导数的应用（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）解析版
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2023-07-06 09:50:01
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䁫导数的应用（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全整理得到：ln 䁫쬐 ln ， 䁫䁫䁫 香ln ln䁫 ln ln ln 䁫쬐 ln 国理科）故䁫 䁫 一、解答题ɤln 䁫쬐，1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数 ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ ࠩ．故不等式成立.（1）当 ɤ䁫时，讨论 ࠩ쬐的单调性；【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性（2）当ࠩ香䁫时， ࠩ쬐 䁫，求a的取值范围；【解析】【分析】（1）求出 ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ，讨论其符号后可得 ࠩ쬐的单调性.䁫䁫䁫 香ln 䁫쬐（3）设 ，证明：䁫． ࠩࠩ 䁫 䁫 （2）设 ࠩ쬐ɤࠩ 䁫ࠩ 䁫쬐，求出 ࠩ쬐，令 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐，先讨论 香时题设中的不等式不成立，再 【答案】（1）解：解： ɤ䁫 ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ ࠩɤࠩ 䁫쬐 ࠩ ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ䁫就䁫 结合放缩法讨论 ࠩ쬐符号，最后就 䁫结合放缩法讨论 ࠩ쬐的范围后可得参数的取值范围. 当ࠩ ，䁫쬐时， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减；䁫䁫 （3）由（2）可得 ln 对任意的 香䁫恒成立，从而可得ln 䁫쬐 ln 对任意的 恒成 当ࠩ 䁫， 쬐吋， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增.立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.（2）令 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 䁫ɤࠩ ࠩ ࠩ 䁫ࠩ 䁫쬐䁫2．（2022·全国乙卷）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫쬐lnࠩ．ࠩ ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫对 ࠩ 䁫恒成立（1）当 ɤ䁫时，求 ࠩ쬐的最大值；又 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ࠩ ࠩ 䁫쬐ɤ䁫（2）若 ࠩ쬐恰有一个零点，求a的取值范围．令 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ࠩ ࠩ쬐 ࠩɤ ࠩ ࠩ ࠩ쬐 ࠩ䁫则 䁫쬐ɤ 䁫【答案】（1）解：当 ɤ䁫时， ࠩ쬐ɤ ࠩ lnࠩ 䁫 ࠩ쬐 䁫쬐 ࠩ쬐䁫䁫䁫 ࠩ①若 䁫쬐ɤ 䁫香䁫，即 香， 䁫쬐ɤlimɤlim香䁫 ࠩ쬐ɤ ɤ ࠩ 䁫 ࠩ 䁫ࠩ 䁫 ࠩࠩ ࠩࠩ 所以 ࠩ䁫香䁫，使得当ࠩ 䁫，ࠩ䁫쬐时，有 ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐单调递增 ࠩ䁫쬐香 䁫쬐ɤ䁫，x（0，1）1（1，+∞）ࠩ矛盾f’（x）+0- 䁫䁫ࠩ ln䁫 䁫ࠩ쬐f（x）↗↘②若 䁫쬐ɤ 䁫 䁫，即 时， ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ࠩ ࠩɤ ࠩ ln䁫 ࠩ쬐 ࠩ ࠩ ∴ ࠩ쬐的最大值=f（1）=-1-ln1=-1䁫䁫ࠩ ࠩࠩ ɤ䁫（2）解： ࠩ쬐定义域为（0，+∞） ࠩ쬐在 䁫， 쬐上单调递减， ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫，符合题意.䁫 䁫 ࠩ 䁫쬐ࠩ 䁫䁫 ࠩ쬐ɤ ɤɤ ࠩ 䁫쬐ࠩ 䁫쬐ࠩ ࠩࠩ ࠩ 䁫综上所述，实数a的取值范围足 . 根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点䁫䁫当a＜0时，∀x＞0，ax-1＜0，又x2＞0（3）证明：取 ɤ，则 ࠩ香䁫，总有ࠩ ࠩ ࠩ 䁫 䁫成立， 䁫x（0，1）1（1，+∞）令 ɤ ࠩ，则 香䁫， ɤ ࠩ，ࠩɤ ln ，f’（x）+0- 䁫故 ln 䁫即 ln 对任意的 香䁫恒成立. f（x）↗↘ 䁫 䁫 所以对任意的 ，有 ln ， 䁫∴∀x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点n 䁫䁫䁫ࠩ䁫䁫䁫ࠩ䁫ࠩ 䁫 ࠩ当a＞0时， ࠩ쬐ɤࠩ 쬐ࠩ 䁫쬐 ࠩɤ 䁫ɤ䁫 䁫 ɤ 䁫，ࠩ ࠩࠩ ࠩࠩࠩࠩࠩࠩ①当0＜a＜1时，䁫＞1令f'(x)=0，得x=1， 当x∈（0，1），f'(x)<0，f(x)单调递减，x（0，1）1（1，䁫）䁫（䁫，+∞） 当x∈（1，+∞），f'(x)>0，f(x)单调递增，f’（x）+0-0+若f(x)≥0，则e+1-a≥0，即a≤e+1，f（x）↗↘↗所以a的取值范围为（-∞，e+1）䁫（2）证明：由题知， ࠩ쬐一个零点小于1，一个零点大于1∴∀x∈（0，]，f（x）≤f（1）=a-1＜0， 不妨设ࠩ䁫 䁫 ࠩ 又limf（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点ࠩ 䁫要证ࠩ䁫ࠩ 䁫，即证ࠩ䁫 ࠩࠩ 䁫쬐 ②当a=1时， ࠩ쬐ɤ 䁫，ࠩ 䁫䁫因为ࠩ䁫，ࠩ 䁫，䁫쬐，即证 ࠩ䁫쬐香 쬐 ࠩ ∴f（x）在（0，+∞）上递增，䁫由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点因为 ࠩ䁫쬐ɤ ࠩ 쬐，即证 ࠩ 쬐香 ࠩ쬐 䁫 ࠩ䁫䁫③当a＞1时，∈（0，1]即证 lnࠩ ࠩ ࠩ ࠩ lnࠩ 香䁫，ࠩ 䁫， 쬐 ࠩࠩx䁫䁫䁫1（1，+∞） ࠩ䁫䁫䁫（0，）（，1）即证 ࠩ ࠩ lnࠩ ࠩ 쬐㈹香䁫 ࠩ ࠩ ࠩ䁫䁫䁫f’（x）+0-0+下面证明ࠩ香䁫时， ࠩ ࠩ香䁫，lnࠩ ࠩ 쬐 䁫ࠩ ࠩf（x）↗↘↗ ࠩ䁫设 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ，ࠩ香䁫，ࠩ䁫∴∀x∈[，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0， 䁫䁫ࠩ䁫䁫䁫䁫䁫ࠩ䁫䁫 则 ࠩ쬐ɤ 쬐 ࠩ ࠩ ࠩ 쬐쬐ɤ䁫 쬐 ࠩ䁫 쬐ࠩࠩ ࠩ ࠩࠩࠩ又limf（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点䁫 ࠩ䁫ࠩ 䁫 ࠩ䁫ࠩ 䁫ɤ䁫 쬐 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐ࠩࠩࠩࠩ综上所得a取值范围为䁫， 쬐 ࠩ 䁫䁫ࠩࠩ 䁫ࠩ设 ࠩ쬐ɤࠩ香䁫쬐， ࠩ쬐ɤ 쬐 ɤ 香䁫ࠩࠩࠩ ࠩ 【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点䁫所以 ࠩ쬐香 䁫쬐ɤ ，而 ࠩ 【解析】【分析】（1）将 ɤ䁫代入，再对函数求导利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值； ࠩ䁫 ࠩ 䁫쬐ࠩ 䁫쬐所以 ࠩ香䁫，所以 ࠩ쬐香䁫（2）求导得 ࠩ쬐ɤ，分a=0、a＜0及a＞0三种情况讨论函数的单调性，求得函数的极值，即ࠩࠩ 所以 ࠩ쬐在䁫， 쬐单调递增可得解. ࠩ ࠩ䁫3．（2022·全国甲卷）已知函数 ࠩ쬐ɤ lnࠩ ࠩ ．即 ࠩ쬐香 䁫쬐ɤ䁫，所以 ࠩ ࠩ香䁫ࠩࠩ（1）若 ࠩ쬐 䁫，求a的取值范围；令 ࠩ쬐ɤlnࠩ 䁫ࠩ 䁫쬐，ࠩ香䁫 ࠩ（2）证明：若 ࠩ쬐有两个零点ࠩ䁫，ࠩ ，则ࠩ䁫ࠩ 䁫．䁫䁫䁫 ࠩ ࠩ 䁫 ࠩ 䁫쬐 ࠩ쬐ɤ 䁫 쬐ɤɤ 䁫ࠩ ࠩ ࠩ ࠩ 【答案】（1）解：由题意得，函数f(x)的定义域为䁫， ，所以 ࠩ쬐在䁫， 쬐单调递减n䁫䁫即 ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫，所以lnࠩ ࠩ 쬐 䁫；则 ࠩ쬐的值域为 䁫， 쬐，故 的取值范围为 䁫， 쬐. ࠩ ࠩ䁫䁫䁫【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用综上， ࠩ ࠩ lnࠩ ࠩ 쬐㈹香䁫，所以ࠩ䁫ࠩ 䁫ࠩ ࠩ【解析】【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用数值求出a即可；【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求 ࠩ䁫䁫䁫 ࠩ（2）由化归思想，将原问题转化要证明 ࠩ ࠩ lnࠩ ࠩ 쬐㈹香䁫恒成立问题，构造函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩࠩ导求出函数值域，即可求得a的取值范围.䁫ࠩ ࠩ，再利用导数研究函数的单调性与最值即可得证.5．（2022·全国乙卷）已知函数 ࠩ쬐ɤln䁫 ࠩ쬐 ࠩ ࠩ.4．（2022·全国甲卷）已知函数 ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ， ࠩ쬐ɤࠩ ，曲线 ɤ ࠩ쬐在点ࠩ䁫， ࠩ䁫쬐쬐处的切线也（1）当 ɤ䁫时，求曲线 ɤ ࠩ쬐在点䁫， 䁫쬐쬐处的切线方程；是曲线 ɤ ࠩ쬐的切线．（2）若 ࠩ쬐在区间 䁫，䁫쬐，䁫， 쬐各恰有一个零点，求a的取值范围．（1）若ࠩ䁫ɤ 䁫，求a：【答案】（1）解： ࠩ쬐的定义域为 䁫， 쬐（2）求a的取值范围．