基本不等式——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、单选题1．下列函数中最小值为4的是（　　）A．y=x2+2x+4B．y=|sinx|+4|sinx|C．y=2x+22−xD．y=lnx+4lnx【答案】C【知识点】函数的最值及其几何意义；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数函数的图象与性质；基本不等式【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3;故A不符合题意；对于B：因为y=|sinx|+4|sinx|，设t=|sinx|(t∈(01]),则y=g(t)=t+4t(0<t≤1)由双沟函数知，函数y＝g(t)=t+4t(0<t≤1)是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；对于C：因为y=2x+22−x＝2x+42x≥22x·42x=4,当且仅当2x＝42x⇒x=1时“＝”成立，即ymin=4，故C选项正确；对于D：当x∈(0,1)时，y=lnx+4lnx<0，故D选项不符合，故答案为：C.【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D举反列说明其不符合。2．已知F1,F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（　　）A．13B．12C．9D．6【答案】C【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤|MF1||MF2|≤|MF1|+|MF2|22=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.3．已知函数f(x)=sinx+1sinx，则（　　）A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图像关于y轴对称C．f(x)的图像关于直线x=π对称D．f(x)的图像关于直线x=π2对称【答案】D【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域【解析】【解答】∵sinx可以为负，所以A不符合题意；∵sinx≠0∴x≠kπ(k∈Z)∵f(−x)=−sinx−1sinx=−f(x)∴f(x)关于原点对称；∵f(2π−x)=−sinx−1sinx≠f(x),f(π−x)=sinx+1sinx=f(x),B不符合题意；∴f(x)关于直线x=π2对称，C不符合题意，D对故答案为：D【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.二、多选题4．对任意x，y，x2+y2−xy=1，则（　　）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【答案】B,C【知识点】基本不等式【解析】【解答】根据ab≤(a+b2)2≤a2+b22（a，b∈R），x2+y2−xy=1可变形为，(x+y)2−1=3xy≤3(x+y2)2，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A不符合题意，B符合题意；x2+y2−xy=1可变形为(x2+y2)−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C符合题意；因为x2+y2−xy=1变形可得(x−y2)2+34y2=1，设x−y2=cosθ，32y=sinθ，所以x=cosθ+13sinθ，y=23sinθ，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ−13cos2θ+13=43+23sin(2θ−π6)∈[23，2]，所以当x=33，y=−33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D不符合题意．故答案为：BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．5．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（　　）nA．a2+b2≥12B．2a−b>12C．log2a+log2b≥−2D．a+b≤2【答案】A,B,D【知识点】对数的运算性质；基本不等式【解析】【解答】对于A，a2+b2=a2+(1−a)2=2a2−2a+1=2(a−12)2+12≥12，当且仅当a=b=12时，等号成立，A符合题意；对于B，a−b=2a−1>−1，所以2a−b>2−1=12，B符合题意；对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2(a+b2)2=log214=−2，当且仅当a=b=12时，等号成立，C不正确；对于D，因为(a+b)2=1+2ab≤1+a+b=2，所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，D符合题意；故答案为：ABD【分析】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.6．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,⋯,n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,⋯,n),i=1npi=1，定义X的信息熵H(X)=−i=1npilog2pi.（　　）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大C．若pi=1n(i=1,2,⋯,n)，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,⋯,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1−j(j=1,2,⋯,m)，则H(X)≤H(Y)【答案】A,C【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式【解析】【解答】对于A选项，若n=1，则i=1,p1=1，所以H(X)=−(1×log21)=0，所以A选项正确.对于B选项，若n=2，则i=1,2，p2=1−p1，所以H(X)=−[p1⋅log2p1+(1−p1)⋅log2(1−p1)]，当p1=14时，H(X)=−(14⋅log214+34⋅log234)，当p1=34时，H(X)=−(34⋅log234+14⋅log214)，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若pi=1n(i=1,2,⋯,n)，则H(X)=−(1n⋅log21n)×n=−log21n=log2n，则H(X)随着n的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若n=2m，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,⋯,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1−j（j=1,2,⋯,m）.H(X)=−i=12mpi⋅log2pi=i=12mpi⋅log21pi=p1⋅log21p1+p2⋅log21p2+⋯+p2m−1⋅log21p2m−1+p2m⋅log21p2m.H(Y)=(p1+p2m)⋅log21p1+p2m+(p2+p2m−1)⋅log21p2+p2m−1+⋯+(pm+pm+1)⋅log21pm+pm+1=p1⋅log21p1+p2m+p2⋅log21p2+p2m−1+⋯+p2m−1⋅log21p2+p2m−1+p2m⋅log21p1+p2m由于pi>0(i=1,2,⋯,2m)，所以1pi>1pi+p2m+1−i，所以log21pi>log21pi+p2m+1−i，所以pi⋅log21pi>pi⋅log21pi+p2m+1−i，所以H(X)>H(Y)，所以D选项错误.