2022年高考数学真题分类汇编专题07：平面向量一、单选题1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，则t=（　　）A．-6B．-5C．5D．6【答案】C【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由已知条件可得c=(3+t，4)，cos<a，c>=cos<b，c>，即9+3t+165|c|=3+t|c|，解得t=5，故答案为：C【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.2．（2022·全国乙卷）已知向量a→=(2，1)，b→=(−2，4)，则|a→−b→|=（　　）A．2B．3C．4D．5【答案】D【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算【解析】【解答】因为a−b=(2，1)−(−2，4)=(4，−3)，所以|a−b|=42+(−3)2=5.故选：D【分析】先求得a−b的坐标，然后根据求模公式求解|a−b|即可.3．（2022·全国甲卷）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1⋅BA2=−1，则C的方程为（　　）A．x218+y216=1B．x29+y28=1C．x23+y22=1D．x22+y2=1【答案】B【知识点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质【解析】【解答】解：因为离心率e=ca=1-ba2=13，解得b2a2=89，则b2=89a2，记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），又B为上顶点，所以B（0，b），所以BA1→=-a，-b，BA2→=a，-b，因为BA1→⋅BA2→=−1所以-a2+b2=-1，将b2=89a2代入，解得a2=9，b2=8，故椭圆的方程为x29+y28=1.故选：B.【分析】根据离心率及BA1→⋅BA2→=−1，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.4．（2022·全国乙卷）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=3，|a−2b|=3，则a⋅b=（　　）A．-2B．-1C．1D．2【答案】C【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】解：∵|a−2b|2=|a|2−4a⋅b+4|b|2，又∵|a|=1，|b|=3，|a−2b|=3，∴9=1−4a⋅b+4×3=13−4a⋅b，∴a⋅b=1故选：C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.5．（2022·北京）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⋅PB的取值范围是（　　）A．[−5，3]B．[−3，5]C．[−6，4]D．[−4，6]【答案】D【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，由题意易知C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，设P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π]，PA→⋅PB→=(3−cosθ，−sinθ)⋅(−cosθ，4−sinθ)=−3cosθ−4sinθ+cos2θ+sin2θ=1-5sin(θ+ϕ)∈[-4，6]，（sinϕ=35，cosϕ=45).n故答案为：D【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π]，利用坐标法即可解决问题.6．（2022·新高考Ⅰ卷）在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA→=m→，CD→=n→，则CB=（　　）A．3m→-2n→B．-2m→+3n→C．3m→+2n→D．2m→+3n→【答案】B【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】解：由题意得，CB→=CA→+AB→=CA→+3AD→=CA→+3(CD→−CA→)=−2CA→+3CD→=−2m→+3n→，故选：B【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.7．（2022·浙江学考）已知向量a，b满足|a|=4，|b|=6，|a+b|=8，则|a−b|=（）A．2B．210C．8D．410【答案】B【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算【解析】【解答】∵|a−b|2+|a+b|2=(|a|2−2|a||b|+|b|2)+(|a|2+2|a||b|+|b|2)=2|a|2+2|b|2，又∵|a|=4，|b|=6，|a+b|=8∴|a−b|2+64=2×16+2×36=104，∴|a−b|2=40，∴|a−b|=210。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，进而求出|a→−b→|的值。8．（2022·浙江学考）已知单位向量e1，e2不共线，且向量a满足|a|=14.若|a−λe1+(λ−1)e2|≥14对任意实数λ都成立，则向量e1，e2夹角的最大值是（）A．π2B．2π3C．3π4D．