ࠩ， 䁫쬐ɤ䁫，所以切点为䁫，䁫쬐 䁫䁫 ࠩ 【答案】（1）解：由题意知， 䁫쬐ɤ 䁫 䁫쬐ɤ䁫， ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫， 䁫쬐ɤ 䁫ɤ ，则 ɤ ࠩ쬐当 ɤ䁫时， ࠩ쬐ɤln䁫 ࠩ쬐 ࠩࠩ쬐ɤ䁫 ࠩ ࠩ， 䁫쬐ɤ ，所以在点 䁫，䁫쬐处的切线方程为 ɤ ࠩ 䁫쬐，切线斜率为2所以曲线 ɤ ࠩ쬐在点䁫， 䁫쬐쬐处的切线方程为 ɤ ࠩ即 ɤ ࠩ ，设该切线与 ࠩ쬐切于点ࠩ ， ࠩ 쬐쬐， ࠩ쬐ɤ ࠩ，则 ࠩ 쬐ɤ ࠩ ɤ ，解得ࠩ ɤ䁫， ࠩ则 䁫쬐ɤ䁫 ɤ ，解得 ɤ ；（2）解： ࠩ쬐ɤln䁫 ࠩ쬐 ࠩ（2）解： ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫，则 ɤ ࠩ쬐在点ࠩ䁫， ࠩ䁫쬐쬐处的切线方程䁫 䁫 ࠩ쬐 ࠩ 䁫 ࠩ 쬐 ࠩ쬐ɤ ࠩɤ䁫 ࠩ 䁫 ࠩ쬐 ࠩ为 ࠩ ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫쬐ࠩ ࠩ쬐，整理得 ɤ ࠩ 䁫쬐ࠩ ࠩ ，䁫䁫䁫䁫䁫䁫设 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 ࠩ 쬐设该切线与 ࠩ쬐切于点ࠩ， ࠩ쬐쬐， ࠩ쬐ɤ ࠩ，则 ࠩ쬐ɤ ࠩ，则切线方程为 ࠩ 쬐ɤ 1°若 香䁫，当ࠩ 䁫，䁫쬐， ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 ࠩ 쬐香䁫，即 ࠩ쬐香䁫 ࠩࠩ ࠩ쬐，整理得 ɤ ࠩࠩ ࠩ ， 所以 ࠩ쬐在 䁫，䁫쬐上单调递增， ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫 ࠩ䁫 䁫ɤ ࠩ ࠩ 䁫 䁫则，整理得 ɤࠩ ࠩ ɤ䁫 쬐 ࠩ ɤࠩ ࠩ ࠩ ， ࠩɤ ࠩ 䁫 䁫 䁫䁫 䁫 䁫 故 ࠩ쬐在 䁫，䁫쬐上没有零点，不合题意令 ࠩ쬐ɤ 䁫，则 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ࠩɤ ࠩ ࠩ 䁫쬐ࠩ 䁫쬐，令 ࠩ쬐香䁫，解得 䁫 ࠩ ࠩ ࠩ 2°若 䁫 䁫，当ࠩ 䁫， 쬐，则 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ香䁫ࠩ 䁫或ࠩ香䁫，所以 ࠩ쬐在䁫， 쬐上单调递增所以 ࠩ쬐香 䁫쬐ɤ䁫 䁫，即 ࠩ쬐香䁫令 䁫或䁫 ࠩ 䁫，则ࠩ变化时， ࠩ쬐 䁫，解得ࠩ ࠩ쬐， ࠩ쬐的变化情况如下表： 所以 ࠩ쬐在䁫， 쬐上单调递增， ࠩ쬐香 䁫쬐ɤ䁫䁫䁫䁫ࠩ ， 쬐 ，䁫쬐0䁫，䁫쬐1䁫， 쬐 故 ࠩ쬐在䁫， 쬐上没有零点，不合题意 ࠩ쬐-0+0-0+3°若 䁫 䁫 ࠩ쬐 -1 ①当ࠩ 䁫， 쬐，则 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ香䁫，所以 ࠩ쬐在䁫， 쬐上单调递增n所以 䁫，符合题意 䁫쬐ɤ䁫 䁫， 䁫쬐ɤ 香䁫所以若 ࠩ쬐在区间 䁫，䁫쬐，䁫， 쬐各恰有一个零点，求 的取值范围为 ， 䁫쬐所以存在 䁫，䁫쬐，使得 쬐ɤ䁫，即 쬐ɤ䁫【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点当ࠩ 䁫， 쬐， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减【解析】【分析】（1）先求切点，再求导计算斜率，最后根据直线的点斜式方程即可得切线方程；当ࠩ ， 쬐， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增（2）求导，对a分类讨论，对ࠩ分 䁫，䁫쬐，䁫， 쬐两部分研究.所以6．（2022·北京）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 ࠩ쬐．当ࠩ 䁫， 쬐， ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫（Ⅰ）求曲线 ɤ ࠩ쬐在点䁫， 䁫쬐쬐处的切线方程；当ࠩ ， ࠩ쬐 （Ⅱ）设 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐，讨论函数 ࠩ쬐在 䁫， 쬐上的单调性；所以 ࠩ쬐在 ， 쬐上有唯一零点（III）证明：对任意的 ， 䁫， 쬐，有 쬐香 쬐 쬐．又䁫， 쬐没有零点，即 ࠩ쬐在䁫， 쬐上有唯一零点䁫【答案】（Ⅰ） ࠩ쬐ɤ ࠩ ln䁫 ࠩ쬐 ㈹，则 䁫쬐ɤ䁫，又 䁫쬐ɤ䁫，䁫 ࠩ②当ࠩ 䁫，䁫쬐， ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 ࠩ 쬐故所求切线方程为 ɤࠩ设 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ（Ⅱ） ࠩ쬐ɤ ࠩ ln䁫 ࠩ쬐 䁫㈹，䁫 ࠩ䁫 ࠩ쬐 ࠩ쬐ɤ ࠩ 香䁫 䁫䁫 ࠩ又 ࠩ香䁫，ln䁫 ࠩ쬐 香ln䁫 香䁫䁫 ࠩ䁫 ࠩ쬐 䁫 ࠩ쬐 所以 ࠩ쬐在 䁫，䁫쬐单调递增故 ࠩ쬐香䁫对 ࠩ 䁫， 쬐成立， ࠩ쬐在 䁫， 쬐上单调递增䁫 䁫쬐ɤ 䁫， 䁫쬐ɤ䁫香䁫 （III）证明：不妨设 ，所以存在 䁫，䁫쬐，使得 쬐ɤ䁫 쬐 쬐由拉格朗日中值定理可得：ɤ 쬐 쬐 当ࠩ 䁫， 쬐， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减其中 ， ㈹，即 쬐 쬐ɤ 쬐当ࠩ ，䁫쬐， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增， ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫 䁫 쬐 䁫쬐ɤ 쬐，其中 䁫， 쬐，即 쬐 䁫쬐ɤ 쬐 䁫䁫又 䁫쬐ɤ香䁫 由 ࠩ쬐在 䁫， 쬐上单调递增，故 쬐香 쬐所以存在 䁫， 쬐，使得 쬐ɤ䁫，即 쬐ɤ䁫∴ 쬐 쬐香 쬐 䁫쬐ɤ 쬐当ࠩ 䁫， 쬐， ࠩ쬐单调递增，当ࠩ ，䁫쬐， ࠩ쬐单调递减∴ 쬐香 쬐 쬐证毕【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明有ࠩ 䁫， ࠩ쬐 【解析】【分析】（1）对函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 ࠩ쬐求导得 ࠩ쬐ɤ ࠩ ln䁫 ࠩ쬐 䁫㈹，分别计算 䁫쬐， 䁫쬐，根䁫 ࠩ而 䁫쬐ɤ䁫，所以当ࠩ ，䁫쬐， ࠩ쬐香䁫据直线的点斜式方程即可求切线方程；所以 ࠩ쬐在 䁫， 쬐上有唯一零点， ，䁫쬐上无零点 ࠩ 䁫 䁫（2）由（1）知 ࠩ쬐ɤ ln䁫 ࠩ쬐 ㈹，利用放缩法可得ln䁫 ࠩ쬐 香ln䁫 䁫 ࠩ䁫 ࠩ쬐 䁫 ࠩ䁫 ࠩ쬐 即 ࠩ쬐在 䁫，䁫쬐上有唯一零点n䁫 ࠩ香䁫，即可判断 ࠩ쬐的单调性；则肯定有 ࠩ䁫쬐ɤ ࠩ 쬐ɤ ࠩ 쬐ɤ ࠩ 쬐ɤo，䁫 ࠩ쬐 （3）不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得 쬐 쬐ɤ 쬐， 쬐 䁫쬐 注意 ࠩ쬐， ࠩ쬐的结构，易知 lnࠩ쬐ɤ ࠩ쬐，ɤ 쬐，即 쬐 쬐 䁫 쬐ɤ 쬐， 쬐 䁫쬐ɤ 쬐，由（2）的结论，得 쬐香 쬐，即 쬐 쬐香 쬐 䁫쬐ɤ 쬐，所以有 lnࠩ쬐ɤ ࠩ쬐，所以有 ࠩ䁫쬐ɤ lnࠩ 쬐，而由ࠩ䁫 䁫，lnࠩ 䁫， ࠩ쬐在 ，䁫쬐上单调递减，即可证明.知ࠩࠩ 䁫ɤlnࠩ ，同理ࠩ ɤlnࠩ ࠩ ɤ ，7．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ和 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ有相同的最小值.所以ࠩ䁫 ࠩ ɤlnࠩ ࠩ ，（1）求a；又由 ࠩ 쬐ɤ ࠩ 쬐 ࠩ ࠩ ɤࠩ lnࠩ ࠩ lnࠩ ɤ ࠩ ，（2）证明：存在直线 ɤo，，其与两条曲线 ɤ ࠩ쬐和 ɤ ࠩ쬐共有三个不同的交点，并且从左到故ࠩ䁫 ࠩ ɤ ࠩ ，所以存在直线 ɤo，其与两条曲线 ɤ ࠩ쬐和 ɤ ࠩ쬐共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点右的三个交点的横坐标成等差数列．的横坐标成等差数列.【答案】（1）因为 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ，所以 ࠩ쬐ɤ ࠩ ，【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列若 䁫，则 ࠩ쬐ɤ ࠩ 香䁫恒成立，【解析】【分析】（1）对a分 䁫， 香䁫两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得 ࠩ쬐minɤ 所以 ࠩ쬐在䁫， 쬐上单调递增，无最小值，不满足；䁫 䁫 ln ，同理可得 ࠩ쬐minɤ䁫 ln ，根据题意列式，构造函数 쬐ɤln 䁫，并利用导数h’(a)，可得若 香䁫，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；所以 ࠩ쬐minɤ ln 쬐ɤ ln ，（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得ࠩ䁫 䁫 ࠩ 䁫 ࠩ ，同时根据 lnࠩ쬐ɤ ࠩ쬐，可得 䁫因为 ࠩ쬐ɤ ࠩ lnࠩ，定义域ࠩ香䁫，所以 ࠩ쬐ɤ ，ࠩࠩɤlnࠩࠩɤlnࠩࠩ ࠩɤlnࠩ ࠩ ，再由对数运算可证ࠩ䁫 ， ，从而得䁫 䁫 ࠩ ɤ ࠩ ，结论得证.所以 䁫 䁫，ࠩ쬐香䁫 ࠩ香 ， ࠩ쬐 䁫 䁫 ࠩ 8．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ࠩ쬐ɤࠩ 䁫쬐 ࠩ ࠩ o．所以 ࠩ쬐䁫䁫，（1）讨论 ࠩ쬐的单调性；minɤ 쬐ɤ䁫 ln （2）从下面两个条件中选一个，证明： ࠩ쬐有一个零点䁫 䁫依题有 ln ɤ䁫 ln，即ln ɤ䁫， 䁫䁫 ① ，o香 ； 䁫 䁫 令 쬐ɤln 香䁫쬐，则 쬐ɤ香䁫恒成立 䁫 䁫쬐 䁫②䁫 ，o ． 所以 쬐在䁫， 쬐上单调递增，又因为 䁫쬐ɤ䁫，【答案】（1）由函数的解析式可得： ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ 쬐， 䁫ln ɤ䁫有唯一解 ɤ䁫， 䁫当 䁫时，若ࠩ ，䁫쬐，则 ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减，综上， ɤ䁫若ࠩ 䁫， 쬐，则 ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增；（2）由(1)易知 ࠩ쬐在 ，䁫쬐上单调递减，在䁫， 쬐上单调递增， ࠩ쬐在䁫，䁫쬐上单调递减，䁫当䁫 时，若ࠩ ，ln 쬐쬐，则 ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增， 在䁫， 쬐上单调递增，若ࠩ ln 쬐，䁫쬐，则 ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减，存在直线 ɤo，其与两条曲线 ɤ ࠩ쬐和 ɤ ࠩ쬐共有三个不同的交点，若ࠩ 䁫， 쬐，则 ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增；设三个不同交点的横坐标分别为ࠩ䁫，ࠩ ，ࠩ ，不妨设ࠩ䁫 ࠩ ࠩ ，䁫显然有ࠩ䁫 䁫 ࠩ 䁫 ࠩ ，当 ɤ 时， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐在 上单调递增；n䁫当 香时，若ࠩ ，䁫쬐，则 ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增，而函数在区间䁫， 쬐上单调递增，故函数在区间䁫， 쬐上有一个零点. ln 쬐쬐ɤ ln 쬐 䁫㈹ ln 쬐㈹ o若ࠩ 䁫，ln 쬐쬐，则 ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减， ln 쬐 䁫㈹ ln 쬐㈹ 若ࠩ ln 쬐， 쬐，则 ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增；ɤ ln 쬐 ln 쬐㈹ （2）若选择条件①：ɤ ln 쬐 ln 쬐㈹，䁫 由于 ，故䁫 ，则o香 香䁫， 䁫쬐ɤo 䁫香䁫，䁫 由于䁫 ，䁫 䁫，故 ln 쬐 ln 쬐㈹ 䁫， 而 o쬐ɤ 䁫 o쬐 o o o 䁫，结合函数的单调性可知函数在区间 ，䁫쬐上没有零点.