2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式解析版
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2023-07-06 11:55:01
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2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式所以 maxൌ ݔ ൌ䁪.一、单选题故选：C ，【分析】作出可行域，数形结合即可得解.1．（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件 㘮‴ ，则 ൌ 㘮ݔ‴的最大值是（）3．（2022·全国甲卷）设全集 ൌ集 ， ， ， ， ， ，集合 ൌ集 ， ， ൌ集 ݔ 㘮 ൌ ， ‴ ，则 ൌ（）A．20B．18C．13D．6【答案】BA．集 ， B．集 ， C．集 ， D．集 ， 【知识点】简单线性规划【答案】D ，【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次方程【解析】【解答】根据约束条件 㘮‴ ，画出可行域，【解析】【解答】解：由题意得， ൌ集 ݔ 㘮 ൌ ൌ ， ，所以A∪B={-1，1，2，3}， ‴ ，所以 ൌ ， .故选：D【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.4．（2022·全国甲卷）已知 ൌ ， ൌ ， ൌ䁪 ，则（）A． B． C． D． 【答案】A【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点 t 【解析】【解答】解：由9m=10可得 ൌlog ൌ ， t 可知过点（ ， ）时取到最大值18.而 t t ݃ t 㘮 t ൌ t ݃ ൌ t ， 故答案为：B所以 t t ， t t 【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．即m>lg11， 㘮‴ ，所以a=10m-11>10lg11-11=0．2．（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件 㘮 ‴ ݔ，则 ൌ ‴的最大值是（） ‴ ，又 t䁪 t ݃ t䁪㘮 t ൌ t䁪 ݃ t ， A． B．4C．8D．12所以 t t ， t䁪 t 【答案】C即log89>m，【知识点】简单线性规划所以 ൌ䁪 ݃䁪log䁪 ൌ ．【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数 ൌ ‴转化为‴ൌ ，综上，a>0>b．上下平移直线‴ൌ ，可知当直线过点 ݔ， 时，直线截距最小，z最大，故选：An【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>lg11，【答案】Dlog89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法5．（2022·新高考Ⅰ卷）设 ൌ Ͳ Ͳ 【解析】【解答】解：由题意得， ൌ集 ݃ ͳ ， ൌ集 ， ൌ， ൌ ݊ Ͳ ，则（） ，则 =集 ݃ ͳ ， A． ݃ ݃ B． ݃ ݃ C． ݃ ݃ D． ݃ ݃ 故选：D【答案】C【分析】先由不等式的解法求得集合M，N，再根据交集的运算求得答案.【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小7．（2022·浙江学考）不等式 ݔ ݃ 的解集是（） 【解析】【解答】解：令a=xex， ൌ，c=-ln(1-x)，A． ，ݔ ．B ݔ， 则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，C． ，ݔ ， ．D ݔ，㘮 令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，【答案】A 则‴̵ൌ ൌ ݃ ，【知识点】一元二次不等式的解法所以y≤0，【解析】【解答】 ݔ， 为集解以所，ݔ݃ ݃ 得解， ݃ ݔ ݃ ݔ 。所以lna≤lnb，故答案为：A所以b>a，a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，进而得出不等式 ݔ ݃ 的解集。令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]， ‴㘮组 8．（2022·浙江学考）不等式组表示的平面区域是（） 㘮 㘮‴㘮 ݃ ‴̵ൌ 㘮 ൌ， 令k(x)= 㘮 ，所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，A．B．所以k(x)>k(0)>0，所以y'>0，所以a-c>0，所以a>c，综上可得，c<a<b，C．D．故选：C【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，【答案】B再运用作差法比较大小即可得解.【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域6．（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 ൌ集 ݃ݔ ， ൌ集 ，则 =（）【解析】【解答】画出直线 ‴㘮组ൌ ，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入 ， 可得组 A．集 ݃ B．集 ݃ 成立，所以 ‴㘮组 表示的区域为直线 ‴㘮组ൌ 及直线右下方；画出直线 㘮‴㘮 ൌ ，经 C．集 ݃ ͳ D．