第二章刚体2.1刚体的定轴转动2.2刚体定轴转动定律及其应用2.3对定轴转动的角动量守恒2.4刚体定轴转动的功和能,2.1刚体的定轴转动2.1.1平动和转动一、刚体（rigidbody）特殊的质点系，运动中形状、大小不变，理想模型。二、刚体运动的几种形式刚体的平动通常用刚体质心的运动来代表。1.平动刚体上所有点运动均相同。各点a,vr也相同。定轴转动：运动中刚体上各质点均作圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。如门窗，电扇风叶的转动等定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固定的某一瞬时轴线转动。如陀螺的运动等2.转动,刚体不受限制的任意运动称为刚体的一般运动它可以视为以下两种刚体基本运动的叠加：oΔΔ·oo′o′3.平面平行运动刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的平面运动，又称刚体的平面平行运动。如车轮直线滚动4.一般运动1）随基点O的平动；2）绕通过基点O的瞬时轴的定点转动。,P点线速度P点线加速度旋转加速度向轴加速度vωrrP×基点O刚体刚体绕O点的转动其转轴是可以改变的，为了反映转动的方向及转动快慢，引入角速度矢量和角加速度矢量瞬时轴转动平面2.1.2角速度和角加速度,刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动OvP×ω,βrr定轴刚体参考方向θz定轴转动可用代数量表示当相同,,2.1.3定轴转动刚体的转动惯量dmrmJ反映刚体转动惯性的大小（1）与刚体的质量有关。如铁盘与木盘（2）在质量相同的情况下，与质量的分布有关，如：圆盘与圆环。（3）与转轴的位置有关。一、转动惯量的定义,例1：均匀圆环(m,R)对于中心垂直轴的转动惯量（1）选取微元dm（2）求dJ（3）求J二、几种典型刚体的转动惯量RmCdm相当于质量为m的质点对轴的J,例2：求均匀圆盘(m,R)对于中心垂直轴的转动惯量（1）选微元dm求dJ利用上题结果dJ=r2dm(3)求J解：可视圆盘由许多小圆环组成。ROmrdrdmdm,解:问:1)圆盘边缘有一质量为m1的小块(很小)脱落了,求对过中心垂直轴的转动惯量?rdrdSd例2：求均匀圆盘(m,R)对于中心垂直轴的转动惯量,例3:求均匀细杆(m,L)对质心轴及边缘轴的转动惯量CAmL2L2xxdx可见，质量相同，形状相同，转轴不同，J不同。0对质心轴：对边缘轴：对质心轴,三.关于J的几条规律1.对同一轴J具有可叠加性J=JiåJmrziii=åD22.平行轴定理JJmdc=+2CdOmJCJ平行说明1.由平行轴定理可见，在各平行的转轴之中，通过质心的转轴对应的转动惯量最小。2.两个都不通过质心的平行转轴之间不存在类似关系。,又如求均匀圆盘对于通过其边缘一点O的平行轴的转动惯量:RCmO由前面例3中结果,【用鼠标左键点击图中公式可出现8个演示动画】常见形状转动惯量【动画演示】,竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,2.1.4定轴转动刚体的角动量转轴miri一、刚体的角动量（angularmomentum)若质量连续分布,2.2刚体的定轴转动定律及应用2.2.1刚体的定轴转动定律一﹑力矩外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关，而且与力的作用点的位置和方向都有关。即，只有力矩才能改变刚体的转动。当M=0时，刚体匀速转动或静止rfmf⊥f11应理解为在转动平面内大小：方向:沿,二﹑转动定律把刚体看成由N个质点组成的质点系利用牛顿第二定律θω,β定轴刚体zFimiΔrifiFi---外力，刚体外其他物体对mi的合力fi---内力，刚体内其他质点对mi的合力对mi对转轴的力矩为零,对所有质点列出此式，并求和刚体的转动惯量内力矩成对出现，且大小相等方向相反，作用在一条直线上J反映刚体转动惯性的大小上式,2.定轴下可不写角标zMFJma~~~βìíïîï4.与牛顿第二定律比较与方向相同的力矩取正与方向相反的力矩取负力矩的正方向：刚体所受的对于某固定转轴的合外力矩等于刚体对同一转轴的转动惯量与它所获得的角加速度的乘积。刚体的定轴转动定律讨论瞬时关系3.β∝M，方向相同，瞬时关系，对同一轴。