专题九 数学思想 <br />一、 考点综述 <br />考点内容：‎ <br />整体思想、数形结合思想、化归思想、换元思想、分类思想 <br />考纲要求：‎ <br />要求学生会建立数学思想，掌握思想方法，在解题时可以使学生，寻求出已知和未知的联系，提高学生分析问题的能力，从而使学习的思维品质和能力有所提高。数学思想方法的渗透、展现是借助于数学知识、技能这些载体的，在每年的中考中都有考查学生数学思想的题目出现。‎ <br />考查方式及分值：‎ <br />思想方法的考查在填空、解答、选择题中都有出现，常常和各种知识综合起来作为压轴题目出现。‎ <br />备考策略：‎ <br />数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，整体思想、数形结合思想、化归思想、换元思想、分类思想，在平时的学习中要注意发掘和运用这些数学思想方法。‎ <br />二、例题精析 <br />‎1、整体思想 <br />整体思想方法是指用&ldquo;集成&rdquo;的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.‎ <br />例1 解方程组 <br />解题思路：如果选用代入法解答，比如由①得，x= ,再代入②，得 <br />‎2003×（）+2002y=2004‎ <br />解答起来十分麻烦. ‎ <br />如果选用加减法，比如，①×2003- ②×2002，可以消去x，得 <br />‎2003×2003y-2002×2002y=2001×2003- 2004×2002‎ <br />形式也很复杂，不易求解. ‎ <br />注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，①+②，得 <br />‎4005x + 4005y = 4005‎ <br />化简，得 x+y=1 ③‎ <br />再将两方程相减，① - ②，得 -x + y = - 3‎ <br />即 x-y=3 ④‎ <br /> <br />由③、④组成方程组，得 <br /> <br />解这个方程组得 <br />.‎ <br />规律总结：整体思想在数学解题中的应用，不仅仅局限于上述的类型，还涉及到其他的各种题型，只有通过不断地挖掘、归纳、提炼，才能更好地把握整体思想的本质和规律，从而使问题迎刃而解。‎ <br />‎2、数形结合思想 <br />数和形是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化。‎ <br />例2、 已知正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．‎ <br />‎⑴求两个函数图象的交点坐标；‎ <br />‎⑵若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．‎ <br />解题思路：（1）由由交点横坐标的含义可得方程组消去字母y，得，解得．所以正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为．要求两个函数图象的交点坐标，只须在得出的函数解析式基础上画出图象（反比例函数的图象分别在第一、三象限内的双曲线，正比例函数的图象是经过原点的一条直线）由题知交点的横坐标是2即可求出纵坐标也是2即为（2，2），由图象的关于原点成中心对称可得另一交点为．所以两函数图象交点的坐标为（2，2），．‎ <br />‎（2）利用上问中所画图形得反比例函数的图象的的值随值的增大而减小，所以当时，．当时，．当时，因为，，所以．‎ <br />规律总结：借助&ldquo;形&rdquo;的几何直观来阐明&ldquo;数&rdquo;之间的某种关系能使问题简单。这类问题常把函数、方程、不等式联系起来.‎ <br />‎3、 化归思想 <br /> <br /> <br />所谓化归思想，就是指对于那些数学问题难以求解时，我们可以根据问题的性质、条件和关系，采取适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进行解答。‎ <br />例3、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为 .‎ <br /> <br /> <br /> <br />解题思路： 设次小正方形边长为x，则其余正方形的边长依次为1+x,2+x,3+x,根据题意得：‎ <br />‎（2+x+3+x）（3+x+x）-【（3+x）+（2+x）+（1+x）+2x】=1，‎ <br />解得x=4.‎ <br />所以矩形色块图的面积为13×11=143.‎ <br />规律总结：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从而一筹莫展，这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而求...