相似三角形1．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8．（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC长．【解析】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：AB＝2，BC＝4，BD＝1，，，又∠B=∠B，△BAD∽△BCA；（2）由（1）得：，即，AD+AC=8，，解得：，．2．如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于. （1）求证：；（2）当是线段中点时，求线段的长；【解析】（1）证明：∵，∴；∵，，∴.∴.（2）∵（已证）.∴；∵为的中点，，∴.设，则；又，∴，解得或3.故长为2或3.3．如图，是一个照相机成像的示意图． （1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？【解析】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，∴，解得：LD=7．∴拍摄点距离景物7m．（2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm，∴，解得：LC=70．∴相机的焦距应调整为70mm．4．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD． （1）求证：①△MFC∽△MCA；②若AB＝5，AC＝8，求的值．（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．【解析】（1）①证明：∵∠AFG＝∠ACD，∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，∴∠FAC＝∠MCF，∵∠FMC＝∠CMA，∴△MFC∽△MCA．②解：∵四边形AEFG，四边形ABCD都是矩形，∴FG∥AE，CD∥AB，∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，∵∠AFG＝∠ACD，∴∠FAE＝∠CAB，∵∠AEF＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴＝， ∴＝，∵∠FAE＝∠CAB，∴∠FAC＝∠EAB，∴△FAC∽△EAB，∴＝＝．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，∵DM＝MC＝2，AD＝3，∴CD＝4，AM＝＝＝，AC＝＝＝5，∵△MFC∽△MCA，∴＝，∴FM＝＝，∴AF＝AM﹣FM＝，∵△AEF∽△ABC，∴＝，∴＝， ∴EF＝．5．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB；（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．【解析】解：（1）证明：∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°，∴∠ABE＝∠CDE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△EAB∽△ECD，∴，∴．（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H， ∵CD＝5，cos∠ADC＝，∴DG＝3，CG＝4.∵S△CED＝6，∴ED＝3，∴EG＝6.∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°，∴BH＝6，AH＝，由（1）得△ECG∽△EAH，∴，∴EH＝，∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝．6．如图，在中，，是高，平分，分别与，相交于点，．（1）求证：．（2）求证：．（3）若，，，求的长． 【解析】证明：（1）为边上的高，，是的平分线，；（2），，，； （3）如图，作于，，由，，，，由．7．如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4，轴，垂足为点A，AC与OB交于点M．(1)求直线BC的解析式；(2)求阴影部分的面积． 【解析】解：（1），所以点A坐标为（0，4)，点C坐标为（1，0），又轴，点B坐标为（2，4），设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B，C坐标代入表达式，得，解得：k=4，b=﹣4，所以直线的表达式为．(2)轴，∴AB∥x轴，，∴，∵，∴，∴S阴影．8．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB=5，且AFFD=10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AD时，求的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AFB=∠CBF=30°，∴∠CBE=∠FBC=15°；（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴，∴AF•DF=AB•DE，∵AF•DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC-DE=5-2=3，∴EF=3，∴DF=，∴AF=，∴BC=AD=AF+DF=．（3）过点N作NG⊥BF于点G， ∵NF=AD∴NF=BF，∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，∴△NFG∽△BFA，∴，设AN=x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN=NG=x，AB=BG=2x，设FG=y，则AF=2y，∵AB2+AF2=BF2，∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=x，∴BF=BG+GF=．∴．9．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．（1）求抛物线的解析式；（2）当MN最大时，求运动的时间； （3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？【解析】（1）∵抛物线y＝与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0∴AB＝n+1，OC＝n由S△ABC＝×AB×OC＝5∴∴∴取正根n＝4∴y＝＝x2+x+2；（2）由（1），B（4，0），C（0，2）∴直线BC为设M（m,m+2），N（m,m2+m+2）∴MN＝＝＝∴当m＝2时，MN最大 ∴OP＝2∴AP＝3，即经过3s，MN最大；（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，∴△CDE～△COB∴由（2），得BC＝2，D（2，1）∴DE＝2CD＝2∴CE＝5∴OE＝3∴E（0，-3）∴直线DE为y＝2x-3由x2+x+2＝2x-3移项整理得：x2+x-5＝0∴x2+x-10＝0取正根x＝ ∴OP＝∴AP＝即经过秒，点N到点B、点C的距离相等．10．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，，，，，； （2）四边形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的边长为． 11．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．【解析】（I）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴m＝﹣1，n＝3，∴A（﹣1，0），B（0，3），把（﹣1，0），（0，3）代入得，， 解得，∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．（II）证明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），C（3，0），∴OA＝1，OC＝3，∴对称轴为，顶点D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），∴，，，∵CD2＝DB2+CB2，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴∠AOB＝∠DBC，在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，∴，∴△BCD∽△OBA；（III）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），（1）在0≤x≤3范围内，当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3， 令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合题意，舍去）；④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．综上，t＝﹣1或t＝2．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，①求证：BN+CM＝AM；②若AM＝4，BN＝，求BD的长；（2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．【解析】证明：（1）①如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F， ∵△CMN是等腰直角三角形，∴∠CNM＝45°，CM＝MN，∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，∴△ACF≌△BCN（SAS），∴AF＝BN，∵CF＝CN，CM⊥MN，∴MF＝MN＝CM，∴AM＝AF+FM＝BN+CM②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM，∴CM＝MN＝，∵△ACF≌△BCN，∴∠CAF＝∠CBN，∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，∴∠MCD＝∠CBN ∴CM∥BN∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°∴＝∴MD＝ND∵MD+ND＝MN＝∴ND＝在Rt△DNB中，BD＝＝（2）若∠BDH＝90°，如图，此时点M与点D重合，∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2∴CM＝MN＝∴CD＝，若∠BHD＝90°，如图， ∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，∴∠BDH＝45°∴∠CDN＝45°＝∠N∴CD＝CN＝2．