初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题2.10第2章一元二次方程单元测试（培优卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•连城县期中）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是（　　）A．2＜α＜3B．1.5＜α＜2C．1＜α＜1.5D．0＜α＜1【分析】先求出方程的解，再估算出5的范围，求出1+52的范围，即可得出选项．【解析】解方程x2﹣x﹣1＝0得：x1=1+52，x2=1-52，即a=1+52，∵2＜5＜3，∴3＜1+5＜4，∴32＜1+52＜2，即1.5＜a＜2，故选：B．2．（2019秋•定州市期中）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，则1+a+b的值是（　　）A．2017B．2018C．2019D．2020【分析】根据x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，可以得到a+b的值，从而可以求得所求式子的值．【解析】∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，∴a+b﹣2019＝0，∴a+b＝2019，∴1+a+b＝1+2019＝2020，第13页/共13页 故选：D．3．（2019秋•覃塘区期中）若一个直角三角形的两条直角边长之和为14，面积为24，则其斜边的长是（　　）A．27B．42C．8D．10【分析】设一边长为x，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可；然后再根据勾股定理求得斜边长．【解析】设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边为（14﹣x），根据题意得：12x（14﹣x）＝24，整理得：x2﹣14x+48＝0．解得x1＝6，x2＝8，所以斜边长为：62+82=10．故选：D．4．（2019秋•思明区校级期中）若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程2﹣（x﹣3）（x﹣a）＝0的两个根，且3＜a，则m、n，3，a的大小关系是（　　）A．m＜3＜a＜nB．3＜m＜n＜aC．m＜3＜n＜aD．3＜a＜m＜n【分析】由2﹣（x﹣3）（x﹣a）＝0可以将（m，2），（n，2）看成直线y1＝2与抛物线y2＝（x﹣3）（x﹣a）两交点，画出大致图象即可以判断．【解析】如图抛物线y2＝（x﹣3）（x﹣a）与x轴交点（3，0），（a，0），抛物线与直线y1＝2的交点为（m，2）（n，2）由图象可知m＜3＜a＜n．故选：A．5．（2019秋•汝阳县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，则两个根为（　　）A．﹣1，0B．﹣1，1C．﹣1，﹣1D．0，1【分析】根据一元二次方程的定义和项的定义得出m﹣1≠0且m2﹣1＝0，求出m后代入得出方程，最后求出方程的解即可．【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，第13页/共13页 ∴m﹣1≠0且m2﹣1＝0，解得：m＝﹣1，方程为﹣2x2+2x＝0，解得：x＝0或1，故选：D．6．（2019秋•丰南区期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣1＝0总有实数根，则m的取值范围（　　）A．m≤5且m≠1B．m≥﹣3且m≠1C．m≥﹣3D．m＞﹣3且m≠1【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac的意义得到m+1≠0且△≥0，即16﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，然后解两个不等式即可得到m的取值范围．【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣1＝0总有实数根，∴m﹣1≠0且△≥0，即16﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，解得m≥﹣3．∴m的取值范围为m≥﹣3且m≠1．故选：B．7．（2019秋•曲靖期末）菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（　　）A．10cmB．12cmC．16cmD．12cm或16cm【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可．【解析】解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，即AB＝3或4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；第13页/共13页 当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，故选：C．8．（2019春•西湖区校级期中）如果ax2-2x+a9=（3x-13）2+m，那么a，m的值分别为（　　）A．3，0B．9，89C．9，13D．89，9【分析】由（3x-13）2+m＝9x2﹣2x+19+m可知a＝9，m=89【解析】由ax2-2x+a9=（3x-13）2+m＝9x2﹣2x+19+m得：a＝9，19+m＝1所以：m=89故选：B．9．（2019秋•麻城市校级期中）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）的值为（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】由α、β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，可得α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，在将（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）进行适当的变形，即可求出结果．【解析】∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，∴（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）＝（1+2017α+α2+2α）（1+2017β+β2+2β）＝4αβ＝4，故选：D．10．（2019秋•京山市期中）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M有两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；第13页/共13页 ③若m是方程M的一个根，则1m是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x＝1．