只适用于惯性系。是对z轴外力矩的代数和,2.2.2转动定律应用举例解题步骤:1.认刚体;2.定转轴,找运动;3.分析力和力矩;4.定转向,列方程。特别注意:1.明确转动轴位置。2.选定转动的正方向,注意力矩、角速度、角加速度的正负。3.同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。两类问题:（1）由角量运动,求力矩。(微分法)（2）由力矩及初始条件,求刚体运动。(积分法),对轮：对m:定轴O·Rthmv0=0绳解：轮与m为联结体,轮为定轴转动、m为平动,但二者用绳联系起来。m的速度大小与轮边缘线速度大小相等。mgT'=-Tm例1.己知：定滑轮上绕一细绳，绳一端固定在盘上，另一端挂重物m。绳与轮无相对滑动，绳不可伸长。轮半径R=0.2m，m=1kg,m下落时间t=3s，v0=0,h=1.5m。求：轮对O轴J=?,运动学关系：联立解得：(3)(4)定轴O·Rthmv0=0绳,例2：如图，设滑块A，重物B及滑轮C的质量分别为MA，MB，MC。滑轮C是半径为r的均匀圆板。滑块A与桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动。求:（1）滑块A的加速度a（2）滑块A与滑轮C之间绳的张力T1，（3）滑轮C与重物B之间绳的张力T2。ABCT2MBgT1MAgNT2′T1′N′MCg解：AB,ABC选正方向解方程得列方程：其中,例3：某飞轮直径d=50cm,绕中心垂直轴转动，转动惯量J=2.4千克·米2,转速n0=1000转/分，若制动时闸瓦对轮的压力为N=490牛，闸瓦与轮间的滑动摩擦系数=0.4问：制动后飞轮转过多少圈停止？fd(1)求β由转动定律(以向外为正),（2）求圈数,mO例4.己知：质量为m、半径为R的均匀圆盘。初角速度,绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度,即。不计轴承处的摩擦。求：圆盘在停止转动时所转过的圈数N=?1.取刚体m为研究对象，轴为O。2.取逆时针转为正方向。r解：3.用积分法求力矩。在半径为r、宽度为dr的面积元dS上的质元具有相同的线速度v。则dS上阻力的大小为:dSr不同时，v不同，力不同，力臂也不同，需要划分微元求M,考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为总阻力矩mOrdS,利用刚体定轴转动定律分离变量,2.3对定轴转动的角动量守恒一、质点系角动量定理分量式：质点系对某轴的角动量随时间的变化率等于质点系中各质点所受外力对同一轴的力矩的代数和。质点系角动量守恒定律对于有限时间,质点系角动量定理同样适用于刚体刚体对某轴的冲量矩等于该段时间内刚体对同一轴角动量的增量刚体定轴转动的角动量定理：二、刚体的角动量定律在t1到t2的时间内，角动量由L1变到L2:是刚体对z轴的角动量,三、刚体角动量守恒定律当合外力矩------刚体角动量守恒定律角动量守恒情况如下几种:(a)J,ω都不变，所以L=Jω=const(b)J,ω都变化，但是L=Jω=const(c)刚体组角动量守恒如：花样滑冰，芭蕾舞，体操，跳水等运动项目的动作若刚体由几部分组成，且都绕同一固定轴转动这时角动量可以在刚体组内部传递,美国航天局科学家理查德·格罗斯表示，里氏9级的日本大地震导致当天地球的自转时间减少了1.8微秒，即每天的时间减少了1.8微秒。地震与地球自转,,例：质量为M，半径为R的水平放置的均匀圆盘，以角速度1绕垂直于圆盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内转动时，有一质量为m的小物块以速度v垂直落在圆盘的边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块粘在盘上后，盘的角速度2=？（2）小物块在碰撞过程中受到的冲量I的方向及大小。mvRM解：以m,M为一个系统，过程中其所受和外力矩为零，角动量守恒碰前m对轴的角动量为零，但其动量不为零。,（2）求I应用动量定理碰撞前后m动量方向不同，分方向讨论。讨论：1）碰撞过程中动能是否守恒？2）角动量守恒时，动量不一定守恒。