初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题6.7反比例函数单元测试（培优卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•唐山期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）A．y=34xB．y=12x2C．y=13xD．y=1x2【分析】根据反比例函数的定义判断即可．【解析】A、符合反比例函数的定义，选项符合题意；B、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；C、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；D、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意．故选：A．2．（2018秋•道里区期末）下列选项中，两种量既不是成正比例的量，也不是成反比例的量的是（　　）A．时间一定，路程与速度B．圆的周长与它的半径C．被减数一定，减数与差D．圆锥的体积一定，它的底面积与高【分析】根据反比例函数和正比例函数的定义即可得到结论．【解析】A、时间一定，路程与速度成正比例；B、圆的周长与它的半径成正比例；C、被减数一定，减数与差既不是成正比例的量，也不是成反比例；D、圆锥的体积一定，它的底面积与高成反比例；故选：C．3．（2020•龙湾区二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）与第24页/共24页,气体体积V（m3）之间的函数关系如图所示，当气球的体积是1m3，气球内的气压是（　　）kPaA．96B．150C．120D．64【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（0.8，120），代入解析式即可得到结论．【解析】设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p=kV，∵图象过点（0.8，120）∴k＝96，即气压p（kPa）与气体体积V（m3）之间的函数关系为p=96V，∴当V＝1时，p＝96．故选：A．4．（2020春•思明区校级月考）已知压强的计算公式是P=FS，我们知道，刀具在使用一段时间后，就好变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是（　　）A．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小B．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大C．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大D．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小【分析】根据压强的计算公式是P=FS可知：当压力一定时，S越小，P的值越大．【解析】根据压强的计算公式是P=FS可知：当压力一定时，S越小，P的值越大，则压强随受力面积的减小而增大，故选：B．5．（2019•长春模拟）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝5米，进口AB∥OD，且AB＝2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为（　　）第24页/共24页,A．5米B．6米C．7米D．8米【分析】根据矩形的性质得到BE＝OA＝5，AB＝2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y=kx，得到k＝10，于是得到结论．【解析】∵四边形AOEB是矩形，∴BE＝OA＝5，AB＝2，∴B（2，5），设双曲线BC的解析式为y=kx，∴k＝10，∴y=10x，∵CD为1∴当y＝1时，x＝10，∴DE的长＝10﹣2＝8m，故选：D．6．（2020春•江岸区校级月考）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在x轴正半轴上，BC∥x轴，∠OAB＝90°，点C（8，4），连接OC．以OC为对称轴将OA翻折到OA′，反比例函数y=kx的图象恰好经过点A′、B，则k的值是（　　）A．1003B．40C．50D．5032第24页/共24页,【分析】设B（k4，4），由翻折知OC垂直平分AA′，A′G＝2EF，AG＝2AF，由勾股定理得OC＝45，根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′（320k，15k），根据反比例函数性质k＝xy建立方程求k．【解析】如图，过点C作CD⊥x轴于D，过点A′作A′G⊥x轴于G，连接AA′交射线OC于E，过E作EF⊥x轴于F，设B（k4，4），在Rt△OCD中，OD＝8，CD＝4，∠ODC＝90°，∴OC=OD2+CD2=82+42=45，由翻折得，AA′⊥OC，A′E＝AE，∴sin∠COD=AEOA=CDOC，∴AE=CD⋅OAOC=4×k445=520k，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠OCD+∠AOE＝90°，∴∠OAE＝∠OCD，∴sin∠OAE=EFAE=ODOC=sin∠OCD，∴EF=OD⋅AEOC=845×520k=110k，∵cos∠OAE=AFAE=CDOC=cos∠OCD，∴AF=CDOC•AE=445×520k=120k，∵EF⊥x轴，A′G⊥x轴，∴EF∥A′G，∴EFA'G=AFAG=AEAA'=12，∴A′G＝2EF=15k，AG＝2AF=110k，∴OG＝OA﹣AG=k4-110k=320k，∴A′（320k，15k），∴k=320k•15k，第24页/共24页,∵k≠0，∴k=1003，故选：A．7．