2014 年中考数学二轮复习精品资料 <br />新定义型问题 <br />一、中考专题诠释 <br />所谓&ldquo;新定义&rdquo;型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运 <br />算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推 <br />理、迁移的一种题型.&ldquo;新定义&rdquo;型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学 <br />生应用新的知识解决问题的能力 <br />二、解题策略和解法精讲 <br />&ldquo;新定义型专题&rdquo;关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； <br />二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． <br />三、中考典例剖析 <br />考点一：规律题型中的新定义 <br />例 1 （2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： <br />sin30°= ，cos30°= ，则 sin230°+cos230°= ；① <br />sin45°= ，cos45°= ，则 sin245°+cos245°= ；② <br />sin60°= ，cos60°= ，则 sin260°+cos260°= ．③ <br />&hellip; <br />观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A= ．④ <br />（1）如图，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想； <br />（2）已知：∠A 为锐角（cosA＞0）且 sinA= ，求 cosA． <br />思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； <br />④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=1； <br />（1）如图，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，则∠ADB=90°． <br />1 <br />2 <br />3 <br />2 <br />2 <br />2 <br />2 <br />2 <br />3 <br />2 <br />1 <br />2 <br />3 <br />5 <br />利用锐角三角函数的定义得出 sinA= ，cosA= ，则 sin2A+cos2A= ，再 <br />根据勾股定理得到 BD2+AD2=AB2，从而证明 sin2A+cos2A=1； <br />（2）利用关系式 sin2A+cos2A=1，结合已知条件 cosA＞0 且 sinA= ，进行求解． <br />解： sin30°= ，cos30°= ， <br />∴sin230°+cos230°=（ ）2+（ ）2= + =1；① <br /> sin45°= ，cos45°= ， <br />∴sin245°+cos245°=（ ）2+（ ）2= + =1；② <br /> sin60°= ，cos60°= ， <br />∴sin260°+cos260°=（ ）2+（ ）2= + =1．③ <br />观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=1．④ <br />（1）如图，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，则∠ADB=90°． <br /> sinA= ，cosA= ， <br />∴sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= ， <br /> ∠ADB=90°， <br />∴BD2+AD2=AB2， <br />∴sin2A+cos2A=1． <br />（2） sinA= ，sin2A+cos2A=1，∠A 为锐角， <br />BD <br />AB <br />AD <br />AB <br />2 2 <br />2 <br />BD AD <br />AB <br /> <br />3 <br />5 <br />1 <br />2 <br />3 <br />2 <br />1 <br />2 <br />3 <br />2 <br />1 <br />4 <br />3 <br />4 <br />2 <br />2 <br />2 <br />2 <br />2 <br />2 <br />2 <br />2 <br />1 <br />2 <br />1 <br />2 <br />3 <br />2 <br />1 <br />2 <br />3 <br />2 <br />1 <br />2 <br />3 <br />4 <br />1 <br />4 <br />BD <br />AB <br />AD <br />AB <br />BD <br />AB <br />AD <br />AB <br />2 2 <br />2 <br />BD AD <br />AB <br /> <br />3 <br />5 <br />∴cosA= ． <br />点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． <br />对应训练 <br />1．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重 <br />心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些&ldquo;漂亮&rdquo;结论，利用这些性质可 <br />以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： <br />（1）若 O 是△ABC 的重心（如图 1），连结 AO 并延长交 BC 于 D，证明： ； <br />（2）若 AD 是△ABC 的一条中线（如图 2），O 是 AD 上一点，且满足 ，试判断 O <br />是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； <br />（3）若 O 是△ABC 的重心，过 O 的一条直线分别与 AB、AC 相交于 G、H（均不与△ABC <br />的顶点重合）（如图 3），S 四边形 BCHG，S△AGH 分别表示四边形 BCHG 和△AGH 的面积，试 <br />探究 的最大值． <br />2.（1）证明：如答图 1 所示，连接 CO 并延长，交 AB 于点 E． <br /> 点 O 是△ABC 的重心，∴CE 是中线，点 E 是 AB 的中点． <br />∴DE 是中位线， <br />∴DE∥AC，且 DE= AC． <br /> DE∥AC， <br />∴△AOC∽△DOE， <br />23 41 ( )5 5  <br />2 <br />3 <br />AO <br />AD  <br />2 <br />3 <br />AO <br />AD  <br />BCHG <br />AGH <br />S <br />SV <br />四边形 <br />1 <br />2 <br />∴ =2， <br /> AD=AO+OD， <br />∴ = ． <br />（2）答：点 O 是△ABC 的重心． <br />证明：如答图 2，作△ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q，则点 Q 为△ABC 的重心． <br />由（1）可知， = ， <br />而 = ， <br />∴点 Q 与点 ...