2022年高考数学真题分类汇编专题04：导数解析版
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ݔݔ 2022年高考数学真题分类汇编专题04：导数【分析】由 tan结合三角函数的性质可得c>b；构造函数 cos ݔ， ， ，利用导 一、单选题数可得b>a，即可得解.1．（2022·全国乙卷）函数 数 ऀ cos 数 ݔ nisऀݔ在区间 ， 的最小值、最大值分别为（） 3．（2022·全国甲卷）当 ݔ时，函数 数 ऀ ln 取得最大值 ，则 数 ऀ （） A． ， B． ，ݔݔ A．-1B． C．D．1 C． ， D． ， 【答案】B【答案】D【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】因为函数f(x)定义域为（0，+∞），所以依题可知，f(1)=-2，f'(1)=0，【解析】【解答】 数 ऀ sin sin 数 ݔऀcos 数 ݔऀcos ，又 ， 由于 数 ऀ在区间数 ， ऀ和数， ऀ上 数 ऀሻ ，即 数 ऀ单调递增； lnݔ 则，解得， 在区间数，ऀ上 数 ऀሻ ，即 数 ऀ单调递减， 所以 ， 又 数 ऀ 数 ऀ ， 数 ऀ ， 数 ऀ 数 ݔऀݔ ，由f'(x)>0，得0<x<1，由f'(x)<0，得x>1，所以 数 ऀ在区间 ， 上的最小值为 ，最大值为 .因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减， ݔݔ故选：D则当x=1时取最大值，满足题意，即有 ݔ ．【分析】利用导数求得 数 ऀ的单调区间，从而判断出 数 ऀ在区间 ， 上的最小值和最大值.故选：B. ݔݔݔ2．（2022·全国甲卷）已知 ， cos， sin，则（） 【分析】根据题意可知f(1)=-2，f'(1)=0，列式即可解得a，b，再根据f'(x)即可解出．A． ሻ ሻ B． ሻ ሻ C． ሻ ሻ D． ሻ ሻ 4．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且 【答案】A ，则该正四棱锥体积的取值范围是（）【知识点】利用导数研究函数的单调性；单位圆与三角函数线㔠ݔ 㔠ݔ ݔ ．Aπݔ㔠， B． ， C． ， D．[18，27]【解析】【解答】解：因为 tan，因为当 ，，sinx<x<tanx， 【答案】Cݔݔ 所以tanሻ，即ሻݔ，所以c>b； 【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱ݔ 设 cos ݔ， ， ，台的体积；余弦定理的应用f'(x)=-sinx+x>0，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，【解析】【解答】解：记正四棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，ݔ ݔ ݔݔ 则 ሻ ，所以cos ሻ ，则cos ，， 所以b>a，所以c>b>a， sin cos ݔ 则l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ， tan sin cos ， 底 ，cos 故选：Aݔݔ 则正四棱锥的体积 ݔ sin cos ， 底 n令y=sinθcos2θ=sinθ(1-sin2θ)=x(1-x2)=-x3+x，x=sinθ ݔ ，所以y'>0，， 所以a-c>0，则y'=-3x2+1，故当 ݔ， ऀ，y'<0，当 数 ， ，y'>0， 所以a>c， 则 ݔ ݔ ，综上可得，c<a<b， 故选：C ݔ ， 댳䁡 ݔ 䁡댳 ݔ 【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，故该正四棱锥体积的取值范围是 再运用作差法比较大小即可得解.， . 二、多选题故选：C 6．（2022·新高考Ⅱ卷）函数 数 ऀ sin数 ऀ数 ሻ ሻ ऀ的图象以数， ऀ中心对称，则（） ݔ 【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得cos ，，进而求得正四棱锥的体积 A． 数 ऀ在数 ，ऀ单调递减ݔ ，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，ݔ sin cos ݔݔ B． 数 ऀ在数 ，ऀ有2个极值点ݔ ݔ 从而求得V的最值. ݔC．直线 是一条对称轴5．