正确的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】根据根的判别式对①进行判断；利用根与系数的关系对②进行判断；利用一元二次方程根的定义由m是方程M的一个根得到am2+bm+c＝0（m≠0），变形得到c•1m1+b•1m+a＝0，则可对③进行判断；设方程M和方程N有一个相同的根t，则at2+bt+c＝0，N：ct2+bt+a＝0，消去b得到（a﹣c）t2＝a﹣c，然后求出t可对④进行判断．【解析】∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根；所以①正确；∵方程M有两根符号相同（x1、x2为方程的两根），∴x1x2=ca＞0，即a、c异号，∵方程N的两根之积为ac＞0，∴方程N的两根符号相同；所以②正确；∵m是方程M的一个根，∴am2+bm+c＝0（m≠0），∴c•1m1+b•1m+a＝0，∴1m是方程N的一个根；所以③正确；设方程M和方程N有一个相同的根t，则at2+bt+c＝0，N：ct2+bt+a＝0两式相减得（a﹣c）t2＝a﹣c，而a≠c，∴t2＝1，解得t＝±1，即方程M和方程N有一个相同的根为1或﹣1，所以④错误．故选：C．第13页/共13页 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•玄武区期末）用配方法解一元二次方程x2+6x+1＝0时，配方后方程可化为：　（x+3）2＝8　．【分析】移项，配方，再根据完全平方公式进行变形，即可得出答案．【解析】∵x2+6x+1＝0，∴x2+6x＝﹣1，∴x2+6x+9＝﹣1+9，∴（x+3）2＝8，故答案为：（x+3）2＝8．12．（2020•内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为　-13　．【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．【解析】把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，由根与系数的关系得：x1•x2=13，又x1＝﹣1，∴x2=-13故答案为：-13．13．（2020•鄂温克族自治旗模拟）一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解是　x1＝1，x2=23　．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解析】3x（x﹣1）＝2（x﹣1），3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝1，x2=23．第13页/共13页 故答案为：x1＝1，x2=23．14．（2019秋•鞍山期末）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为　x(x-1)2=45　．【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：x(x-1)2场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程．【解析】设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为x(x-1)2场，根据题意列出方程得：x(x-1)2=45，故答案是：x(x-1)2=45．15．（2019秋•勃利县期末）如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为　10　．【分析】本题中小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80﹣2x）（60﹣2x）=12×80×60，解方程从而求解．【解析】因为小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，则其面积为（80﹣2x）（60﹣2x）cm2根据题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=12×80×60整理得：x2﹣70x+600＝0解之得：x1＝10，x2＝60因x＝60不合题意，应舍去所以x＝10．故答案是：10．16．（2020•利津县一模）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根，则该三角形的周长是　7　．【分析】先利用因式分解法解x2﹣4x+3＝0得到x1＝3，x2＝1，然后分类讨论：当三角形的腰为3，底为第13页/共13页 1时，易得三角形的周长；当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．【解析】x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝3，x2＝1，当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1＝7，当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，所以三角形的周长为7．故答案为7．17．（2020春•柯桥区期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则2nm的值为　4或1　．【分析】首先取得方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0的两根，再根据“倍根方程”的定义，得出1×2=nm或1=nm×2，进而求得2nm的值为4或1．【解析】解（x﹣1）（mx﹣n）＝0得x1＝1，x2=nm，∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，∴1×2=nm或1=nm×2，∴2nm的值为4或1．故答案为：4或1．18．（2019秋•港南区期末）若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a+3aa2+1=　0　．【分析】由方程的解的定义得出a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1、a2+1＝3a，整体代入计算可得．【解析】∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，则a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，所以原式＝﹣1+1＝0，故答案为：0．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）第13页/共13页 19．（2020春•玄武区期末）解一元二次方程：（1）x2+2x﹣1＝0；（2）（x﹣3）2＝2x﹣6．