故答案为：AC【分析】对于A选项，求得H(X)，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出H(X)，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出H(X),H(Y)，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.三、填空题7．已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=　　．【答案】3−1或−1+3【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，n则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m，在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m，所以AC2AB2=4m2+4-4mm2+4+2m=4m2+4+2m-121+mm2+4+2m=4-12m+1+3m+1≥4-122m+1×3m+1=4-23，当且仅当m+1=3m+1即m=3-1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=3-1，即BD=3−1.故答案为：3−1.【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC2AB2后，结合基本不等式即可得解.8．若a>0，b>0，则1a+ab2+b的最小值为　　．【答案】22【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：∵a>0，b>0∴1a+ab2+b≥21a·ab2+b=2b+b≥22b·b=22当且仅当1a=ab2且2b=b，即a=b=2时等号成立所以1a+ab2+b的最小值是22.【分析】利用基本不等式求解即可.9．已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为　　．【答案】4【知识点】基本不等式【解析】【解答】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4，当且仅当a+b=4时取等号，结合ab=1,解得a=2−3,b=2+3，或a=2+3,b=2−3时，等号成立.故答案为：4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解.10．已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是　　．【答案】45【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵5x2y2+y4=1∴y≠0且x2=1−y45y2∴x2+y2=1−y45y2+y2=15y2+4y25≥215y2⋅4y25=45，当且仅当15y2=4y25，即x2=310,y2=12时取等号.∴x2+y2的最小值为45.故答案为：45.【分析】根据题设条件可得x2=1−y45y2，可得x2+y2=1−y45y2+y2=15y2+4y25，利用基本不等式即可求解.11．如图，已知正方形OABC，其中OA=a(a>1)，函数y=3x2交BC于点P，函数y=x−12交AB于点Q，当|AQ|+|CP|最小时，则a的值为　　．【答案】3【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由题意得：P点坐标为(33,a)，Q点坐标为(a,1a)，|AQ|+|CP|=a3+1a≥213，当且仅当a=3时，取最小值，故答案为：3．【分析】利用正方形的结构特征结合均值不等式求最值的方法求出|AQ|+|CP|的最小值，从而求出对应的a的值。12．设x>0,y>0,x+2y=4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为　　.【答案】92【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵x>0,y>0,x+2y=4n∴2xy=x⋅2y≤(x+2y2)2=4即xy≤2，1xy≥12∴(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy≥2+52=92当且仅当x=2y时，即当x=2,y=1时，等号成立。∴(x+1)(2y+1)xy的最小值为92。故答案为：92【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。13．设x>0, y>0, x+2y=5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为　　.【答案】43【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵x>0, y>0, x+2y=5∴(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy≥22xy×6xy=43当且仅当2xy=6xy，即当x=3y=1或x=2y=32时，等号成立。故答案为：43【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。14．在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且|EF|=2，则AE·BF的最小值为　　【答案】-3【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量坐标表示的应用【解析】【解答】设E(0，y1)，F(0，y2)，又A（-1，0），B（2，0），所以AE=(1，y1)，BF=(-2，y2)AE⋅BF=y1y2-2①又|EF|=2，故（y1-y2）2=4y12+y22−2y1y2=4又y12+y22≥2y1y2，当y1≠y2时等号不成立。故假设y1=2+y2代入①，AE·BF=y22+2y2−2≥−3【分析】本题主要考查向量坐标运算，基本不等式的运用，点与向量坐标互化。15．已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则∣x1+y1−1∣2+∣x2+y2−1∣2的最大值为　　【答案】3+2【知识点】基本不等式；点到直线的距离公式【解析】【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故有x2+y2=1，使A，B在圆上，又x1x2+y1y2=12，得出OA⋅OB=12，故∠AOB=60∘，构造直线x+y-1=0，故|x1+y1−1|2+|x2+y2−1|2变为A、B两点到直线x+y-1=0距离和最大值。特殊位置取最值，当AB平行l直线时取最值，又三角形ABO为等边三角形，故|ON|=32，又|OM|=|0+0−1|2=22，故|x1+y1−1|2+|x2+y2−1|2最大值为3+2。【分析】运用构造法，极端假设法解答即可。四、解答题16．已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：（1）abc≤19；（2）ab+c+ba+c+ca+b≤12abc．【答案】（1）证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，所以a32+b32+c323≥3a32⋅b32⋅c32，即(abc)12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号．