（2022·新高考Ⅰ卷）设 Ͳݔ Ͳݔ， ， 䁡 Ͳ ，则（） A． ሻ ሻ B． ሻ ሻ C． ሻ ሻ D． ሻ ሻ D．直线 是一条切线【答案】C【答案】A,D【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数【解析】【解答】解：令a=xex， ，c=-ln(1-x)，的单调性ݔ 则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，【解析】【解答】由题意得： 数 ऀ sin数 ऀ ，所以 ， ，令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，即 ， ， ݔ 则 ݔ ሻ ， ݔ ݔ 又 ሻ ሻ ，所以 时， ，故 数 ऀ sin数 ऀ． 所以y≤0， 对于A：当 数 ，ऀ时， 数，ऀ，由正弦函数 sin 图象知 数 ऀ在数 ，ऀ上ݔ ݔ 所以lna≤lnb，是单调递减；所以b>a， ݔݔ a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，对于B：当 数 ݔ， ݔ ऀ时， 数 ， ऀ，由正弦函数 sin 图象知 数 ऀ只有1个令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]， 极值点，由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值点； ݔ ݔ ݔ ݔ ݔݔ， ݔ ݔ 对于C：当 时， ， 数ऀ ，直线 不是对称轴； 令k(x)=ݔ ݔ ݔ， ݔ对于D：由 cos数 ऀ ݔ得：cos数 ऀ ，2)ex>0， 所以k'(x)=(1-2x-x 所以k(x)>k(0)>0，解得 或 ， ，n从而得： 或 ， ，A．C的准线为 ݔB．直线AB与C相切 C． 㤵㤠 㤵䁜 ሻ 㤵 D． 㤠 䁜 ሻ 所以函数 数 ऀ在点数 ，ऀ处的切线斜率为 cos ݔ， 【答案】B,C,D 切线方程为： 数 ऀ即 ．【知识点】导数的几何意义；平面向量数量积的运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的故答案为：AD关系 2ݔ【分析】先根据已知条件求出 的值，从而求得函数得解析式 数 ऀ sin数 ऀ，再根据三角函数的性【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x=y，故C的准线为 ，故A错误； 质逐个判断各选项，即可得解．由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为： ݔ ，即 ݔݔ 7．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 数 ऀ ݔ，则（）y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；A．f(x)有两个极值点过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，B．f(x)有三个零点 联立直线与C方程可得 x2-kx+1=0， ݔC．点(0，1)是曲线 数 ऀ的对称中心则x1+x2=k，x1x2=1，且 ሻ ，D．直线 是曲线 数 ऀ的切线2>4，则y2即k1+y2=k-2，y1y2=1，【答案】A,C此时㤵㤠 㤵䁜 ݔ ݔ ݔݔ 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用 ݔ ݔ ݔ ݔ ሻ ，又|OA|2=2，则 㤵㤠 㤵䁜 ሻ 㤵 ，故C正确； 【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得 或 ， 㤠 䁜 㤠 䁜 ݔ ݔ ݔ ， ݔݔ ，ݔሻ ， ݔ ݔ ݔ 当 ሻ 或 ሻ 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，又|BA|2=5，则 㤠 䁜 ሻ ，故D正确.ሻ ሻ 故选：BCD 所以f(x)在 ， ，， 上单调递增，在 ，上单调递减， 所以f(x)有两个极值点为 或 ，故A正确；【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据又 直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D. ݔ ሻ 所以f(x)只有一个零点，故B错误； 三、填空题由f(x)+f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；9．