集 ݃ ͳ n过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入 ， 可得 ݃ 不成立，所以 㘮‴㘮 ݃ 表示的区域为直对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 㘮 㘮 ，故B正确；对于C，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad<bc，故C错误；线 㘮‴㘮 ൌ 及直线左下方，所以对应的平面区域为B.对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac<bd，故D错误.故答案为：B故答案为：B【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而找出不等式组表示的平面区域。二、多选题9．（2022·浙江学考）若log ݃log 㘮 对任意 ，㘮 恒成立，则 的取值范围 11．（2022·新高考Ⅱ卷）对任意x，y， 㘮‴ ‴ൌ ，则（）是（）A． 㘮‴ B． 㘮‴ C． 㘮‴ D． 㘮‴ 【答案】B,CA． ，㘮 B． ， C． ，㘮 D． ， 组组【知识点】基本不等式【答案】A【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】根据 㘮 㘮 （ ， R）， 㘮‴ ‴ൌ 可变形为， 㘮‴ ൌ ‴ 【解析】【解答】由log ݃log 㘮 ，可得log log ݃log 㘮 ，所 㘮‴ ，解得 㘮‴ ，当且仅当 ൌ‴ൌ 时， 㘮‴ൌ ，当且仅当 ൌ‴ൌ 时， 㘮 以log ݃log 㘮 ，因为函数‴ൌlog 在 ，㘮 上单调递增，所以 ݃ 㘮 ‴ൌ ，所以A不符合题意，B符合题意； ݃ 在 ，㘮 上恒成立，令 ൌ ，则 ݃ 在 ，㘮 上恒成立，令‴ൌ 㘮‴ ‴ൌ 可变形为 㘮‴ ，解得 㘮‴ ，当且仅当 ൌ‴ൌ 时取等 㘮 㘮 㘮‴ ൌ ‴ 号，所以C符合题意； 㘮 ൌݔ ݔൌ‴则，ݔൌ ，当且仅当 ൌ ，即 ൌlog 时， 㘮 㘮组 㘮 㘮组 㘮组‴ ‴ 因为 㘮‴ ‴ൌ 变形可得 㘮‴ ൌ ，设 ൌcos ，‴ൌsin ，所以 ൌcos 㘮 ݔ 取等号，所以 。 sin ，‴ൌ sin ，因此 㘮‴ ൌcos 㘮组sin 㘮 sin cos ൌ 㘮 sin cos 㘮 故答案为：Aݔ ൌ㘮sin ， ，所以当 ൌ，‴ൌ 时满足等式，但是 㘮‴ 不成立，所以D不 ͳ 符合题意．【分析】由log ݃log 㘮 ，可得log ݃log 㘮 ，再利用函数‴ൌlog 故答案为：BC 在 ，㘮 上单调递增，所以 ݃ 㘮 㘮 ݃ 在 ，㘮 上恒成立，令 ൌ 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项． ൌ 三、填空题 ，则 㘮 ݃ 在 ，㘮 上恒成立，令‴ൌ 㘮 㘮ݔ㘮组，再利用均值不等式求最值的方 䁩12．（2022·全国甲卷）已知 䁩中，点D在边BC上， ܦ ൌ ， ܦൌ ，䁩ܦൌ ܦ．当取得 法得出‴ൌݔ的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数 的取值范围。 㘮㘮组 最小值时， ܦൌ．10．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（）【答案】 或 㘮 A． 㘮 㘮 B． 㘮 㘮 C． D． 【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用【答案】B【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d<b+c，故A错误；n【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可.四、解答题 15．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 㘮 㘮 ൌ ，证明： （1） ； （2）㘮㘮 ． 㘮 㘮 㘮 则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m，【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ， 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m， 所以 㘮 㘮 ， 䁩 ൌݔൌ ݔ ݔൌ 㘮 㘮ݔ㘮 ݔൌ ݔ ݔ㘮 ݔ ， 所以 㘮ݔ㘮 㘮ݔ㘮 㘮 㘮 㘮 即 ，所以 ，当且仅当 ൌ ൌ ，即 ൌ ൌ ൌ 时取等号． 㘮 㘮 （2）证明：因为 ， ， ， 当且仅当 㘮 ൌ即 ൌ 时，等号成立， 㘮 所以 㘮 ， 㘮 ， 㘮 ， 䁩 所以当取最小值时， ൌ ，即BD= . 所以 ൌ ， ൌ ， ൌ 㘮 㘮 㘮 故答案为： . 㘮 㘮 䁩 㘮㘮 㘮㘮ൌൌ【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解. 㘮 㘮 㘮 13．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线‴ൌ 㘮 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.当且仅当 ൌ ൌ 时取等号．【答案】a＞0或a＜-4【知识点】基本不等式；不等式的证明【知识点】导数的几何意义；一元二次方程【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(xxx0，(x0+a)e0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)e0，（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点， 已知 知 ݊ 16．