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2022年高考数学真题分类汇编专题06：数列及答案

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2022年高考数学真题分类汇编专题06：数列一、单选题1．（2022·浙江）已知数列满足，쳌，则（）A．൏ͳͳͳͳ൏B．൏ͳͳͳͳ൏C．൏ͳͳͳͳ൏D．൏ͳͳͳͳ൏2．（2022·新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为ͳ洠，，，，若，，是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.93．（2022·全国乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则（）A．14B．12C．6D．34．（2022·全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：쳌，쳌쳌，쳌，…，依此类推，其中，，．则（）쳌쳌A．൏B．൏C．൏D．൏5．（2022·浙江学考）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则ͳ的值是（）A．6B．12C．18D．1086．（2022·上海）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（）A．若ͳͳ，则数列单调递增B．若ͳͳ，则数列单调递增C．若数列单调递增，则ͳͳD．若数列单调递增，则ͳͳ二、填空题n7．（2022·全国乙卷）记为等差数列的前n项和．若쳌，则公差．8．（2022·北京）已知数列的各项均为正数，其前项和，满足ᦙ，，给出下列四个结论：①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项。ͳͳ其中所有正确结论的序号是．9．（2022·浙江学考）若数列通项公式为，记前n项和为，则；.三、解答题10．（2022·浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．（Ⅰ）若쳌ͳ，求；（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使쳌，쳌쳌，쳌쳌成等比数列，求d的取值范围．11．（2022·新高考Ⅱ卷）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．（1）证明：；（2）求集合集쳌，ͳͳ中元素个数．12．（2022·全国甲卷）记为数列的前n项和．已知쳌쳌．（1）证明：是等差数列；（2）若，，ᦙ成等比数列，求的最小值．13．（2022·北京）已知：，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，，，，在中存在，쳌，쳌，，쳌䁟䁟ͳ，使得쳌쳌쳌쳌쳌쳌쳌䁟，则称为连续可表数列．（Ⅰ）判断：，，是否为5-连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若：，，，为连续可表数列，求证：的最小值为4；（Ⅲ）若：，，，为ͳ连续可表数列，쳌쳌쳌൏ͳ，求证：．n14．（2022·新高考Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知，是公差为，的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：쳌쳌쳌൏15．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．16．（2022·上海）已知数列，，的前n项和为.（1）若为等比数列，，求lim；（2）若为等差数列，公差为d，对任意，均满足，求d的取值范围.答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】28．【答案】①③④9．【答案】4；2010．【答案】解：（Ⅰ）设，依题意得，쳌ͳ.解得，则，，쳌于是쳌쳌쳌，.（Ⅱ）设，依题意得，쳌ሿ쳌쳌ሿ쳌ሿ，쳌ሿ쳌쳌쳌쳌쳌쳌쳌ሿ쳌ͳn故쳌ሿ쳌ሿ쳌ሿͳ쳌ሿ쳌ሿͳ对任意正整数n成立.时，显然成立；时，쳌ͳ，则；时，ሿሿͳ.综上所述，൏.쳌쳌11．【答案】（1）证明：设数列的公差为，所以，，即可쳌쳌解得，，所以原命题得证．（2）解：由（1）知，由쳌知：쳌쳌即쳌쳌，即，因为ͳͳ，故ͳͳͳ，解得ͳ故集合쳌，ͳͳ中元素的个数为9个.12．【答案】（1）已知쳌쳌，即쳌쳌①，当时，쳌쳌②，①-②得，쳌쳌，即쳌쳌，即，所以，且，所以是以1为公差的等差数列．（2）由（1）中可得，쳌，쳌，，又，，ᦙ成等比数列，所以ᦙ，即쳌쳌쳌，解得，所以，所以，쳌所以，当或时min．13．【答案】（Ⅰ）若，则对于任意，，，，，，，쳌，所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列；（Ⅱ）若，设为a，b，c，则至多쳌，쳌，쳌쳌，，，6种矛盾，，，，满足nmin（Ⅲ）若k≤5，则，，，至多可表15个数，与题意矛盾，若，：，，，，，至多可表21个数，而쳌쳌쳌쳌쳌൏ͳ，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表香ͳ及那个负数（恰21个)这表明中仅一个负的，没有0，且这个们的在中绝对值最小，同时中没有两数相同，设那个负数为则所有数之和쳌쳌쳌쳌쳌쳌쳌，쳌ᦙ，，，，，，，，，，，再考虑排序쳌(仅一种方式)∴-1与2相序若-1不在两端，则"2___"形式若，则(2种方式矛盾)，问理，，，故-1在一端，不妨为"形式右，则쳌(2种矛盾)同理不行，则쳌쳌(2种矛盾)从而由쳌쳌，由表法唯一知3，4不相邻，故只能，，，，，①或，，，，，②这2种情形对①ᦙ쳌쳌矛后对②쳌쳌也矛盾综上14．【答案】（1）因为是公差为的等差数列，而，所以쳌쳌쳌①时，쳌②쳌①-②有：，.쳌所以，，，，쳌以上式子相乘，得，n经检验，时，，符合.쳌所以.쳌（2）由（1）知所以쳌쳌所以쳌쳌쳌=쳌쳌쳌=쳌쳌因为，所以ͳ，쳌所以൏，쳌即쳌쳌쳌൏．15．【答案】（1）因为，所以，若ͳ，则ͳ恒成立，所以在ͳ，쳌上单调递增，无最小值，不满足；若ͳ，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，所以minlnln，因为ln，定义域ͳ，所以，所以，ͳ，൏ͳͳ൏൏所以minln，依题有lnln，即lnͳ，쳌쳌令lnͳ，则ͳ恒成立쳌쳌所以在ͳ，쳌上单调递增，又因为ͳ，lnͳ有唯一解，쳌综上，（2）由(1)易知在，ͳ上单调递减，在ͳ，쳌上单调递增，在ͳ，上单调递减，在，쳌上单调递增，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为，，，不妨设൏൏，n显然有൏ͳ൏൏൏，则肯定有，注意，的结构，易知ln，所以有ln，所以有ln，而由൏ͳ，ln൏ͳ，在，ͳ上单调递减，知ln，同理ln，所以쳌ln쳌，又由ln쳌ln，故쳌，所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.16．【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，则则则limlim（2）由题意得쳌쳌则(3-2n)d≤1当n=1时，d≤1；当n≥2时，恒成立；∵，ͳ∴d≥0综上ͳ，ሿ

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