（2022·新高考Ⅱ卷）写出曲线 ln 过坐标原点的切线方程：，．曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.ݔݔ【答案】 ； 故选：AC【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：因为 ln ，当 ሻ 时 ln ，设切点为数 ݔ，所以 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即 ，ln ऀ，由 可.ݔ ln 以所，点原标坐过线切又，ऀ 数ݔݔ数 ऀ，解得 ，所以切线方程为 ln ， 8．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 数 ऀ上，过点 数 ， ݔݔ直的ऀݔ所以切线方程为 ݔ 数 ऀ，即 ； 线交C于P，Q两点，则（）n当 ሻ 时 ln数 ऀ，设切点为数 ݔ eln以所 为程方线切以所，ݔ 以所，ݔݔ 由，ऀऀݔ 数nl，ݔ ሻe，解得eሻ ሻe，ݔݔݔݔln数 ݔሻ ሻ以所，ݔሻ ሻ 又程方线切以所， ݔ 得解，ऀݔ 数 ऀݔ 数nl 以所，点原标坐过线切又，ऀݔ 数 ऀݔ，ݔݔeݔݔݔ为 ݔ，数为围范的 ，述所上综； 即，ऀ 数 ݔऀ. eݔݔ 故答案为： 【分析】由 ݔ ， 数 得可，点值大极和点值小极的 e ऀ 数 数函是别分 ，ݔऀ 数 ， ऀ【分析】分 ሻ 和 ሻ 两种情况讨论，当 ሻ 时设切点为数 ，ln ऀ，求出函数的导函数，即可求时， 数 ऀሻ ， 数 ݔሻ ሻ 和ݔሻ 分再， ሻऀ 数 ，时ऀ ，ݔ两种情况讨论，方程 ln 出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求切线方程，当 ሻ 时同理求 e 的两个根为 ݔ， ，即函数 ln 与函数 e 的图象有两个不同的交点，构造函数解即可. 数 ऀ ln ，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.10．（2022·全国乙卷）已知 ݔ 且 ሻ （ ऀ 数 数函是别分 和ݔ）的极小值点11．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 数 ऀ 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.和极大值点．若 ݔሻ ，则a的取值范围是．【答案】a＞0或a＜-4ݔ【答案】数e，ݔऀ【知识点】导数的几何意义；一元二次方程【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(xxx0，(x0+a)e0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)e0，【解析】【解答】解： 可得切线方程为y-(xxx数 ऀ ln e ，0+a)e0=(x0+a+1)e0(x-x0)，又切线过原点， 可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，因为 ݔ， 分别是函数 数 ऀ e 的极小值点和极大值点， 又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.所以函数 数 ऀ在数 ， ݔ 数在，减递上ऀ ， 数和ऀݔ， ऀ上递增，故答案为：a<-4或a>0.所以当 数 ， ݔ 数 当， ሻऀ 数 ，时ऀ ， 数 ऀݔ， ऀ时， 数 ऀሻ ，【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程 有两不等实根，由 若 ሻݔ时，当 ሻ 时， ln ሻ ， e ሻ ，则此时 数 ऀሻ ，与前面矛盾，△>0求解即可.故 ሻݔ 线直于关ऀ 数 且， ln ऀ 数 ，时 ݔ， 当，数函奇为ऀ 数 知已）海上·2022（．