（2020•泰兴市校级二模）如图，已知点A是反比例函数y=6x（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（　　）A．4B．2C．3D．1【分析】由点A是反比例函数y=6x的图象上，可得S△AOD＝3，根据等底同高的三角形面积相等可得S△AOB＝S△ACB＝2，进而求出S△BOD＝1，再根据点B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，求出S△BOD＝1，进而求出k的值．【解析】延长AB交y轴于点D，连接OA、OB，∵点A是反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，AB∥x轴，∴S△AOD=12|k|=12×6＝3，S△AOB＝S△ACB＝2，∴S△BOD＝S△AOD﹣S△AOB＝3﹣2＝1，又∵点B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴S△BOD=12|k|＝1，∴k＝2，k＝﹣2（舍去），故选：B．第24页/共24页,8．（2020•郑州校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，PB⊥PA，AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象和反比例函数y=n-3x的图象相交于A、P（﹣1，2）两点，则点B的坐标是（　　）A．（1，3）B．（1，4）C．（1，5）D．（1，6）【分析】证明△PNO≌△BMP，则MP＝ON＝1，故MN＝MP+PN＝1+2＝3，即可求解．【解析】∵AP为正比例函数，故点A、P关于原点对称，则点A（1，﹣2），则设点B（1，t），过点P作y轴的平行线交x轴于点N，交点B与x轴的平行线于点M，∵∠MPB+∠NPO＝90°，∠MPB+∠MBP＝90°，∴∠NPO＝∠MPB，BM＝1﹣（﹣1）＝2＝PN＝2，∠PNO＝∠BMP＝90°，∴△PNO≌△BMP（AAS），∴MP＝ON＝1，第24页/共24页,故MN＝MP+PN＝1+2＝3，故点B的坐标为（1，3），故选：A．9．（2020•新华区一模）如图，平面直角坐标系中，过点A（1，2）作AB⊥x轴于点B，连接OA，将△ABO绕点A逆时针旋转90°，O、B两点的对应点分别为C、D．当双曲线y=kx（x＞0）与△ACD有公共点时，k的取值范围是（　　）A．2≤k≤3B．3≤k≤6C．2≤k≤6D．3≤k≤4【分析】先求出点D，点C坐标，分别求出双曲线y=kx（x＞0）过点A，点C，点D时的k的值，即可求解．【解析】∵点A（1，2），∴AB＝2，BO＝1，∵∵将△ABO绕点A逆时针旋转90°，∴AD＝AB＝2，OB＝CD＝1，∴点D（3，2），点C（3，1），当点A在双曲线y=kx（x＞0）的图象上时，k＝1×2＝2，当点C在双曲线y=kx（x＞0）的图象上时，k＝3×1＝3，当点D在双曲线y=kx（x＞0）的图象上时，k＝3×2＝6，∴当2≤k≤6时，双曲线y=kx（x＞0）与△ACD有公共点，故选：C．10．（2020•武汉模拟）如图，两个反比例函数y=k1x和y=k2x（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B第24页/共24页,，下列说法正确的是（　　）①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积始终等于矩形OCPD面积的一半，且为k1﹣k2；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点A．①②B．①④C．①②④D．①③④【分析】根据反比例函数系数k所表示的意义，对①②③④分别进行判断．【解析】①A、B为C2上的两点，则S△ODB＝S△OCA=12k2，正确；②只有当A是PC的中点时，四边形PAOB的面积始终等于矩形OCPD面积的一半，且为k1﹣k2，错误；③只有当P的横纵坐标相等时，PA＝PB，错误；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点，正确．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•柘城县模拟）已知函数y＝（m+1）xm2-2是反比例函数，则m的值为　1　．【分析】根据反比例函数的定义知m2﹣2＝﹣1，且m+1≠0，据此可以求得m的值．【解析】∵y＝（m+1）xm2﹣2是反比例函数，∴m2﹣2＝﹣1，且m+1≠0，∴m＝±1，且m≠﹣1，∴m＝1；故答案是：1．12．（2018秋•包河区期末）如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是　0　．【分析】根据反比例函数的定义．即y=kx（k≠0），只需令2m﹣1＝﹣1即可．【解析】∵y＝x2m﹣1是反比例函数，第24页/共24页,∴2m﹣1＝﹣1，解之得：m＝0．故答案为0．13．（2019秋•和平区校级期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积V的范围是　V≥35　．【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.5，64）故P•V＝96；故当P≤160，可判断V的范围．【解析】设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=kV，∵图象过点（1.5，64），∴k＝96，即P=96V，在第一象限内，P随V的增大而减小，∴当P≤160时，V=96V≥35．故答案为：V≥35．14．（2018秋•咸安区期末）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限内的点C分别在双曲线y=k1x和y=k2x的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①阴影部分的面积为12（k1+k2）；②若B点坐标为（0，6），A点坐标为（2，2），则k2＝﹣8；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．