而函数在区间 ，䁫쬐上单调递增，故函数在区间 ，䁫쬐上有一个零点.综上可得，题中的结论成立. ln 쬐쬐ɤ ln 쬐 䁫㈹ ln 쬐㈹ o【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理香 ln 쬐 䁫㈹ ln 쬐㈹ 【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；ɤ ln 쬐 ln 쬐㈹ (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.ɤ ln 쬐 ln 쬐㈹， ࠩ9．（2021·北京）已知函数 ࠩ쬐ɤ．ࠩ 䁫 由于 ，䁫 ，故 ln 쬐 ln 쬐㈹ 䁫， （1）若 ɤ䁫，求 ɤ ࠩ쬐在䁫 䁫쬐쬐处切线方程；结合函数的单调性可知函数在区间䁫， 쬐上没有零点.（2）若函数 ࠩ쬐在ࠩɤ 䁫处取得极值，求 ࠩ쬐的单调区间，以及最大值和最小值．综上可得，题中的结论成立.【答案】（1）当 ɤ䁫时， ࠩ쬐ɤ ࠩ，则 ࠩ쬐ɤ ࠩ 쬐， 䁫쬐ɤ䁫， 䁫쬐ɤ ，ࠩ ࠩ 若选择条件②：此时，曲线 ɤ ࠩ쬐在点䁫 䁫쬐쬐处的切线方程为 䁫ɤ ࠩ 䁫쬐，即 ࠩ ɤ䁫；䁫由于䁫 ，故 䁫，则 䁫쬐ɤo 䁫 䁫 䁫， ࠩ ࠩ 쬐 ࠩ ࠩ쬐 ࠩ ࠩ 쬐（2）因为 ࠩ쬐ɤ，则 ࠩ쬐ɤɤ，ࠩ ࠩ 쬐 ࠩ 쬐 当o 䁫时， 香 ， ， 쬐ɤ o香䁫， 쬐由题意可得 䁫쬐ɤɤ䁫，解得 ɤ ， 䁫쬐 而函数在区间䁫， 쬐上单调递增，故函数在区间䁫， 쬐上有一个零点. ࠩ ࠩ 䁫쬐ࠩ 쬐故 ࠩ쬐ɤ， ࠩ쬐ɤ，列表如下：ࠩ ࠩ 쬐 当o 䁫时，构造函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 䁫，则 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫，ࠩ 䁫쬐-1 䁫 쬐4 쬐当ࠩ ，䁫쬐时， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减， ࠩ쬐+0-0+当ࠩ 䁫， 쬐时， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增， ࠩ쬐增极大值减极小值增注意到 䁫쬐ɤ䁫，故 ࠩ쬐 䁫恒成立，从而有： ࠩ ࠩ 䁫，此时：所以，函数 ࠩ쬐的增区间为 䁫쬐、 쬐，单调递减区间为 䁫 쬐. ࠩ쬐ɤࠩ 䁫쬐 ࠩ ࠩ o ࠩ 䁫쬐ࠩ 䁫쬐 ࠩ oɤ䁫 쬐ࠩ o 䁫쬐， 当ࠩ 时， ࠩ쬐香䁫；当ࠩ香时， ࠩ쬐 䁫. 䁫 o 当ࠩ香时，䁫 쬐ࠩ o 䁫쬐香䁫，䁫䁫 所以， ࠩ쬐maxɤ 䁫쬐ɤ䁫， ࠩ쬐minɤ 쬐ɤ .取ࠩɤ䁫 o 䁫，则 ࠩ䁫쬐香䁫，䁫䁫 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的即： 䁫쬐 䁫， 䁫 o 䁫쬐香䁫，最值䁫 n【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.【答案】（1）函数的定义域为䁫， 쬐，10．（2021·全国乙卷）已知函数 ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ ࠩ 䁫. ࠩ 쬐 ࠩ 䁫쬐又 ࠩ쬐ɤ，ࠩ（1）讨论 ࠩ쬐的单调性；（2）求曲线 ɤ ࠩ쬐过坐标原点的切线与曲线 ɤ ࠩ쬐的公共点的坐标.因为 香䁫，ࠩ香䁫，故 ࠩ 香䁫，【答案】（1）由函数的解析式可得： ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ，当䁫 ࠩ 䁫时， ࠩ쬐 䁫；当ࠩ香䁫时， ࠩ쬐香䁫； 导函数的判别式 ɤ 䁫 ，䁫䁫所以 ࠩ쬐的减区间为䁫，쬐，增区间为， 쬐.䁫 当 ɤ 䁫 䁫 时， ࠩ쬐 䁫 ࠩ쬐在R上单调递增， （2）因为 䁫쬐ɤ 䁫香䁫且 ɤ ࠩ쬐的图与ࠩ轴没有公共点，当 ɤ 䁫 香䁫 䁫时， 䁫 䁫 ， ࠩ쬐ɤ䁫的解为：ࠩ䁫ɤ ࠩ ɤ 所以 ɤ ࠩ쬐的图象在ࠩ轴的上方，当ࠩ 䁫 由（1）中函数的单调性可得 ࠩ쬐䁫䁫쬐时， ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐单调递增；minɤ 쬐ɤ ln ɤ ln ， 当ࠩ 䁫 䁫 故 ln 香䁫即 香䁫. 쬐时， ࠩ쬐 䁫 ࠩ쬐单调递减； 当ࠩ 䁫 쬐时， ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐单调递增；【知识点】函数单调性的性质；函数的单调性与导数的关系 【解析】【分析】（1）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函䁫综上可得：当 时， ࠩ쬐在R上单调递增， 数的单调区间；䁫 䁫 䁫 䁫 当 时， ࠩ쬐在 쬐上单调递增，在 쬐上单调递减，在（2）首先注意到 䁫쬐ɤ 䁫香䁫且 ɤ ࠩ쬐的图与ࠩ轴没有公共点这一特点，表明 ɤ ࠩ쬐的 䁫 图象在ࠩ轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于0即可，解不等式，即可得到结果。 쬐上单调递增. ࠩ ࠩ ࠩ 䁫， 12．（2021·全国甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）= ࠩ（x＞0），（2）由题意可得： ࠩ䁫쬐ɤࠩ䁫䁫䁫ࠩ䁫쬐ɤ ࠩ䁫 ࠩ䁫 ， （1）当a=2时，求f（x）的单调区间；则切线方程为： ࠩ䁫 ࠩ䁫 ࠩ䁫 䁫쬐ɤ ࠩ䁫 ࠩ䁫 쬐ࠩ ࠩ䁫쬐， （2）若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.切线过坐标原点，则：䁫 ࠩ䁫 ࠩ䁫 ࠩ䁫 䁫쬐ɤ ࠩ䁫 ࠩ䁫 쬐䁫 ࠩ䁫쬐,ࠩ ࠩ ࠩ ࠩ ࠩln ࠩ ࠩ ࠩln 쬐整理可得： ࠩ ࠩ 䁫ɤ䁫，即：ࠩ䁫 䁫쬐 ࠩ ࠩ䁫 䁫쬐ɤ䁫，【答案】（1）当 ɤ 时， ࠩ쬐ɤ ࠩ， ࠩ쬐ɤɤ ࠩ，䁫䁫䁫 ࠩ쬐 解得：ࠩ䁫ɤ䁫，则 ࠩ䁫쬐ɤ 䁫쬐ɤ䁫 䁫 䁫ɤ 䁫，令 ࠩ쬐ɤ䁫得ࠩɤ ，当䁫 ࠩ 时， ࠩ쬐香䁫，当ࠩ香 时， ࠩ쬐 䁫，ln ln ln 即曲线 ɤ ࠩ쬐过坐标原点的切线与曲线 ɤ ࠩ쬐的公共点的坐标为䁫 䁫쬐. ∴函数 ࠩ쬐在䁫，㈹上单调递增； ， 쬐上单调递减； 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性（2） ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ lnࠩln ，设函数 ࠩ쬐ɤlnࠩ，【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间； ࠩɤ䁫 ɤࠩ ࠩln ɤ lnࠩ ࠩɤ ࠩ（2）先设切点坐标横坐标x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以则 ࠩ쬐ɤ䁫 lnࠩ，令 ࠩ쬐ɤ䁫，得ࠩɤ ，ࠩ 得到x0的值，进一步得到公共点坐标。在䁫， 쬐内 ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增；11．（2021·全国甲卷）设函数 ࠩ쬐＝ ࠩ ＋ ࠩ ࠩ＋䁫，其中a>0．在 ， 쬐上 ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减；（1）讨论f(x)的单调性；䁫 ࠩ쬐 ࠩɤ 쬐ɤ ，n又 䁫쬐ɤ䁫，当ࠩ趋近于 时， ࠩ쬐趋近于0，【答案】（1） ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫쬐 ࠩ，则 䁫쬐ɤ 䁫， 所以曲线 ɤ ࠩ쬐与直线 ɤ䁫有且仅有两个交点，即曲线 ɤ ࠩ쬐与直线 ɤ有两个交点的充分必又 䁫쬐ɤ䁫，则切线方程为 ɤ 䁫쬐ࠩ， 香䁫쬐；ln ln 䁫（2）令 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫쬐 ࠩɤ䁫，则 ɤࠩ 䁫쬐 ࠩ，要条件是䁫 ，这即是䁫 쬐 쬐， 令 ࠩ쬐ɤࠩ 䁫쬐 ࠩ，则 ࠩ쬐ɤࠩ 쬐 ࠩ，所以 的取值范围是䁫， 쬐 ， 쬐.当ࠩ ， 쬐时， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减；当ࠩ ， 쬐时， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调【知识点】函数的单调性与导数的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用递增，ࠩ 【解析】【分析】（1）当ａ＝2时，函数 ࠩ쬐ɤ，用导数研究其单调性； ࠩ当ࠩ 时， ࠩ쬐 䁫， 䁫쬐ɤ䁫，当ࠩ 时， ࠩ쬐香䁫，画出 ࠩ쬐大致图像如下：lnࠩln lnࠩln （2）首先将问题转化为方程ࠩɤ 有两个解的问题，进一步转化为函数 ࠩ쬐ɤࠩ与函数 ࠩ쬐ɤ 有两所以当 香䁫时， ɤ 与 ɤ ࠩ쬐仅有一个交点，令 쬐ɤ ，则 香 䁫，且听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。 쬐ɤ 쬐ɤ䁫，13．（2021·全国乙卷）设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。当ࠩ ， 쬐时， 香 ࠩ쬐，则 ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增，（1）求a；当ࠩ ， 쬐时， ࠩ쬐，则 ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减，ࠩ （ࠩ）（2）设函数g（x）=，证明：g（x）＜1.ࠩ （ࠩ）ࠩɤ 为 ࠩ쬐的极大值点，故 ࠩ쬐存在唯一的极值点；【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)（3）由（II）知 ࠩ쬐maxɤ 쬐，此时 ɤ䁫 쬐 ， 香 䁫，当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1所以 ࠩ쬐 maxɤ 쬐 ɤ 䁫쬐 ， 香 䁫쬐，当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0令 ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ 䁫쬐 ࠩ，ࠩ香 䁫쬐，故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0若存在a，使得 ࠩ쬐 o对任意ࠩ 成立，等价于存在ࠩ 䁫， 쬐，使得 ࠩ쬐 o，即o 令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0 ࠩ쬐min，令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt， ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ 쬐 ࠩɤࠩ 䁫쬐ࠩ 쬐 ࠩ，ࠩ香 䁫，䁫䁫 䁫䁫 则f′(t)=-1--[(-1)lnt+]=-1++lnt-=lnt 当ࠩ 䁫，䁫쬐时， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减，当ࠩ 䁫， 쬐时， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增，所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。