12，意题合符不ݔ对称，设若 ሻ ሻݔ䁡 数mil则， 、䁡 、 、 、 、ݔ 为次依解数正的ݔ ऀ 数 ， ，ݔ 为根个两的 e ln 程方则，时ݔ 䁡ऀ 䁡 即方程ln e 的两个根为 ݔ， ，即函数 ln 与函数 e 的图象有两个不同的交点，令【答案】2【知识点】函数的图象与图象变化；极限及其运算 数 ऀ ln ，则 数 ऀ ln ， ሻ ሻݔ，【解析】【解答】解：因为 数 ऀ为奇函数，设过原点且与函数 数 ऀ的图象相切的直线的切点为数 ，ln ऀ，所以 数 ऀ关于原点对称，则切线的斜率为 数 ऀ ln ，故切线方程为 ln ln 数 ऀ，又 数 ऀ关于直线 ݔ对称，则有 ln ln ，解得 ݔ，则函数 数 ऀ的周期为T=4(1-0)=4， ln ݔ， 当为因又ݔ 时， 数 ऀ ln ，则切线的斜率为ln ln eln ，作出函数 数 ऀ的图象，如图所示，因为函数 ln 与函数 e 的图象有两个不同的交点，nݔ 数 ऀ数 ऀ， 当 ሻ ሻ 或 ሻ 时， 数 ऀሻ ；当 ሻ ሻ 时， 数 ऀሻ ，故 数 ऀ在数 ， ऀ，数 ， ऀ上为减函数，在数 ， ऀ上为增函数，因为 数 ऀ有3个不同的零点，故 数 ऀሻ 且 数 ऀሻ ，ݔ ݔ 故数 ऀ数 ऀ ln ሻ 且数 ऀ数 ऀ ln ሻ ， 整理得到： ሻݔ且 ሻln 数 ऀ， 则由题意知，lim数 䁡ݔ ऀ ln 数 ݔ ሻऀݔ 数ݔ ऀ 数 时此. ऀ䁡 ݔ䁡 数mil即，2离距的间之线近渐条两邻相是义意何几的ऀ䁡 ݔ ln ，䁡 䁡 故答案为：2设 数 ऀ 数 ऀ ሻ ， ln ，则 【分析】根据函数的图象与性质，结合极限的几何意义，运用数形结合思想求解即可. 故 数 ऀ为数 ， ऀ上的减函数，故 数 ऀሻ ln ，四、解答题 ݔ 13．（2022·浙江）设函数 数 ऀ ln 数 ሻ ऀ．故 ሻ 数 ऀሻ数 ݔऀ. （Ⅰ）求 数 ऀ的单调区间；（ⅱ）当 ሻ ሻ 时，同（ⅰ）中讨论可得：（Ⅱ）已知 ， ，曲线 数 ऀ上不同的三点数 ݔ 数 ，ݔऀऀ，数 ， 数 ऀऀ，数 ， 数 ऀऀ处的切线都故 数 ऀ在数 ， ऀ，数 ， ऀ上为减函数，在数 ， ऀ上为增函数，经过点数 ， ऀ．证明：不妨设 ݔ ሻ 则， ሻ ሻݔሻ ሻ ሻ ሻ ，因为 数 ऀ有3个不同的零点，故 数 ऀሻ 且 数 ऀሻ ，ݔ （ⅰ）若 ሻ ，则 ሻ 数 ऀሻ数 ݔऀ； ݔ ݔ 故数 ऀ数 ऀ ln ሻ 且数 ऀ数 ऀ ln ሻ ， ݔݔ （ⅱ）若 ሻ ሻ ， ݔሻ ሻ ，则 ሻ ሻ ．ݔ 整理得到：ݔሻ ሻln ， （注： Ͳ ݔ㔠 㔠 是自然对数的底数）ݔ ሻ 故， ሻ ሻݔ 为因 ݔሻ ሻ ሻ ሻ ，【答案】解：（Ⅰ） 数 ऀ 又 数 ऀ ݔ ln ， 故 数 ऀ的减区间为数 ，ऀ，增区间为数， ऀ. 设 ， 数 ，ݔ程方则，ऀݔ ln 即为： （Ⅱ）（ⅰ）因为过数 ， ऀ有三条不同的切线，设切点为数 댳， 数 댳ऀऀ，댳 ݔ， ， ， ln 即为 数 ݔऀ ln ， 故 数 댳ऀ 数 댳ऀ数 댳 ऀ， 故方程 数 ऀ 记 ݔ ， ， ，数 ऀ数 ऀ有3个不同的根，ݔ ݔ 该方程可整理为数 ऀ数 ऀ ln ，则 ݔ 数 为 ，ݔ ，ݔऀ ln 有三个不同的根， ݔ ݔ 设 数 ऀ 数 ऀ数 ऀ ln ，设 ሻሻݔሻ ，ݔ， ݔ ݔݔሻ ݔ ݔ ݔሻ 则 数 ऀ 数 ऀ数 ऀ 要证： ，即证 ሻ ݔ ሻ ，ݔ ݔ ݔ 即证： ሻ ݔ ሻ ，nݔ ݔ ݔ 即证：数 ݔ 数 ሻऀ 数 ， ሻऀ ݔ 数ऀ ݔऀ. 数 ݔऀ ݔ 数ऀ ݔ 即证： ݔ， 数 ， 设，点零的同不个三有 ln ऀ 数ऀ 数 ऀ 数 ）ⅱ（，ሻ ݔऀ，则 数 ऀ转 数 ݔ ऀ 而 数 ݔ ሻݔ 且， ，ݔ ，ݔ 点零的同不个三在，根的同不个三有 ln ऀݔ 数 为化， ln ऀݔ 数 且 ݔ lnݔ ݔ ऀݔሻ ，推导 ln ݔݔ ऀ ݔ 数ऀ ݔ 数 ln ݔ 故ln ݔ 数ऀݔ 数 ऀ ݔ 数 ln ݔ ऀ ，出要证明结论，只需证明 ሻ 数 ，由此能证明 ሻ ሻ ．ݔऀ ݔ ݔ ln ݔ ln 故 ݔ ，ݔ ݔ ऀ14．（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数 数 ऀ ． ln ݔ 数 ln ݔ ऀ数 故即证： ሻ， ݔ 当）1（ऀ ݔ 数 ݔ时，讨论 数 ऀ的单调性； 数 ݔ即证：ݔ ሻऀ 数 ，时 ሻ 当）2（ऀ ݔ 数ऀ ݔ 数 nlऀ ݔ，求a的取值范围；ሻ ݔݔݔ ݔ ሻln数䁡ݔऀ（3）设䁡 ，证明：．数 ݔ ݔऀ ݔ 数ऀ ݔ 数 nlऀݔ 䁡 䁡即证：ሻ ， ݔ 数 ऀ 数 ݔ ：解：解）1（】案答【 ݔऀ 数 ऀ 数 ݔݔ nlऀݔ记 数 ऀ ， ሻݔ，则 数 ऀ 数 ln ऀሻ ， ݔ 数ݔऀ 当 数 ， ऀ时， 数 ऀሻ ， 数 ऀ单调递减；ݔ ݔ 设 数 ऀ ln ，则 数 ऀ ݔ ሻ 即 数 ऀሻ ， 当 数 ， ऀ吋， 数 ऀሻ ， 数 ऀ单调递增.