5π6【答案】B【知识点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】设向量e1，e2夹角为θ，设向量a与(λ−1)e2−λe1的夹角为α，[(λ−1)e2−λe1]2=(λ−1)2−2λ(λ−1)cosθ+λ2=2λ2−2λ+1−2λ(λ−1)cosθ，由|a−λe1+(λ−1)e2|≥14，得a2+2a⋅[(λ−1)e2−λe1]+[(λ−1)e2−λe1]2≥116，所以12|(λ−1)e2−λe1|cosα+[(λ−1)e2−λe1]2≥0，所以|(λ−1)e2−λe1|≥−12cosα，所以|(λ−1)e2−λe1|≥(−12cosα)max所以|(λ−1)e2−λe1|≥12，所以2λ2−2λ+1−2λ(λ−1)cosθ≥14对任意实数λ都成立，即(2−2cosθ)λ2+(2cosθ−2)λ+34≥0恒成立，当2−2cosθ=0，即cosθ=1，得θ=0，上式恒成立，当2−2cosθ>0时，即cosθ<1，Δ=(2cosθ−2)2−3(2−2cosθ)≤0，(cosθ−1)(2cosθ+1)≤0，所以得−12≤cosθ<1，因为θ∈[0，π]，所以0<θ≤2π3综上所述，0≤θ≤2π3，所以向量e1，e2夹角的最大值是2π3，故答案为：B【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量共线定理，再结合数量积求向量的模的公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用函数求最值的方法和向量的夹角的取值范围，进而得出向量e1，e2的夹角的取值范围，从而得出向量e1，e2夹角的最大值。二、多选题9．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p，0)，若|AF|=|AM|，则（　　）A．直线AB的斜率为26B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF|D．∠OAM+∠OBM<180°【答案】A,C,Dn【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】对于A：易得F(p2，0)，由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为p2+p2=3p4，代入抛物线可得y2=2p⋅3p4=32p2，则A(3p4，6p2)，直线AB的斜率为6p23p4−p2=26，A符合题意；对于B：由斜率为26可得直线AB的方程为x=12 6y+p2，联立抛物线方程得y2−16py−p2=0，设B(x1，y1)，则62p+y1=66p，则y1=−6p3，代入抛物线得(−6p3)2=2p⋅x1，解得x1=p3，则B(p3，−6p3)，则|OB|=(p3)2+(−6p3)2=7p3≠|OF|=p2，B不符合题意；对于C：由抛物线定义知：|AB|=3p4+p3+p=25p12>2p=4|OF|，C符合题意；对于D：OA⋅OB=(3p4，6p2)⋅(p3，−6p3)=3p4⋅p3+6p2⋅(−6p3)=−3p24<0，则∠AOB为钝角，又MA⋅MB=(−p4，6p2)⋅(−2p3，−6p3)=−p4⋅(−2p3)+6p2⋅(−6p3)=−5p26<0，则∠AMB为钝角，又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则∠OAM+∠OBM<180∘，D符合题意.故答案为：ACD.【分析】由|AF|=|AM|及抛物线方程求得A(3p4，6p2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线方程求得B(p3，−6p3)，即可求出|OB|判断B选项；由抛物线的定义求出|AB|=25p12即可判断C选项；由OA⋅OB<0，MA⋅MB<0求得∠AOB，∠AMB为钝角即可判断D选项.10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2=2py(p0)上，过点B(0，−1)的直线交C于P，Q两点，则（　　）A．C的准线为y=−1B．直线AB与C相切C．|OP|⋅|OQ∣>∣OA∣2D．∣BP∣⋅∣BQ∣>∣BA∣2【答案】B,C,D【知识点】导数的几何意义；平面向量数量积的运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x2=y，故C的准线为y=-14，故A错误；由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：y--10--1=x-01-0，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线与C方程可得x2=yy=kx-1⇒x2-kx+1=0，则x1+x2=k，x1x2=1，且∆=k2-4>0，即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，此时OP·OQ=x12+y12x22+y22=y1+y12y2+y22=y1y2y1y2+y1+y2+1=k2>4，又|OA|2=2，则|OP|⋅|OQ∣>∣OA∣2，故C正确；BP·BQ=BP→·BQ→=x1，y1+1·x2，y2+1=x1x2+y1y2+y1+y2+1=k2+1>5，又|BA|2=5，则∣BP∣⋅∣BQ∣>∣BA∣2，故D正确.故选：BCD【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.三、填空题11．（2022·浙江）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2⋯A8的边A1A2上，则PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是　　．