所以 ࠩ쬐minɤ 䁫쬐ɤ ，故o ，【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（1）先对函数y=xf（x）求导：[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。所以实数b的取值范围 ， 쬐.（2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明x+f(x)＞xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0，【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。最值14．（2021·天津）已知 香䁫，函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ࠩ．【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）令f'(x)=0，可得a=(x+1)ex，则可化为证明y=a与y=g(x)仅有一个交点，利用导数研究y=g(x)的变化情况，（1）求曲线 ɤ ࠩ쬐在点䁫， 䁫쬐쬐处的切线方程：数形结合求解即可；（2）证明 ࠩ쬐存在唯一的极值点（3）令h(x)=(x2-x-1)ex，(x>-1)，则将问题等价转化为存在x∈(-1，+∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)min，利用导数（3）若存在a，使得 ࠩ쬐 o对任意ࠩ 成立，求实数b的取值范围．n求出h(x)的最小值即可.ࠩ ࠩ䁫 䁫쬐 ࠩ쬐 䁫 ࠩ쬐 15．（2021·新高考Ⅰ）已知函数f(x)=x（1-lnx)又ࠩ香䁫， ࠩ쬐香䁫，且 쬐ɤ䁫（1）讨论f(x)的单调性故ࠩ 䁫， 䁫쬐香䁫，（2）设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b证明: 䁫䁫 䁫쬐ɤ 䁫쬐 䁫쬐香䁫 o ࠩ쬐香䁫恒成立【答案】（1） ࠩ쬐ɤࠩ䁫 lnࠩ쬐 ࠩ 䁫 쬐 ࠩ䁫 ࠩ 得证 ࠩ쬐ɤ䁫 lnࠩ 䁫ɤ lnࠩ䁫䁫 ࠩ 䁫 䁫쬐 ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐 o ࠩ 䁫 쬐 ࠩ쬐 䁫 ࠩ쬐 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 ࠩ쬐在䁫 䁫쬐单调递增， ࠩ쬐在䁫 쬐单调递减【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求解；（2）由oln lnoɤ o，得 䁫䁫䁫䁫䁫䁫（2）根据化归转化思想，将不等式问题等价转化为函数h(x)=f(x)-f(2-x)与 ࠩɤ ࠩ ࠩ的最值问题，ln lnɤ ooo 利用h'(x)与 ࠩ研究函数函数h(x)与 ࠩ的单调性及最值即可.䁫䁫䁫䁫即䁫 ln쬐ɤ䁫 ln쬐 oo 16．（2020·新课标Ⅲ·文）已知函数 ࠩ쬐ɤࠩ 香ࠩ 香．䁫䁫令ࠩ䁫ɤ ，oɤࠩ （1）讨论 ࠩ쬐的单调性；则ࠩ䁫 ࠩ 为 ࠩ쬐ɤ香的两根，其中香 䁫 䁫쬐．（2）若 ࠩ쬐有三个零点，求k的取值范围．不妨令ࠩ䁫 䁫 䁫쬐，ࠩ 䁫 쬐，则 ࠩ䁫香䁫【答案】（1）解：由题， ࠩ쬐ɤ ࠩ 香，先证 ࠩ䁫 ࠩ ，即证ࠩ 香 ࠩ䁫当香 䁫时， ࠩ쬐 䁫恒成立，所以 ࠩ쬐在 쬐上单调递增；即证 ࠩ 쬐ɤ ࠩ䁫쬐 ࠩ䁫쬐当香香䁫时，令 ࠩ쬐ɤ䁫，得ࠩɤ 香，令 ࠩ쬐 䁫，得 香 ࠩ 香， 令 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ쬐 香香香香令 ࠩ쬐香䁫，得ࠩ 或ࠩ香，所以 ࠩ쬐在 쬐上单调递减，在则 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ쬐 香香ɤ lnࠩ ln ࠩ쬐 쬐， 쬐上单调递增. ɤ ln ࠩ ࠩ쬐㈹ ࠩ 䁫 䁫쬐 香쬐香䁫 ࠩ ࠩ쬐 䁫 䁫쬐（2）解：由（1）知， ࠩ쬐有三个零点，则香香䁫，且香 쬐 䁫 ࠩ쬐香䁫恒成立， ࠩ쬐 ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫 香 ࠩ䁫쬐 ࠩ䁫쬐香 香 香䁫 即，解得䁫 香 ， ࠩ ࠩ得证 香 䁫 香 香 䁫 同理，要证ࠩ䁫 ࠩ 香 当䁫 香 时，香香，且 香쬐ɤ香香䁫， 即证 ࠩ 쬐ɤ ࠩ䁫쬐 ࠩ䁫쬐香令 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ쬐 ࠩ 䁫 䁫쬐所以 ࠩ쬐在 香쬐上有唯一一个零点，则 ࠩ쬐ɤ ln ࠩ ࠩ쬐㈹，令 ࠩ䁫쬐ɤ䁫同理 香 䁫 香， 香 䁫쬐ɤ 香 香 䁫쬐 䁫， ࠩ 䁫 ࠩ䁫쬐 ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐 香所以 ࠩ쬐在 香 䁫 쬐上有唯一一个零点， n又 ࠩ쬐在 香香由零点存在性定理知 ࠩ쬐在䁫 쬐上存在唯一一个零点ࠩ䁫 ， 쬐上有唯一一个零点，所以 ࠩ쬐有三个零点， 即 ࠩ쬐在䁫 쬐上存在唯一一个零点，在 䁫쬐上不存在零点， 综上可知香的取值范围为䁫 쬐. 此时 ࠩ쬐不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理综上， ࠩ쬐所有零点的绝对值都不大于1.【解析】【分析】（1） ࠩ쬐ɤ ࠩ 香，对香分香 䁫和香香䁫两种情况讨论即可；（2） ࠩ쬐有三个零点，【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；反证法；函数零点的判定定理香 쬐香䁫【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到 䁫 쬐ɤ䁫，解方程即可；（2）由（1）可得 ࠩ쬐ɤ ࠩ ɤ ࠩ 由（1）知香香䁫，且，解不等式组得到香的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可. 香 쬐 䁫䁫䁫䁫䁫䁫䁫쬐ࠩ 쬐，易知 ࠩ쬐在 쬐上单调递减，在 쬐， 쬐上单调递增，且 䁫쬐ɤ 䁫䁫17．（2020·新课标Ⅲ·理）设函数 ࠩ쬐ɤࠩ oࠩ ，曲线 ɤ ࠩ쬐在点(，f())处的切线与y轴垂直．䁫䁫䁫䁫䁫䁫 쬐ɤ 쬐ɤ 䁫쬐ɤ ，采用反证法，推出矛盾即可. （1）求b．18．（2020·新课标Ⅱ·文）已知函数f（x）=2lnx+1．（2）若 ࠩ쬐有一个绝对值不大于1的零点，证明： ࠩ쬐所有零点的绝对值都不大于1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；【答案】（1）解：因为 ࠩ쬐ɤ ࠩ o， ࠩ쬐 쬐（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．䁫䁫 ࠩ 由题意， 쬐ɤ䁫，即 쬐 oɤ䁫 【答案】（1）解：函数 ࠩ쬐的定义域为：䁫 쬐 则oɤ ࠩ쬐 ࠩ ࠩ쬐 ࠩ 䁫 lnࠩ 䁫 ࠩ 䁫 쬐，（2）解：由（1）可得 ࠩ쬐ɤࠩ 设 ࠩ쬐ɤ lnࠩ 䁫 ࠩ ࠩ香䁫쬐，则有 䁫 ࠩ쬐， ࠩ ，ࠩ쬐ɤ ɤ ࠩࠩ 䁫䁫当ࠩ香䁫时， ࠩ쬐 䁫 ࠩ쬐单调递减， ࠩ쬐ɤ ࠩ ɤ ࠩ 쬐ࠩ 쬐， 当䁫 ࠩ 䁫时， ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐单调递增， 䁫䁫 䁫䁫令 ࠩ쬐香䁫，得ࠩ香或ࠩ ；令 ࠩ쬐 䁫，得 ࠩ ， 所以当ࠩɤ䁫时，函数 ࠩ쬐有最大值，䁫䁫䁫䁫所以 ࠩ쬐在 쬐上单调递减，在 쬐， 쬐上单调递增，即 ࠩ쬐maxɤ 䁫쬐ɤ ln䁫 䁫 䁫 ɤ 䁫 ，且 䁫쬐ɤ 䁫䁫䁫䁫䁫䁫，要想不等式 쬐在䁫 쬐上恒成立， 쬐ɤ 쬐ɤ 䁫쬐ɤ 只需 ࠩ쬐max 䁫 䁫 䁫 䁫；若 ࠩ쬐所有零点中存在一个绝对值大于1的零点ࠩ䁫，则 䁫쬐香䁫或 䁫쬐 䁫， lnࠩ 䁫 ln 䁫쬐 lnࠩ ln 쬐䁫䁫（2）解： ࠩ쬐ɤɤࠩ香䁫且ࠩ 쬐即 香或 .ࠩ ࠩ ࠩ ࠩlnࠩ ࠩln 쬐䁫䁫䁫䁫䁫䁫䁫因此 ࠩ쬐ɤ，设 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩlnࠩ ࠩln 쬐，当 香时， 䁫쬐ɤ 香䁫 쬐ɤ 香䁫 쬐ɤ 香䁫 䁫쬐ɤ 香䁫，ࠩࠩ 쬐 则有 ࠩ쬐ɤ ln lnࠩ쬐，又 쬐ɤ ɤ 䁫 䁫 쬐 䁫，当ࠩ香 时，lnࠩ香ln ，所以 ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减，因此有 ࠩ쬐 쬐ɤ䁫，即由零点存在性定理知 ࠩ쬐在 䁫쬐上存在唯一一个零点ࠩ䁫， ࠩ쬐 䁫，所以 ࠩ쬐单调递减；即 ࠩ쬐在 䁫쬐上存在唯一一个零点，在 䁫 쬐上不存在零点，当䁫 ࠩ 时，lnࠩ ln ，所以 ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增，因此有 ࠩ쬐 쬐ɤ䁫，即 ࠩ쬐 䁫，此时 ࠩ쬐不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；所以 ࠩ쬐单调递减，䁫䁫䁫䁫䁫䁫䁫当 时， 䁫쬐ɤ 䁫 쬐ɤ 䁫 쬐ɤ 䁫 䁫쬐ɤ 䁫， 所以函数 ࠩ쬐在区间䁫 쬐和 쬐上单调递减，没有递增区间.又 쬐ɤ ɤ 䁫 䁫 쬐香䁫，【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值n【解析】【分析】（1）不等式 ࠩ쬐 ࠩ 转化为 ࠩ쬐 ࠩ 䁫，构造新函数，利用导数求出新函数的 ࠩ쬐ɤ sin ࠩcos ࠩ sin ࠩ쬐ɤ sin ࠩ cos ࠩ sin ࠩ쬐最大值，进而进行求解即可；（2）对函数 ࠩ쬐求导，把导函数 ࠩ쬐的分子构成一个新函数 ࠩ쬐，再求导ɤ sin ࠩ cos ࠩ 䁫쬐ɤ sin ࠩ cosࠩ 䁫쬐 cosࠩ 䁫쬐，得到 ࠩ쬐，根据 ࠩ쬐的正负，判断 ࠩ쬐的单调性，进而确定 ࠩ쬐的正负性，最后求出函数 ࠩ쬐的 ࠩ쬐ɤ䁫在ࠩ 䁫 쬐上的根为：ࠩ ，䁫ɤ ࠩ ɤ 单调性. 当ࠩ 䁫 쬐时， ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐单调递增，ࠩ 19．（2020·新课标Ⅰ·文）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ 쬐. （1）当 ɤ䁫时，讨论 ࠩ쬐的单调性；当ࠩ 쬐时， ࠩ쬐 䁫 ࠩ쬐单调递减，（2）若 ࠩ쬐有两个零点，求a的取值范围.当ࠩ 쬐时， ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐单调递增. 