故 数 ऀ在数ݔ ݔऀ 数 ऀ 数 令）2（，ऀ 数 ሻऀ 数 故，数函增为上ऀ ，ݔ数 ऀ所以数 ݔ 数ऀ ݔ 数 nlऀݔ 数ሻऀ ݔ 数ऀ ݔ 数 nlऀݔ ऀ， 数 ऀ 数 ऀ 对 恒成立 ݔ ݔ 又 数 ऀ 数 ऀ 数 ݔ 数ऀ ݔ 数ऀݔ ऀ记 数 ऀ ln ， ሻ ሻݔ， 数 ݔऀ令 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ 数 ݔऀ 数 ऀ数 ݔऀ 数 ऀ则 数 ऀ 数 ݔ ऀ 数 则， ሻ ऀݔ 数 ሻ ऀݔ ݔ 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ所以 数 ऀ在数 ，ݔऀ为增函数，故 数 ऀሻ 数ݔऀ ，①若 数 ऀ ݔሻ ，即 ሻ， 数 ऀ lim limሻ 故ln 数 ݔ 数ऀ ݔ 数 nlऀݔ 数即 ሻऀ ݔ 数ऀ ݔ 数ऀݔ ऀ所以 ሻ ，使得当 数 ， ऀ时，有 数 ऀ 数 ݔ ऀݔ ሻ ， ሻ 数 ऀሻ 数 ऀ单调递增 数 ऀሻ 数 ऀ ，故原不等式得证.矛盾【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 ݔݔ数nl ݔݔ ऀ②若 数 ऀ ݔ数nl ऀ 数 ，时 即， ݔ ऀ ݔ 【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数 数 ऀ ，利用导数的性质即可求得函数的单调区间；ݔݔ （Ⅱ）（i）因为过数 ， ऀ有三条不同的切线，设切点为数 댳， 数 댳ऀऀ，댳 ݔ， ， ，故 数 ऀ 数 ऀ数 ऀ 数 ऀ在 ， ऀ上单调递减， 数 ऀ 数 ऀ ，符合题意.ݔ ݔ 有3个不同的根，整理为数 ऀ数 ऀ ln ，令 数 ऀ 数 ऀ数 ऀ ln ，ݔ 综上所述，实数a的取值范围足 . 由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，利用导数求得极值，故 数 ऀሻ 且 数 ऀሻ ， ሻݔݔ且ݔ （3）证明：取 ，则 ሻ ，总有 ݔሻ 成立， ሻln 数 ऀ，设 数 ऀ ln 利用导数性质能证明 数 ऀሻ ln ，所以 ሻ ݔ 令 ，则 ሻݔ， ， ln ，n故 ln ሻ ݔሻ 的意任对ݔ ሻ ln 即ݔ恒成立.f’（x）+0- 䁡ݔ䁡ݔ䁡f（x）↗↘所以对任意的䁡 ，有 lnሻ ，䁡䁡䁡ݔ∴∀x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点ݔ整理得到：ln数䁡ݔऀ ln䁡ሻ，䁡 䁡 ݔ当a＞0时， 数 ऀ 数 ऀ数 ݔऀݔݔݔ ሻln lnݔln ln ln数䁡ݔऀ ln䁡故ݔ䁡 䁡 ݔ ݔ①当0＜a＜1时，＞1 ln数䁡ݔऀ，故不等式成立.x（0，1）1（1，ݔ（ݔ）ݔ，+∞） 【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性f’（x）+0-0+【解析】【分析】（1）求出 数 ऀ ，讨论其符号后可得 数 ऀ的单调性.f（x）↗↘↗（2）设 数 ऀ ݔ数 ऀ，求出 数 ऀ，令 数 ऀ 数 ऀ，先讨论 ሻݔ时题设中的不等式不成立，再ݔ ∴∀x∈（0，]，f（x）≤f（1）=a-1＜0， ݔ就 ሻ 结合放缩法讨论 数 ऀ符号，最后就 结合放缩法讨论 数 ऀ的范围后可得参数的取值范围. 又limf（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点 ݔݔ （3）由（2）可得 ln ሻ 对任意的 ሻݔ 数成恒 䁡的意任对ሻ䁡nl ऀݔ䁡数nl得可而从，立成恒ݔऀ 䁡 䁡②当a=1时， 数 ऀ ， 立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.∴f（x）在（0，+∞）上递增，ݔ15．（2022·全国乙卷）已知函数 数 ऀ 数 ݔऀln ．由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点（1）当 时，求 数 ऀ的最大值；③当a＞1时，ݔ∈（0，1] （2）若 数 ऀ恰有一个零点，求a的取值范围．