解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）及答案
docx
2023-07-06 10:45:01
34页
解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题 1．设双曲线 ： er hc， hc 的右焦点为 r ，c ，渐近线方程为 ． （1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 r e， e ， r ， 在C上，且 eh hc， ehc．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在 上；② ；③ ܯ ܯ ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2．设抛物线 ： r hc 的焦点为F，点 r ，c ，过 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ܯ ．（1）求C的方程：（2）设直线ܯ ， 与C的另一个交点分别为A，B，记直线ܯ ， 的倾斜角分别为 ， ．当 取得最大值时，求直线AB的方程． 3．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 rc， ， r， e 两点． （1）求E的方程；（2）设过点 re， 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足ܯ ．证明：直线HN过定点． 4．已知椭圆 ： er h hc 的一个顶点为 rc，e ，焦距为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程：（Ⅱ）过点 r ，e 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别与 轴交于点ܯ， ，当 ܯ 时，求 的值。 5．已知点A(2，1)在双曲线C： er he 上，直线 交C于P，Q两点，直线 eAP，AQ的斜率之和为0.（1）求 的斜率；n（2）若 䁫 ，求 的面积. 6．已知椭圆C的方程为 er h hc ，右焦点为 r c ，且离心率为． （1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线ܯ 与曲线 r hc 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ܯ ． 7．已知椭圆 er h hc 过点 rc ，以四个顶点围成的四边形面积为 ． （1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．8．如图，已知F是抛物线 r hc 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ܯ ，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线ܯ ܯ ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且 香 ，求直线l在x轴上截距的范围.9．已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程.（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.10．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值. 11．已知椭圆 e r h hc 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且 ． （1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若ܯ ，求直线l的方程．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点 e(- e7，0)， ( e7，0)，点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；e（2）设点T在直线 上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且 |TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和n e 13．已知椭圆 erc 的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点． （1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，求 的面积． 14．已知椭圆C1： e(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重 合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|. （1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程. 15．已知A、B分别为椭圆E： e（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ， P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点. e16．已知椭圆C： er h hc 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为， （1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 17．已知椭圆C： er h hc 的离心率为，且过点A（2，1）． （1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 18．