方向向上方向沿切线平行于轴垂直于轴,方向与方向相同进动：高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象重力矩：M=mgr角动量定理:2.3.3回转仪dt时间内轴沿方向转过角,vvMdLdt=dLMdtMvvv=∥进动实例：陀螺进动即：w®¯W，,以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：只有高速自转w>>W时，这时才有才有当考虑到vW对的贡献时，自转轴在旋进时还会出现微小的上下的周期摆动，这种运动叫章动(nutation)。,陀螺仪和常平架陀螺仪不受重力的力矩，且能在空间任意取向。,前轮教你学自行车Gyrowheel轮内装着一个陀螺仪装置，这是个以最高每分钟2千转快速旋转的飞轮，巧妙地借用了陀螺仪的“进动”特性来稳定自行车。这个飞轮旋转时与自行车轮子是相互独立的。当一个力（这里是指骑车人的倾斜跌落）作用在高速旋转飞轮上的时候，陀螺仪并不跌落，而只是朝跌落的方向进动，帮助Gyrowheel保持稳定。,2.4刚体定轴转动的功和能内力矩的功2.4.1力矩的功力矩的空间积累效应(M应理解为合外力矩)力矩的瞬时功率dzxω·轴,2.4.2定轴转动刚体的机械能1.动能刚体的转动动能：刚体的转动动能就是组成刚体的各质点平动动能之和，他们是动能的不同表达形式。质点系动能：,2.刚体的重力势能各质元重力势能的总和，就是刚体的重力势能。刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具有的重力势能×ChchimiΔEp=0,定轴转动动能定理:2.4.3定轴转动刚体的动能定理1.动能定理转动定律,2.定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时五、机械能守恒定律对于包括刚体在内的体系，若只有保守内力作功则系统机械能守恒应包括系统中所有物体的势能,初始：令末态：则：(1)解：杆+地球系统，只有重力作功，E守恒【例】已知：均匀直杆质量m,长l,初始水平静止,轴光滑,AO=l/4。求：杆下摆θ角后，角速度ω是多少？轴对杆作用力的大小和方向？,由平行轴定理(2)由（1）、（2）得：质心运动定理：(3)方向：(4)方向：(1),由(3)(4)(5)(6)可解得：(5)(6),利用动能定理解该题：wq=267glsin,例：已知圆盘半径为R，质量为M，在垂直平面内可绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接倔强系数为k的弹簧和质量为m的物体，设轮轴光滑，绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托住m使弹簧保持原长，然后静止释放。求（1）m下落h距离时的速度。（2）弹簧的最大伸长量。解：取m+M+绳+弹簧+地球为一系统hmMRk外力：轴承支承力和地面对弹簧的支承力功为零。内力：重力，弹性力为保守力,绳不伸长，张力功为零。绳与轮间无相对滑动，摩擦力功为零。,系统机械能守恒，设下落h处势能为零hmMRk（1）m下落h时的速度,YmMRk（2）弹簧的最大伸长量。系统机械能守恒，设下落Y处势能为零,上节课主要内容一、陀螺仪进动现象及其应用航海定向骑自行车来复线二、力矩的功与转动动能三、定轴转动的动能定理四、定轴转动的功能原理,解：例：如图，一匀质圆盘(M,R)可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为m的粘土块从h高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动。已知：M=2m,=600（1）m自由下落求：碰撞后瞬间盘的P转到x轴时盘的碰前m速度：(1),碰撞t极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：对m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒，令P,x重合时,Ep=0（4）（5）(1)（2）（3）,由(3)、(4)、(5)得：,质点力学与刚体力学物理量和物理规律对比11.仅保守内力做功机械能守恒角位置，角速度，角加速度转动惯量力矩转动定律角动量角动量定理角动量守恒力矩的功转动动能转动动能定理,牛顿力学的基础框架和理论体系：,作业：2-1,2-5，2-8,2-102-11,2-13,2-14,2-162-18，2-21，2-24