xݔݔݔ1（1，+∞）（0，）（，1）ݔ 【答案】（1）解：当 时， 数 ऀ ln f’（x）+0-0+ݔݔݔ 数 ऀ f（x）↗↘↗x（0，1）1（1，+∞）ݔ∴∀x∈[，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0， f’（x）+0-又limf（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点 f（x）↗↘综上所得a取值范围为数 ， ऀ∴ 数 ऀ的最大值=f（1）=-1-ln1=-1（2）解： 数 ऀ定义域为（0，+∞）【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点ݔݔ ऀݔ 数 ݔ ݔ【解析】【分析】（1）将 代入，再对函数求导利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值； 数 ऀ 数 ݔऀ数 ݔऀ 数 ݔऀ数 ݔऀ（2）求导得 数 ऀ ，分a=0、a＜0及a＞0三种情况讨论函数的单调性，求得函数的极值，即根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点 当a＜0时，∀x＞0，ax-1＜0，又x2＞0可得解. x（0，1）1（1，+∞）16．（2022·全国甲卷）已知函数 数 ऀ ln ． （1）若 数 ऀ ，求a的取值范围；nݔ 数 ݔ ݔݔݔऀ （2）证明：若 数 ऀ有两个零点 ݔ数 ऀ 数 ．ݔሻ ݔ 则， ，ݔऀ ሻ 【答案】（1）解：由题意得，函数f(x)的定义域为 ， ，所以 数 ऀ在数ݔ， ऀ单调递减ݔݔ ݔ ݔ ݔݔݔ ݔݔ ݔ数 ሻऀ 数 即，ݔ ݔ ݔ ݔऀ ，所以ln 数 ऀሻ ； 令f'(x)=0，得x=1，综上， ݔݔݔ ln 数 ऀ ሻ ，所以 ݔሻ ݔ 当x∈（0，1），f'(x)<0，f(x)单调递减，【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用当x∈（1，+∞），f'(x)>0，f(x)单调递增，【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；若f(x)≥0，则e+1-a≥0，即a≤e+1， ݔݔݔ （2）由化归思想，将原问题转化要证明 ln 数 ऀ ሻ 恒成立问题，构造函数 数 ऀ 所以a的取值范围为（-∞，e+1）ݔ（2）证明：由题知， 数 ऀ一个零点小于1，一个零点大于1 ，再利用导数研究函数的单调性与最值即可得证.不妨设 ݔ 数 ，ݔ 数点在ऀ 数 线曲， ऀ 数 ， ऀ 数 数函知已）卷甲国全·2022（．17 ሻݔሻݔऀऀ处的切线也ݔ要证 ݔ 证即，ݔሻ ݔሻ 是曲线 数 ऀ的切线． 因为 ݔ ݔ 若）1（ऀݔ数 ሻऀ 数 证即，ऀݔ， 数 ݔ，求a：ݔ ，ݔ （2）求a的取值范围．ݔ因为 数 ݔऀ 数 ऀ，即证 数 ऀሻ 数 ऀ 【答案】（1）解：由题意知， 数 ݔ ऀݔ 数 ，ݔ ऀ 数 ， ऀݔ 数 ݔ ऀݔ ，则 数 ऀ ݔݔ即证 ln ln ሻ ， 数ݔ， ऀ 在点数 ݔ 数 为程方线切的处ऀ ，ݔऀ， ݔݔݔ即证 ln 数 ऀ ሻ 即 ，设该切线与 数 ऀ切于点数 ， 数 ऀऀ， 数 ऀ ，则 数 ऀ ，解得 ݔ， ݔݔݔ下面证明 ሻݔ ऀݔ数 则 ሻऀ 数 ln， ሻ ，时ݔ ，解得 ； ݔ 设 数 ऀ ， ሻݔ 数 ，ݔ 数点在ऀ 数 则，ݔ ऀ 数 ：解）2（，ݔऀऀ处的切线方程 ݔ 数 得理整，ऀݔ 数ऀݔ 数 ऀݔ 数 为ݔݔ ݔݔݔݔݔ ݔݔऀ ，则 数 ऀ 数 ऀ 数 数 ऀऀ 数ݔݔݔݔऀ ݔ数 ऀ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ设该切线与 数 ऀ切于点数 ， 数 ऀऀ， 数 ऀ ，则 数 ऀ ，则切线方程为 数 ऀ 数ݔ ऀ数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ，整理得 ， ݔ ݔݔ 设 数 ऀ 数 ሻݔऀ， 数 ऀ 数 ऀ ሻ ݔ 则ݔ ݔݔ 得理整，ݔ，ݔ 数 ऀ 所以 数 ऀሻ 数ݔ ݔݔ ݔ ݔ ݔ ሻ 而， ऀݔ 所以 ݔ 则，ݔ ऀ 数 令 ݔ ሻ ，所以 数 ऀሻ 数 ऀ 数 ݔऀ数 ݔऀ，令 数 ऀሻ ，解得 ሻ 所以 数 ऀ在数ݔሻ 或 ሻ 增递调单ऀ ，ݔ，令 ݔሻ ሻ 或ݔ，则 变化时， ݔ数 ऀሻ ，解得 ሻ 数 ऀ， 数 ऀ的变化情况如下表：即 数 ऀሻ 数ݔऀ ，所以 ሻ ݔݔݔݔ数1ऀݔ， 数0ऀ ， 数 ऀ ， 数 ݔݔ， ऀ令 数 ऀ ln 数 ऀ， ሻݔ n 数 ऀ-0+0-0+3°若 ሻ ݔ 数 ऀ ݔ -1 ①当 数 ， ऀ，则 数 ऀ ሻ ，所以 数 ऀ在数 ， ऀ上单调递增 数 ऀ ݔ数 ， ሻ ݔऀ ሻ 则 数 ऀ的值域为 ݔ 为围范值取的 故，ऀ ，ݔ， ऀ.