已知椭圆 er h hc 的一个顶点为 rc ，右焦点为F，且 ܱ ܱ ，其 中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足 ܱ ܱ ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 e的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求ܱ 的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标． 20．已知椭圆 e过点 r e ，且 ． n（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点 r c 的直线l交椭圆C于点ܯ ,直线ܯ 分别交直线 于点 ．求的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: er h hc 的焦点为F1（–1、0），F2（1， 0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:r e 交于点A，与椭圆C交于点 D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=． （1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．22．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.（1）求P的值及抛物线的准线方程. e（2）求的最小值及此时点G点坐标. 23．设椭圆 er h hc 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 ܱ ܱ （ܱ为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点 且斜率为的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和 直线 相切，圆心 在直线 上，且ܱ ，求椭圆的方程. 24．设椭圆 er h hc 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点ܯ为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 ܱ ܱ （ܱ为原点），且ܱ ܯ ，求直线 的斜率. e25．已知曲线C: ，D为直线y=-的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点； （2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE 的面积.ne26．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线 C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明： 是直角三角形；（ii）求 面积的最大值. 27．已知椭圆C： e的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）. （I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.28．已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.（I）求抛物线C的方程及其准线方程；（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.2 29．已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。 （1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：（2）若 ,求|AB|。30．设椭圆 ： e的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 ， 两点，点ܯ的坐标 为r ，c .（1）当 与 轴垂直时，求直线 ܯ的方程；（2）设ܱ为坐标原点，证明： ܱܯ ܱܯ . 31．设椭圆 e(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为 r ，c ，且 .（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l： r hc 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若 sin ܱ (O为原点)，求k的值. n 32．设椭圆 er h hc 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为， e .（I）求椭圆的方程；（II）设直线 ： r c 与椭圆交于 ， 两点， 与直线 交于点M，且点P，M均在第四象限.若 ܯ的面积是 面积的2倍，求k的值.33．设抛物线 ： 的焦点为F，过F点且斜率 r hc 的直线 与 交于 ， 两点， .（1）求 的方程。（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程.e34．如图，在平面直角坐标系 ܱ 中，椭圆C过点r ， ，焦点 er ，c ， r ，c ， 圆O的直径为 e .（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线 与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线 与椭圆C交于A、B两点.若 ܱ 的面积为 ，求直线 的方程. 35．已知斜率为 的直线 与椭圆 ： e交于 ， 两点，线段 的中点为 ܯre， r hc e（1）证明： （2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 c，证明： ， ， 成等差数列，并求该数列的公差。36．已知抛物线C： =2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；ee(Ⅱ)设O为原点， ܯ ܱ ， ܱ ，求证：+为定值. 37．已知椭圆ܯ： er h hc 的离心率为，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；n（Ⅱ）若 e，求 的最大值；（Ⅲ）设 r ，c ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为 eD.