5.3应用一元一次方程——水箱变高了北师大版数学七年级上册 hr阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？形状改变，体积不变.=导入新知 1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.3.利用体积不变、周长不变列方程.素养目标 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m变为多少？知识点图形问题探究新知 等积问题有哪些等量关系呢？①前后容积（体积）相等;②前后面积相等.探究新知思考： 在这个问题中的等量关系是___________________________设水箱的高变为x米，填写下表：旧水箱新水箱底面半径高容积=旧水箱的容积=新水箱的容积.列方程时关键是找出问题中的___________等量关系.mm4mxmπ×2×4π×2x探究新知 解：设水箱的高变为x米，解得答：高变成了6.25米.探究新知π×2×4=π×2xx=6.25 什么发生了变化？什么没有发生变化？想一想张师傅要将一个底面直径为20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱.假设在张师傅锻压过程中，圆柱体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？做一做探究新知 锻压前锻压后底面半径高体积解：设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表：等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积cmcm9cmxcmπ×2×9π×2x探究新知 根据等量关系，列出方程：解方程得：x=36.因此，高变成了厘米.36等体积变形关键问题：=π×102×9π×52×x探究新知 解：（1）设长方形的宽为x米，则它的长为(x+1.4)米，由题意得2(x+1.4+x)=10.解得x=1.8.长为：8+1.4=3.2（米）;答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76平方米.等量关系：（长+宽）×2=周长.xx+1.4用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？例探究新知 （2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）所围成的长方形相比，面积有什么变化？解：设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米.由题意,得2(x+0.8+x)=10.解得x=2.1.长为2.1+0.8=2.9（米）;面积为2.9×2.1=6.09(平方米);面积增加了：6.09-5.76=0.33（平方米）.xx+0.8探究新知 （3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？解：设正方形的边长为x米.由题意得4x=10.解，得x=2.5.边长为：2.5米；面积为：2.5×2.5=6.25(平方米).面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.x探究新知 2.变形前体积=变形后体积.1.列方程的关键是正确找出等量关系.4.长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大.3.线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变.归纳小结探究新知 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图所示，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？1010101066？分析：等量关系是变形前后周长相等,解：设长方形的长是x厘米.则解得因此，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米.小颖所钉长方形的宽是10厘米.2×（x+10）=10×4+6×2x=16巩固练习 把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　）A．3种B．4种C．5种D．9种B连接中考 1．如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是()A．20cmB．24cmC．48cmD．144cmB基础巩固题课堂检测 2.从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降()A．8cmB．2cmC．5cmD．4cmB课堂检测基础巩固题 3．有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长4厘米、宽2厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是_________厘米．(不计损耗)4．李红用40cm长的铁丝围成一个长方形，要使长比宽多4cm，求围成的长方形的面积，若设长方形的宽为xcm，根据题意列出方程是_____________，面积是__________．8x+(x+4)=2096cm2课堂检测基础巩固题 5．如图，一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中，饮料的高度为20cm；把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5cm.已知饮料瓶的容积为30cm3，则瓶内现有饮料______cm3.24课堂检测基础巩固题 一种牙膏出口处直径为5mm，小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6mm，小明还是按习惯每次挤出1cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得π×2.52×10×36=π×32×10x.解这个方程，得x=25.答：这一支牙膏能用25次．能力提升题课堂检测 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π-2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．解析:比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长=圆的周长．拓广探索题课堂检测 解：设圆的半径为rm，则正方形的边长为[r+2(π-2)]m.根据题意，得答：铁丝的长为8πm，圆的面积较大．因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，所以圆的面积大．正方形的面积为[4+2(π-2)]2=4π2(m2)．所以圆的面积是π×42=16π(m2)，所以铁丝的长为2πr=8π(m)．2πr=4(r+2π-4)，解得r=4.课堂检测拓广探索题 一.物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变.二.固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是应抓住图形的总周长不变.三.图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住图形的面积、体积不变.课堂小结 作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业