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用所以存在 数 ，ݔऀ，使得 数 ऀ ，即 数 ऀ 【解析】【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函 当 数 ， ऀ， 数 ऀሻ ， 数 ऀ单调递减数值求出a即可；当 数 ， ऀ， 数 ऀሻ ， 数 ऀ单调递增（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求所以导求出函数值域，即可求得a的取值范围.18．（2022·全国乙卷）已知函数 数 ऀ ln数ݔ ऀ .当 数 ， ऀ， 数 ऀሻ 数 ऀ （1）当 ݔ时，求曲线 数 ऀ在点数 ， 数 ऀऀ处的切线方程；当 ， 数 ऀ （2）若 数 ऀ在区间数 ݔ， ऀ，数 ， ऀ各恰有一个零点，求a的取值范围．所以 数 ऀ在数 ， ऀ上有唯一零点【答案】（1）解： 数 ऀ的定义域为数 ݔ， ऀ又数 ， ऀ没有零点，即 数 ऀ在数 ， ऀ上有唯一零点 ， 数 ऀ ，所以切点为数 ， ऀ ݔݔ 当 ݔ数 ऀ 数 ，ऀ ，ݔ 数 当②以所， ऀ 数 ， ݔ ऀ 数 ऀ ݔ数nl ऀ 数 ，时ݔ ऀ 切线斜率为2设 数 ऀ 数 ऀ 所以曲线 数 ऀ在点数 ， 数 ऀऀ处的切线方程为 数 ऀ ሻ 所以 数 ऀ在数 ݔ， ऀ单调递增（2）解： 数 ऀ ln数ݔ ऀ ݔݔ ऀ 数 ， ሻ ऀݔ 数 ऀ ݔ数 ऀ ݔ数 ݔሻ 数 ऀ ݔ数 ݔ ऀ 所以存在䁡 数 ݔ， ऀ，使得 数䁡ऀ 设 数 ऀ 数ݔ ऀ当 数 ݔ，䁡ऀ， 数 ऀሻ ， 数 ऀ单调递减1°若 ሻ ，当 数 ݔ数 ऀ 数 ，ऀ ，ݔ ऀሻ ，即 数 ऀሻ 当 数䁡， ऀ， 数 ऀሻ ， 数 ऀ单调递增， 数 ऀሻ 数 ऀ ݔ ሻ 所以 数 ऀ在数 ݔ， ऀ上单调递增， 数 ऀሻ 数 ऀ ݔ又 数 ݔऀ ሻ 故 数 ऀ在数 ݔ， ऀ上没有零点，不合题意所以存在 数 ݔ，䁡ऀ，使得 数 ऀ ，即 数 ऀ 2°若 ݔ ，当 数 ， ऀ，则 数 ऀ ሻ 当 数 ݔ， ऀ， 数 ऀ单调递增，当 数 ， ऀ， 数 ऀ单调递减所以 数 ऀ在数 ， ऀ上单调递增所以 数 ऀሻ 数 ऀ ݔ ，即 数 ऀሻ 有 ݔ， 数 ऀ 所以 数 ऀ在数 ， ऀ上单调递增， 数 ऀሻ 数 ऀ 而 数 ऀ ，所以当 数 ， ऀ， 数 ऀሻ 故 数 ऀ在数 ， ऀ上没有零点，不合题意n所以 数 ऀ在数 ݔ， ऀ上有唯一零点，数 ， ऀ上无零点据直线的点斜式方程即可求切线方程； ݔ ݔ（2）由（1）知 数 ऀ ln数ݔ ऀ ，利用放缩法可得ln数ݔ ऀ ሻlnݔ即 数 ऀ在数 ݔ数 ݔ ऀ ݔ数 ݔ点零一唯有上ऀ ，ݔ ऀ ݔ ሻ ，即可判断 数 ऀ的单调性；所以 ሻ ݔ数意题合符，ݔ ऀ 所以若 数 ऀ在区间数 ݔ ， 数为围范值取的 求，点零个一有恰各ऀ ， 数，ऀ ，ݔऀ（3）不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ， 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ，即 数 ऀ 数 ऀ 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点 数 ऀ 数 ऀ， 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ，由（2）的结论，得 数 ऀሻ 数 ऀ，即 数 ऀ 数 ऀሻ 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ，【解析】【分析】（1）先求切点，再求导计算斜率，最后根据直线的点斜式方程即可得切线方程；即可证明.（2）求导，对a分类讨论，对 分数 ݔ， ऀ，数 ， ऀ两部分研究.20．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 数 ऀ 和 数 ऀ 䁡 有相同的最小值.（1）求a；19．（2022·北京）已知函数 数 ऀ 䁡数ݔ ऀ．（2）证明：存在直线 ，，其与两条曲线 数 ऀ和 数 ऀ共有三个不同的交点，并且从左到（Ⅰ）求曲线 数 ऀ在点数 ， 数 ऀऀ处的切线方程；右的三个交点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）设 数 ऀ 数 ऀ，讨论函数 数 ऀ在 ， ऀ上的单调性；【答案】（1）因为 数 ऀ ，所以 数 ऀ ，（III）证明：对任意的 ， 数 ， ऀ，有 数 ऀሻ 数 ऀ 数 ऀ．