若C，D和点 r ， 共线，求k. 答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意可得 ， ，故 e， .因此C的方程为 e. （2）解：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则ܯ为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知ܯ在 轴上，即为焦点 ，此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 e ，已知不符；总之，直线 的斜率存在且不为零.设直线 的斜率为 ，直线 方程为 r ，则条件①ܯ在 上，等价于 c r c c r c ；两渐近线的方程合并为 c，联立消去y并化简整理得：r c设 r ， ， r ， ，线段中点为 r ， ，则 ， r ， 设ܯr c， c ，则条件③ ܯ ܯ 等价于r c r c r c r c ，移项并利用平方差公式整理得：r 쳌 c r 쳌 r 쳌 c r 쳌 c， 쳌 c r 쳌 쳌 c r 쳌 c，即 c r c c， 即 c c ； 由题意知直线 ܯ的斜率为 ，直线 ܯ的斜率为 ，∴由 e c r e c ， c r c ，∴ e r e c ，n所以直线 的斜率 e r e c ， e e 直线 ܯ： r c c，即 c c ，代入双曲线的方程 c，即r r 中，得：r c c 쳌 r c c 쳌 ，e 解得 的横坐标： e r c c ， c ce 同理： r c c ， c ce c c∴ e r c ， e c c，cccc c∴ ， c∴条件② 等价于 c c，综上所述：条件①ܯ在 上，等价于 c r c ；条件② 等价于 c c； 条件③ ܯ ܯ 等价于 c c ； 选①②推③： 由①②解得： c ， c c c ，∴③成立； 选①③推②： 由①③解得： c ， c ， ∴ c c，∴②成立；选②③推①： 由②③解得： c ， c ，∴ c ， ∴ c r c ，∴①成立. 2．【答案】（1）解：抛物线的准线为 ，当ܯ 与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时 ܯ ，所以 ， 所以抛物线C的方程为 ； （2）解：设ܯre， ， r ， ， r ， ， r ， ，直线ܯ ： e， e e由 可得 c， hc， e ， n e 由斜率公式可得 ܯ e e ， ， e ，代入抛物线方程可得 r e c，直线ܯ ： e e hc， e ，所以 ，同理可得 e， ܯ 所以 r e 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ， ，所以 ܯ tan ， tan 若要使 最大，则 rc， ， tan tan ee 设 ܯ hc，则tanr e tan tan e e e ， e 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当 最大时， ，设直线 ： 䁫， 代入抛物线方程可得 䁫 c， hc， 䁫 e e ，所以䁫 ，所以直线 ： . 3．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为 䁫 e，过 rc， ， r， e ， 䁫 eee则 ，解得 ，䁫 ， 䁫 e 所以椭圆E的方程为： e （2）证明： rc， ， r， e ，所以 ： ， ①若过点 re， 的直线斜率不存在，直线 e.代入 e， 可得ܯre， ， re， ，代入AB方程 ，可得 r ， ，由 ܯ 得到 r ， .求得HN方程： r ，过点rc， . ②若过点 re， 的直线斜率存在，设 r c，ܯr e， e ， r ， .n r c联立 ，得r r r c， e r r e e 可得，， r r e 且 e e r洠 e e联立 ，可得 r ， e ， r e e， e e 可求得此时 ： r ，e e 将rc， ，代入整理得 r e r e e e e e c，将r洠 代入，得 e c，显然成立，综上，可得直线HN过定点rc， 4．【答案】（Ⅰ）由已知 e， t ： e (Ⅱ)设直线 r e， ：r e， e ， ：r ， r e联立 r e re re e c由 hc得 ce e e e e e， e e， e e， e e e e r e r e r e e 由ABM共线得ܯ：r，c ， ：r，c e ee e 由 ܯ 得r e ee r e 即 r e e r r e r e 即 e re re e r e r e e解得 n e5．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 ： er he 上，所以有 e e e解得 ，所以双曲线 ： e 设直线 ： ， r e， e ， r ， ， 联立 e消去y得到re c 显然e c，否则不可能有两个交点，而 r re r r e hc， 由韦达定理得 e ， e e e 因为直线AP，AQ的斜率之和为0， e e er e e r r e r e 所以c e r e r 所以 e 所以r e e r r e r e c即r e e r r e r e c，所以有 e r e r e r e c，将韦达定理代入化简得r e r e c，而当 e c，此时直线 为 e ，易知恒过定点 r ，e ，故舍去，所以 e，此时满足 hc.（2）又由（1）易知 e ， e ，且 e r e e 依题可设AP斜率为 e， 斜率为- e， e e则由夹角公式知（后面补充证明） tan ，e e r e 由对称性易知，只需考虑 ehc的情况就行，所以有 e c，解得 e 或 （舍）.ee e e而 e e e er e ，同理 e er ，e 而 r e ， e e ， r ， e ，nee r e r e r r e e er e r er r e r e r e r e e e er e 另一方面，联立 er e e e，（1）ee同理 er e ，（2）将以上两式相加，得 er e r e ，ee解得 ， 所以 e t 6．