（2）证明：因为a>0，b>0，c>0，所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，所以ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abcnab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc当且仅当a=b=c时取等号．【知识点】基本不等式；不等式的证明【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.【答案】（1）因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，所以cosAcosB=sinB+sinAsinB，所以cos(A+B)=sinB，又因为cos(A+B)=sinB⇒sinB=cos(π−C)=cosπ3=12，C=2π3>π2，所以B<π2，故B=π6.（2）因为sinB=cos(π−C)=sin(C−π2)所以B=C−π2所以sinA=sin(B+C)=sin(2C−π2)=−cos2C由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC⇒a2+b2=c2+2abcosC所以a2+b2c2=c2+2abcosCc2=1+2abcosCc2=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2cos2Ccos2Csin2C=1+2(1−2sin2C)(1−sin2C)sin2C=1+2(2sin2C+1sin2C−3)≥1+2(22−3)=42−5当且仅当2sin2C=1sin2C，即sin2C=22时取得等号，综上，a2+b2c2的最小值为42−5.【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得cos(A+B)=sinB，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得sinB=12，可得B；（2）由诱导公式求得B=C−π2，sinA=−cos2C，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得a2+b2c2=1+2(2sin2C+1sin2C−3)，并利用基本不等式求最值即可.18．如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知AB=30m，AD=15m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.（1）若∠ADE=20°，求EF的长；（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）【答案】（1）如图，作DH⊥EF，则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，则SAEFD=15230tanθ+15cot2θ=22543tanθ+1tanθ≥22532当且仅当3tanθ=1tanθ，即tanθ=33时，等号成立，即当AE=15tanθ=53时，最大面积为450-22532≈255.14m2【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；n（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.19．设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．【答案】（1）解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2).∵a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2)<0（2）解：不妨设max{a,b,c}=a，由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0，∵a=−b−c,a=1bc，∴a3=a2⋅a=(b+c)2bc=b2+c2+2bcbc≥2bc+2bcbc=4.当且仅当b=c时，取等号，∴a≥34，即max{a,b,c}⩾34【知识点】基本不等式；分析法和综合法；不等式的基本性质【解析】【分析】（1）由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{a,b,c}=a，由题意得出a>0,b,c<0，由a3=a2⋅a=(b+c)2bc=b2+c2+2bcbc，结合基本不等式，即可得出证明.20．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.【答案】（1）解：由正弦定理可得：BC2−AC2−AB2=AC⋅AB，∴cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3.（2）解：由余弦定理得：BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcosA=AC2+AB2+AC⋅AB=9，即(AC+AB)2−AC⋅AB=9.∵AC⋅AB≤(AC+AB2)2（当且仅当AC=AB时取等号），∴9=(AC+AB)2−AC⋅AB≥(AC+AB)2−(AC+AB2)2=34(AC+AB)2，解得：AC+AB≤23（当且仅当AC=AB时取等号），∴△ABC周长L=AC+AB+BC≤3+23，∴△ABC周长的最大值为3+23.【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到(AC+AB)2−AC⋅AB=9，利用基本不等式可求得AC+AB的最大值，进而得到结果.21．如图，已知椭圆C1：x22+y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若p＝116，求抛物线C2的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【答案】解：（Ⅰ）p＝116，则p2＝132，则抛物线C2的焦点坐标（132，0），（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，设直线l的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由x22+y2=1y=kx+t，消y可得（2k2+1）x2+4kty+2t2﹣2＝0，∴△＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）≥0，即t2＜1+2k2，∴x1+x2＝﹣4kt1+2k2，∴x0＝12（x1+x2）＝﹣2kt1+2k2，∴y0＝kx0+t＝t1+2k2，∴M（﹣2kt1+2k2，t1+2k2），∵点M在抛物线C2上，∴y2＝2px，∴p＝y22x＝t2(1+2k2)22⋅−2kt1+2k2＝t−4k(1+2k2)，联立y2=2pxy=kx+t，解得x1＝t(1+2k2)−2k3，y1＝t2−2k2，代入椭圆方程可得t2(1+2k2)28k6+t24k4＝1，解得t2＝8k6(1+2k2)2+2k2∴p2＝t216k2(1+2k2)2＝8k616k2(1+2k2)2⋅[(1+2k2)2+2k2]＝k42(1+2k2)2⋅[(1+2k2)2+2k2]≤k42(22k)2⋅[(22k)2+2k2]＝1160，∴p≤1040，当且仅当1＝2k2，即k2＝12，t2＝15时等号成立，故p的最大值为1040．【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可；（Ⅱ）设直线方程y＝kx+t，A（x1，y1n），B（x2，y2），M（x0，y0），由x22+y2=1y=kx+t，根据韦达定理定理求出M（﹣2kt1+2k2，t1+2k2），可得p，再由y2=2pxy=kx+t，求出点A的坐标，代入椭圆方程可得t2＝8k6(1+2k2)2+2k2，化简整理得p2＝k42(1+2k2)2⋅[(1+2k2)2+2k2]，利用基本不等式即可求出p的最大值．