若 ，则 数 ऀ ሻ 恒成立，【答案】（Ⅰ） ݔ ऀ 数 ݔ，又 数 ऀ ，所以 数 ऀ在数 ， ऀ上单调递增，无最小值，不满足；数 ऀ ln数ݔ ऀ ，则 ݔ 故所求切线方程为 若 ሻ ，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，（Ⅱ） 数 ऀ ln数ݔ ऀ ݔ ，所以 数 ऀmin 数ln ऀ ln ，ݔ数 ݔ ऀ ݔ ݔݔ 因为 数 ऀ ln ，定义域 ሻ ，所以 数 ऀ ，又 ሻ ，ln数ݔ ऀ ሻlnݔሻ ݔ数 ऀ ݔ数 ݔ ऀ 所以 ݔ ݔ，数 ऀሻ ሻ， 数 ऀሻ ሻ ሻ故 数 ऀሻ 对 ， ऀ成立， 数 ऀ在 ， ऀ上单调递增 ݔݔ（III）证明：不妨设 ，所以 数 ऀmin 数 ऀ ݔ ln ， 数 ऀ 数 ऀ ݔ ݔ由拉格朗日中值定理可得： 数 ऀ依题有 ln ݔ ln，即ln ，数 ऀ ݔ ݔ ऀ 数 ݔሻ 恒成立其中 ， ，即 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ令 数 ऀ ln 数 ሻ ऀ，则 ݔ 数 ݔऀ 数 ऀ 数 ऀ 所以 数 ऀ在数 ， ऀ上单调递增，又因为 数ݔऀ ， 数 ऀ，其中 数 ， ऀ，即 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ ݔ由 数 ऀ在 ， ऀ上单调递增，故 数 ऀሻ 数 ऀln 有唯一解 ݔ， ݔ∴ 数 ऀ 数 ऀሻ 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀ综上， ݔ∴ 数 ऀሻ 数 ऀ 数 ऀ证毕（2）由(1)易知 数 ऀ在数 ， ऀ上单调递减，在数 ， ऀ上单调递增， 数 ऀ在数 ，ݔऀ上单调递减，【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明在数ݔ， ऀ上单调递增，【解析】【分析】（1）对函数 数 ऀ 䁡数ݔऀ ݔ数nl ऀ 数 得导求ऀ ݔ ，分别计算 数 ऀ， 数 ऀ，根ݔ 存在直线 ，其与两条曲线 数 ऀ和 数 ऀ共有三个不同的交点，nݔ设三个不同交点的横坐标分别为 ݔ 䁡 ∵， ሻ ሻݔ 设妨不， ， ，ݔ， ऀ显然有 ݔሻ ሻ ሻݔሻ ，∴d≥0则肯定有 数 ݔ， 洠上综， ऀ 数 ऀ 数 ऀ 数 ऀݔ 注意 数 ऀ， 数 ऀ的结构，易知 数ln ऀ 数 ऀ，【知识点】极限及其运算；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合所以有 数ln ऀ 数 ऀ，所以有 数 ݔ 由而，ऀ nl数 ऀݔሻ ，ln ሻ ， 数 ऀ在数 ， ऀ上单调递减，【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.知 ݔ ln ，同理 ln ，所以 ݔ ln ，又由 数 ऀ 数 ऀ ln ln ，故 ݔ ，所以存在直线 ，其与两条曲线 数 ऀ和 数 ऀ共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列【解析】【分析】（1）对a分 ， ሻ 两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得 数 ऀmin ݔ ݔ ln ，同理可得 数 ऀmin ݔ ln ऀ 数 数函造构，式列意题据根， ln ݔ，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得 ݔሻ ሻ ሻݔሻ ，同时根据 数ln ऀ 数 ऀ，可得 ݔ 证可算运数对由再， ln ݔ 得而从， ln ， ln ݔ ，结论得证.21．（2022·上海）已知数列 䁡 ， ݔ， 䁡 的前n项和为 䁡.（1）若 䁡 为等比数列， ，求䁡li m 䁡；（2）若 䁡 为等差数列，公差为d，对任意䁡 ，均满足 䁡 䁡，求d的取值范围.【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，ݔ则 ݔ䁡 ݔݔ则 䁡 ݔ ݔ 䁡ݔ则lim 䁡 lim ݔ 䁡 䁡 䁡（2）由题意得 䁡 䁡 ݔ 洠䁡 洠䁡 䁡 䁡 则(3-2n)d≤1当n=1时，d≤1；ݔ当n≥2时，洠 恒成立； 䁡
2022年高考数学真题分类汇编专题04：导数解析版
2023-06-13
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