【答案】（1）解：当 ɤ䁫时， ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 쬐， ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫，（2）解：注意到 ࠩ 쬐ɤsin ࠩ 쬐sin ࠩ 쬐㈹ɤsin ࠩsin ࠩɤ ࠩ쬐，令 ࠩ쬐 䁫，解得ࠩ 䁫，令 ࠩ쬐香䁫，解得ࠩ香䁫，故函数 ࠩ쬐是周期为 的函数，所以 ࠩ쬐的减区间为 䁫쬐，增区间为䁫 쬐；结合(1)的结论，计算可得： 䁫쬐ɤ 쬐ɤ䁫，（2）解：若 ࠩ쬐有两个零点，即 ࠩ ࠩ 쬐ɤ䁫有两个解， 쬐ɤ 쬐 ɤ ， 쬐ɤ 쬐 쬐ɤ ， ࠩ 从方程可知，ࠩɤ 不成立，即 ɤ有两个解，ࠩ ࠩ据此可得： ࠩ쬐㈹maxɤ ， ࠩ쬐㈹minɤ ， ࠩࠩ 쬐 ࠩ ࠩࠩ 䁫쬐令 ࠩ쬐ɤࠩ 쬐，则有 ࠩ쬐ɤɤ，ࠩ ࠩ 쬐 ࠩ 쬐 即 ࠩ쬐 .令 ࠩ쬐香䁫，解得ࠩ香 䁫，令 ࠩ쬐 䁫，解得ࠩ 或 ࠩ 䁫， （3）解：结合(2)的结论有：所以函数 ࠩ쬐在 쬐和 䁫쬐上单调递减，在 䁫 쬐上单调递增，sin ࠩsin ࠩsin ࠩ sin ࠩ且当ࠩ 时， ࠩ쬐 䁫， 而ࠩ 时， ࠩ쬐 ，当ࠩ 时， ࠩ쬐 ，ɤ sin ࠩsin ࠩsin ࠩ sin ࠩ㈹ ࠩ䁫 所以当 ɤࠩ 有两个解时，有 香 䁫쬐ɤ ，ɤ sinࠩsin ࠩsin ࠩ쬐sin ࠩsin ࠩ쬐 sin 䁫ࠩsin ࠩ쬐sin ࠩ㈹ 䁫所以满足条件的 的取值范围是： 쬐. sinࠩ sin ࠩ㈹ 【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系 【解析】【分析】（1）将 ɤ䁫代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调 쬐 ㈹ ɤ쬐 . ࠩ ࠩ【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；三角函数的最值；反证法与放缩法增区间和减区间；（2）若 ࠩ쬐有两个零点，即 ࠩ 쬐ɤ䁫有两个解，将其转化为 ɤ有两个解，ࠩ ࠩ【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原 令 ࠩ쬐ɤࠩ 쬐，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.ࠩ 函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值20．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 ࠩ쬐ɤ（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； sinࠩsin ࠩsin ࠩ쬐sin ࠩsin ࠩ쬐 sin 䁫ࠩsin ࠩ쬐sin ࠩ㈹ ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放 （2）证明： ࠩ쬐 ； 缩即可证得题中的不等式.（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ . 21．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ࠩ.【答案】（1）解：由函数的解析式可得： ࠩ쬐ɤ sin ࠩcosࠩ，则：（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；n䁫3 （2）当x≥0时，f（x）≥x+1，求a的取值范围. 切线与坐标轴交点坐标分别为䁫 쬐 䁫쬐, 䁫【答案】（1）解：当 ɤ䁫时， ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ࠩ， ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 䁫，∴所求三角形面积为䁫 ; ɤ 䁫 䁫由于 ࠩ쬐ɤ ࠩ 香䁫，故 ࠩ쬐单调递增，注意到 䁫쬐ɤ䁫，故：（2）解：解法一： ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 lnࠩ ln ,当ࠩ 䁫쬐时， ࠩ쬐 䁫 ࠩ쬐单调递减， ࠩ 䁫䁫，且 香䁫. ࠩ쬐ɤ ࠩ当ࠩ 䁫 쬐时， ࠩ쬐香䁫 ࠩ쬐单调递增.ࠩ 䁫䁫（2）解：由 ࠩ쬐 䁫 ࠩ ࠩ ࠩ 䁫ࠩ 䁫，其中ࠩ 䁫，设 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐,则 ࠩ쬐ɤ ࠩ 香䁫 ࠩ 䁫得， ∴g(x)在䁫 쬐上单调递增，即 ࠩ쬐在䁫 쬐上单调递增，①.当x=0时，不等式为：䁫 䁫，显然成立，符合题意；䁫当 ɤ䁫时， 䁫쬐ɤ䁫,∴ ࠩ쬐 ㌳ ɤ 䁫쬐ɤ䁫,∴ ࠩ쬐 䁫成立. ࠩ ࠩ ࠩ 䁫②.当ࠩ香䁫时，分离参数a得， ，ࠩ 䁫䁫 䁫 䁫 䁫䁫当 香䁫时， 䁫， 䁫 䁫， 쬐 䁫쬐ɤ 䁫쬐 䁫쬐 䁫, ࠩ ࠩ ࠩ 䁫ࠩ 쬐 ࠩ 䁫ࠩ ࠩ 䁫쬐 记 ࠩ쬐ɤ ， ࠩ쬐ɤ ，ࠩ ࠩ ∴存在唯一ࠩ香䁫，使得 ࠩ쬐ɤ ࠩ䁫 䁫 䁫ɤ䁫，且当ࠩ 䁫 ࠩ쬐时 ࠩ쬐 䁫，当ࠩ ࠩ 쬐时䁫䁫ࠩ䁫䁫䁫䁫令 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ࠩ 䁫ࠩ 䁫쬐， 䁫 ࠩ쬐香䁫， ࠩ䁫 䁫ɤ， ln ࠩ 䁫ɤ lnࠩ，ࠩ䁫䁫则 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 䁫， ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 䁫，䁫因此 ࠩ쬐minɤ ࠩ䁫쬐ɤ ࠩ䁫 䁫 lnࠩ䁫 ln 故 ࠩ쬐单调递增， ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫，䁫䁫故函数 ࠩ쬐单调递增， ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫，ɤࠩ ln ࠩ䁫 䁫 ln ln 䁫 ࠩ ࠩ䁫ɤ ln 䁫>1,䁫䁫由 ࠩ쬐 䁫可得： ࠩ 䁫ࠩ ࠩ 䁫 䁫恒成立，∴ ࠩ쬐香䁫 ∴ ࠩ쬐 䁫恒成立； 当䁫 䁫时， 䁫쬐ɤ ln 䁫 ∴ 䁫쬐 䁫 ࠩ쬐 䁫不是恒成立.故当ࠩ 䁫 쬐时， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增；综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).当ࠩ 쬐时， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减；解法二： ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 ࠩ ɤ ࠩ 䁫 ࠩ 䁫等价于 因此， ࠩ쬐㈹maxɤ 쬐ɤ , ࠩ 䁫 ࠩ 䁫 ࠩ ࠩɤ ࠩ ࠩ, 综上可得，实数a的取值范围是 쬐.令 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ,上述不等式等价于 ࠩ 䁫쬐 ࠩ쬐,【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值显然 ࠩ쬐为单调增函数，∴又等价于 ࠩ 䁫 ࠩ，即 ࠩ ࠩ 䁫，【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首令 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 䁫,则 䁫䁫 ࠩࠩ쬐ɤ 䁫ɤࠩࠩ先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的在䁫 䁫쬐上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，取值范围.∴ ࠩ쬐 ࠩɤ 䁫쬐ɤ䁫,22．（2020·新高考Ⅰ）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 lnࠩ ln ． 䁫，即 䁫，∴a的取值范围是[1,+∞).（1）当 ɤ 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点【答案】（1）解： ࠩ쬐ɤ ࠩ lnࠩ 䁫， ࠩ䁫， 香ɤ ࠩ쬐ɤ 䁫쬐ɤ 䁫.ࠩ坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数 ࠩ쬐得导函数 ࠩ쬐的单调 䁫쬐ɤ 䁫，∴切点坐标为(1,1+e),递增，当a=1时由 䁫쬐ɤ䁫得 ࠩ쬐ɤ 䁫쬐ɤ䁫,符合题意；当a>1时，可证 䁫 ㌳ 쬐 䁫쬐 䁫，从而 ࠩ쬐 ∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 䁫ɤ 䁫쬐ࠩ 䁫쬐,即 ɤ 䁫쬐ࠩ ,n存在零点ࠩ香䁫，使得 ࠩ쬐ɤ ࠩ䁫 䁫 䁫ɤ䁫，得到 ࠩ쬐，利用零点的条件，结合指数对数的运算ɤࠩ ࠩ ࠩ ࠩ ࠩࠩ 香ࠩ䁫 ࠩ 쬐 香lnࠩ䁫䁫䁫ࠩmin䁫 䁫 䁫 ࠩࠩࠩ䁫 䁫 化简后，利用基本不等式可以证得ࠩ쬐 䁫恒成立；当䁫 䁫时，研究 䁫쬐.即可得到不符合题意.综合 䁫ɤࠩ 䁫쬐 香 ln 쬐.① 可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将 ࠩ쬐 䁫转化为 ࠩ 䁫 ࠩ 䁫 ࠩ ࠩ，令䁫令 ࠩ쬐ɤࠩ lnࠩ ࠩ 䁫 쬐.ࠩࠩ ࠩ쬐ɤ ࠩ,上述不等式等价于 ࠩ 䁫쬐 ࠩ쬐,注意到 ࠩ쬐的单调性，进一步等价转化为 䁫 䁫 ࠩ ࠩ 䁫，令 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 䁫,利用导数求得 ࠩ쬐 ࠩ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对当x>1时， ࠩ쬐ɤ䁫 ࠩ ࠩɤ䁫 ࠩ쬐香䁫，数不等式，解得a的取值范围.由此可得 ࠩ쬐在 䁫 쬐单调递增，所以当t>1时， 쬐香 䁫쬐，即 䁫 ln 香䁫. 23．（2020·天津）已知函数 ࠩ쬐ɤࠩ 香lnࠩ香 쬐， ࠩ쬐为 ࠩ쬐的导函数．因为ࠩ 䁫， 䁫ɤ 䁫쬐 香䁫，香 ，（Ⅰ）当香ɤ 时，所以ࠩ 䁫쬐 香 䁫 ln 쬐 䁫쬐 䁫 ln 쬐 （i）求曲线 ɤ ࠩ쬐在点䁫 䁫쬐쬐处的切线方程； ɤ ln 䁫.②（ii）求函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ쬐 的单调区间和极值；ࠩ ࠩ ࠩ ࠩ由(Ⅰ)(ii)可知，当 香䁫时， 쬐香 䁫쬐，即 ln 香䁫，（Ⅱ）当香 时，求证：对任意的ࠩ䁫 ࠩ 䁫 쬐，且ࠩ䁫香ࠩ ，有䁫쬐 쬐香䁫쬐 ࠩ 쬐． ࠩ䁫 ࠩ 故 ln 䁫香䁫③【答案】解：(Ⅰ)(i)当k=6时， ࠩ쬐ɤࠩ lnࠩ， ࠩ쬐ɤ ࠩ .可得 䁫쬐ɤ䁫， 䁫쬐ɤ ，ࠩ由①②③可得ࠩ䁫 ࠩ 쬐 ࠩ䁫쬐 ࠩ 쬐쬐 ࠩ䁫쬐 ࠩ 쬐쬐香䁫.所以曲线 ɤ ࠩ쬐在点䁫 䁫쬐쬐处的切线方程为 䁫ɤ ࠩ 䁫쬐，即 ɤ ࠩ .