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距t 且 ，所以 ， 又 t e，所以椭圆方程为 e； （2）由（1）得，曲线为 er hc ，当直线ܯ 的斜率不存在时，直线ܯ ： e，不合题意；当直线ܯ 的斜率存在时，设ܯr e， e ， r ， ，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线ܯ ： r 即 c， 由直线ܯ 与曲线 er hc 相切可得 e，解得 e， e r 联立 可得 c，所以 ， ， ee e 所以 ܯ e e r e e ，所以必要性成立；充分性：设直线ܯ ： ，r c 即 c， 由直线ܯ 与曲线 er hc 相切可得 e，所以 e， e 联立 可得re c， e 所以 e ， e ，e e n所以 ܯ e r e r e e e e e ，e 化简得 r e c，所以 e， e e所以或，所以直线ܯ ： 或 ， 所以直线ܯ 过点 r ，c ，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是 ܯ ．7．【答案】（1）因为椭圆过 rc ，故 ，e因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ， 故椭圆的标准方程为： e. （2）设 r e e r ，因为直线 的斜率存在，故 e c， e e 故直线 ，令 ，则 ܯ ，同理 .ee 直线 ，由 可得r c c， c故 cc eccr hc，解得 e或 he. c 又 e e ，故 e hc，所以 ܯ hc e 又 ܯ ܯ e c c e e r e e e e e r e e c e 故 e 即 ，综上， e或e .8．【答案】（1）解：因为 ܯ ，故 ，故抛物线的方程为： （2）解：设 e， r e e r ， r䁫 c ， e所以直线 䁫，由题设可得䁫 e且 . e由 可得 c，故 e e ， n因为 香 ，故re e e e e e ，故 . 香 香 e e r e r䁫 e e又ܯ r e ，由e e可得 ， e e 䁫 e e r䁫 e 同理 ， e r䁫 e 由 可得 香 ， 䁫 e r䁫 e r䁫 e r䁫 e e所以쳌쳌 ， e e e䁫 e e ，整理得到r r e 䁫 er r e e r e r re e r e r e e r e r e ee e 䁫 e 故r ，䁫 er e e令 e，则 且 c， ee 故 e r ，r e 䁫 e r 䁫 e 䁫 e c故䁫 e 即，䁫 e䁫 e解得䁫 或 䁫 e或䁫he.故直线 在 轴上的截距的范围为䁫 或 䁫 e或䁫he 9．【答案】（1）抛物线 r hc 的焦点 r c ，准线方程为 ， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 r ， 所以该抛物线的方程为 ；（2）设 r c c ，则 r c c ，所以 rec c ec c ， 由 在抛物线上可得rec c rec c ，即 c，cec c cec c所以直线ܱ 的斜率 ܱ ，cccecn当 c c时， ܱ c；ec当 c c时， ܱ ，c c 当 chc时，因为 c c c，cce 此时c ܱ ，当且仅当 c ，即 c 时，等号成立；c当 c c时， ܱ c；e综上，直线ܱ 的斜率的最大值为. 10．【答案】（1）解：焦点 rc， 到 r e的最短距离为 ，所以p=2. e （2）抛物线 ，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 eee e er e e e e e e， ： e ，且 c e . cce c e c e，ee ， 都过点P(x0，y0），则e故 ： c c ，即 c c. c c ，e c c e 联立，得 c c c， cc. cc 所以 e c e c= c c c， ，所以 ccee e e = c c c c=r c =r c e c e . 而 c 쳌 ， 쳌.故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 c .11．【答案】（1）易知点 rt，c 、 rc， ，故 t ，因为椭圆的离心率为 t ，故t ， t e， 因此，椭圆的方程为 e； （2）设点ܯr c， c 为椭圆 e上一点， c 先证明直线ܯ 的方程为 c e， c c e c， 联立 ，消去 并整理得 ccc c c， e n因此，椭圆 c e. e在点ܯr c， c 处的切线方程为 cee在直线ܯ 的方程中，令 c，可得 ，由题意可知 chc，即点 rc， ，cc ee直线 的斜率为 t ，所以，直线 的方程为 ，cee在直线 的方程中，令 c，可得 ，即点 r ，c ， c c cce因为ܯ ，则 ܯ ，即e ，整理可得r c c c， c c c ec 所以， c c，因为c e， chc，故 c ， c ， cc 所以，直线 的方程为 e，即 c. 12．【答案】（1） ܯ e ܯ ， 轨迹 为双曲线右半支，t e ， ， e， e ， er hc ．e e（2）设 r，䁫 ， e设 ： 䁫 er ， e 䁫 er 联立， ee e re e r e e䁫 e 䁫 e䁫 e c， ee䁫，e e ee 䁫 ee䁫 e ，e e e e e er e ， e e er ， eer䁫 e re e re e r e r e ，ee设 ： 䁫 r ， r䁫 e re 同理 ， e ，ne e e e e e e ，e e e e ， e e e e e ，即 e ， e ， e c. 13．【答案】（1）解： erc ， ，根据离心率 t e ， e r e r 解得 或 (舍)， C的方程为： e，r e 即 e （2）解： 点P在C上，点Q在直线 上，且 ， ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 与x轴交点为N根据题意画出图形，如图 ， ， ܯ c ，又 ܯ c ， c ， ܯ ，根据三角形全等条件“ ”，可得： ܯ ， e e， r c ， ܯ e，设 点为r ，可得 点纵坐标为 e，将其代入 e e， e 可得： e， 解得： 或 ， P点为r e 或r e ，①当 点为r e 时，故 ܯ ，n ܯ ， ܯ ，可得：Q点为r ，画出图象，如图 r c , r ，可求得直线 的直线方程为： ee ec c， ee e ec 根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ， ee e 根据两点间距离公式可得： r r c ，e 面积为： ； ②当 点为r e 时，故 ܯ ， ܯ ， ܯ ，可得：Q点为r ，画出图象，如图 r c , r ，可求得直线 的直线方程为： ee c c， r ee e c 根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ， ee e e 根据两点间距离公式可得： r r c e ，e 面积为： e ， e 综上所述， 面积为：. 