专题七 三角形证明（一）‎ <br />‎【中考命题趋势】‎ <br />‎ 常考的知识点包括：全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质等，在中考时，灵活的掌握相应辅助线方法是解决问题的关键.在中考中将会加大对三角形有关证明的考察，而三角形全等是证明的基础.题型主要是以解答题的形式呈现，难度属于中等难度. 线段的和差是中考中常见的考试类型，能较好的考察学生的推理和证明能力，同时能把三角形全等有机的结合起来，因此在最近几年的重庆中考试题中时常出现.针对此类中考热点问题，本专题主要探讨此类问题的解决方法—取长补短法. ‎ <br />‎【经典专题突破】‎ <br />第1题图 <br />例1.如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方作等边,连结. ‎ <br />‎（1）求证：； ‎ <br />‎（2）延长至, 为上一点，连结、‎ <br />使, 若时，求的长.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />例2.如图，在中，，，为的中点，交于点，交于点，且，过作∥交的延长线于点．‎ <br />第2题图 <br />‎（1）求证：；‎ <br />‎（2）若，，求线段的长．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />例3：如图1，在中，，，作的平分线交、于点、．‎ <br />‎（1）求证：；‎ <br />‎（2）如图2，过点作∥交于点，若，，求的长度．‎ <br />第3题图 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎【仿真题型演练】‎ <br />‎1. 如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且始终保持．连接、、．‎ <br />第1题图 <br />‎（1）求证：；‎ <br />‎（2）试证明是等腰直角三角形．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎2. 已知等腰中，，，点在上，连接，过作，垂足为点，过点作于点，点是的中点，连接、．‎ <br />第2题图 <br />‎（1）若，=1，求的长；‎ <br />‎（2）求证：=‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎3. 如图1，已知点为等腰直角内一点，，，为 延长线上的一点，且．‎ <br />‎（1）求的大小；‎ <br />‎（2）若点在上，如图2，且，求证：. ‎ <br />第3题图 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />第4题图 <br />‎4. 如图，在中，，，为上两点，，为 外一点，且，。‎ <br />‎（1）证明：；‎ <br />‎（2）证明：.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎【一线名师预测】‎ <br />第1题图 <br />‎1. 如图，在中，，，，垂足分别为为中点，与，分别交于点，，．‎ <br />‎（1）证明：；‎ <br />‎（2）证明：．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />第2题图 <br />‎2．如图，分别以的边，向外作等边三角形和等边三角形，线段与相交于点，连接． <br />（1）求的度数； <br />（2）求证：平分．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />三角形证明（二）‎ <br />‎【经典专题突破】‎ <br />第1题图 <br />例1．如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点.‎ <br />‎（1）求的度数；‎ <br />‎（2）证明：. ‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />例2. 如图，等腰直角三角形中，，、分别为、边上的点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点．‎ <br />第2题图 <br />‎（1）证明：为等腰三角形；‎ <br />‎（2）证明：.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />例3.如图，中，，，点在上，点在延长线上，=，的延长线交于点，连.‎ <br />‎（1）证明：；‎ <br />‎（2）证明：.‎ <br />第3题图 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎【仿真题型演练】‎ <br />第1题图 <br />‎1.在四边形中，，，，，是上一点，是延长线上一点，且．‎ <br />‎（1）证明：；‎ <br />‎（2）在图中，若在上且，‎ <br />证明：.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎2. 如图，是等边的边上一点，是延长线上一点，，连接交 于，过点作于于点.‎ <br />第2题图 <br />‎（1）证明：；‎ <br />‎（2）证明：.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎3. 如图，等边中，点、分别是、的中点，为上一点，连接，作等边，连接，．‎ <br />‎（1）若等边的边长为20，且=45°，求等边的边长；‎ <br />第3题图 <br />‎（2）证明：．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎4. 如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交 <br />于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．‎ <br />第4题图 <br />‎（1）证明：；‎ <br />‎（2）证明：；‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎【一线名师预测】‎ <br /> <br />‎1.如图，在中，，，，的延长线于.‎ <br />第1题图 <br />‎（1）证明：; ‎ <br />‎（2）若，，求的长度.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎2. 如图，已知，是过点的直线，，于点．‎ <br />第2题图 <br />‎（1）证明：; ‎ <br />‎（2）当，时，求的长度.‎ <br /> <br /> <br />