所以，当香 时，任意的ࠩ䁫 ࠩ 䁫 쬐，且ࠩ䁫香ࠩ ，有(ii)依题意， ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ lnࠩ ࠩ 䁫 쬐.ࠩ ࠩ䁫쬐 ࠩ 쬐 ࠩ䁫쬐 ࠩ 쬐香. ࠩ䁫 ࠩ 从而可得 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ ，ࠩࠩ 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 ࠩ 䁫쬐 ࠩ 䁫쬐整理可得： ࠩ쬐ɤ，【解析】【分析】(Ⅰ)(i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得ࠩ 令 ࠩ쬐ɤ䁫，解得ࠩɤ䁫. ࠩ쬐的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数ࠩ当x变化时， ࠩ쬐 ࠩ쬐的变化情况如下表：的解析式，然后令䁫ɤ ，将原问题转化为与 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得ࠩ ࠩ䁫 䁫쬐ࠩɤ䁫䁫 쬐题中的结论. ࠩ쬐 䁫 24．（2020·北京）已知函数 ࠩ쬐ɤ䁫 ࠩ ． ࠩ쬐单调递减极小值单调递增（Ⅰ）求曲线 ɤ ࠩ쬐的斜率等于 的切线方程；所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；（Ⅱ）设曲线 ɤ ࠩ쬐在点 쬐쬐处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 쬐，求 쬐的最小值．g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.【答案】解：（Ⅰ）因为 ࠩ쬐ɤ䁫 ࠩ ，所以 ࠩ쬐ɤ ࠩ，（Ⅱ）证明：由 ࠩ쬐ɤࠩ 香lnࠩ，得 ࠩ쬐ɤ ࠩ 香.设切点为ࠩ䁫 䁫 ࠩ䁫쬐，则 ࠩ䁫ɤ ，即ࠩ䁫ɤ䁫，所以切点为䁫 䁫䁫쬐，ࠩࠩ由点斜式可得切线方程为： 䁫䁫ɤ ࠩ 䁫쬐，即 ࠩ 䁫 ɤ䁫.对任意的ࠩ䁫 ࠩ 䁫 쬐，且ࠩ䁫香ࠩ ，令䁫ɤ 香䁫쬐，则ࠩ （Ⅱ）显然 䁫，ࠩ ࠩ쬐 ࠩ쬐 ࠩ쬐쬐 ࠩ쬐 ࠩ쬐쬐䁫 䁫 䁫 因为 ɤ ࠩ쬐在点 䁫 쬐处的切线方程为： 䁫 쬐ɤ ࠩ 쬐， 香 香 ࠩ䁫ɤࠩ䁫 ࠩ 쬐 ࠩ䁫 ࠩ ࠩ ࠩ쬐 ࠩ䁫 ࠩ 香lnࠩ쬐令ࠩɤ䁫，得 ɤ 䁫 ，令 ɤ䁫，得ࠩɤ 䁫 ，䁫 n所以 쬐ɤ䁫 䁫 ，时， ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫，所以 ࠩ ࠩ 䁫.从而 䁫 쬐 䁫䁫䁫ln䁫䁫䁫䁫不妨设 香䁫 䁫时，结果一样쬐， ln 쬐ɤlnln ln 䁫쬐 ɤlnln ln 䁫ɤ ln 쬐 䁫，则 쬐ɤ 䁫 䁫 䁫 又因为 ࠩ䁫쬐香 䁫쬐ɤ䁫，所以 ࠩ쬐在䁫 쬐内有唯零点.又 ࠩ쬐在䁫 ࠩ䁫쬐内有唯一零点1，从而，ɤ 쬐， ࠩ쬐）在䁫 쬐内恰有两个零点.所以 䁫 䁫 쬐 쬐ɤ 쬐ɤ ࠩ쬐ɤ䁫 ࠩ ࠩɤ䁫ࠩ䁫 䁫ࠩࠩ lnࠩ（ii）由题意，䁫即䁫，从而lnࠩ䁫ɤ 䁫 ࠩ䁫，即 ࠩ䁫 ࠩ䁫ɤ䁫䁫.因为 ࠩ쬐ɤ䁫lnࠩɤ ࠩ 䁫쬐 ࠩ䁫ࠩ ࠩ 쬐 䁫 쬐 쬐 쬐 䁫 쬐䁫䁫䁫䁫䁫 䁫ɤɤ， ࠩ ࠩ䁫 䁫쬐当ࠩ香䁫时，lnࠩ ࠩ 䁫，又ࠩ䁫香ࠩ䁫香䁫，故 ࠩ䁫 ࠩ䁫 䁫ɤࠩ ，两边取对数，得由 ࠩ䁫 䁫䁫 쬐香䁫，得 香 ，由 쬐 䁫，得䁫 ，ln ࠩ䁫 ࠩ䁫 ࠩ ，于是所以 쬐在䁫 쬐上递减，在 쬐上递增，䁫ࠩ䁫 ࠩ䁫 lnx䁫 ࠩ䁫 䁫쬐，所以 ɤ 时， 쬐取得极小值，整理得 ࠩ䁫 ࠩ䁫香 .䁫 䁫 也是最小值为 쬐ɤɤ . 【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数零点的判定定理【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式求出导函数，通过当 䁫时，判断 ࠩ쬐香䁫，得到函【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意数的单调性；义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.（Ⅱ）（ⅰ）求导，分析导函数可得函数 ࠩ쬐的单调性和极值点，再根据极值点的取值范围分析函数在不同区25．（2019·天津）设函数 ࠩ쬐ɤlnࠩ ࠩ 䁫쬐 ࠩ，其中 .间的正负，即可得函数 ࠩ쬐的零点个数。（Ⅰ）若 䁫，讨论 ࠩ쬐的单调性；ࠩ lnࠩ（ⅱ）根据ࠩ䁫为 ࠩ쬐的极值点，ࠩ䁫为 ࠩ쬐的零点可列出等式，化简整理得 ࠩ䁫 ࠩ䁫ɤ䁫䁫，由（ⅰ）䁫ࠩ䁫 䁫（Ⅱ）若䁫 ， ࠩ ࠩ可得 ࠩ䁫 ࠩ䁫 䁫䁫 䁫쬐ɤࠩ ，两边取对数，即可得ࠩ䁫 ࠩ䁫 lnx䁫 ࠩ䁫 䁫쬐，整理即可得。ࠩ䁫（i）证明 ࠩ쬐恰有两个零点䁫 䁫26．（2019·天津）设函数 ࠩ쬐ɤ ࠩcosࠩ ࠩ쬐为 ࠩ쬐的导函数.（ii）设ࠩ为 ࠩ쬐的极值点，ࠩ䁫为 ࠩ쬐的零点，且ࠩ䁫香ࠩ䁫，证明 ࠩ䁫 ࠩ䁫香 .（Ⅰ）求 ࠩ쬐的单调区间；【答案】解：（Ⅰ）解：由已知， ࠩ쬐的定义域为䁫 쬐，且 䁫䁫 ࠩ ࠩ（Ⅱ）当ࠩ ㈹时，证明 ࠩ쬐 ࠩ쬐 ࠩ쬐 䁫； ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 䁫쬐 ࠩ㈹ɤࠩࠩ 因此当 䁫时，䁫 ࠩ ࠩ香䁫，从而 ࠩ쬐香䁫，所以 ࠩ쬐在䁫 쬐内单调递增.（Ⅲ）设ࠩ 为函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 䁫在区间 쬐内的零点，其中 ，证明 （Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知 䁫 ࠩ ࠩ.令 ࠩ쬐ɤ䁫 ࠩ ࠩ，由䁫 䁫，ࠩ .ࠩ쬐ɤࠩ sinࠩ䁫 cosࠩ䁫可知 ࠩ쬐在䁫 쬐内单调递减，又 䁫쬐ɤ䁫 香䁫，且【答案】解：（Ⅰ）由已知，有 ࠩ쬐ɤ ࠩcosࠩ sinࠩ쬐.因此，当ࠩ 香 香 쬐香 쬐时，有sinࠩ香 䁫䁫䁫䁫 ln쬐ɤ䁫 ln쬐ɤ䁫 ln쬐 䁫. cosࠩ，得 ࠩ쬐 䁫，则 ࠩ쬐单调递减；当ࠩ 香 香 쬐香 쬐时，有sinࠩ cosࠩ，得 ࠩ쬐香 故 ࠩ쬐ɤ䁫在䁫 쬐内有唯一解，从而 ࠩ쬐ɤ䁫在䁫 쬐内有唯一解，不妨设为ࠩ䁫，则䁫 ࠩ䁫 䁫，则 ࠩ쬐单调递增.ln䁫.当ࠩ 䁫 ࠩ쬐时， ࠩ쬐 ࠩ䁫쬐䁫ࠩ쬐ɤ香ɤ䁫，所以 ࠩ쬐在䁫 ࠩ䁫쬐内单调递增；当ࠩ ࠩ䁫 쬐时， ࠩࠩ所以， ࠩ쬐的单调递增区间为 香 香 ㈹香 쬐 ࠩ쬐的单调递减区间为 香 香 ࠩ쬐 ࠩ䁫쬐 ࠩ쬐ɤ ɤ䁫，所以 ࠩ쬐在ࠩ䁫 쬐内单调递减，因此ࠩ䁫是 ࠩ쬐的唯一极值点. ࠩࠩ㈹ 香 쬐. 䁫令 ࠩ쬐ɤlnࠩ ࠩ 䁫，则当ࠩ香䁫时， ࠩ쬐ɤࠩ 䁫 䁫，故 ࠩ쬐在䁫 쬐内单调递减，从而当ࠩ香䁫 ࠩ（Ⅱ）证明：记 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ쬐 ࠩ쬐.依题意及（Ⅰ），有 ࠩ쬐ɤ cosࠩ sinࠩ쬐，从而 nࠩ ࠩ쬐ɤ sinࠩ.当ࠩ 쬐时， ࠩ쬐 䁫，故 쬐 䁫 쬐单调递增，在 䁫쬐单调递减. ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ쬐 ࠩ쬐 ࠩ쬐 䁫쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ쬐 䁫.（2）当䁫 时，由（1）知， ࠩ쬐在䁫 쬐单调递减，在 䁫쬐单调递增，所以 ࠩ쬐在[0,1]的最 因此， ࠩ쬐在区间 ㈹上单调递减，进而 ࠩ쬐 쬐ɤ 쬐ɤ䁫.小值为 쬐ɤ ，最大值为 䁫쬐ɤ 或 䁫쬐ɤ .于是 䁫 所以，当ࠩ ㈹时， ࠩ쬐 ࠩ쬐 ࠩ쬐 䁫. ɤ ， ɤ （Ⅲ）证明：依题意， ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 䁫ɤ䁫，即 ࠩ cosࠩɤ䁫.记 ɤࠩ ，则 쬐，且 䁫 所以 ɤ 쬐ɤ cos ɤ ࠩ cosࠩ 쬐ɤ 쬐. 由 쬐时， ࠩ쬐 䁫，所以 ࠩ쬐在 쬐ɤ 䁫ɤ 䁫쬐及（Ⅰ），得 䁫.由（Ⅱ）知，当ࠩ 当䁫 时，可知 单调递减，所以 的取值范围是 쬐. ㈹上为减函数，因此 쬐 䁫쬐 쬐ɤ䁫.又由（Ⅱ）知， 쬐 쬐 쬐 䁫，故 当 时，单调递减，所以 的取值范围是 䁫쬐. 쬐 쬐ɤ 쬐 ɤ sinࠩ. 䁫쬐 䁫sin 䁫 cos 䁫쬐䁫 cosࠩ综上， 的取值范围是 쬐. 所以， ࠩ sinࠩ【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值䁫 cosࠩ䁫【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；反证法与放缩法【解析】【分析】（1）先求导，令 ，分三种情况讨论a，即可求出函数 ࠩ쬐的ࠩ쬐ɤ䁫，得x=0或ࠩɤ 【解析】【分析】本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用。单调区间；（2）分三种情况讨论a，利用（1）中函数 ࠩ쬐单调性，分别求出函数 ࠩ쬐的最值，即可求出 （Ⅰ）对函数 ࠩ쬐ɤ ࠩcosࠩ求导可求出 ࠩ쬐的单调递增区间和单调递减区间；的取值范围. ࠩ（Ⅱ）先构造函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ쬐 ࠩ쬐，再对（Ⅰ） ࠩ쬐ɤ cosࠩ sinࠩ쬐求导，找出 ࠩ쬐的单调28．（2019·全国Ⅲ卷理）已知函数f（x）=2x3-ax2+b.递减区间，结论得以证明；（1）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）由已知条件 ࠩ 쬐ɤ ࠩ 쬐 䁫ɤ䁫得出 ɤࠩ ，进而得出 쬐ɤ 䁫ɤ 䁫쬐， （2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值； ，结合（Ⅱ） ࠩ쬐在 ㈹为减函数，即可得到 쬐 쬐 쬐ɤ䁫，再由（Ⅱ）可知 쬐 若不存在，说明理由。䁫 䁫 【答案】（1）解： ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩɤ ࠩ ࠩ 쬐．令 ࠩ쬐ɤ䁫，得x=0或ࠩɤ.若a>0，则当ࠩ 쬐 쬐 䁫，利用单调性即可证得结论。 27．（2019·全国Ⅲ卷文）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ . 䁫쬐 쬐时， ࠩ쬐香䁫；当ࠩ 䁫 쬐时， ࠩ쬐 䁫．故 ࠩ쬐在 䁫쬐 쬐单调递增， （1）讨论 ࠩ쬐的单调性；在䁫 쬐单调递减； （2）当0<a<3时，记 ࠩ쬐在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求 的取值范围.若a=0， ࠩ쬐在 쬐单调递增； 【答案】（1）解： ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩɤ ࠩ ࠩ 쬐．令 ࠩ쬐ɤ䁫，得x=0或ࠩɤ.若a>0，则当ࠩ 若a<0，则当ࠩ 쬐 䁫 쬐时， ࠩ쬐香䁫；当ࠩ 䁫쬐时， ࠩ쬐 䁫．故 ࠩ쬐在 䁫쬐 쬐时， ࠩ쬐香䁫；当ࠩ 䁫 쬐时， ࠩ쬐 䁫．故 ࠩ쬐在 䁫쬐 쬐单调递增， 쬐 䁫 쬐单调递增，在 䁫쬐单调递减. 在䁫 쬐单调递减；（2）满足题设条件的a，b存在.