【答案】[12+22，16]【知识点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】以圆心为原点，建立如图所示平面直角坐标系，n则A1（0，1），A2（22，22），A3（1，0），A2（22，-22），A5（0，﹣1）A6（-22，-22），A7（﹣1，0），A8（-22，22），设P（x，y），则PA→12+PA2→2+⋯+PA→82=PA12+PA22+⋯+PA82=8x2+y2+8，∵cos22.5°≤|OP|≤1，∴1+cos4502≤x2+y2≤1，∴2+24≤x2+y2≤1，∴12+22≤8（x2+y2）+8≤16，即PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是[12+22，16]，故答案为：[12+22，16]【分析】以圆心为原点，建立如图所示平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，y），进而得到PA→12+PA2→2+⋯+PA→82=8x2+y2+8，根据点P的位置可求出x2+y2的范围，从而得到PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围．12．（2022·全国甲卷）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且|a→|=1，|b→|=3，则(2a→+b→)⋅b→=　　．【答案】11【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：由题意得a→·b→=a→·b→·cosa→，b→=1×3×13=1所以2a→+b→·b→=2a→·b→+b→2=2×1+32=11．故答案为：11．【分析】先根据数量积的定义求出a→·b→，最后根据数量积的运算律计算可得答案．13．（2022·全国甲卷）已知向量a=(m，3)，b=(1，m+1)．若a⊥b，则m=　　．【答案】−34或-0.75【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】由题意知：a→·b→=m+3m+1=0，解得m=-34.故答案为：−34.【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.14．（2022·浙江学考）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足EF=2xAV+yBC(x>0，y>0)则x2+y2的最小值为　　.【答案】15【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的共线定理；共线向量与共面向量【解析】【解答】因为EF=2xAV+yBC(x>0，y>0)，所以EF，AD，BC共面，作MF∕∕AV交AC于点M，连接ME，则ME∕∕BC，因为EF=EM+MF，所以EM=yBC，MF=2xAV，即EMBC=y，MFAV=2x，因为MF∕∕AV，所以MFAV=CMAC=2x，则CM=2xAC，因为ME∕∕BC，所以EMBC=AMAC=y，则AM=yAC，又CM+AM=AC，所以2xAC+yAC=AC，所以2x+y=1，则y=1−2x，0<x<12，故x2+y2=x2+(1−2x)2=5x2−4x+1=5(x−25)2+15(0<x<12)，所以当x=25时，x2+y2取得最小值为15。故答案为：15。【分析】利用EF=2xAV+yBC(x>0，y>0)结合向量共面的判断方法，所以EF，AD，BC共面，作MF∕∕AV交AC于点M，连接ME，则ME∕∕BC，再利用三角形法则得出EF=EM+MF，所以EMBC=y，MFAV=2x，再利用MF∕∕AV结合两直线平行对应边成比例，所以CM=2xAC，再利用ME∕∕BC结合两直线平行对应边成比例，所以AM=yAC，再利用CM+AM=AC，所以2x+y=1，则y=1−2x，0<x<12，再利用代入法结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出x2+y2的最小值。n15．（2022·上海）在△ABC中，∠C=π2，AC=BC=2，M为AC的中点，P在AB上，则MP⋅CP的最小值为　　【答案】78【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意知，可以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，2)，B(2，0)，C(0，0)，M(0，1)，由题意可设P(x，2-x)，则MP→=x，1-x，CP→=x，2-x，则MP→·CP→=x，1-x·x，2-x=2x2-3x+2=2x-342+78≥780≤x≤2则当x=34时，MP⋅CP取得最小值为78故答案为：78【分析】根据平面向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求解即可.16．（2022·上海）已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)，双曲线上右支上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，满足x1x2−y1y2>0恒成立，则a的取值范围是　　【答案】a≥1【知识点】平面向量数量积的运算；双曲线的定义；双曲线的简单性质【解析】【解答】解：如图所示，取点P1关于x轴对称的点P3，则P3(x2，-y2)，分别在渐近线上取点M，N则由x1x2−y1y2>0恒成立，得OP1→·OP3→>0恒成立，则∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，则其中一条渐近线y=1ax的斜率1a≤1，则a≥1故答案为：a≥1【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.