2022年高考理数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则（　　）A．B．C．D．2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（　　）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．设全集，集合，则（　　）A．B．C．D．4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（　　）nA．8B．12C．16D．205．函数在区间的图像大致为（　　）A．B．C．D．6．当时，函数取得最大值，则（　　）A．-1B．C．D．17．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（　　）A．B．AB与平面所成的角为C．D．与平面所成的角为8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（　　）A．B．C．D．9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，n体积分别为和．若，则（　　）A．B．C．D．10．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（　　）A．B．C．D．11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（　　）A．B．C．D．12．已知，则（　　）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量，的夹角的余弦值为，且，则　．14．若双曲线的渐近线与圆相切，则　．15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为　　．16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，　．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．18．在四棱锥中，底面n．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．19．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．20．设抛物线的焦点为F，点，过的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．（1）求C的方程：（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．21．已知函数．（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则．四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．23．已知a，b，c均为正数，且，证明：n（1）；（2）若，则．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】1114．【答案】15．【答案】16．【答案】或17．【答案】（1）已知，即①，当时，②，①-②得，，即，即，所以，且，所以是以1为公差的等差数列．（2）由（1）中可得，，，，n又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．18．【答案】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以（2）解：由(1)知，PD，AD，BD两两垂直，，建立空间直角坐标系如n图所示，则∴设平面PAB的法向量为，则即不妨设，则，设PD与平面PAB的所成角为θ，则∴PD与平面PAB的所成的角的正弦值为.19．【答案】（1）解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P==0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.（2）解：依题可知，X的可能取值为，所以，，n，，.即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望20．【答案】（1）解：抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；（2）解：设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，n设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.21．【答案】（1）解：由题意得，函数f(x)的定义域为，，令f'(x)=0，得x=1，当x∈（0，1），f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈（1，+∞），f'(x)>0，f(x)单调递增，若f(x)≥0，则e+1-a≥0，即a≤e+1，所以a的取值范围为（-∞，e+1）（2）证明：由题知，一个零点小于1，一个零点大于1不妨设要证，即证因为，即证因为，即证即证n即证下面证明时，设，则设所以，而所以，所以所以在单调递增即，所以令所以在单调递减即，所以；综上，，所以22．【答案】（1）解：因为，，所以，即普通方程为．（2）解：因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为．n联立，解得：或，即交点坐标为，；联立，解得：或，即交点坐标，．23．【答案】（1）证明：由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以（2）证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.