第24页/共24页,其中正确的结论是　②④　（填写正确结论的序号）．【分析】作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，①由S△AOM=12|k1|，S△CON=12|k2|，得到S阴影部分＝S△AOM+S△CON=12（|k1|+|k2|）=12（k1﹣k2）；②由平行四边形的性质求得点C的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得系数k2的值．③当∠AOC＝90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM＝CN，则不能确定|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA＝OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM＝CN，所以|k1|＝|k2|，即k1＝﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．【解析】作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，①∵S△AOM=12|k1|，S△CON=12|k2|，∴S阴影部分＝S△AOM+S△CON=12（|k1|+|k2|），而k1＞0，k2＜0，∴S阴影部分=12（k1﹣k2），故①错误；②∵四边形OABC是平行四边形，B点坐标为（0，6），A点坐标为（2，2），O的坐标为（0，0）．∴C（﹣2，4）．又∵点C位于y=k2x上，∴k2＝xy＝﹣2×4＝﹣8．故②正确；③当∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴不能确定OA与OC相等，而OM＝ON，第24页/共24页,∴不能判断△AOM≌△CNO，∴不能判断AM＝CN，∴不能确定|k1|＝|k2|，故③错误；④若OABC是菱形，则OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO，∴AM＝CN，∴|k1|＝|k2|，∴k1＝﹣k2，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．故答案是：②④．15．（2019春•下城区期末）根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数（统计数据见下表）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为　300　元．售价x（元/双）200240250400销售量y（双）30252415【分析】根据表格中x与y的值，确定出关系式，根据利润＝售价﹣进价表示出利润，由已知利润2400列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解析】由表中数据得：xy＝6000，∴y=6000x，则所求函数关系式为y=6000x；由题意得：（x﹣180）y＝2400，把y=6000x代入得：（x﹣180）•6000x=2400，第24页/共24页,解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的根，答：若计划每天的销售利润为2400元，则其单价应定为300元．故答案为：300．16．（2020•科尔沁区模拟）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y=mx的图象经过点E，与AB交于点F．若AF﹣AE＝2，则反比例函数的表达式为　y=-4x　．【分析】利用勾股定理计算出AE＝5，则AF＝7，设B（t，0），则F（t，1），C（t+3，0），E（t+3，4），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t×1＝4（t+3），解得t＝﹣4，所以F（﹣4，1），于是可计算出m的值，从而得到此时反比例函数的表达式．【解析】∵矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，∴AE=AD2+DE2=32+42=5，∵AF﹣AE＝2，∴AF＝7，设B（t，0），则F（t，1），C（t+3，0），E（t+3，4），∵E是DC的中点，∴E（t+3，4），F（t，1），∵E（t+3，4），F（t，1）在反比例函数y=mx的图象上，∴t×1＝4（t+3），解得t＝﹣4，∴F（﹣4，1），∴m＝﹣4×1＝﹣4，∴反比例函数的表达式是y=-4x．第24页/共24页,故答案为y=-4x．17．（2020•迎泽区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为　3　．【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到∴S△AOC=12S△AOB=32，再根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOC=12|k|=32，然后利用反比例函数的性质确定k的值．【解析】连接OC，如图，∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，∴S△AOC=12S△AOB=32，而S△AOC=12|k|=32，又∵k＞0，∴k＝3．故答案为：3．18．（2020•安徽一模）如图，点A，B都在双曲线y=kx（x＞0）上，点A横坐标是点B横坐标的2倍，第24页/共24页,AC，BD都垂直于坐标轴，点C，D为垂足，阴影面积是k﹣2，则k的值是　83　．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△BOD=12k＝S△AOC，根据三角形面积公式即可证得BD＝2OC，证得PE、PF分别是△OBD和△OAC的中位线，即可证得S△BPE=14S△BOD=18k，S△APF=14S△AOC=18k，根据题意得到18k+18k＝k﹣2，解得即可．