2022年高考数学真题分类汇编专题09：解三角形一、填空题1．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=2，b=3，c=2，则该三角形的面积S=　　．2．已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=　　．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=　　.4．在△ABC中，∠A=π3，AB=2，AC=3，则△ABC的外接圆半径为　　二、解答题5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c，cosC=35．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b=11，求△ABC的面积．6．记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1−S2+S3=32，sinB=13．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC=23，求b．7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B，求C；（2）证明：2a2=b2+c2.8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）证明：2a2=b2+c2；（2）若a=5，cosA=2531，求△ABC的周长．9．在△ABC中，sin2C=3sinC．（I）求∠C：（II）若b=6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长．n10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.答案解析部分1．【答案】2342．【答案】3−1或−1+33．【答案】64．【答案】2135．【答案】解：（Ⅰ）由于cosC=35，sinC>0，则sinC=45.由正弦定理可知4sinA=5sinC，则sinA=55.（Ⅱ）因为sinC=45>sinA=55，则A<C<π2.故b=acosC+ccosA=35a+255c=115a=11，则a=5，△ABC的面积S=12absinC=22.6．【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为34a2，∴S1−S2+S3=34(a2−b2+c2)=32，即accosB=1，由sinB=13得：cosB=223，∴ac=1cosB=324故S△ABC=12acsinB=12×324×13=28.（2）解：由正弦定理得：b2sin2B=asinA⋅csinC=acsinAsinC=32423=94，故b=32sinB=12.7．【答案】（1）解：∵sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)且A=2B∴sinCsinB=sinBsin(C−A)∵sinB＞0∴sinC=sin(C−A)n∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π即：2C-A=π又∵A+B+C=π，A=2B∴C=5π8（2）证明：由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，12(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．8．【答案】（1）证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，所以ac⋅a2+c2−b22ac−2bc⋅b2+c2−a22bc=−ab⋅a2+b2−c22ab，即a2+c2−b22−(b2+c2−a2)=−a2+b2−c22，所以2a2=b2+c2；（2）解：因为a=5，cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，则50−5031bc=25，所以bc=312，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.9．【答案】（I）sin2C=3sinC，根据正弦的二倍角公式可得2sinCcosC=3sinC，可得cosC=32，所以∠C=π6；（II）∵SΔABC=63，∴12absinC=63，a=43，由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，得c=23，所以△ABC周长为63+6.10．【答案】（1）因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，n所以cosAcosB=sinB+sinAsinB，所以cos(A+B)=sinB，又因为cos(A+B)=sinB⇒sinB=cos(π−C)=cosπ3=12，C=2π3>π2，所以B<π2，故B=π6.（2）因为sinB=cos(π−C)=sin(C−π2)所以B=C−π2所以sinA=sin(B+C)=sin(2C−π2)=−cos2C由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC⇒a2+b2=c2+2abcosC所以a2+b2c2=c2+2abcosCc2=1+2abcosCc2=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2cos2Ccos2Csin2C=1+2(1−2sin2C)(1−sin2C)sin2C=1+2(2sin2C+1sin2C−3)≥1+2(22−3)=42−5当且仅当2sin2C=1sin2C，即sin2C=22时取得等号，综上，a2+b2c2的最小值为42−5.