二项式定理——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、单选题1．若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（　　）A．40B．41C．-40D．-41【答案】B【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4=1，当x=-1时，a0-a1+a2-a3+a4=81，两式相加得a0+a2+a4=41.故答案为：B【分析】令x=1和x=-1，所得两式相加即可求解.2．(x+y2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为（　　）A．5B．10C．15D．20【答案】C【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】(x+y)5展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5−ryr（r∈N且r≤5）所以(x+y2x)与(x+y)5展开式的乘积可表示为：xTr+1=xC5rx5−ryr=C5rx6−ryr或y2xTr+1=y2xC5rx5−ryr=C5rx4−ryr+2在xTr+1=C5rx6−ryr中，令r=3，可得：xT4=C53x3y3，该项中x3y3的系数为10，在y2xTr+1=C5rx4−ryr+2中，令r=1，可得：y2xT2=C51x3y3，该项中x3y3的系数为5所以x3y3的系数为10+5=15故答案为：C【分析】求得(x+y)5展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5−ryr（r∈N且r≤5），即可求得(x+y2x)与(x+y)5展开式的乘积为C5rx6−ryr或C5rx4−ryr+2形式，对r分别赋值为3，1即可求得x3y3的系数，问题得解.3．在(x−2)5的展开式中，x2的系数为（　　）．A．-5B．5C．-10D．10【答案】C【知识点】二项式定理【解析】【解答】(x−2)5展开式的通项公式为：Tr+1=C5r(x)5−r(−2)r=(−2)rC5rx5−r2，令5−r2=2可得：r=1，则x2的系数为：(−2)1C51=(−2)×5=−10.故答案为：C.【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定x2的系数即可.4．(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（　　）A．12B．16C．20D．24【答案】A【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：∵(1+x)4的通项公式为Tr+1=C4rxr，∴展开式中x3的系数为1×C43+2×C41=4+8=12，故答案为：A.【分析】由已知利用(1+x)4的通项公式为Tr+1=C4rxr，结合(1+2x2)即可求出展开式中x3的系数.二、多选题5．设正整数n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+ak−1⋅2k−1+ak⋅2k，其中ai∈{0,1}，记ω(n)=a0+a1+⋯+ak．则（　　）A．ω(2n)=ω(n)B．ω(2n+3)=ω(n)+1C．ω(8n+5)=ω(4n+3)D．ω(2n−1)=n【答案】A,C,D【知识点】二项式定理；二项式定理的应用【解析】【解答】解：对于A，ω(n)=a0+a1+⋯+ak，2n=a0⋅21+a1⋅22+⋯+ak−1⋅2k+ak⋅2k+1，则ω(2n)=a0+a1+⋯+ak=ω(n)，故A正确；对于B，取n=2，2+3=7=1·20+1·21+1·22，则ω(7)=3，而2=0·20+1·21，则ω(2)=1，即ω(7)≠2ω(2)+1，故B错误；对于C，8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1·24+……+ak·2k+3所以ω(8n+5)=2+a0+a1+……+ak，4n+3=a0·22+a1·23+……+ak·2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+……+ak·2k+2，所以ω(4n+3)=2+a0+a1+……+ak，所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，故C正确；对于D，2n-1=20+21+……+2n-1，所以ω(2n-1)=n，故D正确.故答案为：ACD【分析】利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.n三、填空题6．已知多项式(x+2)(x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=　　，a1+a2+a3+a4+a5=　　．【答案】8；-2【知识点】二项式定理【解析】【解答】（x+2）（x﹣1)4＝x(x-1)4+2(x-1)4，∴a2＝C43(-1)3+2C42(-1)2=8；令x＝0，则a0＝2，令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5＝0，∴a1+a2+a3+a4+a5＝-2．故答案为：8，﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1)4展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1)4展开式中的二次项系数之和；分别给x辅助令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．7．(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　(用数字作答).【答案】-28【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为Tr+1=C8rx8-ryrr=0，1，2，……，8，①当8-r=2，即r=6时，展开式中x2y6项为1×C86x2y6=28x2y6，②当8-r=3，即r=5时，展开式中x2y6项为-yx×C85x3y5=-56x2y6，则展开式中x2y6项为-28x2y6，故答案为：-28【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.8．