求解最值问题的几种思路 <br />‎ 最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多变，越含着丰富的数学思想方法，对发展学生的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用.本文举例介绍这类问题的常见思路和方法.‎ <br />‎ 一、利用非负数的性质 <br />‎ 在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.‎ <br />‎ 例1形码 设、为实数，求的最小值.‎ <br />解析 =‎ <br />‎ =‎ <br />‎ =.‎ <br />‎ 当，即时，上式等号成立.‎ <br />‎ 故的最小值为-1.‎ <br />‎ 二、均值代换法 <br />‎ 在一些数学问题中，常遇到含有型条件的问题，若用来代换，往往能获得简捷的妙法.‎ <br />‎ 例2 已知、为实数，且，求的最值.‎ <br />‎ 解析 由得，易得最小值为.‎ <br />设,其中,‎ <br />‎,‎ <br />‎ 又，‎ <br />‎ 即.‎ <br />‎ 的最小值是，最大值是2.‎ <br />‎ 三、局部换元法 <br />‎ 例3 若，求的最小值.‎ <br />解析 设,‎ <br /> <br />‎ J <br />则.‎ <br /> <br />‎.‎ <br />故的最小值为.‎ <br />‎ 四、积化和差法 <br />‎ 完全平方公式；‎ <br />‎ .‎ <br />‎ 将这两个公式的左右两边分别相减，得 <br />‎ 结论1 .①‎ <br />‎ 由于，故由①又可得如下积化和的完全平方不等式.‎ <br />‎ 结论2 ，当且仅当时，等号成立.②‎ <br />‎ 结论①、②表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式.应用上述公式解题，方法独特，别致新颖，给人一种清晰、明快的感觉.‎ <br />‎ 例4 设，求的最大值.‎ <br />‎ 解 把两边平方得 <br />‎ ，‎ <br />‎ 即，‎ <br />‎ .‎ <br />由积化和差公式，得 <br /> <br />代人上式，得 <br />‎.‎ <br />‎,‎ <br /> <br />‎,‎ <br />‎.‎ <br />又时,‎ <br />‎，‎ <br />‎.‎ <br />注 有时将积化和差公式 <br />化为如下形式: ‎ <br />‎,‎ <br />‎ 用起来比较方便.‎ <br />‎ 五、配方法 <br />‎ 解题时把题中所给的代数式，应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的形式;再根据，可求出代数式的最小值，根据，可求出代数式的最大值.‎ <br />例5 求函数的最值.‎ <br />解析 .‎ <br />‎,‎ <br />的最小值是0，最小也是0.‎ <br />当时，的最小值为:‎ <br />‎.‎ <br />‎ 注 本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求的最值，那就错了.事实上，当时，取得极小值，这是不可能的。一般情况下，如果自变量取值范围有一定限制，不能轻易套用极值公式，而应先通过配方，再求极值，这样做才不会得出错误的答案.‎ <br />‎ 六、增加辅助量 <br />‎ 例6 若实数、、、、满足条件和 <br /> <br />‎，求的最值.‎ <br />‎ 解 ,‎ <br />‎.‎ <br />设，，，,‎ <br />则,‎ <br />而 <br />‎.‎ <br />‎，即.‎ <br />‎.‎ <br />故的最大值为，最小值为.‎ <br />七、数形结合法 <br />例7 已知、都是小于1的正数，求 <br />的最小值.‎ <br />‎ 解 对形如的问题，不妨考虑利用勾股定理和题中所给的已知条件，构造相应的几何图形，并根据图形中边与边之间的关系解决问题.‎ <br />如图1，构造边长为1的正方形，是正方形内一点，它到、的距离分别为、，即，，则由勾股定理，易得 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎.‎ <br />‎， ,‎ <br />则,‎ <br /> <br />即所求最小值.‎ <br />‎ 八、构造一元二次方程 <br />‎ 例8 若，求的最小值.‎ <br />解 将配方，得 <br />‎ ①‎ <br />设 <br />则 <br />‎∴方程①可构造为以为主元的一元二次方程:‎ <br /> <br />是实数，‎ <br />即 <br />解之得 <br />即的最小值 <br />‎ 点评 此题巧妙运用了构造方程的思想，并利用一元二次方程根的判别式求得的最值.‎ <br />‎ 九、构造函数 <br />‎ 由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此解决最值问题离不开函数，我们常利用构造函数法使问题得到解决.‎ <br />‎ 例9 求代数式:的最值.‎ <br />解 设，‎ <br /> <br />再令，则有 <br /> <br /> <br /> <br />最小值为，最大值为 <br />‎ 十、零点分段讨论法 <br />‎ 例10 当时，求函数的最大值.‎ <br />‎ 分析 先由条件，求出的取值范围，再用“零点分段讨论法”去掉函数中的绝对值符号，然后求出在各个区段上的最大值并加以比较，从中确定出在取值范围内的最大值.‎ <br />‎ 解 由6，知.‎ <br />‎ ∴当时，‎ <br /> <br />当时，‎ <br /> <br />故当时，函数有最大值16.‎ <br />‎ 对于最值问题，还有更多的方法(如消元法、共轭配对法、数形结合法、和差代换法、判别式法、参数法、等式变形法、待定系数法、平均值不等式法等)，这里不再赘述.‎ <br /> <br /> <br />