若a=0， ࠩ쬐在 쬐单调递增；（i）当a≤0时，由（1）知， ࠩ쬐在[0，1]单调递增，所以 ࠩ쬐在区间[0，l]的最小值为 䁫쬐ɤo，最大值若a<0，则当ࠩ 쬐 䁫 쬐时， ࠩ쬐香䁫；当ࠩ 䁫쬐时， ࠩ쬐 䁫．故 ࠩ쬐在 为 䁫쬐ɤ o.此时a，b满足题设条件当且仅当oɤ 䁫， oɤ䁫，即a=0，oɤ 䁫． n（ii）当a≥3时，由（1）知， ࠩ쬐在[0，1]单调递减，所以 ࠩ쬐在区间[0，1]的最大值为 䁫쬐ɤo，最小（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；值为 䁫쬐ɤ o．此时a，b满足题设条件当且仅当 oɤ 䁫，b=1，即a=4，b=1．（2）设xࠩ0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线 ɤ 的切线.（iii）当0<a<3时，由（1）知， ࠩ쬐在[0，1]的最小值为 【答案】（1）解：f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．因为f（e）=䁫 䁫 䁫쬐ɤ o，最大值为b或 o． 䁫， 쬐ɤ ɤ 䁫 䁫 若 oɤ 䁫，b=1，则 ɤ ，与0<a<3矛盾.香䁫， 䁫若 oɤ 䁫， oɤ䁫，则 ɤ 或 ɤ 或a=0，与0<a<3矛盾．所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0． 䁫䁫ࠩ䁫 䁫综上，当且仅当a=0，oɤ 䁫或a=4，b=1时， ࠩ쬐在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．又䁫 ࠩ 䁫， ࠩ쬐ɤ lnࠩ䁫 ࠩɤ ࠩ䁫쬐ɤ䁫，䁫䁫䁫 䁫【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值䁫故f（x）在（0，1）有唯一零点．ࠩ䁫 【解析】【分析】（1）先求导，令 ࠩ쬐ɤ䁫，得x=0或ࠩɤ，分三种情况讨论a，即可求出函数 ࠩ쬐的综上，f（x）有且仅有两个零点． 单调区间；（2）先判断满足题设条件的a，b存在，再分三种情况讨论a，利用（1）中函数 ࠩ쬐单调性分别（2）因为䁫ɤ lnࠩ䁫，故点B（–lnx䁫xɤࠩ䁫 䁫ࠩ0，ࠩ）在曲线y=e上．由题设知 ࠩ䁫쬐ɤ䁫，即lnࠩ䁫ࠩ，故䁫䁫䁫 䁫求出a，b的值进行判断，即可得结论.䁫䁫ࠩ䁫 䁫ࠩ lnࠩ䁫ࠩ䁫 ࠩ 䁫䁫直线AB的斜率香ɤ䁫ɤ䁫ɤ．29．（2019·全国Ⅱ卷文）已知函数 ࠩ쬐ɤࠩ 䁫쬐 ࠩ ࠩ 䁫，证明： lnࠩ䁫 ࠩ䁫 ࠩ䁫 䁫 ࠩࠩ䁫ࠩ 䁫䁫䁫（1） ࠩ쬐存在唯一的极值点；䁫䁫䁫曲线y=ex在点 lnࠩ䁫 쬐处切线的斜率是，曲线 ɤlnࠩ在点 ࠩ䁫 lnࠩ䁫쬐处切线的斜率也是，ࠩ䁫ࠩ䁫ࠩ䁫（2） ࠩ쬐ɤ䁫有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.所以曲线 ɤlnࠩ在点 ࠩ lnࠩ쬐处的切线也是曲线y=ex的切线．䁫䁫【答案】（1）解： ࠩ쬐的定义域为（0，+ ）.【知识点】导数的几何意义；函数的零点与方程根的关系 ࠩ 䁫䁫 ࠩ쬐ɤ lnࠩ 䁫ɤlnࠩ .ࠩࠩ【解析】【分析】（1）对函数f(x)解析式求导，判断导函数的正负来判断函数f(x)的单调性，由于定义域为（0，因为 ɤlnࠩ单调递增， ɤ䁫单调递减，所以 ࠩ쬐单调递增，又 䁫쬐ɤ 䁫 䁫，䁫ࠩ1），（1，+∞），取特殊值f(e)，f(e2)可证在在(0,1)上函数f(x)必存在唯一零点，又 쬐ɤ ࠩ쬐，则在（1，ࠩ 䁫ln 䁫 ࠩ쬐ɤ䁫. 쬐ɤln ɤ 香䁫，故存在唯一ࠩ䁫 䁫 쬐，使得 䁫+∞）上函数f(x)也存在唯一零点。由此此题即解出。（2）求出曲线y=lnx在A（x0，lnx0）的切线表达式，根又当ࠩ ࠩ时， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐单调递减；当ࠩ香ࠩ时， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐单调递增.据两个切线斜率相等的条件进而求出y=ex的切线表达式，最后由已知条件化简两个表达式，即证得是同一条切䁫䁫因此， ࠩ쬐存在唯一的极值点.线。（2）由（1）知 ࠩ䁫쬐 䁫쬐ɤ ，又 쬐ɤ 香䁫，所以 ࠩ쬐ɤ䁫在ࠩ䁫 쬐内存在唯一根31．（2019·北京）已知函数f（x）=䁫x3-x2+x. ࠩɤ .（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；䁫由 香ࠩ䁫香䁫得 䁫 ࠩ䁫.（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；又 䁫䁫䁫䁫 쬐䁫是 ࠩ쬐ɤ䁫在䁫 ࠩ쬐的唯一根.（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）.当M（a）最小쬐ɤ 䁫쬐ln 䁫ɤɤ䁫，故䁫 时，求a的值.综上， ࠩ쬐ɤ䁫有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 【知识点】利用导数研究函数的单调性【答案】解（I） ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 䁫，令 ࠩ쬐ɤ䁫，【解析】【分析】（1）首先求出原函数的导函数，再由导函数的性质研究出原函数的单调性以及极值的情况结则ࠩ ，䁫ɤ䁫 ࠩ ɤ 论即可得证。（2）利用根与方程的关系即可得证。 因为 䁫쬐ɤ䁫 쬐ɤ，ࠩ 䁫 30．（2019·全国Ⅱ卷理）已知函数 ࠩ쬐ɤlnࠩ .ࠩ 䁫n故斜率为1的直线为y=x或 ，（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M（a）的表达式，即可求出M（a）取最小ɤࠩ 值时相应的a值. 整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或ࠩ ɤ䁫； 32．（2019·全国Ⅰ卷理）已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：（II）构造函数g（x）=f（x）-x+6， （1）f’(x)在区间(-1,)存在唯一极大值点； 则 ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ，令 ࠩ쬐ɤ䁫，则ࠩ䁫ɤ䁫 ࠩ ɤ ， （2）f(x)有且仅有2个零点。 故g（x）在[-2,0]上单调递增，在 䁫 ㈹上单调递减，在 ㈹上单调递增，故g（x）的最小值为g（-2）或 쬐，䁫䁫 【答案】（1）证明： ࠩ쬐ɤcosࠩ ࠩ쬐ɤ sinࠩ ࠩ 䁫 쬐 䁫 ࠩ䁫 ࠩ쬐 而g（-2）=0， 쬐ɤ 香䁫，故 ࠩ쬐㈹minɤ 쬐ɤ䁫， 䁫 䁫쬐ɤ䁫香䁫 쬐ɤ 䁫 所以 ࠩ쬐 䁫，故在[-2,4]上，ࠩ ࠩ쬐； 䁫 쬐 构造函数h（x）=f（x）-x， 存在ࠩ 䁫 쬐使 ࠩ쬐ɤ䁫 䁫 䁫 则 ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ，令 ࠩ쬐ɤ䁫，则ࠩ䁫ɤ䁫 ࠩ ɤ ，ࠩࠩ （ 䁫 ࠩ䁫쬐䁫（ࠩ䁫，쬐 故h（x）在[-2,0]上单调递增，在 䁫 ㈹上单调递减，在 ㈹上单调递增，故h（x）的最大值为h（0）或h ࠩ쬐＋0－（4）， ࠩ쬐 极大值 因为h（0）=0，h（4）=0， 所以 ࠩ쬐在区间（ 䁫，쬐存在唯一极大值点。 所以 ࠩ쬐 䁫，故在[-2,4]上， ࠩ쬐 ࠩ， 综上在[-2,4]上，ࠩ ࠩ쬐 ࠩ；（2）证明： 쬐ɤ䁫 ln䁫 쬐香䁫 䁫쬐ɤsin 䁫쬐 䁫 䁫 （Ⅲ）令 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩ 쬐ɤ䁫 ࠩ ࠩ ， 存在ࠩ䁫 ， 䁫쬐 ࠩ䁫쬐ɤ䁫 䁫则 ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ，令 ࠩ쬐ɤ䁫，则ࠩ䁫ɤ䁫 ࠩ ɤ ，⒈当 䁫 ࠩ 䁫时， ࠩ쬐ɤcosࠩ 䁫 ࠩ쬐递减，又 䁫쬐ɤ䁫 ࠩ쬐香䁫 䁫 ࠩ故 （x）在[-2,0]上单调递增，在 䁫 ㈹上单调递减，在 ㈹上单调递增，⒉当䁫 ࠩ ࠩ䁫时，sinࠩ香ln䁫 ࠩ쬐 ࠩ쬐香䁫 ⒊当ࠩ䁫 ࠩ 时，sinࠩ ࠩ䁫쬐 ln䁫 ࠩ쬐香 ࠩ䁫쬐 ࠩ쬐 䁫 所以 （x）的最小值为 （-2）=-6-a或 쬐ɤ ， ⒋当ࠩ香 时，sinࠩ 䁫 ln䁫 ࠩ쬐香ln ɤ䁫 ࠩ쬐 䁫 最大值为 （0）=-a或 （4）=12-a，综上所述， ࠩ쬐有且仅有2个零点。䁫 故 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 其最大值 쬐ɤ， 香 【知识点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断故当a=3时，M（a）有最小值9.【解析】【分析】（1）对函数两次求导，用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而证出 ࠩ쬐【知识点】导数的几何意义；利用导数求闭区间上函数的最值 在区间（ 䁫，쬐存在唯一极大值点。（2）用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再利用零 【解析】【分析】（I）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出点存在性定理证出 ࠩ쬐有且仅有2个零点.相应的切线方程；䁫33．（2018·全国Ⅰ卷理）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ lnࠩࠩ（II）构造函数，要证ࠩ ࠩ쬐 ࠩ，只需要证在[-2,4]上 ࠩ쬐ɤ （ࠩ） ࠩ 䁫和 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 （1）讨论 ࠩ쬐的单调性；ࠩ 䁫即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明； ࠩ䁫쬐 ࠩ 쬐（2）若 ࠩ쬐存在两个极值点ࠩ䁫，ࠩ ，证明：ࠩ 䁫 ࠩ n【答案】（1）解： ࠩ쬐的定义域为䁫， 쬐， 䁫 ࠩ ࠩ 䁫.∴ ࠩ쬐在䁫， 쬐 ，又 쬐ɤ䁫ࠩ쬐ɤ 䁫 ɤ ࠩ ࠩࠩ 若 ，则 ࠩ쬐 䁫，当且仅当 ɤ ，ࠩɤ䁫时 ࠩ쬐ɤ䁫，所以 ࠩ쬐在䁫， 쬐单调递减.所以ࠩ 䁫， 쬐时， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐 若 香 ，令 ࠩ쬐ɤ䁫得，ࠩɤ 或ࠩɤ .当ࠩ ， 쬐时， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐 当ࠩ 䁫， 综上所述 ɤ䁫쬐 ， 쬐时， ࠩ쬐 䁫； ࠩ，䁫， 쬐 ， ， 쬐 （2）解：∵ ࠩ 䁫当ࠩ ，쬐时， ࠩ쬐香䁫.所以 ࠩ쬐在䁫，쬐，， 쬐单调递减， 当 䁫时， ࠩ䁫 ࠩࠩ 䁫 ɤ 在，쬐单调递增. ∴ ࠩ쬐ɤ ࠩ lnࠩ 䁫 ࠩ 䁫 lnࠩ（2）解：由（1）知， ࠩ쬐存在两个极值点当且仅当 香 .由于 ࠩ쬐的两个极值点ࠩ䁫，ࠩ 满足ࠩ ࠩ 令 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 lnࠩ 䁫，ࠩ香䁫 ࠩ 䁫䁫ࠩ쬐ɤ ࠩ䁫쬐 ࠩ 쬐䁫 ࠩ䁫 ࠩ ࠩ䁫ɤ䁫，所以ࠩ䁫ࠩ ɤ䁫，不妨设ࠩ䁫 ࠩ ，则ࠩ 香䁫.