14．【答案】（1）解： rt c ， 轴且与椭圆 e相交于A、B两点，则直线 的方程为 t， t t e 联立，解得 ，则 ， t t抛物线 的方程为 t ，联立 ， t t解得， t， tn ，即 t ， t， 即 t t c，即 c，ee c e，解得 ，因此，椭圆 e的离心率为； （2）解：由（1）知 t， t，椭圆 e的方程为 e， t t t 联立 ，消去 并整理得 e t e t c， e t t 解得 t或 t（舍去）， t由抛物线的定义可得 ܯ t t ，解得t . 因此，曲线 e的标准方程为 e， 曲线 的标准方程为 e .15．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 er he 可得： r c ， r c ， rc e r e ， r e e ， 椭圆方程为： e （2）证明：设 r c ， c c c则直线 的方程为： r ，即： r r e联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得： c r r e c，解得： 或 cccc c c c c将 代入直线 r 可得： cc c c所以点 的坐标为r . cc c c同理可得：点 的坐标为r e ecc c rc c c c e c 直线 的方程为： r e r e ，cc cc eccn c cr c c c c 整理可得： r r c e r c c e r c c e c c c 整理得： r r r ccc 故直线 过定点r c e16．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为： r ，即 . 当y=0时，解得 ，所以a=4， 椭圆 er h hc 过点M(2，3)，可得 e， e 解得b2=12. 所以C的方程： e.e e （2）解：设与直线AM平行的直线方程为： ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值. 联立直线方程 与椭圆方程 e，e e 可得： r ，化简可得：e e c，所以 e e r c，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程： ，直线AM方程为： ，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， e 利用平行线之间的距离公式可得： ，e 由两点之间距离公式可得 ܯ r .ee 所以△AMN的面积的最大值： e . t 17．【答案】（1）解：由题意可得： e，解得： t ，故椭圆方程为： e t e.（2）解：设点ܯr e e r .因为AM⊥AN，∴ ܯ c，即r e r r e e r e c,①当直线MN的斜率存在时，设方程为 ,如图1.n代入椭圆方程消去 并整理得：re c, e e ②,e e 根据 e e ,代入①整理可得：r e r r r e c将②代入，r e e e r e r r e c，e 整理化简得r e r e c,∵ （ e）不在直线ܯ 上，∴ e c，∴ e c， e， e于是MN的方程为 r ， e所以直线过定点直线过定点 r . 当直线MN的斜率不存在时，可得 r e e ,如图2.代入r e r r e e r e c得r e e c, 结合e e e,解得 e r舍 e , e此时直线MN过点 r , 由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足 为定值（AE长度的一半er re e ）. e e由于 r e r ，故由中点坐标公式可得 r . e故存在点 r ，使得|DQ|为定值. 18．【答案】解：（Ⅰ） 椭圆 er h hc 的一个顶点为 rc ， ，由 ܱ ܱ ，得t ，又由 t ，得 e ， 所以，椭圆的方程为 e；e （Ⅱ） 直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，n e ，消去 ，可得r e e c，解得 c或 . e ee e e 将 代入 ，得 ， e e ee 所以，点 的坐标为r ， e e因为P为线段 的中点，点 的坐标为rc ， 所以点P的坐标为r ， e e由 ܱ ܱ ，得点 的坐标为re c ， c e 所以，直线 的斜率为 e， e e 又因为 ，所以 e， e e整理得 e c，解得 或 e. e所以，直线 的方程为 或 . 19．【答案】（1）解：∵椭圆 的方程为 e ∴ er e c , re c 由椭圆定义可得： e .∴ e 的周长为 （2）解：设 r c c ，根据题意可得 c e.∵点 在椭圆 上，且在第一象限， e ∴ re ∵准线方程为 ∴ r ∴ܱ r c c r c r c c r c ，当且仅当 c 时取等号.∴ܱ 的最小值为 .（3）解：设ܯr e e ，点M到直线 的距离为d. ∵ re ， er e c ∴直线 e的方程为 r e ∵点O到直线 的距离为， e ne e∴ e ∴ ∴ e e ① ∵e e e② e e ∴联立①②解得，. e ce e e ∴ܯr c 或r . 20．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为： er h hc ，由题意可得： e e ，解得： ， 故椭圆方程为： e. （Ⅱ）设ܯr e e ， r ，直线ܯ 的方程为： r ，与椭圆方程 e联立可得： r ， 即：r e r c， 则： e e . e e e e直线MA的方程为： e r ， e e e r e e e r e r e 令 可得： e ， e e e e r e r 同理可得： . 很明显 c，且： ，注意到： r e r e r e r e r r r e r ，e e r 而：r e r r r e 쳌 e r e 쳌 쳌 r 쳌 e er r r e c， e故 c . 