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解（1）∵x2+2x﹣1＝0，∴x2+2x＝1，∴x2+2x+1＝1+1，∴（x+1）2＝2，∴x+1=±2，∴x1＝﹣1+2，x2＝﹣1-2；（2）∵（x﹣3）2＝2x﹣6，∴（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，∴x﹣3＝0，x﹣3﹣2＝0，∴x1＝3，x2＝5．20．（2020春•浦东新区期末）解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．【解析】移项得：by2﹣y2＝2+1，合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，当b＝1时，原方程无解；当b＞1时，原方程的解为y＝±3b-3b-1；当b＜1时，原方程无实数解．21．（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+12k2﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．【分析】（1）根据根的判别式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0第13页/共13页 ，据此可得答案；（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．【解析】（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9＝2（k+1）2+7＞0，∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，∴2（k+1）2+7＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（12k2﹣2）＝9，化简得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．22．（2020•广东）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【分析】（1）关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同．实际就是方程组x+y=4x-y=2的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；（2）将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26为边长，判断三角形的形状．第13页/共13页 【解析】（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组x+y=4x-y=2的解，解得，x=3y=1，代入原方程组得，a＝﹣43，b＝12；（2）当a＝﹣43，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣43x+12＝0，解得，x1＝x2＝23，又∵（23）2+（23）2＝（26）2，∴以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形．23．（2020春•成都期末）（1）已知：a（a+1）﹣（a2+b）＝3，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，求代数式ab的值．（2）已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求△ABC的周长．【分析】（1）首先将已知条件化简，进而得出a2﹣2ab+b2＝9①，a2+b2＝13②，把②代入①可得结论；（2）首先利用勾股定理得出AC的长，进而得出AC和AB的长，即可得出BB′的长．【解析】（1）a（a+1）﹣（a2+b）＝3，a2+a﹣a2﹣b＝3，a﹣b＝3，两边同时平方得：a2﹣2ab+b2＝9①，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，a2+ab+b2﹣ab＝13，a2+b2＝13②，把②代入①得：13﹣2ab＝9，13﹣9＝2ab，∴ab＝2；（2）a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，a2﹣6a+9+b2﹣14b+49＝0，（a﹣3）2+（b﹣7）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，∴a＝3，b＝7，当3为腰时，三边为3，3，7，因为3+3＜7，不能构成三角形，此种情况不成立，当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长＝7+7+3＝17．第13页/共13页 24．（2020春•哈尔滨期末）如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米．（1）求道路宽多少米；（2）现需要A、B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的步道板每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？【分析】（1）设道路宽x米，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．（2）设选A种类型步道砖y平方米，根据铺路费用不高于23600元，列出不等式求解即可．【解析】（1）设道路宽x米，根据题意得：（50﹣2x）（30﹣x）＝1392，整理得：x2﹣55x+54＝0，解得：x＝1或x＝54（不合题意，舍去），故道路宽1米．（2）设选A种类型步道砖y平方米，根据题意得：300×0.8y+200×[50×1+（30﹣1）×1×2﹣y]≤23600，解得：y≤50．故最多选A种类型步道砖50平方米．25．（2020春•镇海区期末）自2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑．据统计：某超市2020年1月10日这天猪肉售价为每千克56元，比去年同一天上涨了40%．（1）求2019年1月10日，该超市猪肉的售价为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克．为促进消费，超市决定对这批猪肉进行降价销售，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加18千克．为了实现平均每天有950元的销售利润，超市应将每千克猪肉定为多少元？【分析】（1）设该超市猪肉的价格为每千克x元，根据“比去年同一天上涨了40%，这天该超市猪肉售价为每千克56元”列方程求解可得；第13页/共13页 （2）设每千克猪肉降价y元，根据“平均每天有950元的销售利润”列出方程求解可得．【解析】（1）设该超市猪肉的价格为每千克x元，根据题意得：（1+40%）x＝56，解得x＝40，答：该超市猪肉的价格为每千克40元；（2）设每千克猪肉降价y元，根据题意得：（56﹣46﹣y）（100+18y）＝950，解得y1＝5，y2=-59（舍去），则56﹣y＝56﹣5＝51．答：每千克猪肉应该定价为51元．第13页/共13页