在(x3+1x)12的展开式中，含1x4项的系数为　　【答案】66【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意得(x3+1x)12的通项公式为Tr+1=C12rx312-rx-1r=C12rx36-4r(0≤r≤12，r∈N)令36-4r=-4，得r=10，则T11=C1210x-4=66x-4，则1x4项的系数为66.故答案为：66【分析】根据二项式定理直接求解即可.9．(x3−1x)4展开式中常数项为　　．【答案】-4【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为Tk+1=C4kx34-k-1xk=C4k-1kx12-4k令12-4k=0，得k=3故常数项为T4=T3+1=C43-13=-4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.10．已知多项式(x−1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1=　　，a2+a3+a4=　　.【答案】5；10【知识点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理的通项公式:a1x3=C30x3(-1)0+C41x3·13=5x3,故a1=5;同理a2x2=C31x2·(-1)1+C42x2·12=3x2,故a2=3;a3x3=C32x1·(-1)2+C43x1·13=3x+4x=7x,故a=7,a4=C33x0·(-1)3+C44x0·14=0,所以a2+a3+a4=10.故答案为：5，10.【分析】因为指数不高，直接展开。11．在(2x3+1x)6的展开式中，x6的系数是　　．【答案】160【知识点】二项式定理；二项式定理的应用【解析】【解答】解：(2x3+1x)6的展开式的通项公式是Tr+1=C6r2x36-r1xr=26-r·C6r·x18-4r令18-4r=6，得r=3所以x6的系数是23C63=160n【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.12．(x2+2x)6的展开式中常数项是　　（用数字作答）．【答案】240【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】∵(x2+2x)6其二项式展开通项：Tr+1=C6r⋅(x2)6−r⋅(2x)r=C6r⋅x12−2r(2)r⋅x−r=C6r(2)r⋅x12−3r当12−3r=0，解得r=4∴(x2+2x)6的展开式中常数项是：C64⋅24=C62⋅16=15×16=240.故答案为：240.【分析】写出(x2+2x)6二项式展开通项，即可求得常数项.13．在(x+2x2)5的展开式中，x2的系数是　　．【答案】10【知识点】二项式定理【解析】【解答】因为(x+2x2)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5−r(2x2)r=C5r⋅2r⋅x5−3r(r=0,1,2,3,4,5)，令5−3r=2，解得r=1．所以x2的系数为C51×2=10．故答案为：10．【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x的指数为2，即可求出．14．设（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝　　；a1+a2+a3＝　　．【答案】80；130【知识点】二项式系数的性质【解析】【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝C54⋅24＝80．a1+a2+a3＝C51⋅2+C52⋅4+C53⋅8＝130．故答案为：80；130．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．15．在(x+1x)6的展开式中，常数项等于　　．【答案】15【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：(x+1x)6展开式的通项为Tr+1=C6rx3r−62令3r−92=0得r=2，∴展开式的常数项为第3项；∴常数项等于C62=15．故答案为：15．【分析】利用二项定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出常数项。16．在二项式（2+x）9的展开式中，常数项是　　，系数为有理数的项的个数是　　【答案】162；5【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：（2+x）9展开式的通项Tr+1=C9r29-rxr，当r=0时，得展开式的常数项为29=162；当9-r为偶数时，系数为有理数，此时r=1，2，3，7，9，总共5项.【分析】写出展开式的通项，令x的次数为0，即可求出常数项，令r为偶数，则展开式的系数为有理数.17．(2x−18x3)8是展开式中的常数项为　　.【答案】28【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项公式为Tr+1=C8r(2x)8−r(−18x3)r=C8r28−r(−18)r⋅x8−4r令8-4r=0可得r=2故展开式中的常数项为C8226(−18)2=28故答案为：28【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。18．二项式(3x+12x)8的展开式的常数项是　　．【答案】7【知识点】二项式定理；二项式定理的应用n【解析】【解答】详解：二项式(3x+12x)8的展开式的通项公式为Tr+1=C8r(3x)8−r(12x)r=C8r⋅12r⋅x8−4r3，令8−4r3=0得r=2，故所求的常数项为C82⋅122=7.【分析】利用二项式定理写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，则答案可求．