从而 e. n21．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1= ，AF2⊥x轴，所以DF2= r ， ee 因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3. 因此，椭圆C的标准方程为 e （2）解：解法一：由（1）知，椭圆C： e，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为 1.将x=1代入圆F2+y2=16，解得y=±4.2的方程(x-1)因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2. eeee由 ，得 ee c，解得 e或 .将 代入 e e ，得 ， eee 因此 r .又F2(1，0)，所以直线BF2： r e . r e e 由，得 e c，解得 e或 . e 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 e. 将 e代入 r e ，得 .因此 r e .解法二： 由（1）知，椭圆C： e.如图，连结EF1. 因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴. e 因为F1(-1，0)，由 ，得 . e 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 . 因此 r e . n 22．【答案】（1）由题意得 e，即p=2. 所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设 r r r t t ，重心 r .令 c，则 .由于直线AB过F，故直线AB方程为 e e，代入 ，得 r e c，故 e ee ，即 ，所以 r .又由于 r t r t 及 e e 重心G在x轴上，故 t c，得 rr r r c .所以，直线AC 方程为 r ，得 r e c .由于Q在焦点F的右侧，故 h .从而e e e e .令 ，则m>0， e t e e e ee e . e 当 时，取得最小值e ，此时G（2，0）. 23．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，由已知有 ，又由 t ，消去 得 ，解得t e. r t e所以，椭圆的离心率为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， t， t，故椭圆方程为 e.由题意， r t c ，则 t t e直线 的方程为 t t ，消去并化简，得到 r t .点P的坐标满足 r t e t e t c，解得 e t ，代入到 的方程，解得 e t e t.因为点 在 轴 上方，所以 rt t .由圆心 在直线 上，可设 r .因为ܱ ，且由（Ⅰ）知 r t t c ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相 t t r t 切，得 ，可得t .e r 所以，椭圆的方程为 ee e 24．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，依题意， t ，又 t ，可得 ， t e.n 所以，椭圆的方程为 e. （Ⅱ）由题意，设 r ， r c ܯr ܯ c .设直线 的斜率为 r c ，又 rc ，则直 线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得r c c，可 e c ec 得 ，代入 得 ，进而直线ܱ 的斜率 ec .在 中，令 c，得 ܯ .由题意得 rc e ，所以直线ܯ 的斜率为 .由ܱ ܯ ，得 ，从而 c. r e，化简得 ec c c所以，直线 的斜率为或 e 25．【答案】（1）解：设 r r e e ，则 e e.由于 香 ，所以切线DA的斜率为 e e，故e .整理得 e e e c 设 r ，同理可得 e c.故 ee 直线AB的方程为 e c.e所以直线AB过定点rc . e e （2）由（1）得直线AB的方程为 .由，可得 e c.于是 e e e e r e e e， e e e r e e r e . 设 e 分别为点D，E到直线AB的距离，则 e e . e因此，四边形ADBE的面积 e r e r e. e设M为线段AB的中点，则ܯr . 由于 ܯ ，而 ܯ r ， 与向量re 平行，所以 r c.解得t=0或 e.当 =0时，S=3；当 e时， .因此，四边形ADBE的面积为3或 . e 26．【答案】（1）解：由题设得 ，化简得 er ，所以C为中心在坐 标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为 r hc ．由 得 ．记 ee n ，则 r r r c ．于是直线 的斜率为，方程e r 为 得r ，则r ．由 c．①设 r e r 和 是方程①的解，故 ，由此得 ．从而直线 的斜率为 e ．所以 ，即 是直角三角形．（ii）由（i）得 e ， r e ee re r ，所以△PQG的面积 re r e． e r e设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号． e 因为 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．e e 因此，△PQG面积的最大值为． 27．【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故 t ，所以椭圆的方程为 e； （II）设 r e e r ， e e e则直线 e，直线 e， e e 解得ܯr c r c ,e ee e e 故 ܱܯ ܱ ，e ee e r e e 将直线y=kx+t与椭圆方程联立，得re c， 故 e e ，所以 e e ，e e e e r e 故 ܱܯ ܱ ， e解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.28．