由于ࠩɤ ࠩ 䁫 ࠩɤ 䁫 ࠩ 䁫ࠩ 䁫 ࠩ 同理 ࠩ쬐在䁫， 쬐 ࠩ䁫 ࠩ ࠩ ࠩɤ 䁫，又 䁫䁫 ࠩ ࠩ ࠩ 䁫쬐ɤ 䁫ɤ䁫 ࠩ䁫쬐 ࠩ 쬐䁫∴ࠩ 䁫，䁫쬐时， ࠩ쬐 䁫， ࠩ쬐 所以 等价于ࠩ ࠩ ࠩ 䁫.ࠩ䁫 ࠩ 䁫ࠩ 䁫， 쬐， ࠩ쬐香䁫， ࠩ쬐 设函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ，由（1）知， ࠩ쬐在䁫， 쬐单调递减，又 䁫쬐ɤ䁫，从而当ࠩ 䁫， 쬐ࠩ∴ ࠩ쬐minɤ 䁫쬐ɤ䁫时， ࠩ쬐 䁫.䁫䁫 ࠩ ࠩ 䁫，即 ࠩ䁫쬐 ࠩ 쬐即 时， ࠩ쬐 ࠩ쬐 䁫所以ࠩ ࠩ . 䁫 ࠩ 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【解析】【分析】求出函数的导数，由x=2是函数f(x)的极值点求出a的值，再由导数研究函数的单调区间；从【解析】【分析】(1)求出函数的导数，对a分类讨论研究函数的单调性；(2)当函数f(x)存在两个极值点时，则函而证明不等式.数有导数有两个异号零点即导方程有两个相异实根，求出a的范围，不等式左边即相当于函数的导数，从而证35．（2018·天津）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ， ࠩ쬐ɤlog ࠩ，其中a>1.明不等式.（Ⅰ）求函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ࠩln 的单调区间；34．（2018·全国Ⅰ卷文）已知函数f(x)=aex-lnx-1（1）设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间（Ⅱ）若曲线 ɤ ࠩ쬐在点ࠩ䁫， ࠩ䁫쬐쬐处的切线与曲线 ɤ ࠩ쬐在点ࠩ ， ࠩ 쬐쬐处的切线平行，证䁫 lnln （2）证明：当a≥ 时，f(x)≥0明ࠩ䁫 ࠩ 쬐ɤ ；ln 【答案】（1）解： ࠩ䁫（Ⅲ）证明当 䁫ࠩ쬐ɤ ࠩ，ࠩ香䁫 时，存在直线l，使l是曲线 ɤ ࠩ쬐的切线，也是曲线 ɤ ࠩ쬐的切线.∵x=2是 ࠩ쬐极值点，∴ 쬐ɤ䁫【答案】解：（Ⅰ）∵h(x)= ࠩ ࠩln ࠩ쬐ɤ ࠩ ln ln ，∴ ࠩ䁫䁫令 ࠩ쬐ɤ0， ࠩɤ䁫。 ɤ䁫 ɤࠩ 由a>1，则h(x)在 ，䁫쬐递减，在䁫， 쬐递增。又 ࠩ在䁫， 쬐 香䁫（Ⅱ）证明：由 ࠩ쬐ɤ ࠩ ln ，则 ɤ ࠩ쬐在点ࠩࠩ䁫 ln ，由 ࠩ쬐ɤ䁫，ࠩ䁫䁫， ࠩ䁫쬐쬐处切线斜率为 ࠩln ∴ 在䁫， 쬐 ，又在䁫， 쬐 ࠩn则 ɤ ࠩ쬐在点ࠩ䁫∴ ࠩࠩ䁫ࠩ䁫䁫 lnln =䁫 ࠩ lnln lnln 䁫。 ， ࠩ 쬐쬐处切线斜率为ࠩ䁫쬐ɤ ࠩ䁫 ln ࠩ䁫 ln ln ࠩ 䁫ln ln ln 䁫ln 쬐又 ࠩ䁫 ln =䁫 ࠩ䁫 ࠩ ln 쬐 ɤ䁫两边取以a为底的对称，下面证明存在实数t，使得 쬐 䁫。ࠩ ln 由䁫쬐知： ࠩ 䁫 ࠩln ，则log ࠩ ࠩ䁫 log ln ɤ䁫，∴ࠩ lnln 。当ࠩ香䁫时：有 ࠩ쬐 䁫 ࠩln 쬐䁫 ࠩln 쬐 ࠩ 䁫 lnln = ln 쬐 䁫 lnln 。䁫 ࠩ 쬐ɤln ࠩ ࠩ 䁫 ln ln ln ln ln （Ⅲ）证明：曲线 ɤ ࠩ쬐在点ࠩ䁫， ࠩ䁫쬐切线 䁫： ࠩ䁫ɤ ࠩ䁫 ln ࠩ ࠩ䁫쬐，∴存在t，使得 쬐 䁫，䁫∴ 时，存在ࠩ䁫 ，使得 ࠩ䁫쬐ɤ䁫。曲线 ɤ ࠩ쬐在点ࠩ ， ࠩ 쬐处切线【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程䁫 ： log ࠩ ɤࠩࠩ ࠩ 쬐， ln 【解析】【分析】(Ⅰ)导数运算，找到导函数的零点。(Ⅱ)（i）利用导函数意义，证明切线斜率相导。(ii)先将题䁫䁫要证明当 时，存在直线l，使l是曲线 ɤ ࠩ쬐的切线，也是曲线 ɤ ࠩ쬐的切线，只需证明当 意转化为方程③有解，再构造函数证明 ࠩ쬐有零点。时，存在ࠩ36．（2018·全国Ⅱ卷文）已知函数 ࠩ쬐ɤ䁫 䁫 ，ࠩ 䁫， 쬐，使得 䁫， 重合。即需证明：ࠩ ࠩ ࠩ 䁫쬐 ࠩ䁫 䁫ln ɤ （1）若a=3，求 ࠩ쬐的单调区间当 䁫ࠩ ln ， 时， ࠩ䁫 ࠩ ࠩ䁫ln ɤlogࠩ 䁫 （2）证明： ࠩ쬐只有一个零点䁫 ln 由 得：ࠩ䁫【答案】（1） ࠩ쬐ɤ䁫 䁫 ɤࠩࠩ ࠩ ࠩ 䁫쬐当a=3时， ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ ࠩ 䁫쬐 䁫ln 쬐 ࠩࠩ䁫 lnln ࠩ쬐ɤࠩ ࠩ 䁫쬐ɤࠩ ࠩ 代入 得： 䁫 ࠩ䁫 䁫ln ࠩ䁫 ɤ䁫③，ln ln 䁫 䁫当f’（x）﹥0时ࠩ﹥ɤɤ 或ࠩ﹤ 因此 ，关于ࠩ䁫方程③存在实数解即可。 设 ࠩ쬐ɤ ࠩࠩ䁫lnln ，f’（x）﹤0时， ﹤ࠩ﹤ ࠩ ln ࠩ ln ln 䁫∴ ࠩ쬐的单调递增区间为 ， 쬐， ， 쬐则 时， ࠩ쬐存在零点， ࠩ쬐ɤ䁫 ln 쬐 ࠩ ࠩ， ࠩ쬐的单调递减区间为 ， 쬐ࠩ 䁫时， ࠩ쬐﹥䁫， ࠩ （2）由于ࠩ ࠩ 䁫﹥0，所以 ࠩ쬐=0等价于 ɤ䁫ࠩ﹥䁫时， ࠩ쬐 䁫ࠩ ࠩ 䁫ࠩ ࠩ ࠩ ࠩ 쬐䁫设 （ࠩ）ɤࠩ ࠩ 䁫 ，则 （ࠩ）ɤࠩ ࠩ 䁫쬐 䁫又 䁫쬐ɤ䁫香䁫， 䁫쬐ɤ䁫 ln 쬐 䁫，ln 쬐 仅当x=0时， （ࠩ）=0，所以 （ࠩ）在 ， 쬐单调递增，故g（x）至多有一个零点，从而f（x） ࠩ䁫쬐ɤ䁫，而䁫 ln 쬐 ࠩ䁫 ࠩ䁫ɤ䁫，至多有一个零点∴ ࠩ쬐在 ，ࠩ䁫쬐 在ࠩ䁫， 쬐 ，又 䁫쬐ɤ 䁫䁫 䁫䁫 ɤ 쬐 ﹤䁫， 䁫쬐ɤ﹥䁫 ∴ ࠩ쬐极大值ɤ ࠩ䁫쬐。故f（x）有一个零点∵ 䁫综上所述，f（x）只有一个零点 ，【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值∴lnln -1.n【解析】【分析】（1）导数的应用，求单调性；（2）函数的零点.只需证： ࠩ ࠩ 䁫 ࠩ 䁫37．（2018·全国Ⅱ卷理）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 即证 ࠩ 䁫 ࠩ ࠩ 䁫 䁫（1）若a=1，证明：当ࠩ 䁫时， ࠩ쬐 䁫；又a≥1，则证： ࠩ 䁫 ࠩ ࠩ 䁫 䁫令h（x）= ࠩ 䁫 ࠩ ࠩ 䁫（2）若 ࠩ쬐在䁫， 쬐只有一个零点，求 . ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 ࠩ 䁫【答案】（1）a=1时，f（x）=ex-x2 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 香䁫ࠩ 䁫欲证x≥0时，f（x）≥等价于证明： 䁫 ࠩ所以 ࠩ쬐在 又 䁫쬐ɤ䁫ࠩ 䁫 ࠩ ࠩ 䁫ࠩ 䁫쬐 令 ࠩ쬐ɤࠩ则 ࠩ쬐ɤɤ 䁫 ࠩ ࠩ所以 ࠩ쬐在 ， 䁫쬐 ， 䁫， 쬐 ∴g（x）是（0，+∞）上的减函数，即 ࠩ쬐 䁫쬐ɤ䁫 䁫 䁫 䁫ɤ䁫ࠩ 䁫所以g（x）≤g（0）=1，即 䁫 ࠩ所以 ࠩ쬐 0恒成立所以ex-x2≥1，即f（x）≥1即原命题成立. ࠩ ࠩ쬐 （2）当a﹥0时， ࠩ쬐ɤ 令h’（x）=0解得x=2，h（2）=䁫 【知识点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程ࠩ当x∈（0，2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0；∴h（x）在（0，2）单调递减，∴在（2，+∞）单调【解析】【分析】（1）切线定义：求导；（2）导数的应用，将不等式变形，再构建函数.递增.39．（2018·全国Ⅲ卷理）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ ࠩ 쬐ln䁫 ࠩ쬐 ࠩ．（i）0﹤a﹤ 时，h（2）=1- ﹥0，此时h（x）在（0，+∞）上无零点，不合题意；（ii）a= 时，h（2）（1）若 ɤ䁫，证明：当 䁫 ࠩ 䁫时， ࠩ쬐 䁫；当ࠩ香䁫时， ࠩ쬐香䁫； （2）若ࠩɤ䁫是 ࠩ쬐的极大值点，求a． =0，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，符合题意；（iii）a﹥时，h（0）=1﹥0，h（2）=1-﹤0；由 【答案】（1）证明：当a=0时 ࠩ쬐ɤ ࠩ쬐 ln䁫 ࠩ쬐 ࠩ（1）知：x﹥0，ex﹥x2+1∴ex= ࠩࠩࠩ 令ࠩ ﹥ax2，解得：x﹥4 ，当b﹥4 时，eb﹥o ﹥ab2 ﹥䁫 䁫 䁫 䁫䁫ࠩ ࠩ쬐ɤ ɤ o 䁫 ࠩ䁫 ࠩ쬐 䁫 ࠩ쬐 取b满足b﹥2，且b﹥4 ，则 o쬐ɤ䁫 ﹥䁫所以此时h（x）在（0，+∞）上有两个零点，不合题意； o ࠩ ɤln䁫 ࠩ쬐 综上：a=时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点.䁫 ࠩ ࠩ【知识点】利用导数研究函数的极值设函数g（x）=f'（x）ɤln䁫 ࠩ쬐 䁫 ࠩࠩ【解析】【分析】（1）利用导数证明不等式；（2）运用函数零点，求参数的值.则g'（x）= 䁫 ࠩ ࠩ ࠩ 䁫38．（2018·全国Ⅲ卷文）已知函数 ࠩ쬐ɤ ࠩ当-1<x<0时，g'(x)<0；当x>0时，g'(x)>0.故当x>-1时，g(x)≥g(0)=0（1）求函数 ɤ ࠩ쬐在点䁫， 䁫쬐处的切线方程且仅当x=0时，g（x）=0从而f'（x）≥0，当且仅当x=0时，f'（x）=0（2）证明：当 䁫时， ࠩ쬐 䁫所以f（x）在（-1，+∞）单调递增【答案】（1）解：因为f（x）= ࠩ ࠩ 䁫 ࠩ쬐ɤ ࠩ 䁫 ࠩ ࠩ 䁫ɤ ࠩ 䁫쬐ࠩ ࠩ ࠩ ࠩ又f（0）=0，所以 䁫쬐ɤ 即切线方程为；y+1=2x 2x-y-1=0为所求故当-1<x<0时，f（x）<0，当x>0时，f（x）>0 ࠩ ࠩ 䁫（2）解：欲证： 䁫 ࠩn（2）解： ࠩ쬐ɤ䁫 ࠩ쬐 ln䁫 ࠩ쬐 䁫 ࠩ 䁫䁫 ࠩ ࠩ 䁫 ࠩࠩ 䁫쬐 ࠩ 䁫 ࠩ쬐ɤ lnࠩ 䁫쬐 䁫ࠩ 䁫ࠩ 䁫쬐 2a(x+1)2ln(x+1)+(2ax+1)(x+1)+ax2+2ax-1≤02a(x+1)2ln(x+1)+3ax2+4ax+a≤0a[2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x]≤-x设h(x)=2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x则 ࠩ쬐=4(x+1)ln(x+1)+2(x+1)+6x+4 䁫쬐=6＞0h(0)=0所以在x=0邻域内，x＞0时，h(x)＞0；x＜0时，h(x)＜0 ࠩ䁫x＞0时，a≤由洛必达法则得a≤- ࠩ 䁫쬐 ln䁫 ࠩ쬐 ࠩ ࠩ ࠩ䁫x＜0时，a≥由洛必达法则得a≥- ࠩ 䁫쬐 ln䁫 ࠩ쬐 ࠩ ࠩ 䁫综上所述：a=- 【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）求出函数的导数的导数，研究其正负得到 ࠩ쬐的单调性，从而得到 ࠩ쬐香䁫，即 ࠩ쬐在䁫， 쬐单调递增，因此 ࠩ쬐香 䁫쬐ɤ䁫；（2）由函数的导数研究函数的极值.
导数的应用（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）解析版
2023-06-13
8页
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