种特殊四边形？并说明其理由．【解析】解：（1）观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0时，抛物线C1在直线l的下方，∴不等式的解集是；（2）关于对称的点为 点与点关于原点对称抛物线与的形状相同，开口相反值互为相反数抛物线的顶点；（3）令y＝x2+6x+2＝0，则x＝﹣2，即点E、F的坐标分别为（﹣2﹣，0）、（﹣2+，0），点M（﹣2，﹣4）；同理点A、B、D的坐标分别为（2﹣，0）、（2+，0）、（2，4），由点的对称性知，DM、EB相互平分，故四边形EMBD是平行四边形，11．如图，抛物线L1：（常数t>0）与轴的负半轴交于点G，顶点为Q，过Q作QM⊥轴交轴于点M，交双曲线L2：于点P，且OG·MP=4． （1）求值；（2）当t=2时，求PQ的长；（3）当P是QM的中点时，求t的值；（4）抛物线L1与抛物线L2所围成的区域（不含标界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数有且只有1个，直接写出t的取值范围．【解析】（1）由题意得G的坐标为（-t，0），∴M点的坐标为（，0），∴OG=t，∵OG·MP=4，∴MP=，∴P的坐标为（，），把P（，）代入，得，解得k=-2；（2）由（1）得双曲线L2：，当t=2时，抛物线L1：，∴Q的坐标为（-1，），P的横坐标为-1，当x=-1时，在中，y==2，∴PQ=2-=；（3）抛物线L1：， ∴Q的坐标为（，），∵P是QM的中点，∴P的坐标为（，），把P（，）代入得：，解得：t=4；（4）由L1与L2围成的区域只有一个整点，①如图，L1具有对称性，∴当x=-2时，满足1<y≤2，∴1<t-2≤2，解得3<t≤4，当x=-3时，满足1<y≤2，∴1<（t-3）≤2，<t-3≤，，∴t的取值范围是；②如图： 当x=-2时，满足2<y≤3，∴2<t-2≤3，解得4<t≤5，当x=-3时，满足0≤y≤1，∴0≤（t-3）≤1，0≤t-3≤，，此时无解；综上：t的取值范围是．12．我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0,4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．(1)求圆C的标准方程；(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由． 【解析】解：连接CD，CB，过C作CF⊥AB，∵点D（0，4），B（8，0），设圆C半径为r，圆C与y轴切于点D，则CD=BC=OF=r，CF=4，∵CF⊥AB，∴AF=BF=8-r，在△BCF中，，即，解得：r=5，∴CD=OF=5，即C（5，4），∴圆C的标准方程为：；（2）由（1）可得：BF=3=AF，则OA=OB-AB=2，即A（2，0）， 设抛物线表达式为：，将A，B，D坐标代入，，解得：，∴抛物线表达式为：，∴可得点E（5，），设直线AE表达式为：y=mx+n，将A和E代入，可得：，解得：，∴直线AE的表达式为：，∵圆C的标准方程为，联立，解得：x=2，故圆C与直线AE只有一个交点，横坐标为2，即圆C与直线AE相切.