【答案】解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，得 r e ，解得p=2，故抛物线方程为 ，其准线方程为y=1；（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在， 设l：y=kx-1，ܯr e r ，e n将直线方程与抛物线方程联立，得 c，由韦达定理 e e ， e 则 ܱܯ ܱ ， 令y=-1，则 r e r e ， e 设以AB为直径的圆上点P（a，b），则 r e r e ， e r r r e r e c， e 整理得 r re c，令a=0，则re ，所以b=1或b=-3，即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）. 29．【答案】（1）解：设直线 的方程为： r e e r re r e c e re e 的方程为： e （2）解：， c e e 由 得： e 联立上式得 e e e e e e 30．【答案】（1）解：由已知得 re，c ，l的方程为x=1. 由已知可得，点A的坐标为re， 或re， . 所以AM的方程为 或 . （2）解：当l与x轴重合时， ܱܯ ܱܯ c .当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 ܱܯ ܱܯ .当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 r e r c ， r e， e ， r ， ， 则 e .由 e ， ，直线MA，MB的斜率之和为 ܯ ܯ e e ，e n 得 e r e ܯ ܯ r .将 r e 代入 e得r e r .则 r e c.所以， e ， e e e e e e c. e从而 ܯ ܯ c，故MA，MB的倾斜角互补，所以 ܱܯ ܱܯ .综上， ܱܯ ܱܯ .t 31．【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则 ， 又 ， 。由 ，从而ab=6.∴a=3.b=2. 即椭圆方程为： e。 （Ⅱ）设 r e， e r ， ，由已知 eh hc。故 sin ܱ e ， 又 sin ܱ 从而 ܱ ∴ sin ܱ e 又 e ， 又 ： c。 c e， eee又 e c ee c 或， eee∴ 或。 t 32．【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得 ， 又 t ，∴ n由 e ， ， . ∴椭圆的方程为 e. （II）设Pr e， e ，Mr ， ，则 h ehc，点 的坐标为r e， e ܯ的面积是 面积的2倍，可得 ܯ ，从而 e 쳌 e r e 쳌，即 e. ， 易知直线 的方程为 ，由方程组消去y，可得 .由方程 ， e 组 e，消去 ，可得.由 e，可得 r ，两 ， e边平方，整理得e c，解得 ，或 . ee 当 时， c，不合题意，舍去；当 时， e ， e ，符合题意. e∴ 的值为 33．【答案】（1）设直线l的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0设A（x2+4）-4k2=16k2+16＞01，y1），B（x2，y2），△=（2k X1+x2=2+ 而 e e e ，且k＞0 解得：k=1所以直线l的方程：y=x-1（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 c c r c c e r c e e c c ee解得：或 c c 因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144 e e34．【答案】（1）解：∵ ∴圆O： ，点r ， 在椭圆上， e 又 t ∴a=2，b=1，即 ： e n（2）解：①直线l概率 c，设l：y=kx+m（ c，m＞0） r e c， c r e c， c e e∴ ， 又 c ，又r e∴ r ，e ②设 r e， e ， r ， ，由①知 ，且 c， hc又l与椭圆C相交，由②得过程知 e r e c e ∴ e e又 e e ee e O到l距离d e e e e e e e∵ ܱ e e e= 又 c∴ ，即 ∴直线l方程： （ e） 35．【答案】（1）解：设 ： r e e r r r e c设A（x1，y1）B（x2，y2）所以 쳌 r 쳌 r 쳌 r e 쳌hc c r 又 e 代入 c ee h所以 所以 hc c（2）解：F（1，0） c 所以P（1，-2m）在抛物线上n22 所以3+16m=12 16m=9 r hc 即 re， e 又 r e e r e e e e 同理 所以 e 所以 所以 ， ， 为等差数列2d= ttt= e e e e = r e e ee= e=±e d= e 36．【答案】（Ⅰ） e ，所以抛物线方程 因为直线过(0，1)由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线I的斜率存在且不为0，设直线1的方程为：y=kx+1， e由题意可得直线l不过P，而kPQ==1，e c若直线与抛物线的一个交点为(1，-2)，则该点与P所在的直线与y轴没有交点，与题意矛盾这时 ek==-3，e c所以直线的斜率k≠-3， e 直线与抛物线联立可得： ，整理得： e c e ehc e 综上可得：直线l的斜率的取值范围k∈（-∞，1），且k≠-3，且k≠-0 ܯ e e ܯ e（Ⅱ） ， ܱ ܱ c e ܱ ܱ c eneeee r ܯ ∴ e ܯe e r ܯ ܯ ：r e re e e e ：r re e e 令x=0， ܯ ， e e e ∴ ܯ ， ܯ ee 即 （定值） e 37．【答案】解：（Ⅰ） ； t ， e ∴椭圆方程 e （Ⅱ）l：y=x+m， r e， e r ， c e hc e ， e r e e 当m=0时， max （Ⅲ）设 r e， e r ， r ， r ， ： er re e e e e e c e ∴ e ee e e e e e将 e 代入上式得 e e e e e e则 er e e e e e即 r， e e e 同理 r， e e e 因为C、D和 r ， 共线，所以 n ee e e e e即 e e e e e
解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）及答案
2023-06-13
8页
￥0