【解析】设AC与BD的交点为P，AC与OB的交点为E，BD与OA的交点为F，∵AC，BD都垂直于坐标轴，∴S△BOD=12k＝S△AOC，∴12OD•BD=12AC•OC，∵点A横坐标是点B横坐标的2倍，∴AC＝2OD，∴BD＝2OC，∴PE、PF分别是△OBD和△OAC的中位线，∴S△BPE=14S△BOD=18k，S△APF=14S△AOC=18k，∵阴影面积是k﹣2，∴18k+18k＝k﹣2，解得k=83，故答案为83．第24页/共24页,三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•龙岩二模）已知y＝y1+y2，且y1与x成反比例，y2与x+1成正比例；当x＝1时，y＝7，x＝﹣3时，y＝﹣5．求y与x的函数关系式．【分析】首先根据题意，分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．【解析】设y1=k1x，y2＝k2（x+1），则y=k1x+k2（x+1），当x＝1时，y＝7，x＝﹣3时，y＝﹣5，∴k1+k2(1+1)=7k1-3+k2(-3+1)=5，解得：k1=3k2=2，∴y与x的函数关系式为y=3x+2x+2．20．（2020春•丰县期末）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的压强P/（kPa）是气球体积V/（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当气球内气体的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球体积应该不小于多少立方米？【分析】（1）设函数解析式为P=kV，把点（1.6，60）的坐标代入函数解析式求出k第24页/共24页,值，即可求出函数关系式；（2）依题意P≤120，即96V≤120，解不等式即可．【解析】（1）设P与V的函数关系式为P=kV，则k1.6=60，解得k＝96，∴函数关系式为P=96V；（2）当P＞120KPa时，气球将爆炸，∴P≤120，即96V≤120，解得V≥0.8（m3）．故为了安全起见，气体的体积应不小于0.8（m3）．21．（2020春•漳州期末）某厂今年1月的利润为600万元，从2月初开始适当限产，并投入资金进行设备更新升级，升级期间利润明显下降．设今年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，从1月到5月，y与x满足反比例关系，到5月底，设备更新升级完成，从这时起，y与x满足一次函数关系，如图所示．（1）分别求该厂设备更新升级期间及升级完成后y与x之间的函数关系式；（2）问该厂今年有几个月的利润低于200万元？【分析】（1）待定系数法可得两个函数解析式；（2）分别在反比例函数和一次函数中求得y＝200时x的值即可．【解析】（1）设反比例函数的关系式为y=kx，把（1，600）代入y=kx中，得k＝600，∴反比例函数的关系式为y=600x（1≤x≤5）；第24页/共24页,设升级完成后的函数关系式为y＝ax+b，把（5，120）和（7，280）代入上式，得：5a+b=1207a+b=280，解得：a=80b=-280，∴升级完成后的函数关系式为y＝80x﹣280（x≥5）；（2）当y＝200时，由600x=200，解得x＝3，由80x﹣290＝200，解得：x＝6，所以月利润低于200万元的是4，5月份，答：该厂今年有2个月的利润低于200万元．22．（2020•中宁县二模）如图，Rt△AOB的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，点C的坐标为（3，1）（1）求反比例函数的表达式；（2）连接CD，求四边形OCDB的面积．【分析】（1）将点C（3，1）代入y=kx即可得到结论；（2）如图，过点C作CE⊥OB，垂足为E，求得OB＝23，得到D点的横坐标为23，代入y=3x中得到D（23，12），根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】（1）将点C（3，1）代入y=kx中得k=3，反比例函数的表达式y=3x；（2）如图，过点C作CE⊥OB，垂足为E，∵点C为OA的中点，AB⊥OB，第24页/共24页,∴E为OB的中点，∴OB＝23，∴D点的横坐标为23，代入y=3x中得y=12，∴D（23，12），∴BD=12，EB=3，CE＝1，∴S四边形CDBO=S△OCE+S四边形CEBD=12OE⋅CE+12(CE+DB)⋅BE=534．23．（2020秋•西湖区校级月考）已知反比例函数y=-4x．（1）若点（﹣t+52，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求y2-y1y1y2的值；②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征得（﹣t+52）×（﹣2）＝﹣4，然后解方程即可；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=-4x1，y2=-4x2，再利用分式的性质得到y2-y1y1y2=1y1-1y2，则y2-y1y1y2=-14（x1﹣x2），然后利用x1＝x2+2求值；（3）根据反比例函数的性质求解．【解析】（1）把点（﹣t+52，﹣2）代入y=-4x得（﹣t+52）×（﹣2）＝﹣4，解得t=12；（2）∵点（x1，y1）和（x2，y2）是反比例函数y=-4x图象上的两点，∴y1=-4x1，y2=-4x2，第24页/共24页,∴y2-y1y1y2=1y1-1y2=-x14+x24=-14（x1﹣x2）∵x1＝x2+2，∴y2-y1y1y2=-14×2=-12；（3）当x1＞x2＞0或0＞x1＞x2，则y1＞y2；当x1＞0＞x2时，y1＜y2．24．