（2022·新高考Ⅰ卷）记 䁩的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ൌͲ 㘮知 ݊ 㘮 已知 可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 㘮 ൌ (※)， （1）若䁩ൌ，求B；2 又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a+4a>0，得a<-4或a>0. 㘮 故答案为：a<-4或a>0.（2）求 的最小值. 【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程 㘮 ൌ 有两不等实根，由cos sin sin cos sin 【答案】（1）因为ൌൌൌ， 㘮sin 㘮cos cos cos △>0求解即可.所以cos cos ൌsin 㘮sin sin ， 14．（2022·上海）不等式 ݃ 的解集为所以cos 㘮 ൌsin ， 【答案】 ， 又因为cos 㘮 ൌsin sin ൌcos 䁩 ൌcosൌ， 【知识点】一元二次不等式的解法；其他不等式的解法 䁩ൌ，所以 ݃，故 ൌ. ͳ 【解析】【解答】解：由题意得݃ 等价于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集为 ， . （2）因为sin ൌcos 䁩 ൌsin 䁩 故答案为： ， .n 所以 ൌ䁩 所以sin ൌsin 㘮䁩 ൌsin 䁩 ൌ cos 䁩 由余弦定理 ൌ 㘮 cos䁩 㘮 ൌ 㘮 cos䁩 㘮 㘮 cos䁩 cos䁩所以ൌൌ 㘮 sin sin cos䁩ൌ 㘮sin 䁩 sin sin cos䁩ൌ 㘮sin 䁩 cos 䁩cos 䁩则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；ൌ 㘮sin 䁩（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)， sin 䁩 sin 䁩 ൌ 㘮 组 组 组 sin 䁩则 䁞ܦൌ tan 㘮 组 已 ൌݔ tan 㘮tan ൌ 㘮 sin 䁩㘮 sin 䁩当且仅当 tan ൌtan ，即tan ൌ时，等号成立， 㘮 ൌݔ 组即当 ൌ 组tan ൌ组 时，最大面积为ݔ Ͳ组组 组 组ݔ 当且仅当 sin䁩ൌ，即sin䁩ൌ时取得等号，sin 䁩 【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义 㘮 综上， 的最小值为ݔ 组.【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可； 【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.弦定理的应用18．（2022·上海）已知函数 ，甲变化： ；乙变化： 㘮 ， .【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得cos 㘮 ൌsin ，再由诱导公式，结合（1）若 ൌ ， ൌ ， 经甲变化得到t ，求方程t ൌ 的解；三角形的内角和性质，得sin ൌ ，可得B；（2）若 ൌ ， 经乙变化得到 ，求不等式 的解集； 㘮 （3）若 在 ， 上单调递增，将 先进行甲变化得到 ，再将 进行乙变化得到（2）由诱导公式求得 ൌ䁩 ，sin ൌ cos 䁩，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得ൌ 㘮 ；将 先进行乙变化得到 ，再将 进行甲变化得到 ，若对任意 ，总存在 sin䁩㘮 ，并利用基本不等式求最值即可.sin 䁩 ൌ 成立，求证： 在R上单调递增.17．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，作为保护区域，已知 ൌ m， ܦൌ 组m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；相切.（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示（1）若∠ADEൌ ，求EF的长；（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）【答案】（1）如图，作DH⊥EF，n 㘮 ∴ 㘮 对t>0都成立， 则f(x)在R上单调递增.【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的化简求值；一元二次不等式的解法；绝对值不等式【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可. ①当 时，h(x)≤f(x)恒成立； ②当 时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2， 解得 或 㘮 ，综上可得 或 㘮 ，故解集为： ， 㘮 ，㘮 （3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，∵x∈R时，h1(x)=h2(x)恒成立∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①∵t>0且 在 ， 上单调递增∴x-t<x<0则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立)得f(x-t)<f(x)∴f(x)-f(x-t)>0 㘮 则由①得 㘮 ൌ ∴f(x+t)-f(x)>0即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0
2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式解析版
2023-06-13
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