（2020秋•东城区校级月考）有这样一个问题：探究函数y=1x-2+x的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数y=1x-2+x的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x-2+x中自变量x的取值范围是　x≠2　；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣2﹣101327494523456…y…-94-43-120-12-9425492m92163254…则m的值是　4　；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与过点（2，0）且平行于　y轴　的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线　y＝x　越来越靠近而永不相交．【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将x＝3代入函数解析式中求出m值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；第24页/共24页,（4）观察函数图象即可求解．【解析】（1）由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2；（2）当x＝3时，m=13-2+3＝1+3＝4，即m的值为4，故答案为4；（3）图象如图所示：（4）观察函数图象发现：该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝x越来越靠近而永不相交．故答案为：y轴，y＝x．25．（2020春•江都区期末）如图，反比例函数y=kx（k＞0）的图象与正比例函数y=34x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．（1）当点A的横坐标为2时，求k的值；（2）若k＝12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，①求△ACB的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．第24页/共24页,【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求k的值；（2）①联立方程组可求点A，点B坐标，由直角三角形的性质可求OB＝OA＝OC＝5，由三角形的面积公式可求解；②分三种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．【解析】（1）当x＝2时，y=34×2=32，∴点A坐标为（2，32），∵点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，∴k＝2×32=3，（2）①∵k＝12，∴反比例函数解析式为y=12x，联立方程组可得：y=12xy=34x，解得：x1=4y1=3或x2=-4y2=-3，∴点A（4，3），点B（﹣4，﹣3），∴AO＝BO＝5，又∵∠ACB＝90°，∴CO＝AO＝BO＝5，∴点C（0，5），∵△ACB的面积=12×5×4+12×5×4＝20；②设点D坐标为（x，y），若AB为对角线，则四边形ACBD是平行四边形，第24页/共24页,∴AB与CD互相平分，∴5+y2=-3+32，-4+42=x+02，∴x＝0，y＝﹣5，∴点D（0，﹣5）；若AC为对角线，则四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴4+02=-4+x2，5+32=-3+y2，∴x＝8，y＝11，∴点D（8，11）；若BC为对角线，则四边形ACDB是平行四边形，∴BC与AD互相平分，∴-4+02=x+42，-3+52=3+y2，∴x＝﹣8，y＝﹣1，∴点D（﹣8，﹣1），综上所述：点D坐标为（0，﹣5）或（8，11）或（﹣8，﹣1）．26．（2020春•常熟市期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B分别在y轴和x轴上，点C、D都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，设点A、B的坐标分别为（0，a）、（b，0）且a＞0，b＞0．（1）如果四边形ABCD是正方形，如图①，用a、b表示点C和点D的坐标；（2）如果四边形ABCD是矩形，如图②，若AB＝6，BC＝2，求k的值．【分析】（1）根据题意可证出△AOB≌△BMC，进而得出OA＝BM＝a，OB＝MC＝b，从而表示出点第24页/共24页,C、D的坐标；（2）由（1）的方法，可类推出△AOB∽△BMC，进而得出相似比为3：1，表示出BM=13a，CM=13b，从而表示出点C、D的坐标；由点C、D在反比例函数的图象上，可得出a＝b，在Rt△AOB中，根据直角三角形边角关系可求出a、b的值，进而求出k的值．【解析】（1）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥y轴，垂足为N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠DAB＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBM＝90°，∴∠BAO＝∠CBM，∴△AOB≌△BMC（AAS），∴OA＝BM＝a，OB＝MC＝b，∴点C（a+b，b），同理，D（a，a+b）；（2）如图2，由（1）的方法可得，△AOB∽△BMC，∴OABM=OBCM=ABBC=62=31，∴BM=13OA=13a，CM=13b，∴点C（b+13a，13b），同理，点D（13a，a+13b），∵点C、D在反比例函数的图象上，∴（b+13a）×13b=13a×（a+13b），∴a＝b，在Rt△AOB中，a＝b=22AB＝32，∴k＝（b+13a）×13b＝8，答：k的值为8．第24页/共24页,第24页/共24页